Дополнительный материал при изучении теоремы Пифагора на элективном курсе

Дополнительный материал при изучении теоремы Пифагора

на элективном курсе

Началом жизни теоремы Пифагора можно считать время древнего Китая. В книге Чу-пая, посвященной математике говорилось о треугольнике со сторонами 3, 4, и 5: «Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4». В этой же книге был предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считал, что равенство 3²+4²=5² уже было известно египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора гарпедонапты, или «натягиватели веревок», строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммурапи, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками. Голландский математик Ван-дер-Вадин высказал свое мнение о том, что «…Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку...»

Геометрия у индусов, как и у египтян и вавилонян, была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 18 века до н. э.

Формулировки теоремы

Вот несколько различных формулировок теоремы Пифагора:

1. Евклид: «В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол» (в переводе с греческого);

2. Аннаирици: «Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол» (латинский перевод арабского текста);

3. Geometria Culmonensis (около 1400 г.) «Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу»;

4. Ф.И. Петрушевский: «В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол» (первый русский перевод «Начала» Евклида).

В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако, одни полагают, что Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих «Начал». С другой стороны, Прокол утверждает, что доказательство в «Началах» принадлежит самому Евклиду. Но история математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Поэтому вопрос остается открытым, но это уже не важно. Главное, что великая и могучая теорема Пифагора (пусть даже и не им открытая) дало мощный толчок в нашем развитии.

Простейшее доказательство

Доказательство теоремы получается в случае равнобедренного прямоугольного треугольника. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику (Рисунок 1) равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы.

Например, для треугольника ABC: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по два.

Теорема доказана.

Доказательство методом разложения

Существует целый ряд доказательств теоремы Пифагора, в которых квадраты, построенные на катетах и на гипотенузе, разрезаются так, что каждой части квадрата, построенного на гипотенузе, соответствует часть одного из квадратов, построенных на катетах. Во всех этих случаях для понимания доказательства достаточно одного взгляда на чертеж. Вот некоторые из них:

1. Доказательство Эпштейна: здесь в качестве составных частей разложения фигурируют треугольники. Чтобы разобраться в чертеже, достаточно подметить, что прямая CD проведена перпендикулярно прямой EF. (Рисунок 2);
   
   

2. Доказательство Нильсена: на этом чертеже (Рисунок 3) вспомогательные линии изменены по предложению Нильсена;

3. Доказательство Бехтера: на следующем чертеже (Рисунок 4) дано весьма наглядное разложение Бетхера;

1. Доказательство Перигаля: в учебниках часто встречается разложение, указанное на рисунке (так называемое «колесо с лопастями»). Через центр O квадрата, построенного на большем катете, проводим прямые, параллельную и перпендикулярную гипотенузе. Соответствие частей фигуры хорошо видно из чертежа (Рисунок 5);

2. Доказательство Гутхейля: изображенное на следующем рисунке разложение принадлежит Гутхейлю; для него характерно наглядное расположение отдельных частей, что позволяет сразу увидеть, какие упрощения повлечет за собой случай равнобедренного прямоугольного треугольника (Рисунок 6);

2. Доказательство 9 века нашей эры: на чертеже квадраты, построенные на катетах, размещены ступенями один рядом с другим. Эту фигуру, которая встречается в доказательствах, датируемых не позднее, чем 9 столетием нашей эры, индусы называли «стулом невесты» (Рисунок 7). Способ построения квадрата со стороной, равной гипотенузе, ясен из чертежа.

Общая часть двух квадратов, построенных на катетах, и квадрата, построенного на гипотенузе, - неправильный заштрихованный пятиугольник 5. Присоединив к нему треугольники 1 и 2, получим оба квадрата, построенные на катетах; если же заменить треугольники 1 и 2 равными им треугольниками 3 и 4, то получим квадрат, построенный на гипотенузе.

Доказательство методом дополнения

1. Доказательство методом вычитания:

На чертеже к обычной пифагоровой фигуре приставлены сверху и снизу треугольники 2 и 3, равные исходному треугольнику 1 (Рисунок 8).

Прямая DG обязательно пройдет через C. Заметим теперь (далее мы это докажем), что шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики. Если мы от первого из них отнимем треугольники 1 и 2, то останутся квадраты, построенные на катетах, а если от второго шестиугольника отнимем равные треугольники 1 и 3, то останется квадрат, построенный на гипотенузе. Отсюда вытекает, что квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах. Остается доказать, что наши шестиугольники равновелики. Заметим, что прямая DG делит верхний шестиугольник на равновеликие части; то же можно сказать о прямой CK в нижнем шестиугольнике. Повернем четырехугольник DABG, составляющий половину шестиугольника DABGFE, вокруг точки А по часовой стрелке на угол 90; тогда он совпадет с четырехугольником CAJK, составляющим половину шестиугольника CAJKHB. Поэтому шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики;

2. Доказательство методом вычитания (второе):

Знакомый нам чертеж теоремы Пифагора заключим в прямоугольную рамку, направления сторон которой совпадают с направлениями катетов треугольника (Рисунок 9). Продолжим некоторые из отрезков фигуры так, как указано на рисунке, при этом прямоугольник распадается на несколько треугольников, прямоугольников и квадратов. Выбросим из прямоугольника сначала несколько частей так, чтобы остался лишь квадрат, построенный на гипотенузе: треугольники 1, 2, 3, 4 прямоугольник 5, прямоугольник 6 и квадрат 8, прямоугольник 7 и квадрат 9. Затем выбросим из прямоугольника части так, чтобы остались только квадраты, построенные на катетах

прямоугольники 6 и 7, прямоугольник 5, прямоугольник 1 (заштрихован), прямоугольник 2 (заштрихован). Теперь покажем, что отнятые части равновелики. Это легко видеть в силу расположения фигур. Из рисунка ясно, что: прямоугольник 5 равновелик самому себе; четыре треугольника 1,2,3,4 равновелики двум прямоугольникам 6 и 7; прямоугольник 6 и квадрат 8, взятые вместе, равновелики прямоугольнику 1 (заштрихован); прямоугольник 7 вместе с квадратом 9 равновелики прямоугольнику 2 (заштрихован).

Геометрические методы доказательства

1. Доказательство Евклида: на гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник ICEL - квадрату АСКС. Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе (Рисунок 10).

В самом деле, треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними: (FB=AB, BC=BD, FBC=ABD).

Но , так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично ((BF - общее основание, АВ - общая высота). Отсюда, учитывая, что , имеем .

Аналогично, используя равенство треугольников ВСК и АСЕ, доказывается, что .

Итак, .

2. Упрощенное доказательство Евклида.

Пусть квадрат, построенный на одном из катетов (на рисунке это квадрат, построенный на большем катете), расположен с той же стороны катета, что и сам треугольник (Рисунок 11).

Тогда продолжение противоположной катету стороны этого квадрата проходит через вершину квадрата, построенного на гипотенузе. Доказательство в этом случае оказывается совсем простым, т. к. здесь достаточно сравнить площади интересующих нас фигур с площадью одного треугольника (он заштрихован) - площадь этого треугольника равна половине площади квадрата и одновременно половине площади прямоугольника.

3. Доказательство Хоукинсa.

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял положение A'CB' (Рисунок 12).

Продолжим гипотенузу A'В' за точку A' до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В'D будет высотой треугольника В'АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A'АВ'В. Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA' и СВВ'. Получаем , , .

Треугольники A'В'А и A'В'В имеют общее основание A'В'=c и высоты DA и DB, поэтому: .

Сравнивая два полученных выражения для площади, получим: a²+b²=c².

4. Доказательство Вальдхейма: чтобы доказать теорему достаточно только выразить площадь трапеции двумя путями (Рисунок 13).

, .

Приравнивая правые части, получим: a²+b²=c².

5. Доказательство, основанное на теории подобия.

В прямоугольном треугольнике АВС проведем из вершины прямого угла высоту CD. Тогда треугольник разобьется на два треугольника, также являющихся прямоугольными (Рисунок 14). Полученные треугольники будут подобны друг другу и исходному треугольнику.

Это легко доказать, пользуясь первым признаком подобия (по двум углам). В самом деле, сразу видно что, кроме прямого угла, треугольники АВС и ACD имеют общий угол a, треугольники CBD и АВС - общий угол b. То, что малые треугольники также подобны друг другу, следует из того, что каждый из них подобен большому треугольнику.

6. Доказательство индийского математика Басхары.

Метод Басхары (Рисунок 15) заключается в следующем: выражаем площадь квадрата, построенного на гипотенузе, как сумму площадей треугольников () и площадь квадрата . То есть получаем:

7. Векторное доказательство.

Пусть АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С, построенный на векторах (Рисунок 16). Тогда справедливо векторное равенство: .

Тогда . Возведем обе части в квадрат, получим:

.Так как a перпендикулярна b, то . Откуда и получаем c²=a²+b².

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

Данный факт даже нашёл отражение в художественной литературе: в повести «Приключения Электроника» Евгения Велтистова главный герой на школьном уроке математики приводит у доски 25 различных доказательств теоремы Пифагора, повергнув в изумление учителя и всех одноклассников.

Мы рассмотрели всего лишь 16 различных доказательств данной теоремы.