Конспекты алгебра 3 часть 7класс

Урок 43
Определение степени
с натуральным показателем

Цели: ввести понятие степени числа а с натуральным показателем п; определить значение степени с натуральным показателем положительного и отрицательного числа в зависимости от четности / нечетности показателя степени; формировать умение вычислять значение степени и представлять число в виде степени с натуральным показателем.

Ход урока

I. Устная работа.

Вычислите.

а) 3 · 45; б) · 120; в) ;

г) ; д) · 49; е) -3 · (-16);

ж) -(-3) · 12; з) -(2 · (-9)); и) ;

к) 18 · + 11; л) · (11 - 6); м) .

II. Объяснение нового материала.

1. Объяснение проводить согласно пункту 18 учебника. Напоминаем, что вместо длинной записи произведения 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 можно записать выражение 5⁷, где 5 - основание степени (повторяющийся множитель), а 7 - показатель степени (число повторяющихся множителей).

Понятие степени определяем для любого числа а в качестве основания и любого натурального показателя (аналитическая запись).

На доску выносится запись:

Проговариваем с учащимися правило чтения степени, приводим примеры.

2. Мини-лабораторная работа.

Найдите значение степени.

3³; 3⁴; 3⁵; 3⁶; 0¹;

; 0²;

(0,1)²; (0,1)³; (0,1)⁴; (0,1)⁵; 0³;

(-2)²; (-2)³; (-2)⁴; (-2)⁵; 0⁴;

; 0⁵;

(-0,1)²; (-0,1)³; (-0,1)⁴; (-0,1)⁵; 0⁶.

Задания разбиваем либо по группам, либо раздаем индивидуально. Затем «по цепочке» ученики выходят к доске и записывают результаты.

После анализа полученных результатов на доску выносятся следующие правила:

Обособленно выносим правило для квадратов чисел (пропедевтика изучения решения квадратных уравнений):

3. Рассматриваем примеры 1-3 со с. 88-89 учебника.

III. Формирование умений и навыков.

Упражнения, решаемые на этом уроке, можно условно разбить на группы:

1-я группа. Задания на усвоение понятия степени.

2-я группа. Задания на вычисление значения степени числа с натуральным показателем.

3-я группа. Задания на вычисление значения числового выражения, содержащего степень.

1-я группа

№ 374, № 375 (устно), № 376, № 378, № 380.

При выполнении этих заданий учащиеся должны четко называть степень, можно просить назвать их основание и показатель степени.

2-я группа

1. № 382, № 381 (а, б).

2. Не выполняя вычислений, сравните значение данного выражения с нулем:

а) (-4,1) · (-5,6)⁶; б) (-3,3)³ : (-5,7);

в) -(4,8)² · (-1,2)⁴; г) -(-2,7)⁴ · (-6,4)⁵.

3. Сравните значения выражений:

а) (-6,5)⁴ и (-2,4)³;

б) (-0,2)⁶ и (-0,2)¹⁰;

в) (-1,5)⁷ и (-1,5)⁹.

3-я группа

№ 384, 385 (а, в, г), 386 (а, в, д, ж), 387 (а, б, в).

IV. Итоги урока.

- Сформулируйте определение степени числа с натуральным показателем. Приведите примеры и назовите в каждом из них основание и показатель степени.

- Чему равна первая степень любого числа?

- Какой знак имеет результат возведения положительного числа в натуральную степень?

- Какой знак имеет значение степени отрицательного числа с четным показателем? С нечетным показателем?

- Каков порядок действий при нахождении значения выражения, содержащего степени с натуральным показателем?

Домашнее задание: № 377; 379; 381 (в, г); 383; 385 (б, г, е); 386 (б, г, е, з).

Урок 44
Решение задач по теме «Определение степени
с натуральным показателем»

Цели: продолжить формировать умение вычислять значение числового выражения, содержащего степень; формировать умение вычислять значение буквенного выражения, содержащего степень, и решать практические задачи с использованием понятия степени с натуральным показателем.

Ход урока

I. Математический диктант.

Вариант 1

1. Запишите в виде произведения третью степень числа 4 и найдите её числовое значение.

2. Чему равна первая степень числа -5?

3. Вычислите значение выражения 2³ · 0,5.

4. Чему равна сумма кубов чисел 5 и 3?

5. Вычислите значение выражения (-3)² + (0,1)³.

Вариант 2

1. Запишите в виде произведения четвертую степень числа 3 и найдите её числовое значение.

2. Чему равна первая степень числа ?

3. Вычислите значение выражения 3² · 0,7.

4. Чему равен квадрат разности чисел 7 и 5?

5. вычислите значение выражения (-5)³ - (0,2)².

II. Актуализация знаний.

№ 387 (г, д, е, ж, з, и), № 388.

№ 388.

Решение:

а) -1³ + (-2)³ = -1 + (-8) = -9;

б) -6² - (-1)⁴ = -36 - 1 = -37;

в) -8³ + (-3)³ = -512 + (-27) = -539;

г) 10 - 5 · 2⁴ = 10 - 5 · 16 = 10 - 80 = -70;

д) 2 · 3⁴ - 3 · 2⁴ = 2 · 81 - 3 · 16 = 162 - 48 = 114;

е) 2 · 5³ + 5 · 2³ = 2 · 125 + 5 · 8 = 250 + 40 = 290;

ж) 3⁴ - = 81 - 1 = 80;

з) 0,2 · 3² - 0,4 · 2⁴ = 0,2 · 3² - 0,2 · 2 · 2⁴ = 0,2(3² - 2 · 2⁴) =
= 0,2(9 - 2 · 16) = 0,2 · (9 - 32) = 0,2 · (-23) = -4,6;

и) 8 · 0,5³ + 25 · 0,2² = 2 ³ · 0,5³ + 5² · 0,2² = (2 · 0,5)³ + (5 · 0,2)² =
= 1³ + 1² = 1 + 1 = 2.

При выполнении этого упражнения учащиеся выводят правило:

III. Формирование умений и навыков.

На этом уроке отрабатывается умение вычислять значение буквенного выражения, содержащего степень.

1-й блок

1. Найдите значения выражений х²; - х²; х² - 4 для заданных значений х и заполните таблицу (используйте найденные значения выражения х² для вычисления значений двух других выражений):

2. Найдите значение выражений х³; 0,1х³; х³ + 10 для заданных значений х и заполните таблицу:

3. № 392 (устно).

2-й блок

1. Найдите значение выражения.

а) (ху)² при х = 12 и у = -0,5; х = -14 и у = -1;

б) при х = -6 и у = 1,5; х = 0 и у = -23;

в) (х + у)⁴ при х = 0,7 и у = 0,3; х = -11 и у = 6;

г) (у - х)³ при х = -14 и у = -10; х = 0,9 и у = 1,1.

2. № 393.

3. Сравните значения выражений.

а) -а² и (-а)² при а = 3; -5; 0;

б) -а³ и (-а)³ при а = 10; -2; 0.

4. № 395.

Решение:

а) а³ · а = (а · а · а) · а = а⁴;

б) а⁴ · а² = (а · а · а · а) · (а · а) = а⁶;

в) а³ · а⁶ = = а⁹;

г) а²⁰ · а¹² = = а³².

№ 396, № 397.

3-й блок

1. № 389.

2. Сколько биений сделает сердце человека за сутки, если за 1 мин оно делает в среднем 75 биений?

3. Может ли школьник поднять 1 м³ пробки? (Масса 1 см³ пробки 0,2 г.)

Решение:

Рассчитаем, сколько см³ в 1 м³:

1 м³ = 1 · 1 · 1 ( в м) = 100 · 100 · 100 (в см) = 1 000 000 = 10⁶ см³.

Масса 1 м³ пробки равна 0,2 · 10⁶ (г), что составляет 200 000 г или 200 кг. Значит, школьник не сможет поднять такую массу.

Ответ: нет.

4. Если разрезать кубический метр на кубические сантиметры и поставить их один на другой, то какой высоты получится столб?

При решении этой задачи следует использовать результаты предыдущей задачи.

IV. Итоги урока.

- Сформулируйте определение степени с натуральным показателем.

- Чему равна любая натуральная степень нуля?

- Каков порядок действий при нахождении числового и буквенного выражения, содержащего степень?

- Чему равно значение выражения 0,2⁸ · 5⁸? Как рационально вычислить? Каким правилом необходимо воспользоваться?

Домашнее задание: № 390; № 391; № 394; № 398.

Урок 45
Умножение и деление степеней
с одинаковыми основаниями

Цели: вывести правила умножения и деления степеней с одинаковым основанием; дать определение нулевой степени числа, не равного нулю; формировать умение выполнять указанные действия со степенями.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Вычислите.

а) 3²; б) ; в) (0,1)³; г) ;

д) ; е) (-0,1)⁴; ж) ; з) -(-7)²;

и) -(-2)³; к) 0¹⁶; л) (-1)¹⁸; м) -(-1)²³.

2. Сравните значение двух выражений:

а) (-8,64)²⁰ и 0³⁰; б) (-1)⁷⁶ и (-1)⁷⁰;

в) и (-3,82)¹³; г) и .

II. Проверочная работа.

Вариант 1

1. Найдите значение выражения.

а) - (0,5)²; б) 3000 · (0,2)³ - (-2)⁶; в) - (-3)³.

2. Вычислите значение выражения х³ - х² при:

а) х = 0,3; б) х = -6.

Вариант 2

1. Найдите значение выражения.

а) + (0,6)²; б) 2000 · (0,3)⁴ - (-2)⁴; в) - (-4)³.

2. Вычислите значение выражения х² + х³ при:

а) х = -0,4; б) х = 10.

III. Объяснение нового материала.

На этом уроке изучаем два важных свойства степени: сложение и умножение степеней с одинаковыми основаниями.

Вывод правил целесообразно осуществлять, работая сразу с числовыми и буквенными выражениями, результаты оформить в виде таблицы.

Замечаем, что a^m : a^m = a^{m - m} = a⁰ = 1.

IV. Формирование умений и навыков.

На этом занятии можно отрабатывать только умение находить произведение степеней с одинаковым основанием.

1. № 403.

Решение:

а) x⁵x⁸ = x^{5 + 8} = x¹³; е) yy¹² = y^{1 + 12} = y¹³;

ж) 2⁶2⁴ = 2^{6 + 4} + 2¹⁰; з) 7⁵7 = 7^{5 + 1} = 7⁶.

2. № 405.

Решение:

а) a¹⁵ = a^{6 + 9} = a⁶ ∙ a⁹; б) a¹⁵ = a^{9 + 6} = a⁹ ∙ a⁶;

в) a¹⁵ = a^{2 + 13} = a² ∙ a¹³; г) a¹⁵ = a^{14 + 1} = a¹⁴ ∙ a = a ∙ a¹⁴.

3. № 407.

Решение:

Представим число 6 в виде суммы двух натуральных чисел всеми возможными способами:

6 = 1 + 5; 6 = 2 + 4; 6 = 3 + 3.

Значит, a⁶ = a ∙ a⁵; a⁶ = a² ∙ a⁴; a⁶ = a³ ∙ a³.

4. № 409.

Решение:

а) m³m²m⁸ = m^{3 + 2 + 8} = m¹³; в) xx⁴x⁴x = x^{1 + 4 + 4 + 1} = x¹⁰;

д) 7⁸ ∙ 7 ∙ 7⁴ = 7^{8 + 1 + 4} = 7¹³; е) 5 ∙ 5² ∙ 5³ ∙ 5⁵ = 5^{1 + 2 + 3 + 4} = 5¹¹.

5. № 410.

При выполнении этого упражнения ученики сами определяют основание степени, которое будет являться общим для двух степеней.

Решение:

а) 5⁸ ∙ 25 = 5⁸ ∙ 5² = 5^{8 + 2} = 5¹⁰;

в) 6¹⁵ ∙ 36 = 6¹⁵ ∙ 6² = 6^{15 + 2} = 6¹⁷;

д) 0,4⁵ ∙ 0,16 = 0,4⁵ ∙ 0,4² = 0,4^{5 + 2} = 0,4⁷;

е) 0,001 ∙ 0,1⁴ = 0,1³ ∙ 0,1⁴ = 0,1^{3 + 4} = 0,1⁷.

6. № 411.

Решение:

а) 2⁴ ∙ 2 = 2^{4 + 1} = 2⁵ = 32;

б) 2⁶ ∙ 4 = 2⁶ ∙ 2² = 2^{6 + 2} = 2⁸ = 256;

в) 8 ∙ 2⁷ = 2³ ∙ 2⁷ = 2^{3 + 7} = 2¹⁰ = 1024;

г) 16 ∙ 32 = 2⁴ ∙ 2⁵ = 2^{4 + 5} = 2⁹ = 512.

7. № 413.

Решение:

а) (c⁴)² = c⁴ ∙ c⁴ = c^{4 + 4} = c⁸;

б) (c²)⁴ = c² ∙ c² ∙ c² ∙ c² = c^{2 + 2 + 2 + 2} = c⁸.

V. Итоги урока.

- Дайте определение степени с натуральным показателем.

- Сформулируйте основное свойство степени.

- Сформулируйте правила умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями. Приведите примеры.

- Дайте определение степени числа с нулевым показателем.

Домашнее задание: № 404; № 406; № 408; 412; № 533.

Урок 46
Решение задач по теме
«Умножение и деление степеней»

Цели: продолжить формировать умение выполнять действия со степенями с одинаковыми основаниями.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Найдите значение выражения.

а) 4³; б) (0,7)²; в) ; г) 0¹²;

д) (-6)²; е) (-0,3)⁴; ж) (-1)⁸; з) .

2. Сравните с нулем значение выражения.

а) (-25)¹² · (-25)⁹;

б) (-4)¹⁹ : (-4)⁷;

в) (-12)¹³ · (-12)⁸.

3. Замените звездочку степенью с основанием а так, чтобы стало верным равенство:

а) а⁴ · * = а¹²; б) * · а = а⁴;

в) а¹⁴ : * = а⁷; г) * : а⁹ = а¹⁰.

II. Формирование умений и навыков.

На этом занятии учащиеся отрабатывают умение делить степени с одинаковыми основаниями и решают комбинированные задачи.

1. № 414.

Решение:

а) x⁵ : x³ = x^{5 - 3} = x²;

в) a²¹ : a = a^{21 - 1} = a²⁰;

з) 0,7⁹ : 0,7⁴ = 0,7^{9 - 4} = 0,7⁵.

2. № 416.

Решение:

а) 5⁶ : 5⁴ = 5^{6 - 4} = 5² = 25;

б) 10¹⁵ : 10¹² = 10^{15 - 12} = 10³ = 1000;

в) 0,5¹⁰ : 0,5⁷ = 0,5^{10 - 7} = 0,5³ = 0,125;

г) ;

д) 2,73¹³ : 2,73¹² = 2,73^{13 - 12} = 2,73;

е) .

3. Используя правила умножения и деления степеней, упростите выражение.

а) x⁸ ∙ x³ : x⁵; б) x²⁰ : x¹⁰ ∙ x;

в) x⁷ : x³ : x³; г) x¹⁴ : x⁹ ∙ x⁵.

Решение:

а) x⁸ ∙ x³ : x⁵ = x^{8 + 3} : x⁵ = x¹¹ : x⁵ = x^{11 - 5} = x⁶;

б) x²⁰ : x¹⁰ ∙ x = x^{20 - 10} ∙ x = x¹⁰ ∙ x = x^{10 + 1} = x¹¹;

в) x⁷ : x³ : x³ = x^{7 - 3} : x³ = x⁴ : x³ = x^{4 - 3} = x;

г) x¹⁴ : x⁹ ∙ x⁵ = x^{14 - 9} ∙ x⁵ = x⁵ ∙ x⁵ = x^{5 + 5} = x¹⁰.

4. № 417.

Решение:

а) = 8⁶ : 8⁴ = 8^{6 - 4} = 8² = 64;

б) = 0,8⁷ : 0,8⁴ = 0,8^{7 - 4} = 0,8³ = 0,512;

в) = (-0,3)⁵ : (-0,3)³ = (-0,3)^{5 - 3} = (-0,3)² = 0,09;

г) ;

д)

.

5. Найдите значение выражения.

а) ; б) ;

в) ; г) .

При выполнении этого упражнения уже не обязательно переписывать дробь в виде частного.

Желательно, чтобы учащиеся проговаривали не только правила действий над степенями, но и правила возведения в степень отрицательного числа при четном нечетном показателях.

Решение:

а) = 8^{21 - 18} = 8³ = 512;

б) = 10^{10 - 6} = 10⁴ = 10 000;

в) = (-2)^{11 - 8} = (-2)³ = -8;

г) = (0,3)^{17 - 14} = (0,3)³ = 0,027.

6. № 419 (а, в, д).

Решение:

а) xⁿ ∙ x³ = x^{n + 3};

в) x ∙ xⁿ = x^{1 + n} = x^{n + 1};

д) c⁹ : c^m = c^{9 - m}.

7. Представьте данное выражение сначала в виде произведения степеней, а затем в виде частного степеней.

а) a^{m - 2}; б) a⁴ⁿ; в) aⁿ.

Решение:

а) a^{m - 2} = a^{m - 4} ∙ a²; a^{m - 2} = a^m : a²;

б) a⁴ⁿ = a²ⁿ ∙ a²ⁿ; a⁴ⁿ = a⁵ⁿ : aⁿ;

в) aⁿ = a^{n - 1} ∙ a; aⁿ = a²ⁿ : aⁿ.

Выполняя это упражнение, учащиеся могут предложить свои варианты разбиения на множители.

8. № 420 (а, в), № 421 (а, б).

№ 420.

Решение:

а) если х = 2,6, то 3х⁰ = 3 (при любом значении х);

в) 10a²b⁰ = 10a², если а = 3, b = -8, то 10a² = 10 · 3² = 10 · 9 = 90.

№ 421.

Решение:

а) b⁴ · b⁰ = b⁴ · 1 = b⁴; б) c⁵ : c⁰ = c⁵ : 1 = c⁵.

При выполнении этого упражнения учащиеся могут воспользоваться правилом умножения и деления степеней.

III. Итоги урока.

- Дайте определение степени с натуральным показателем.

- Сформулируйте правило возведения отрицательного числа в четную степень, в нечетную степень.

- Какой знак имеет результат возведения любого числа в квадрат?

- Сформулируйте правила сложения и умножения степеней с одинаковыми основаниями.

- Чему равно значение выражения 2⁰; (-1)¹; ?

Домашнее задание: № 415; № 418; № 419 (б, г, е); № 420 (б, г);
№ 421 (в, г); № 422.

Урок 47
Решение практических задач по теме
«Умножение и деление степеней»

Цель: формировать умение использовать правила умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями при решении практических задач.

Ход урока

I. Проверочная работа.

Вариант 1

1. Представьте в виде степени произведение.

а) x⁶ ∙ x³ ∙ x⁷; б) (-7)³ ∙ (-7)² ∙ (-7)⁹.

2. Представьте в виде степени частное.

а) x⁸ : x⁴; б) (-0,5)⁶ : (-0,5)⁸.

3. Найдите значение выражения.

а) ; б) .

Вариант 2

1. Представьте в виде степени произведение.

а) y⁵ ∙ y⁹ ∙ y²; б) (-6)⁸ ∙ (-6)² ∙ (-6)³.

2. Представьте в виде степени частное.

а) z¹⁰ : z⁷; б) .

3. Найдите значение выражения.

а) ; б) .

II. Мотивация изучения.

Данная тема предоставляет учителю возможность познакомить детей с числовыми величинами, которыми можно выразить количественные отношения реального мира. В этом плане особенно важны задачи, содержащие реальные величины, например задачи о Солнечной системе, планетах и других космических телах.

Полезно ознакомить учащихся с названиями классов принятой десятичной нумерации:

Интересно для сравнения привести наименования классов старинной русской нумерации. Л. Магницкий в своей «Арифметике», изданной при Петре I, упоминает такие названия:

10³ - тысяча

10⁴ - тьма

10⁵ - легион

10⁶ - леодр

10⁷ - вран

10⁸ - колода.

Операции с числовыми великанами делают актуальными приближенные вычисления. Если исходные данные в задаче получены в результате измерений (например, астрономических) с точностью до 2-3 десятичных знаков, нет никакого смысла в последующих десятках цифр. Поэтому в этой теме уместно познакомить детей с правилами округления чисел.

III. Формирование умений и навыков.

1. Найдите отношение массы каждой из планет Солнечной системы к массе Земли.

Справка.

2. В астрономии одной из единиц длины является световой год,
то есть расстояние, которое проходит за год луч света. Скорость света
с = 300 000 км/с. Вычислите:

а) за какое время луч света доходит от Земли до Луны, от Солнца до Земли; б) величину светового года в километрах; в) расстояние от Земли до звезды Сириус в световых годах.

Справка. Среднее расстояние от Земли до Луны 384 000 км, от Земли до звезды Сириус 8,2 · 10¹³ км.

3. Ежегодно прирост древесины на опытном участке составляет 10 %. Какое количество древесины будет на участке через 10 лет, если сейчас её 10⁵ м³?

4. В сберегательном банке вкладчику начисляется 20 % в год от сданной на хранение суммы. Через сколько лет первоначальная сумма увеличится более чем в 2 раза; в 5 раз?

5. Найдите массу мотка медной проволоки сечением 2 мм и длиной 50 м.

Справка. Масса вычисляется по формуле m = ρ ∙ V, где ρ - плотность вещества. В частности, для меди ρ = 8,9 г/см³. А для вычисления объема цилиндра V нужно воспользоваться формулой V = πR²H.

6*. Какое наибольшее число абонентов может быть прикреплено к одной АТС при семизначной записи номеров телефона? Первые три цифры всех номеров данной АТС одинаковы.

IV. Итоги урока.

- Сформулируйте определение степени с натуральным показателем.

- В каких областях используются вычисления больших степеней числа 10?

Домашнее задание: 1. Во сколько раз число 4,8 · 10¹⁹ больше числа 1,2 · 10¹⁹?

2. Найдите расстояние от Солнца до планет Солнечной системы в астрономических единицах.

Справка.

Астрономическая единица (а. е.) - среднее расстояние от Солнца до Земли.

3. № 542; № 543.

Урок 48
Возведение в степень произведения

Цели: вывести правило возведения в степень произведения двух и более сомножителей; формировать умение вычислять степень произведения, а также рационально преобразовывать выражения, содержащие степень произведения либо предполагающие использование данного свойства.

Ход урока

I. Устная работа.

Вычислите.

а) 2³ · 5³; в) 12²; д) 5³ · ; ж) (bx)⁵;

б) 10³; г) 3² · 4²; е) (2а)³; з) (ab)ⁿ.

II. Объяснение нового материала.

Конструкция примеров и их последовательность позволяют сделать обобщение. В результате появится следующая запись:

Заготовленный лист с этим свойством закрепить на доску к ранее изученным. Это равенство можно доказать устно с подробной записью доказательства на доске:

Доказательство:

(ab)ⁿ = (ab) · (ab) · ... · (ab) по определению степени п раз;

(ab) · (ab) · ... · (ab) = (aa...a)(bb...b) по свойствам умножения п раз п раз; (ab)ⁿ = aⁿbⁿ.

Ученики пробуют самостоятельно сформулировать алгоритмическое правило возведения в степень произведения. Они приходят к выводу, что необходимо выполнить два шага:

1) каждый множитель возводить в эту степень;

2) результаты перемножить.

Следует записать выводы учащихся в виде алгоритма на доске и подчеркнуть глаголы. Глагол обозначает действие, которое необходимо выполнить. Ребята выясняют, можно ли поменять местами порядок выполнения действий. Далее идёт работа с учебником. Ребята сравнивают формулировку, которая получилась у них, с той, которая находится в учебнике на с. 97.

Такой подход даёт хороший результат быстрого заучивания формулировок свойств степени.

Последним можно предложить следующий пример:

(abсd)⁴ = ...

Решение:

(abcd)⁴ = a⁴b⁴c⁴d⁴.

Учащиеся могут самостоятельно доказать, что данная формула верна не только для двух сомножителей, но и большего их числа.

По окончании объяснения нового материала рассмотреть пример 1 со с. 97 учебника.

III. Формирование умений и навыков.

При выполнении упражнений на уроке ученики должны проговаривать правило и алгоритм возведения произведения в степень.

Кроме того, задания предполагают применение формулы как слева направо, так и справа налево. Необходимость того или иного способа обусловлена рациональностью преобразования выражения либо вычисления его значения.

1. № 428.

2. Выполните возведение в степень, представив предварительно основание степени в виде произведения множителей -1 и х:

а) (-х)²; б) (-х)⁸; в) (-х)¹⁰⁰; г) (-х)^2п;

д) (-х)³; е) (-х)⁹; ж) (-х)⁷¹; з) (-х)^{2п + 1}.

Решение:

а) (-х)² = ((-1) · х)² = (-1)² · х² = 1 · х² = х²;

е) (-х)⁹ = ((-1) · х)⁹ = (-1)⁹ · х⁹ = -1 · х⁹ = -х⁹;

г) (-х)^2п = ((-1) · х)^2п = (-1)^2п · х^2п = 1 · х^2п = х^2п;

з) (-х)^{2п + 1} = ((-1) · х)^{2п + 1} = (-1)^{2п + 1} · х^{2п + 1} = -1 · х^{2п + 1} = -х^{2п + 1}.

3. № 431.

Решение:

а и -а - противоположные числа.

а²;

(-а)² = ((-1) · а)² = (-1)² · а² = 1 · а² = а²,

значит, а² = (-а²).

4. № 432.

Решение:

Пусть а - сторона квадрата, тогда площадь квадрата равна а².

Если сторона квадрата увеличится в 2 раза, то станет равна 2а, а его площадь будет равна (2а) · (2а) =
= (2а)² = 2² · а² = 4а², то есть увеличится в 4 раза.

Аналогично рассуждаем для остальных случаев.

5. № 433.

Решение:

Пусть а - ребро куба, тогда его объем равен а³.

Если ребро увеличить в 3 раза, то объем куба будет вычисляться по формуле (3а) · (3а) · (3а) = (3а)³ =
= 3³ · а³ = 27а³, значит, объем увеличится в 27 раз.

6. № 434.

Для решения используем данные задачи № 432.

Решение:

Поверхность куба состоит из 6 квадратов площадью а², то есть равна 6а².

Если ребро куба увеличить в 3 раза, то площадь боковой грани составит 9а², а общая площадь поверхности равна 6 · 9а² или 54а².

Новая площадь больше в 9 раз, значит, и краски потребуется в 9 раз больше, то есть 40 · 9 = 360 г. Следовательно, 350 г краски на хватит.

Ответ: не хватит.

7. Представьте произведение в виде степени.

а) x⁵y⁵; б) 36a²b²; в) 0,001x³c³;

г) -х³; д) -8х³; е) -32a⁵b⁵;

ж) x⁵y⁵z⁵; з) 0,027a³b³c³; и) x³a³z³.

8. Вычислите значение выражения, используя свойство степени произведения.

а) 5³ · 2³; в) (0,5)³ · 60³;

б) · 20⁴; г) (1,2)⁴ · .

IV. Итоги урока.

- Сформулируйте определение степени с натуральным показателем.

- Сформулируйте правило возведения в степень произведения.

- Сколько сомножителей может стоять в формуле степени произведения?

- Чему равно значение выражения (3 · 5 · 78)⁰?

Домашнее задание: № 429; № 430; № 435; № 436; № 437.

Урок 49
Возведение степени в степень

Цели: вывести правило возведения степени в степень; формировать умение выполнять преобразование выражений, содержащих степень в степени.

Ход урока

I. Проверочная работа.

Вариант 1

1. Возведите в степень произведение.

а) (xyz)⁸; б) ; в) (-2а)³; г) .

2. Вычислите значение выражения.

а) 25² · 4²; б) · 9³; в) (-0,5)³ · 40³.

Вариант 2

1. Возведите в степень произведение.

а) (abc)¹⁰; б) ; в) (-4а)³; г) .

2. Вычислите значение выражения.

а) 20³ · 5³; б) · 25²; в) (-0,2)⁴ · 50⁴.

II. Объяснение нового материала.

1. Устная работа.

Представьте в виде степени.

а) (а⁵)³ = а⁵ · а⁵ · а⁵ = … ; б) (у²)⁵ = … ;

в) (а^т)⁷ = … ; г) (а^т)^п = … .

В результате появится запись:

2. Доказательство свойства можно оформить в виде таблицы.

Свойство. При возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели перемножают.

Подчеркиваем, что формулу можно применять в следующем виде:

III. Формирование умений и навыков.

Все задания, решаемые на этом уроке, можно разделить условно на две группы:

1-я группа. Закрепление навыков возведения степени в степень.

2-я группа. Решение заданий на правило возведения в степень произведения и степени.

1. № 438 (устно).

Решение:

а) (х³)² = х^{3 · 2} = х⁶;

з) (b⁵)² = b^{5 · 2} = b¹⁰.

2. № 440, № 441.

№ 441.

Решение:

а) а^п · а³ = а^{п + 3};

г) (а²)^т = а^2т.

3. № 443, № 445, № 446.

№ 443.

Решение:

а) 2²⁰ = 2^{2 · 10} = (2²)¹⁰; б) 2²⁰ = 2^{4 · 5} = (2⁴)⁵;

в) 2²⁰ = 2^{5 · 4} = (2⁵)⁴; г) 2²⁰ = 2^{10 · 2} = (2¹⁰)².

№ 445.

Решение:

12 = 1 · 12; а¹² = (а¹)¹²;

12 = 2 · 6; а¹² = (а²)⁶;

12 = 3 · 4; а¹² = (а³)⁴;

12 = 4 · 3; а¹² = (а⁴)³;

12 = 6 · 2; а¹² = (а⁶)²;

12 = 12 · 1; а¹² = (а¹²)¹.

№ 446. Решение:

а² = т;

а⁶ = а^{2 · 3} = (а²)³ = т³.

4. Представьте выражение в виде квадрата числа.

а) а⁴; б) b⁶; в) d⁸; г) c¹⁰;

д) d²⁰; е) ; ж) 1; з) .

5. № 447, № 449 (а, б), № 450 (а, б).

№ 447.

Решение:

а) x³ · (x²)⁵ = x³ · x^{2 · 5} = x³ · x¹⁰ = x^{3 + 10} = x¹³;

б) (a³)² · a⁵ = a^{3 · 2} · a⁵ = a⁶ · a⁵ = a^{6 + 5} = a¹¹;

в) (a²)³ · (a⁴)² = a^{2 · 3} · a^{4 · 2} = a⁶ · a⁸ = a^{6 + 8} = a¹⁴;

г) (x²)⁵ · (x⁵)² = x^{2 · 5} · x^{5 · 2} = x¹⁰ · x¹⁰ = (x¹⁰)² = x^{10 · 2} = x²⁰;

д) (a³a³)² = (a⁶)² = a^{6 · 2} = a¹²;

е) (aa⁶)³ = a³ · (a⁶)³ = a³ · a^{6 · 3} = a³ · a¹⁸ = a^{3 + 18} = a²¹.

№ 449.

Решение:

а) x⁵ · (x²)³ = x⁵ · x⁶ = x¹¹;

б) (x³)⁴ · x⁸ = x¹² · x⁸ = x²⁰.

№ 450.

Решение:

а) = 2⁴ = 16;

б) = 5.

6. (Устно.) Найдите примеры, в которых допущена ошибка.

1) (ab)³ = a³b³; 5) (-3²)³ = 3⁶;

2) (-2bc)² = -4b²c; 6) (c⁴)²c³ = c⁹;

3) (2 · 5)⁴ = 10000; 7) = a²⁴;

4) (-3³)² = 3⁶; 8) = 2⁶a⁶b¹⁴.

IV. Итоги урока.

- Сформулируйте определение степени с натуральным показателем.

- Сформулируйте правило возведения степени в степень. приведите примеры.

- Каков алгоритм возведения степени в степень?

- Чему равно значение выражения: ; (x³)⁰?

Домашнее задание: № 439; № 442; № 444; № 448; № 449 (в, г);
№ 450 (в, г).

Урок 50
Решение задач по теме «Возведение в степень
произведения и степени»

Цели: обобщить знания по теме «Степень и её свойства»; закрепить умения преобразовывать числовые и буквенные выражения, содержащие степень.

Ход урока

I. Обобщение и систематизация материала.

Повторяем и систематизируем теоретический материал и практическую часть.

Дана таблица. В левом столбце заполнить пропущенные места, в правом - выполнить задания.

II. Закрепление умений и навыков.

Индивидуальная проверочная работа с кодированным ответом.

Каждый учащийся выполняет задания, к ним прилагается ключ, в котором использован весь алфавит, чтобы исключить угадывание ответов по буквам. В случае правильного решения - правильное слово.

Задания для каждого ряда индивидуальные. Желательно при наличии места разместить задания на доске, чтобы можно было проверить ответы, ход решения. Побеждает команда, набравшая наибольшее число баллов за правильные ответы.

Размещение материала на доске

Ключ

III. Итоги урока.

- Сформулируйте определение степени числа с натуральным показателем. Приведите примеры и назовите в каждом из них основание и показатель степени.

- Сформулируйте и докажите основное свойство степени.

- Сформулируйте правило умножения и правило деления степеней с одинаковыми основаниями.

- Дайте определение степени числа с нулевым показателем.

- Сформулируйте правило возведения в степень произведения, правило возведения в степень степени.

Домашнее задание: № 534; № 535; № 539; № 547; № 548.

Урок 51
Понятие одночлена и приведение его
к стандартному виду

Цели: ввести понятие одночлена и его стандартного вида; формировать умение приводить одночлен к стандартному виду путем его упрощения; формировать умение определять коэффициент и степень одночлена.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Упростите выражение.

а) х³ · (-х⁴); б) х³ · (-х)⁴; в) (-х)³ · х⁴;

г) (-х³) · (-х)⁴; д) (а²)⁵ · а⁵; е) (а² · а⁵)².

2. Выполняя задания на преобразование выражений, содержащих степени, ученик допустил следующие ошибки:

а) 5 · 5 · 5 · 5 = 4⁵; б) (-3)² = -3 · 3 = -9; в) 7¹ = 1;

г) 0⁰ = 1; д) 2³ · 2⁷ = 2²¹; е) 2³ · 2⁸ = 4¹⁰;

ж) 2³ + 2⁷ = 2¹⁰; з) 2³⁰ : 2¹⁰ = 2³; и) (2х)³ = 2х³;

к) (а³)² = а⁹; л) (а²)³ · (а⁴)² = (а⁶)⁵ = а³⁰.

Какие определения, свойства, правила не знает ученик?

II. Объяснение нового материала.

1. При решении различных задач часто встречаются алгебраические выражения вида a · b; · a · b · c; 3 · a² · b. Для сокращения записи этих выражений знак умножения «точка» обычно опускается, то есть пишут просто ab; abc; 3a²b. Каждое из этих произведений называют одночленом.

На доску выносится запись:

Например, одночленами являются выражения:

abc; (-4)a3ab; a(-0,3)bab; 172; -.

Так как произведение равных множителей можно записать в виде степени с натуральным показателем, то степень числа и произведение степеней чисел также называют одночленами.

Например: ; (-7)³; c⁵; 4a²; a²b.

Множители одночлена, записанные с помощью цифр, называют числовыми множителями одночлена, а множители, обозначенные буквами, называют буквенными множителями.

2. Одночлены можно упрощать, пользуясь переместительным и сочетательным законами умножения.

Обращаем внимание учащихся, что коэффициент одночлена может быть равен единице, в этом случае мы его не пишем перед буквенной частью. Переменные принято записывать в алфавитном порядке, то есть не 3x²a⁴c, а 3a⁴cx².

3. Вводим понятие степени одночлена.

III. Формирование умений и навыков.

На этом занятии необходимо отработать следующие умения:

1) выявлять одночлен, используя определения;

2) выделять элементы одночлена: числовой коэффициент и буквенную часть;

3) определять, записан ли одночлен в стандартном виде;

4) приводить одночлен к стандартному виду;

5) вычислять значение одночлена в стандартном виде;

6) определять степень одночлена стандартного вида.

1. (Устно). Назовите числовые и буквенные множители одночлена.

а) 6a(0,3)b2c; в) 3p(-0,1)q7r;

б) 0,5ab3c; г) 2,5mn4k.

2. № 455 (устно).

3. Вместо словесной формулировки запишите алгебраическое выражение:

а) удвоенное произведение чисел a и b;

б) утроенное произведение чисел b и с;

в) произведение квадратов чисел х и у;

г) произведение числа а и квадрата числа b;

д) произведение куба числа т и числа р;

е) утроенное произведение квадрата числа а и числа b.

4. № 456 (устно).

При выполнении этого упражнения ученики должны мотивировать свой ответ.

5. Среди одночленов 10,2a²b²c; -7,3ab²c; 17a²bca; -2,6ab²c; -m; 3ab; -28a²b²c²; 3aabc; -2ab; -m⁴m; m ∙ 2; 17a²b²c²:

а) назвать одночлены стандартного вида;

б) указать одночлены, отличающиеся только коэффициентами.

6. № 457.

Решение:

а) 8x²x = 8x^{2 + 1} = 8x³;

б) 1,2abc ∙ 5a = (1,2 ∙ 5) ∙ (a ∙ a) ∙ bc = 6a²bc;

в) 3xy(-1,7)y = 3 ∙ (-1,7) ∙ x ∙ y ∙ y = -5,1xy²;

г) 6c²(-0,8)c = 6(-0,8)c²c = -4,8c³;

д) m²n ∙ 4,5n³ = ∙ m² ∙ n ∙ n³ = 3m²n⁴;

е) a²a³xx² = -a⁵x³.

7. № 459.

Решение:

а) если у = -2, то -0,125у⁴ = -0,125 · (-2)⁴ = -0,125 · 16 = -2;

б) если х = -0,3, у = , то 12x²y = 12 · (-0,3)² · = 2 · 0,09 = 0,18.

Ответ: а) -2; б) 0,18.

8. № 461.

Решение:

S = 5m · m = 5m² (см²).

Ответ: 5m² (см²).

9. Запишите одночлен в стандартном виде и определите его степень.

а) ac12c; г) · 4;

б) a8b²ba³; д) -m³np;

в) -0,5xy²x³; е) a³d0x.

IV. Итоги урока.

- Сформулируйте определение одночлена.

- Приведите пример одночлена стандартного вида и назовите его коэффициент.

- Каким образом можно привести одночлен к стандартному виду?

- Сформулируйте определение степени одночлена. Чему равна степень одночлена, не содержащего переменных? Чему равна степень 0?

Домашнее задание: № 458; № 460; № 462; № 463; № 554; № 555.

Урок 52
Умножение одночленов

Цель: формировать умение умножать одночлен на одночлен, используя правило умножения степеней с одинаковыми основаниями.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Назовите коэффициент одночлена.

а) 15a²b²c; б) 18a³b²c; в) -24ab²c³; г) -35ab³c²;

д) nm²; е) n³m; ж) -pqr²; з) -pq²r.

2. Определите степень одночлена.

а) 37a²bx³; б) xyz; в) x²y; г) -862.

II. Актуализация знаний.

Работа в парах с тестами с последующей взаимопроверкой.

Вариант 1

1. Степенью числа а с натуральным показателем п, большим 1, называется произведение _______ множителей, каждый из которых равен _____ : а^п = _____.

2. 4³ = ________ = _______, здесь 4 - _______ степени, 3 - ______ степени, 64 - ________ степени 4³.

3. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней _________.

4. a^m : a^п = __________? (m > n, a  0).

5. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней ___________________.

6. (ab)^п = ___________________________________.

7. При возведении дроби в степень следует в эту степень _______________________________________________.

8. Произведение числовых и буквенных множителей называют __________________________________________.

9. Коэффициент одночлена (-a³b²) равен _______________.

Вариант 2

1. В выражении а^п число а называют _______ степени, число п - ___________ степени.

2. 5⁴ = _______ = _______, здесь 5 - _______ степени, 4 - _______ степени, 625 - _______ степени 5⁴.

3. a^m ∙ a^п = __________________________________.

4. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней _____________.

5. (a^m)^п = __________________________________.

6. При возведении в степень произведения, в эту степень возводится _____________________________________.

7. При возведении в степень дроби следует в эту степень _______________________________________________.

8. Числа, переменные и их степени называют ____________.

9. Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют ________________.

III. Объяснение нового материала.

1. Решим следующую задачу.

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле
V = abc, где а - длина, b - ширина и с - высота этого параллелепипеда.

Каким будет объем нового параллелепипеда, если длину данного увеличить в 5 раз, ширину - в 2п раз, высоту в 3п раз?

Решение:

Найдем измерения нового параллелепипеда:

длина - 5а;

ширина - 2пb;

высота - 3пс.

Тогда его объем равен (5а) · (2пb) · (3пс). Данное выражение является произведением трех одночленов. По правилам умножения можно записать равенство:

(5а) · (2пb) · (3пс) = 5а · 2пb · 3пс = (5 · 2 · 3) · (аппbс) = 30ап²bс =
= 30аbсп².

2. В результате умножения одночленов снова получается одночлен, который можно упростить, записав в стандартном виде:

(3a²b³c) · (4ab²) = (3 · 4) · (a²a) · (b³b²) · c = 12a³b⁵c.

3. Аналогично находим произведение трех и более одночленов.

IV. Формирование умений и навыков.

На уроке отрабатываются умения перемножать одночлены и раскладывать одночлен в виде произведения двух и более одночленов.

1. Выполните умножение.

1) а) 12у · 0,5у; б) 8x · ; в) -b³ · 3b²;

2) а) xy² · 16y; б) 1,6a²c · (-2ac²); в) -x³y⁴ · 1,4x⁶y⁵.

Решение:

1) а) 12у · 0,5у = (12 · 0,5) (у · у) = 6у²;

б) 8x² · (x²y) = -6x²y;

в) -b³ · 3b² = (-1 · 3)(b³b²) = -3b⁵;

2) а) xy² · 16y = (xy²y) = 12xy³;

б) 1,6a²c · (-2ac²) = (1,6 (-2))(a²cac²) = -3,2a³c³;

в) -x³y⁴ · 1,4x⁶y⁵ = (-1 · 1,4)(x³y⁴x⁶y⁵) = -1,4x⁹y⁹.

2. Перемножьте одночлены.

а) (-0,4x⁵y⁶z²) · (-1,2xyz³);

б) (-2,5n⁴m⁵k²) · (3nm²k⁵);

в) ;

г) .

Решение:

а) (-0,4x⁵y⁶z²) · (-1,2xyz³) = (-0,4 · (-1,2)) · (x⁵x) · (y⁶y) · (z²z³) =
= 0,48x⁶y⁷z⁵;

б) (-2,5n⁴m⁵k²) · (3nm²k⁵) = (-2,5 · 3) · (n⁴n) · (m⁵m²) · (k²k⁵) = 7,5n⁵m⁷k⁷;

в) · (x²x) · (y³y²) · (zz³) =
= 2x³y⁵z⁴;

г) · (a²a³) · (b⁵b²) · (c³c⁴) =
= -7,5a⁵b⁷c⁷.

3. Перемножьте одночлены.

1) -20х⁴, 0,5ху² и -0,3х²у³;

2) 12x²y²z, xy²z² и -0,1x²yz².

Решение:

1) (-20x⁴) · (0,5xy²) · (-0,3x²y³) = (-20 · 0,5 · (-0,3)) · (x⁴xx²) · (y²y³) =
= 3x⁷y⁵;

2) (12x²y²z) · · (-0,1x²yz²) = · (x²xx²) ×
× (y²y²y) · (zz²z²) = 0,9x⁵y⁵z⁵.

4. Выполните умножение.

а) (-a) · (3b) · (4a²b) · (5ab²);

б) (5a) · (a²b²) · (-2b) · (-3a);

в) (-1,5ab) · · (-2ac) · (24ab).

Решение:

а) (-a) · (3b) · (4a²b) · (5ab²) = (-1 · 3 · 4 · 5) · (aa²a) · (bbb²) = -60a⁴b⁴;

б) (5a) · (a²b²) · (-2b) · (-3a) = (5 · 1 · (-2) · (-3)) · (aa²a) · (b²b) = 30a⁴b³;

в) (-1,5ab) · · (-2ac) · (24ab) = ×
× (aaa) · (bbb) · (cc) = 18a³b³c².

5. Замените значок * одночленом стандартного вида так, чтобы получившееся равенство было тождеством:

1) * · 4c² = 30ac³;

2) 8a²b⁴ · * = -8a⁵b⁶.

Решение:

1) 7,5ac · 4c² = 30ac³;

2) 8a²b⁴ · (-a³b²) = -8a⁵b⁶.

6. Представьте двумя способами в виде произведения двух одночленов стандартного вида следующий одночлен:

а) 18x²y⁶z; б) a⁵b⁵c; в) -0,24a³b⁴z.

V. Итоги урока.

- Дайте определение одночлена. Приведите примеры.

- Приведите пример одночлена стандартного вида и назовите его коэффициент.

- Сформулируйте определение степени одночлена.

- Каким образом можно умножить одночлен на одночлен? На какие правила мы опираемся?

Домашнее задание: № 467; № 468; № 469; № 470; № 471.

Урок 53
Возведение одночлена в степень

Цели: формировать умение возводить одночлен в степень и приводить его к стандартному виду.

Ход урока

I. Устная работа.

Разгадайте кроссворд.

По вертикали:

2. Числовой множитель в одночлене стандартного вида.

3. Чему равен коэффициент одночлена a⁵bc⁵?

4. Чему равна степень одночлена 85?

5. Чему равна степень одночлена 10²xy⁵z²?

6. Чему равно (-2)²?

7. Какое число получается при возведении отрицательного числа в нечётную степень?

8. Сумма показателей всех переменных одночлена.

9. Вид одночлена, в котором на первом месте числовой множитель, а за ним степени различных переменных.

По горизонтали:

1. Выражение, которое содержит только числа, натуральные степени переменных и их произведения.

Ответы: 1. одночлен. 2. Коэффициент. 3. Единица. 4. Ноль. 5. Восемь. 6. Четыре. 7. Отрицательное. 8. Степень. 9. Стандартный.

II. Объяснение нового материала.

1. Актуализация знаний.

Выполните устно умножение одночленов.

а) a³ ∙ a⁴; б) a ∙ a²; в) -a ∙ a² ∙ a⁴;

г) a ∙ (-x); д) (-x) ∙ (-y); е) (-x) ∙ ;

ж) (-2a) ∙ a²; з) b² ∙ (-3b³); и) ∙ 6y;

к) (0,2a) ∙ (-5b); л) ∙ (-4ab); м) (-8m³) ∙ (-0,5n).

2. Теперь рассмотрим произведение двух или нескольких одинаковых одночленов, то есть степень одночлена. Например, (5a³b²c)². Так как этот одночлен является произведением чисел 5, a³, b², c, то по свойству возведения в степень произведения имеем:

(5a³b²c)² = 5²(a³)²(b²)²c² = 25a⁶b⁴c².

В результате возведения одночлена в натуральную степень снова получается одночлен.

III. Формирование умений и навыков.

1. № 472.

Решение:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

2. Выполните возведение одночлена в степень.

1) а) (6y)²; б) ; в) (0,1c⁵)⁴;

2) а) (5ax)³; б) (4ac⁴)³; в) (5x⁵y³)³;

3) а) ; б) (-10x²y⁶)³; в) (-a²b³c⁴)⁷;

4) а) -(3a²b)³; б) -(-2ab⁴)³; в) -(-a³b²c)⁴.

Решение:

1) а) ;

б) ;

в) .

2) а) ;

б) ;

в) .

3) а) ;

б) ;

в) .

4) а) ;

б) ;

в) .

При выполнении этих упражнений впоследствии можно не записывать подробно возведение в степень каждого сомножителя. Можно выполнять устно.

Следующие задания направлены на формирование умения раскладывать одночлен на множители либо представлять в виде степени некоторого одночлена.

3. № 475, № 477.

№ 475.

Решение:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

№ 477.

Решение:

а) ;

;

б) ;

.

4. № 479.

Решение:

а) ;

.

б) ;

.

5. Упростите выражение.

1) а) 35a ∙ (2a)²; б) -4x³ ∙ (5x²)³; в) (-4y²)³ ∙ y⁵;

2) а) ; б) .

Решение:

1) а) ;

б) ;

в) .

2) а) ;

б) .

IV. Проверочная работа.

Вариант 1

Выполните действия.

1) ∙ (-24n) ∙ (4mn); 2) ; 3) (0,1a³b³)³.

Вариант 2

Выполните действия.

1) (-18n) ∙ ∙ (-5mn); 2) ; 3) (0,4a³b²)².

V. Итоги урока.

- Дайте определение одночлена.

- В каком случае мы говорим, что одночлен задан в стандартном виде?

- Сформулируйте определение степени одночлена. Приведите пример.

- Каким образом можно умножить одночлен на одночлен? Что получится в результате?

- Как возвести одночлен в степень? На какое правило мы при этом опираемся?

Домашнее задание: № 473; № 474; № 476; № 478; № 480.

Урок 54
Обобщение материала по теме «Умножение
одночленов. Возведение одночленов в степень»

Цели: закрепить навыки действий с одночленами (представление в стандартном виде, умножение одночленов и возведение одночлена в степень, разложение одночлена на множители и представление одночлена в виде степени).

Ход урока

I. Математический диктант.

Вариант 1

1. Запишите выражения: (x + a)(x - a); x⁴y ∙ 3xy; x² + x³ - 1. Подчеркните то, которое является одночленом.

2. Запишите одночлен bc² ∙ (-0,5b²) ∙ (-8c). Перепишите его в стандартном виде и подчеркните коэффициент.

3. Является ли одночленом выражение 17x²y? Если да, то каков его коэффициент и какова его степень?

4. Является ли одночленом выражение -b? Если да, то каков его коэффициент и какова его степень?

5. Возведите в квадрат одночлен -3xy³.

6. Запишите в виде одночлена стандартного вида произведение одночленов 50a²bx и -7acx².

Вариант 2

1. Запишите выражения: 3 + a⁴ + a; (a - b)(a + b); 7x³ ∙ x. Подчеркните то, которое является одночленом.

2. запишите одночлен -2x² ∙ 3x³y. Перепишите его в стандартном виде и подчеркните коэффициент.

3. Является ли одночленом выражение -х? Если да, то каков его коэффициент и какова степень?

4. Является ли одночленом выражение 12ab²? Если да, то каков его коэффициент и какова его степень?

5. Возведите в куб одночлен -2ab².

6. Запишите в виде одночлена стандартного вида произведение одночленов 3b²cd и -2b²yd.

II. Закрепление умений и навыков.

Тренажер по вариантам.

Вариант 1

1. Найдите значение одночлена.

1) 3,5х² для х = 4; 0,2; 0; -1; -10;

2) -4а³ для а = -9; -0,5; 0; 3; 10;

3) 6ху для х = 7 и у = 1,5; x = 1 и у = -1,4;

4) -0,02а²с для а = -5 и с = -8; а = -4 и с = 100;

5) 10abc для а = 1, b = -1 и с = 0,4; а = -2, b = -3 и с = 5.

2. Найдите с помощью калькулятора значение одночлена.

1) 0,4abc для а = 1,2, b = 0,6 и с = 2,3;

2) 1,5х³у для х = 12 и у = 1,6.

3. Найдите:

1) значение с, при котором значение одночлена 0,4с равно 0; 1; -1; 10;

2) какую-нибудь пару значений b и с, при которых значение одночлена 6bc равно 12; -60; 0; 3.

4. Верно ли, что одночлен:

1) 70а² при любом а принимает положительные значения;

2) 0,04с² при любом с принимает неотрицательные значения;

3) -25х² при любом х принимает отрицательные значения;

4) 6у³ при любом у принимает положительные значения?

При утвердительном ответе обоснуйте свое заключение, при отрицательном - приведите опровергающий пример.

5. Представьте в виде одночлена стандартного вида.

1) а) (4ac²)³ ∙ (0,5a³c)²; б) ∙ (-9x⁴)²;

2) а) -(-x²y⁴)⁴ ∙ (6x⁴y)²; б) (-10a³b²)⁵ ∙ (-0,2a²b)⁵.

6. Можно ли представить в виде квадрата одночлена выражение:

1) а) 81x²y⁴; 2) а) -5x³y⁵ ∙ ;

б) -100x⁴y⁸; б) -(-3xy)³ ∙ 27y⁶?

Решение заданий 5,6 из варианта 1

5. 1) а) .

б) ;

2) а) ;

б) (-10a³b²)⁵ ∙ (-0,2a²b)⁵ = (-10a³b²(-0,2)ab²)⁵ = (2a⁴b⁴)⁵ = 32a²⁰b²⁰.

6. 1) а) ;

б) нельзя, так как -100x⁴y⁸ ≤ 0;

2) а) ;

б) - нельзя, так как показатели степени 3 и 9 - нечетные.

Вариант 2

1. Найдите значение одночлена.

1) -1,5а² для а = 2; 0,8; 0; -1; -20;

2) 5у³ для у = -10; -0,4; 0; 2; 8;

3) для а = -2,5 и b = 8; а = 1,75 и b = 1;

4) 0,04ху² для х = 15 и у = -2; х = -8 и у = -10;

5) 0,1хуz для х = -1, у = 1 и z = 20; х = 3, у = -4 и z = -2.

2. Найдите с помощью калькулятора значение одночлена:

1) 1,7хуz х = 2,1, у = 0,8 и z = 5,6;

2) -0,8a²b³ для а = 1,4 и b = 2,5.

3. Найдите:

1) значение а, при котором значение одночлена 0,3а равно 0; 0,6; -0,8; -1;

2) какую-нибудь пару значений а и b, при которых значение одночлена 5ab равно 30; -10; 0; 5.

4. Верно ли, что одночлен:

1) 2а³ при любом а принимает положительные значения;

2) -10х⁶ при любом х принимает отрицательные значения;

3) -0,03у² при любом у принимает неположительные значения;

4) 2,7с² при любом с принимает неотрицательные значения?

При утвердительном ответе обоснуйте свое заключение, при отрицательном приведите опровергающий пример.

5. Представьте в виде одночлена стандартного вида.

1) а) (10a²y)² ∙ (3ay²)³; б) ∙ (4y⁵)²;

2) а) -(3x⁶y²)³ ∙ (-x²y)⁴; б) (-5ab⁶)⁴ ∙ (0,2a⁶b)⁴.

6. Можно ли представить в виде квадрата одночлена выражение:

1) а) 49a⁶b⁴; 2) а) -0,1a⁴b² ∙ (-10a²b⁴);

б) -25x²y⁴; б) -(-2a⁴)³ ∙ 2b⁸?

Решение заданий 5, 6 из варианта 2

5. 1) а) ;

б) ;

2) а) ;

б) (-5ab⁶)⁴ ∙ (0,2a⁶b)⁴ = (-5 ∙ 0,2 ∙ ab⁶a⁶b)⁴ = (-a⁷b⁷)⁴ = a²⁸b²⁸.

6. 1) а) ;

б) нельзя, так как -25x²y⁴ ≤ 0;

2) а) ;

б) -(-2a⁴)³ ∙ 2b⁸ = 8a¹² ∙ 2b⁸ = 16a¹²b⁸ = 4²(a⁶)²(b⁴)² = (4a⁶b⁴)².

III. Итоги урока.

- Дайте определение одночлена.

- Как найти значение одночлена.

- Сформулируйте правило умножения одночленов и правило возведения одночлена в степень.

Домашнее задание:

1. Составьте таблицу значений одночлена:

1) 8х² для значений х из промежутка от -0,5 до 0,5 с шагом, равным 0,1;

2) 0,5х³ для значений х из промежутка от -10 до 10 с шагом, равным 2.

2. Представьте в виде:

1) квадрата одночлена выражение a⁶; 0,16a⁴b¹⁰;

2) куба одночлена выражение 0,008x⁹; -27a³b¹².

3. № 556; № 559.

Урок 55
Функции y = x² и у = х³ и их графики

Цели: изучить функциональные зависимости y = x² и у = х³; формировать умение строить графики данных функций и работать с ними.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Назовите область определения функции.

а) y = 3x; г) y = 2x²; ж) y = ;

б) y = ; д) y = х³; з) y = ;

в) y = -3x² + 11; е) y = ; и) y = (3 - x)(x + 6).

2. Найдите значение функции y = x² - 11, если:

а) х = 3; в) х = ;

б) х = 0; г) х = 0.

II. Объяснение нового материала.

Организуем самостоятельную работу по учебнику в парах.

С помощью учебника (пункт 23, с. 105-108) учащиеся должны ответить на вопросы, описанные в таблице (см. далее), и сравнить две функции: в чем схожи и в чем их отличие.

Для удобства выполнения работы можно заранее заготовить миллиметровую бумагу.

Также следует обсудить такие вопросы, как расположение графика, промежутки знакопостоянства, нули функции.

III. Формирование умений и навыков.

На данном уроке учащиеся строят графики функций и находят значение функции для заданного аргумента и наоборот. Также определяют принадлежность некоторой точки графику.

1. № 484, № 485.

При выполнении этих заданий учащиеся проговаривают пра-вила выполнения действий с графиком.

2. № 487. Решение:

а) А (6; 36) 36 = 6²;

36 = 36 - верно, значит, принадлежит;

б) В (-1,5; 2,25) 2, 25 = (-1,5)²;

2,25 = 2,25 - верно, значит, принадлежит;

в) С (4; -2) -2 = 4²;

-2 = 16 - неверно, значит, не принадлежит;

г) D (1,2; 1,44) 1,44 = (1,2)²;

1,44 = 1,44 - верно, значит, принадлежит.

Ответ: а) да; б) да; в) нет; г) да.

3. № 489.

4. № 490. Решение:

а) А (-0,2; -0,008) -0,008 = (-0,2)³;

-0,008 = -0,008 - верно, значит, принадлежит;

б) B ;

;

- верно, значит, принадлежит;

в) C ;

- неверно, значит, не принадлежит.

Ответ: а) да; б) да; в) нет.

5. № 491.

6. № 492. Решение:

а) Р (а; 64) 64 = а²;

8² = а² - возможно в случае а = 8 или а = -8.

б) Р (а; 64) 64 = а³;

4³ = а³ возможно в случае а = 4.

Ответ: а) 8; -8; б) 4.

При решении этого упражнения учащиеся часто допускают ошибку: если 8² = а², то а = 8, то есть забывают второй случай. Следует обратить внимание, что . Это тождество им уже знакомо.

IV. Итоги урока.

- Сформулируйте свойства функции y = x². Как отражаются эти свойства на графике функции?

- Как называется график функции y = x²?

- Сформулируйте свойства графика функции y = x³. Как отражаются эти свойства на графике функции?

- Как называется график функции y = x³?

Домашнее задание: № 486; № 488; № 562; № 563.

Урок 56
Графическое решение уравнений вида
у = х²и у = х³

Цели: формировать понятие графического решения уравнения как нахождения абсциссы точек пересечения графиков двух функций; формировать умение решать графически уравнения вида у = х² и у = х³.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Заданы функции:

1) у = 2х; 4) у = 3х + 2; 7) у = ;

2) у = х; 5) у = -3х + 2; 8) у = х²;

3) у = -3х; 6) у = -3х - 2; 9) у = х³.

На рисунках а) - и) изображены графики этих функций. Заполните таблицу соответствия:

a) б) в)

г) д) е)

ж) з) и)

2. Как называется функция вида y = kx?

3. Как называется функция вида y = kx + b?

4. Как называется график функции y = x²?

5. Как называется график функции вида y = x³?

II. Актуализация знаний.

Решить уравнение.

а) x² = 16; б) x³ = 8; в) x² = ;

г) x³ = ; д) x² = 0; е) x² = -4.

III. Объяснение нового материала.

Необходимо разъяснить принцип графического решения уравнения.

Рассматриваем примеры 1, 2 со с. 109 учебника. Показываем, что равенство (аналитическое) x² = x + 1 можно понимать как равенство значений двух функций y = x² и y = x + 1. Графически, если графики этих функций пересекаются, то точка пересечения показывает значение х (абсцисса), при котором значения функций (ордината) равны.

Отсюда учащиеся могут сами вывести и сформулировать алгоритм графического решения уравнения:

1-й шаг. Преобразовать уравнение к равенству двух функций известного вида (y = kx; y = kx + b; y = x²; y = x³).

2-й шаг. В одной системе координат построить графики этих функций.

3-й шаг. Определить наличие или отсутствие точки (точек) пересечения.

4-й шаг. Если точки пересечения есть, то найти по графику их абсциссы, которые и будут являться решениями уравнения. Если точек пересечения нет, то, значит, уравнение не имеет решений.

Подчеркиваем учащимся, что решение, полученное графически, может быть как точным, так и приближенным.

Проверить полученное значение можно, подставив в уравнение.

IV. Формирование умений и навыков.

1. № 493 (устно).

2. Решите графически уравнение.

а) x² = 2x; б) x² = x; в) x² = -2x.

3. № 566.

В следующем упражнении от учащихся требуется сначала преобразовать уравнение к «удобному» виду, а затем решить его графически.

4. № 494.

Решение:

б) x² + 2x - 3 = 0;

x² = -2x + 3.

Построим графики функций y = x² и y = -2x + 3.

Ответ: х = -3; х = 1.

5. № 495 (устно).

6. № 496.

V. Итоги урока.

- В каком случае уравнение можно решить графически?

- Назовите алгоритм решения уравнения графическим способом.

- В каком случае уравнение не имеет корней?

- Как можно проверить точность корней уравнения, найденных графическим способом?

Домашнее задание:

1. Решите графически уравнение.

а) х = 3х; б) 2x = x + 2; в) 3x = 3x + 4.

2. Решите графически уравнение.

а) x² = 9; б) x² = ; в) x² = -3; г) x³ = 8.

3. Решите уравнение графически.

а) x² = 6 - x; б) x² + 4x = -3; в) x² - 4x = 0; г) x³ + 2 = 3x.

Урок 57
Обобщающий урок по теме
«Степень с натуральным показателем».
Подготовка к контрольной работе

Цели: обобщить и систематизировать знания по теме «Степень с натуральным показателем»; оценить степень сформированности умений и навыков, провести коррекционную работу.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Представьте в виде степени.

а) c⁷ ∙ c⁴; б) b ∙ b² ∙ b³; в) (-7)³ ∙ (-7)⁸ ∙ (-7)⁹;

г) a¹⁰ : a⁸; д) 2¹⁴ : 2⁹; е) (x⁵)²;

ж) (-a³)³; з) ; и) (a²)⁵ ∙ a⁵.

2. Упростите.

а) (a⁵)² ∙ (a² ∙ a³)²; в) (4xy)²; д) 9⁴ : 3⁷;

б) (y⁴)⁵ : (y⁴)²; г) 20a³ ∙ (5a)²; е) 10¹² : (2⁴ ∙ 5⁴).

3. Выполняя задания, ученик допустил ошибки. Какие свойства, правила не знает ученик?

3⁵ ∙ 3⁸ = 3⁴⁰; 8¹ = 1; 2⁴ + 2² = 2⁶;

(2a)⁵ = 2a⁵; (x²)³ = x⁸.

4. Представьте в виде степени.

(-3)⁸ ∙ (-3)⁴; (0,1)²⁰ : (0,1)⁶; (xⁿ)².

5. Найдите значение выражения.

(10¹⁴ ∙ 10⁷) : 10¹⁹; 5³ ∙ 2³.

6. Представьте произведение в виде степени.

x⁵y⁵; 36a²b²; a³b³c³.

II. Теоретический опрос.

1) Сформулируйте определение степени с натуральным показателем.

2) Каким числом является:

а) степень положительного числа;

б) степень отрицательного числа с четным показателем;

в) степень отрицательного числа с нечетным показателем?

3) Сформулируйте правило умножения степеней с одинаковыми показателями.

4) Сформулируйте правило деления степеней с одинаковыми показателями.

5) Дайте определение степени числа с нулевым показателем.

6) Сформулируйте правило возведения степени в степень.

7) Сформулируйте правило возведения в степень произведения.

III. Математический диктант.

Вариант 1

1. Упростите.

а) x² ∙ x⁸ : x; б) a¹⁰ : a⁶ ∙ a⁴.

2. Найдите значение выражения.

9⁴ : 3⁷.

3. Представьте в виде квадрата одночлена.

0,25х⁴; 49т²п⁶.

4. Выполните умножение.

x²y³ ∙ 16yx.

5. Вычислите.

(5¹⁶ · 3¹⁶) : 15¹⁵.

Вариант 2

1. Упростите.

а) b³ ∙ b⁷ : b; б) y¹² : y⁵ ∙ y².

2. Найдите значение выражения.

4⁴ : 2⁶.

3. Представьте в виде квадрата одночлена.

0,36у⁶; 100с²а⁶.

4. Выполните умножение.

a³b⁴ ∙ 12ab².

5. Вычислите.

(3¹⁰ · 7¹⁰) : 21⁹.

IV. Работа по карточкам.

Карточка № 1

1. Вычислите.

(49⁴ · 7⁵) : 7¹².

2. Упростите выражения.

а) ; б) a^{m + 1} · a · a^{3 - m}.

Карточка № 2

1. Вычислите.

(5⁶ · 125) : 25⁴.

2. Упростите выражения.

а) ; б) x²ⁿ : (x^{n - 1})².

V. Итоги урока.

Домашнее задание: 1. Повторить п. 18-23.

2. Ответьте на вопросы теста:

1) Выполните умножение: 0,5х²у · (-ху) =

а) -0,5х³у²; б) 0,5у²х³; в) -0,5х²у³.

2) Упростите: -0,4x⁴y³ · 2,5x²y⁷ =

а) x⁸y⁶; б) -10x⁶y⁷; в) -x⁶y⁷.

3) Преобразуйте выражение в одночлен стандартного вида:

20а³ · (-5а)² =

а) 100а⁵; б) -500а⁶; в) 500а⁵.

4) Вычислите: (2⁵ · (2³)⁴) : 2¹³ =

а) 2³; б) 16; в) 32.

Урок 58
Контрольная работа № 4

Вариант 1

1. Найдите значение выражения 1 - 5х² при х = -4.

2. Выполните действия.

а) y⁷ ∙ y¹²; б) y²⁰ : y⁵; в) (y²)⁸; г) (2y)⁴.

3. Упростите выражение.

а) -2ab³ ∙ 3a² ∙ b⁴; б) (-2a⁵b²)³.

4. Постройте график функции y = x². С помощью графика определите значение у при х = 1,5; х = -1,5.

5. Вычислите: .

6. Упростите выражение.

а) ; б) x^{n - 2} ∙ x^{3 - n} ∙ x.

Вариант 2

1. Найдите значение выражения -9р³ при p = .

2. Выполните действия.

а) c³ ∙ c²²; б) c¹⁸ : c⁶; в) (c⁴)⁶; г) (3c)⁵.

3. Упростите выражение.

а) -4x⁵y² ∙ 3xy⁴; б) (3x²y³)².

4. Постройте график функции y = x². С помощью графика определите, при каких значения х значение у равно 4.

5. Вычислите: .

6. Упростите выражение.

а) ; б) (a^{n + 1})² : a²ⁿ.

Вариант 3

1. Найдите значение выражения -3х² + 7 при х = -5.

2. Выполните действия.

а) a⁸ ∙ a¹⁶; б) a¹⁶ : a⁴; в) (a³)⁵; г) (2a)³.

3. Упростите выражение.

а) 3a²b ∙ (-2a³b⁴); б) (-3a³b²)³.

4. Постройте график функции y = x². С помощью графика определите значение у при х = 2,5; х = -2,5.

5. Вычислите: .

6. Упростите выражение.

а) ; б) a^{m + 1} ∙ a ∙ a^{3 - m}.

Вариант 4

1. Найдите значение выражения -12с³ при c = .

2. Выполните действия.

а) x⁷ ∙ x¹²; б) x¹² : x³; в) (x⁶)³; г) (3x)⁴.

3. Упростите выражение.

а) 5x⁴y ∙ (-3x²y³); б) (-2xy⁴)⁴.

4. Постройте график функции y = x². С помощью графика функции определите, при каких значения х значение у равно 9.

5. Вычислите: .

6. Упростите выражение.

а) ; б) x²ⁿ : (x^{n - 1})².

Рекомендации по оцениванию.

Задания 1-4 обязательного уровня. Их необходимо решить для получения отметки «3». Для получения отметки «5» необходимо решить все 6 заданий.

В более слабом классе необходимо решить любые три задания для получения отметки «3» и любые пять для получения отметки «5».

Решение заданий контрольной работы

Вариант 1

1. Если х = -4, то 1 - 5х² = 1 - 5 · (-4)² = 1 - 5 · 16 = 1 - 80 = -79.

Ответ: -79.

2. а) y⁷ ∙ y¹² = y^{7 + 12} = y¹⁹; б) y²⁰ : y⁵ = y^{20 - 5} = y¹⁵;

в) (y²)⁸ = y^{2 ∙ 8} = y¹⁶; г) (2y)⁴ = 2⁴y⁴ = 16y⁴.

Ответ: а) у¹⁹; б) у¹⁵; в) у¹⁶; г) 16у⁴.

3. а) -2ab³ ∙ 3a² ∙ b⁴ = (-2 ∙ 3)(aa²)(b³b⁴) = -6a³b⁷;

б) (-2a⁵b²)³ = (-2)³(a⁵)³(b²)³ = -8a¹⁵b⁶.

Ответ: а) -6a³b⁷; б) -8a¹⁵b⁶.

4.

Ответ: 2,25; 2,25.

5. = 5² = 25.

Ответ: 25.

6. а)

;

б) x^{n - 2} ∙ x^{3 - n} ∙ x = x^{n - 2 + (3 - n) + 1} = x^{n - 2 + 3 - n + 1} = x².

Ответ: а) 13,5x⁶y²⁰; б) х².

Вариант 2

1. Если p = , то .

Ответ: .

2. а) c³ ∙ c²² = c^{3 + 22} = c²⁵; в) (c⁴)⁶ = c^{4 ∙ 6} = c²⁴;

б) c¹⁸ : c⁶ = c^{18 - 6} = c¹²; г) (3c)⁵ = 3⁵c⁵ = 243c⁵.

Ответ: а) с²⁵; б) с¹²; в) с²⁴; г) 243с⁵.

3. а) ;

б) .

Ответ: а) -12x⁶y⁶; б) 9x⁴y⁶.

4.

Ответ: -2; 2.

5. = 3.

Ответ: 3.

6. а)

;

б) .

Ответ: а) ; б) а².

Вариант 3

1. Если х = -5, то -3х² + 7 = -3 · (-5)^{2 + 7} = -3 · 25 + 7 = -75 + 7 = -68.

Ответ: -68.

2. а) a⁸ ∙ a¹⁶ = a^{8 + 16} = a²⁴; б) a¹⁶ : a⁴ = a^{16 - 4} = a¹²;

в) (a³)⁵ = a^{3 ∙ 5} = a¹⁵; г) (2a)³ = 2³a³ = 8a³.

Ответ: а) а²⁴; б) а¹²; в) а¹⁵; г) 8а³.

3. а) ;

б) .

Ответ: а) -6a⁵b⁵; б) -27a⁹b⁶.

4.

Ответ: 6,25; 6,25.

5. = 7.

Ответ: 7.

6. а)

;

б) a^{m + 1} ∙ a ∙ a^{3 - m} = a^{m + 1 + 1 + 3 - m} = a⁵ .

Ответ: а) -7,2a²³b⁸; б) а⁵.

Вариант 4

1. Если c = , то = 1,5.

Ответ: 1,5.

2. а) x⁷ ∙ x¹² = x^{7 + 12} = x¹⁹; б) x¹² : x³ = x^{12 - 3} = x⁹;

в) (x⁶)³ = x^{6 ∙ 3} = x¹⁸; г) (3x)⁴ = 3⁴x⁴ = 81x⁴.

Ответ: а) х¹⁹; б) х⁹; в) х¹⁸; г) 81х⁴.

3. а) ;

б) .

Ответ: а) -15x⁶y⁴; б) 16x⁴y¹⁶.

4.

Ответ: -3; 3.

5. = 5.

Ответ: 5.

6. а)

;

б) x²ⁿ : (x^{n - 1})² = x²ⁿ : x^{2 (n - 1)} = x²ⁿ : x^{2n - 2} = x^{2n - (2n - 2)} = x^{2n - 2n + 2} = x².

Ответ: а) 125a²⁰b⁹; б) х².

Урок 59
Анализ результатов контрольной работы

Цели: проанализировать результаты контрольной работы, выявить типичные ошибки, допущенные учащимися; провести коррекционную работу.

Ход урока

I. Анализ результатов контрольной работы.

II. Работа над ошибками.

Учащиеся в тетрадях выполняют работу над ошибками. Примеры, вызвавшие наибольшие затруднения, выносятся на доску.

III. Решение заданий повышенной трудности.

Учащиеся, получившие отметки «5» и «4», могут приступить к выполнению дополнительных заданий и заданий повышенной трудности.

1. № 549*, 550*, 551*, 552*.

2. № 560, 561, 564*, 565*, 566.

IV. Итоги урока.

- Какие типичные ошибки допущены во время выполнения контрольной работы?

- Какие основные понятия и правила необходимо знать для выполнения контрольной работы?

Домашнее задание: закончить решение упражнений из 4-го блока.

Урок 60
О простых и составных числах

Цели: рассмотреть разложение любого числа на простые множители для нахождения НОД и НОК двух и более чисел; научиться представлять любое число в виде произведения степеней простых чисел.

Ход урока

I. Актуализация знаний.

1. Выберите из чисел простые. Объясните свой выбор.

а) 11; б) ; в) 1; г) 27;

д) 3; е) 29; ж) ; з) 0;

и) ; к) 37; л) 43; м) 121.

2. Найдите НОД (наибольший общий делитель) чисел.

а) 11 и 121; б) 8 и 20; в) 37 и 45; г) 35 и 65.

3. Найдите НОК (наименьшее общее кратное) чисел.

а) 15 и 45; б) 17 и 21; в) 1 и 20; г) 60 и 90.

II. Изучение нового материала.

1. Напоминаем определения простого и составного числа. Рассматриваем возможное доказательство утверждения, что простых чисел - бесконечное множество.

2. Рассматриваем разложение любого составного числа на простые множители. Удобен способ разложения «в столбик». Берем простые делители не наугад, а начиная с самого маленького - 2, затем, если необходимо, - 3, 5, 7, 11 и т. д.

Например:

Запишем числа в виде произведения:

360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2³ · 3² · 5;

504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 = 2³ · 3² · 7.

3. Формулируем правила.

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) двух чисел, надо:

1) разложить каждое число на простые множители;

2) записать числа в виде произведения степеней простых чисел;

3) взять каждый из множителей в степени с наименьшим показателем, с каким он входит в эти числа.

Пример со с. 112-113 учебника.

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел, поступают аналогично, но берут степени с наибольшим показателем.

III. Закрепление изученного материала.

№ 500.

Решение:

а² + а должно быть кратно 17.

При а = 16: а² + а = 16² + 16 = 16 (16 + 1) = 16 · 17, значит, делится
на 17.

Ответ: а = 16.

№ 502*.

Решение:

10х + у - двузначное число, где х и у - числа 1, 2, 3,… , 9.

Если х = 7 (наибольшее простое из перечня), то удобно взять у = 7: 10 · 7 + 7 = 7 (10 + 1) = 7 · 11 - произведение двух простых чисел. Значит, это число 77.

Ответ: 77.

№ 506*.

Решение:

а = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 = 1 · 2 · 3 · 2 · 2 · 5 · 2 · 3 · 7 ×
× 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 2 · 5 = 2⁸ · 3⁴ · 5² · 7.

Ответ: а = 2⁸ · 3⁴ · 5² · 7.

№ 507.

Решение:

НОД (765; 315) = 3² · 5 = 45.

НОД (792; 1936) = 2³ · 11 = 88.

Ответ: а) 45; б) 88.

№ 508.

Решение:

НОК (294; 756) = 2² · 3³ · 7² = 4 · 27 · 49 = 5292;

НОК (693; 1617) = 3² · 7² · 11 = 4851.

Ответ: а) 5292; б) 4851.

№ 510*.

Решение:

НОК (15; а) = 90.

Очевидно, что в разложение искомого числа на простые множители должны входить двойка, две тройки и не более одной пятерки, значит, это число либо 2 · 3² = 18, либо 2 · 3² · 5 = 90.

Ответ: 18 или 90.

IV. Итоги урока.