Конус. Сечения конуса. Развертка конуса. Площадь поверхности конуса

Зам.Дир по УВР_______________ Утверждаю

№_____ Дата_________

Предмет ГЕОМЕТРИЯ

Класс 11

Тема урока: Конус. Сечения конуса. Развертка конуса. Площадь поверхности конуса.

Цели урока:

Изучить понятие конуса, его элементов; рассмотреть построение прямого конуса; рассмотреть нахождение полной поверхности конуса.

рассмотреть виды сечений конуса различными плоскостями, ввести понятие усеченного конуса, его элементов, рассмотреть усеченный конус как тело вращения, вывести формулу для вычисления площади боковой и полной поверхности усеченного конуса, показать связь темы с окружающим миром;

развивать логическое мышление и конструктивные навыки, сознательное восприятие учебного материала, зрительную память и грамотную математическую речь, навыки самоконтроля и самооценки;

воспитывать познавательную активность, чувство прекрасного, культуру речи и общения, аккуратность.

Тип урока: Изучение нового материала.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

Приветствие учащихся, проверка готовности класса к уроку, организация внимания учащихся, раскрытие общих целей урока и плана его проведения.

2.Этап актуализации.

Задачи: обеспечение мотивации учения школьников, включение в совместную деятельность по определению целей урока. Актуализировать субъективный опыт учащихся.

ТЕСТ по теме "Цилиндр"

3. Формирование новых понятий и способов действия.

Задачи: Обеспечить восприятие, осмысление и запоминание учащимися изучаемого материала. Обеспечить усвоение учащимися методики воспроизведения изученного материала, содействовать философскому осмыслению усваиваемых понятий, законов, правил, формул. Установить правильность и осознанность учащимися изученного материала, выявить пробелы первичного осмысления, провести коррекцию. Обеспечить соотнесение учащимися своего субъективного опыта с признаками научного знания .

Содержание этапа:

6.1. Конус как фигура вращения

Определим еще одну замечательную геометрическую фигуру - конус(рис.44.1).

Пусть дан прямоугольный треугольник Q (рис. 44.2). Если этот прямоугольный треугольник вращать вокруг оси I, содержащей катет

треугольника, то в результате этого вращения мы получим фигуру вращения - конус (рис. 44.3).

Определение 19. Конусом называется фигура, полученная при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.

На рисунке 45 конус получен при вращении треугольника FAO с прямым углом О вокруг катета FO. Используя этот рисунок и имеющиеся знания, можно узнать о следующих свойствах конуса:

1. Катет О А при вращении образует круг, который называется основанием конуса.

2. Плоскость основания конуса перпендикулярна к оси вращения FO, <FOA=90°. Тем самым мы можем определить высоту конуса.

3. Перпендикуляр, проведенный из вершины конуса на плоскость основания, является его высотой.

4. Гипотенуза FA при вращении вокруг оси образует боковую поверхность конуса. Отрезки, соединяющие любую точку окружности основания с точкой F - вершиной конуса, равны как наклонные, имеющие равные проекции. Эти отрезки называются образующими конуса. Боковая поверхность конуса называется также конической поверхностью.

У конуса, основанием которого всегда является круг, а основание высоты конуса всегда попадает в центр основания конуса, называется прямым круговым конусом.

На рисунке 46 мы видим непрямой конус, но такие конусы в школьном курсе геометрии практически не рассматриваются (конус на рис. 46 не является фигурой вращения).

6.2. Сечения конуса плоскостью

Конус и плоскость могут иметь в пересечении часть конуса. В этом случае мы получаем различные сечения. Пусть плоскость сечения проходит через две образующие конуса.

Через две прямые, на которых лежат какие-нибудь две образующие конуса, можно провести единственную плоскость а. Эта плоскость пересечет основание конуса по хорде, а боковую поверхность - по двум образующим. Общей частью этой плоскости и конуса является равнобедренный треугольник (рис.47.1). Если плоскость а проходит через ось конуса, то полученный в сечении треугольник называется осевым сечением конуса.

На рисунке 47.2 треугольник FAB - осевое сечение, а на рисунке 47.1 треугольник FAB осевым сечением не является.

Конус можно пересечь плоскостью а, перпендикулярной к его оси. В этом случае плоскость сечения параллельна плоскости основания, а сечением конуса является круг (рис. 47.3) (обоснуйте ваши выводы).Если боковую поверхность конуса пересечь плоскостью р так, чтобы эта плоскость не пересекала его оснований и не была перпендикулярной к оси конуса, то в сечении получается эллипс (рис. 47.3).Плоскость, которая проходит через образующую конуса и не имеет с ним других общих точек, называют касательной плоскостью конуса (рис. 48).

6.3. Развертка и площадь поверхности конуса

Если боковую поверхность конуса разрезать по какой-нибудь образующей, например по АВ, и развернуть ее на плоскости, то получится развертка боковой поверхности конуса (рис.49).

Какую фигуру мы при этом получим? Как найти площадь этой фигуры?

Развертка боковой поверхности конуса радиуса R и образующей I представляет собой сектор круга радиуса I, длина которого 2 R (рис. 49).

Площадь такой развертки принимают за площадь S боковой поверхности конуса и обозначают S _{бок. пов. кон}.

Используя формулу площади кругового сектора, получим:

S _{бок.пов.кон}.= S _сект.= 'где - угловая величина дуги сектора.

Приравнивая длину окружности основания конуса 2 R к длине дуги сектора , найдем угловую величину дуги :

2 R=, откуда =

где С- длина окружности основания конуса. Итак, мы вывели формулу: площадь боковой поверхности конуса равна половине произведения длины окружности основания на образующую.

S _{бок. пов. кон}.= R, где R - радиус основания конуса, - образующая конуса.

За площадь поверхности конуса, или за площадь полной поверхности конуса, принимается площадь его развертки S_полн.. Она состоит из площади боковой поверхности и площади круга основания (рис. 49).

5. Применение. Формирование умений и навыков.

Задачи: Обеспечить применение учащимися знаний и способов действий, которые им необходимы для СР, создать условия для выявления школьниками индивидуальных способов применения изученного.

Содержание этапа: №8, 9,10.

6.Этап информации о домашнем задании.

Задачи: Обеспечить понимание учащимися цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.№13, 14.

7.Подведение итогов урока.

Задача: Дать качественную оценку работы класса и отдельных учащихся.