Урок геометрии Теорема Пифагора

Открытый урок

по геометрии

в 8 классе

Тема: «Теорема Пифагора

и ее применение».

Учитель математики

Белова Наталья Викторовна

МБОУ СОШ № 5 города Кузнецка

План урока

№

Структура урока

Время

1.

Подготовительный этап.

Мотивационно-ориентировочная часть.

4

2.

Изучение нового материала.

а) Объяснение нового материала

б) Первичное закрепление. (задача на доске)

5 + 4

3.

Закрепление (работа в группах)

5

4.

Закрепление (самостоятельная работа)

4

5.

Работа на единую цель (математическое лото)

4

6.

Подведение итогов

4

Тема урока: «Теорема Пифагора и ее применение».

Тип урока: урок-открытие

Цель: создать условия для усвоения обучающимися теоремы Пифагора

Задачи:

Образовательная:

- исследовать закономерности между сторонами прямоугольного треугольника;

- изучить теорему Пифагора;

- формировать умения применять теорему Пифагора при решении задач;

Развивающая: способствовать развитию способности к сопоставлению, наблюдательности, внимания; развитие способности к аналитико-синтетическому мышлению, расширение кругозора;

Воспитательная: формирование потребности в знаниях, интереса к математике.

Предметные результаты:

Знать: формулировку теорему Пифагора;

Уметь: доказывать теорему Пифагора и применять её при решении задач

Межпредметные результаты:

- сформировать навыки использования ИКТ для организации учебной деятельности;

- представление исторических сведений по данной теме.

Эпиграф урока

«…Геометрия владеет двумя сокровищами -

теоремой Пифагора и золотым сечением…»

Иоганн Кеплер

Оборудование:

-- Компьютер

-- Большой прямоугольный треугольник и три квадрата

-- Прямоугольный треугольник и три квадрата у каждого ученика на парте

-- Ножницы

-- Карточки для работы в группах

-- Математическое лото

-- Таблица квадратов натуральных чисел

-- Портрет Пифагора

-- Чертежные инструмент

ХОД УРОКА

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1.Мотивационно-ориентировочная часть.

Здравствуйте, дети! Сегодня я предлагаю вам отправится в Х- педицию. Дети, сейчас вы выступите в качестве исследователей.

Прежде, чем познакомиться с новой темой, выполним некоторые задания.

1.Найдите пропущенное число: (рис.1)

5 5 11 11 12 12

25 121 ?

Какая здесь закономерность?

2. Назовите два следующих числа

36.49,64,81,100, 121, …

3. Назовите фигуры, которые вы видите на экране (рис.2)

-- Какие бывают треугольники?

--Какой треугольник называется прямоугольным?

-- 144

-- Произведение двух одинаковых чисел

- 144, 169.

Каждое число - это произведение двух одинаковых чисел

-- Треугольники

-

-- Остроугольные,прямоугольные, тупоугольные.

-- Прямоугольным называется треугольник у которого один из углов прямой (равен 90º).

- А какая фигура называется квадратом?

- Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

- Как мы находим его площадь.

- Площадь квадрата равна квадрату стороны.

- Назовите элементы прямоугольного треугольника?

- Ребята,мы продолжаем нашу экспедицию и для путешествия нам нужен корабль

«Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого тороса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50 м для крепления мачты?».

Для решения этой проблемы мы организуем практическую работу исследовательского характера

- Стороны, прилежащие к прямому углу - катеты, а третья сторона - гипотенуза.

Анализируя математическую модель этой практической задачи, учащиеся формирую проблему - нужно найти гипотенузу прямоугольного треугольника по двум известным катетам.

/на боковой доске даны изображения треугольников с указанными длинами сторон/

- Обратите внимание на левую доску. Что нам дано?

-- На боковой доске даны изображения прямоугольных треугольников с указанными длинами сторон.

- Давайте на основе данных рисунков заполним соответствующую таблицу. В этой таблице нам надо записать квадраты длин катетов и гипотенузы для каждого из данных треугольников. 3 треугольника, соответственно 3 строки таблицы и заполним.

Дети выходят к доске и заполняют таблицу

№

a ²

b ²

c ²

1.

64

225

289

2.

144

25

169

3.

16

9

25

- Итак, Определите, как связаны катеты и гипотенуза в каждом из треугольников (Как связаны квадраты катетов с квадратом гипотенузы).

- Квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

2. Изучение нового материала

- Совершенно верно. Такая связь действительно существует. Есть соответствующая теорема. И сегодня на уроке мы найдем и изучим эту связь. Тема нашего урока - «Теорема Пифагора».Теорема эта отражает связь между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике.

На доске появляется тема урока.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

- На экране компьютера портрет Пифагора и формулировка теоремы.

Один ученик читает вслух, другие про себя. Далее ученик повторяет, не глядя на экран.

.

- Правильно. Отметьте у себя в тетрадях тему нашего занятия. И сейчас мы докажем эту теорему. Записываем после формулировки теоремы - дано.

/правая боковая сторона доски с треугольником/

Дано:АВС-прямоугольный

тр-к ; ВС= a , АС= b и АВ=с,

------------------------------------

доказать: с ² = a ² + b ²

- Нам дан прямоугольный треугольник АВС, ВС= a , АС= b и АВ=с, как показано на доске. Зарисуйте его себе в тетрадях.

Теперь запишем, что нам надо доказать.

с ² = a ² + b ²

/У. под диктовку ХХХ на доске, а дети в тетрадях записывают то, что надо доказать/

- Итак, записываем:

Доказательство: (рис.3)

Построим на катете прямоугольного треугольника (длиной 4 квадрата) квадрат со стороной, равной этому катету, на втором катете (длиной три квадрата) построим квадрат со стороной, равной этому катету, и, аналогично, на гипотенузе построим квадрат со стороной, равной гипотенузе.

с²

а²

в²

Чему равна площадь квадрата со стороной а?

Чему равна площадь квадрата со стороной в?

Чему равна площадь квадрата со стороной с?

У вас у каждого на парте лежат треугольник и квадраты. Достали ножницы из чехлов…

Теперь положите квадрат с площадью а² на квадрат с площадью с² . Разрежьте квадрат с площадью в² на девять равных квадратиков и заполните ими свободное пространство на квадрате с² . Мы наглядно показали , что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

-Что и требовалось доказать

Соблюдение техники безопасности - ножницы в чехлы.

S₁ = а²

S₂ = в²

S₃ = с²

S₃ = S₁ + S₂

с ² = a ² + b ²

Учитель: Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с

именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах

она встречается за 1200 лет до Пифагора. По-видимому, он первым нашёл её

доказательство. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия

Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам - даже сто

быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и религиозных воз-

зрениях Пифагора. В литературных источниках можно прочитать, что он «за-

прещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные

имеют душу, как и мы». В связи с этим более правдоподобной можно считать

следующую запись: «… когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике

гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанно-

го из пшеничного теста».

Физкультминутка

попробуем принять царственную позу: спина прямая, мышцы головы без напряжения, выражение лица очень значительное: ведь мы занимаемся геометрией!

Смотрите, а вот и «Пифагоровы штаны во все стороны равны»

и «Пифагорова невеста»

(рис. 5).

3.Закрепление нового материала.

( на экране задача и рисунок к ней на доске) (рис.6)

У египтян была известна задача о лотосе. "На глубине 12 футов растет лотос с 13-футовым стеблем. Определите, на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну».

З а м е ч а н и е. Из курса алгебры известно, что уравнение АВ² = 25 имеет два корня: АВ = ±5, АВ = - 5 не удовлетворяет условию задачи, так как длина стороны треугольника всегда положительна. Значит АВ = 5. Давайте договоримся, что в дальнейшем, при решении уравнений в подобных задачах, будем ограничиваться только положительными корнями и каждый раз не будем пояснять . почему отрицательные корни отбрасываются.

3. Работа в группах

--- Трем группам из четырех человек даются карточки в виде прямоугольных треугольников с заданиями и табло с ответами.

--- Каждый ученик решает свою задачу и ставит свой треугольник на свое место. В результате в группах получаются - карта Древней Греции, карта Древнего Египта и карта древней Италии. Капитаны выходят к доске со своими картами.

Задачи для

групповой работы

Дано: АВСД -ромб;

АС=24 см;

ВД=10 см,

--------------------------

Найти СД

С

Дано: АВСД -прямоугольник;

ВС = 6 см;

АС=10 см,

---------------------

Найти АВ.

А

Д

Дано: АВС -равнобедренный тр-к;

АВ=ВС=5 см;

ВД - высота,

ВД=4 см.

----------------------

Найти АС.

В

А

С

Дано: АВС - прямоугольный тр-к;

АВ=12 см;

АС=9 см,

-----------------------

Найти ВС

На экране компьютера появляется карта Древнего мира. (рис.7). Если соединить города, где жил Пифагор отрезками, то получиться прямоугольный треугольник.

Учитель: О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г. до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским.

Ещё в детстве он проявлял незаурядные способности, и когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове. Пифагор перебрался в город Милеет и стал учеником Фалеса, которому в то время шёл восьмой десяток. Мудрый учёный посоветовал юноше отправиться в Египет, где сам, когда-то изучал науки. Перед Пифагором открылась неизвестная страна. Его поразило то, что в родной Греции боги были в образе людей, а египетские боги - в образе полулюдей - полуживотных. Знания были сосредоточены в храмах, доступ в которые был ограничен. Пифагору потребовались годы, чтобы глубоко изучить египетскую культуру прежде, чем, ему было разрешено познакомиться с многовековыми достижениями египетской науки. Когда Пифагор постиг науку египетских жрецов, то засобирался домой, чтобы там создать свою школу. Жрецы, не желавшие распространения своих знаний за пределы храмов, не хотели его отпускать. С большим трудом ему удалось преодолеть эту преграду. Однако по дороге домой, Пифагор попал в плен и оказался в Вавилоне. Вавилоняне ценили умных людей, поэтому он нашёл своё место среди вавилонских мудрецов. Пифагор прожил в Вавилоне около десяти лет и в сорокалетнем возрасте поселился в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Кротоне. Там Пифагор организовал тайный союз молодёжи из представителей аристократии. В этот союз принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Пифагорейцы, как их позднее стали называть, занимались математикой, философией, естественными науками. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось учителю. Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии, в том числе:1) теорема о сумме внутренних углов треугольника;

2) построение правильных многоугольников и деление плоскости на некоторые из них;

3) геометрические способы решения квадратных уравнений;

4) деление чисел на чётные и нечётные, простые и составные; введение фигурных, совершенных и дружественных чисел;

5) доказательство того, что 2 не является рациональным числом;

6) создание математической теории музыки и учения об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и многое другое. Известно также, что кроме духовного и нравственного развития учеников Пифагора заботило их физическое развитие. Он не только сам участвовал в Олимпийских играх и два раза побеждал в кулачных боях, но и воспитал плеяду великих олимпийцев. Около сорока лет учёный посвятил созданной им школе и, по одной из версий, в возрасте восьмидесяти лет Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания. После его смерти ученики окружили имя своего учителя множеством легенд.

А теперь закрыли глаза, если вы мысленно проведете отрезки от тех мест, где родился и жил Пифагор, то получим тот самый прямоугольный треугольник, над которым мы с вами сегодня и работаем. (рис. 8) Откройте глаза. Мы с вами совершили еще одно открытие и продвинулись дальше в нашей исследовательской деятельности.

3. Самостоятельная работа

А теперь, дети, каждый из вас попробует совершить открытие самостоятельно.

6

16

17

20

24

5

г

о

т

и

к

а

На экране появляются задачи на теорему Пифагора. (рис. 9) Решая задачу, дети вписывают букву в таблицу против получившегося ответа. Дети получают слово «готика»

У

В зданиях готического стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны

ширине окна (b) для наружных дуг

половине ширины, (b/2) для внутренних дуг

Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг.

Т. к. она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. А тогда становится ясным и положение ее центра.

В рассмотренном примере радиусы находились без всяких затруднений. В других аналогичных примерах могут потребоватися вычисления; покажем, как применяется в таких задачах теорема Пифагора.

читель: Перед вами задачи на теорему Пифагора. Правильно решив их, вы получите названия стиля в архитектуре, где применяется теорема Пифагора

Показать Собор Парижской богоматери (рис. 10)

Учитель: Готика - это такой художественный стиль, получивший распространение в Европе в XII - XVI вв. В готике отражаются все изменения в структуре средневекового общества, уже начавшего переход к Возрождению. Наиболее ярко готика проявилась в архитектуре. Яркий образец готической архитектуры - известный Собор Парижской Богоматери (Notre Dame de Paris). Здесь и особая каркасная система со стрельчатыми арками, и высота, и витражи, и стремящиеся вверх башни, и стрельчатые окна. Общая черта готики - отражение новых духовных устремлений человека.

Дети решают задачи на теорему Пифагора

И получают слово «Готика»

Учитель. Судя по результатам вашей работы, вам понравилось ощущать себя исследователями. Теперь вы представляете, как труден путь к познанию. Возможно, мы прошли его так же, как это сделал Пифагор в 586 году до нашей эры. Он много работал, переделывал, перерешивал, потому что не идею проверял, а может быть жизнь свою со всех сторон.

Музыкальный фон.

6 век до нашей эры. На берегу острова Самос сидел неподвижный старик. Волны прибоя все набегали и набегали на берег, напоминая ему о днях прожитой жизни.

- Не зря ли я жил?

• Нет, не зря... (вторили ему волны)

-Ты вооружил человечество первой теоремой, связывающей длины сторон треугольника.Ты создал свою, неповторимую теорию чисел.

- Но люди жестоки. Они никогда не понимали меня. И я вместе со своими учениками вынужден был работать тайно, тайно от всего мира поклоняться божественному числу тетраксис.

- Да, я знаю, они не могут мне простить, что вместо Бога, я выбрал служение числу. Но ведь оно объясняет всё, всё в этом мире, даже чувства людей.

Справедливость - это число 4, так как оно является первым произведением двух равных множителей; число 5 олицетворяет любовь, как сумма чётного и нечётного чисел (женского и мужского начала). Всё подвластно божественному числу, даже музыка. И её можно рассчитать в числах, как гамму до-мажор.

ре

ми

фа

соль

ля

си

1

9/8

81/64

4/3

3/2

27/16

243/128

- Разве я не прав?

Но волны промолчали, откатились с берега и растворились в бескрайнем море.

- Что есть мир? - спросил Пифагор и вскинул руку... Мир есть число.

Замерло время, но не умерла память. Прошло два с половиной тысячелетия, а мы, люди 21 века всё изучаем труды Пифагора, пытаемся постигнуть глубины его открытий. Обратите внимание на предметы, стоящие на ваших столах.

У первой группы - свеча, у второй - глобус, у третьей - вода, у четвёртой - воздушный шарик. Пифагор считал, что весь мир состоит из четырёх стихий, и каждую из них он обозначил числом.

Огонь -1

Земля - 2

Вода - 3

Воздух - 4

Как вы думаете, каким числом обозначил весь мир Пифагор?

Число 10. Таким видел мир Пифагор. А каким его увидят ваши потомки, зависит от каждого из вас. Ведь вам жить в этом безграничном мире, вам открывать его тайны.

Рефлексия Организация рефлексии на основе метода неоконченных предложений Ответь на 5 любых предложений.

Я почувствовал, что…

Было интересно…

Меня удивило…

Своей работой сегодня я…, потому что...

Мне захотелось…

Мне больше всего удалось…

Заставил задуматься…

Навел на размышления…

Сегодня я узнал…

Было трудно…, потому что...

Я выполнял задания…

Я понял, что…

Теперь я могу…, потому что...

Я приобрёл…

Я научился…

Задания для меня показались…, потому что...

Для меня было открытием то, что…

Мне показалось важным…, потому что...

Выставление оценок.

Учитель благодарит класс за работу и просит учеников поблагодарить друг друга за работу.

Домашнее задание

К следующему уроку вы должны выучить теорему Пифагора с доказательством, так как мы будем учиться применять её к решению более сложных задач. Популярность теоремы столь велика, что её доказательства встречаются даже в художественной литературе, например в рассказе известного английского писателя Хаксли «Юный Архимед». Такое же доказательство, но для частного случая равнобедренного прямоугольного треугольника приводится в диалоге Платона «Менон».

Для тех, кто желает больше узнать о Пифагоре, прочитать о нём легенды,выяснить, почему союз пифагорейцев был тайным, почему авторство работ приписывалось учителю и о многом другом, советую прочитать книгу А.В. Волошинова «Пифагор», которая имеется в вашей школьной библиотеке. А познакомившись с материалами «раскладушки», вы можете узнать о нравственных заповедях пифагорейцев, прочитать несколько легенд, связанных с именем Пифагора, попробовать решить несколько исторических задач и разгадать пифагорову головоломку.

А

Папирус

участника

Настоящим папирусом

подтверждается, что

-----------------------------------

успешно усвоил теорему Пифагора,

выполнил все задания,

стал участником урока в

окружном конкурсе «Учитель года - 2006»,

и еще раз убедился в связи

математики с другими науками. за Великое открытие, которое мы совершили сегодня на уроке, каждый из вас получает вот такой папирус о том, что он являлся участником окружного конкурса «Учителя года», успешно усвоил теорему Пифагора и еще раз убедился в связи математики с другими науками.(рис.12)

-- Итак наша Х-педиция закочилась. Мы сделали еще один шаг в познание природы. Спасибо за хорошую работу. Давайте вместе прочтем мудрые слова Галилея: «Великая книга истории написана математическими символами» .(рис.13)

Задачи на индивидуальных карточках

С

Дано: АВС - прямоугольный тр-к;

АВ= 5 см;

АС=12 см,

-----------------------

Найти ВС

А

В

Дано: АВС - прямоугольный тр-к;

АВ= 5 см;

АС=12 см,

-----------------------

Найти ВС

С

А

В

В

Дано: АВС - прямоугольный тр-к;

ВС=5 см;

АВ=3 см,

-----------------------

Найти АВ

С

А

В

Дано: АВС - прямоугольный тр-к;

АВ=16 см;

АС=12 см,

-----------------------

Найти ВС

А

С

Дано: АВС - прямоугольный тр-к;

АВ= 5 см;

ВС=13 см,

----------------------Найти АС

А

В

Н

Дано: АВС - тр-к;

СН - высота

СН=6 см;

АН=8 см,

-----------------------

Найти АС

А

С

В

Н

Дано: АВС - тр-к;

СН - высота

СН=8 см;

АС=10 см,

-----------------------

Найти АН

С

Н

В

Дано: АВС - тр-к;

СН - высота

НВ =12 см;

СВ =20 см,

-----------------------

Найти СН

А

С

В

Н

А

Дано: АВС - тр-к;

СН - высота

СВ=15 см;

СН=12 см,

-----------------------

Найти НВ

А

А

В

С

Д

Дано: АВСД - прямоугольник;

ВД - диагональ;

АВ=15 см;

АД=8 см,

-----------------------

Найти ВД

А

В

С

Д

Дано: АВСД -

прямоугольник;

ВД-диагональ

АВ=12 см;

АД=9 см,

-----------------------

Найти ВД.

Дано: АВСД -ромб;

АС=8 см;

ВД=6 см,

--------------------------

Найти СД

Д

Дано: АВСД -ромб;

СД =5 см;

СО =8 см,

-------------------------

Найти ОД

ЛИТЕРАТУРА

1. Акимова С. Занимательная математика, серия «Нескучный учебник». -

Санкт-Петербург.: «Тригон», 2003.

2. Волошинов А.В. Пифагор: союз истины, добра и красоты. - М.: Про-

свещение, 1993.

3. Газета «Математика» № 17, 2006.

4. Геометрия, 7-9: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян,

В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. - 13-е изд. - М. : Просвещение, 2002.

5. Глейзер Г.И. История математики в школе. - М.: Просвещение, 1981.

6. Еленьский Ш. По следам Пифагора. М., 1961.

7. Журнал «Квант» № 2, 2002.

8. Журнал «Математика в школе» № 4, 2005.

9. Литцман В. Теорема Пифагора. М., 1960.

10. Малыгин К.А. Элементы историзма в преподавании математики в сред-

ней школе. М., 1963.

11. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. общеобразоват. учрежде-

ний. - 2 -е изд.- М.: Просвещение, 2003.

12. Скопец З.А. Геометрические миниатюры. М., 2000.

13. Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике. Минск, 2001.

14. Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А.П. Савин. - 3-е

изд., испр. и доп. - М.: Педагогика-Пресс, 1997.

15. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика / Глав. ред. М.Д. Аксёнова. -

М.: Аванта+, 2001.

16. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика. - М., 1997.