План урока векторы на плоскости

ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ

Цель: овладеть всеми операциями над векторами.

Ход урока

I. Актуализация опорных теоретических знаний.

Векторы на плоскости

Вектор и его координаты.

а₁ = х₂ - х₁, а₂ = у₂ - у₁

Равные векторы.

Сумма векторов.

+

Правило треугольника. Правило параллелограмма

Разность векторов.

-

Умножение вектора на число. Коллинеарные векторы.

и коллинеарны 

Представление вектора через одинаковые векторы.

Скалярные произведения векторов.

а₁b₁ - а₂b₂ =

При  и 

II. Решение задач (устно).

1. Верно ли, что:

- длина вектора равна длине вектора ?

- если длины векторов равны, то векторы равны?

- равные векторы имеют равные длины?

- разность двух векторов может равняться нулевому вектору?

- разность двух векторов может равняться нулю?

- чем больше число k, тем больше длина вектора k?

- от одной точки можно отложить два различных не нулевых равных вектора?

2*. Могут ли... Может ли... Верно ли, что...

- коллинеарные векторы не лежать на одной прямой?

- векторы, лежащие на параллельных прямых, не являются коллинеарными?

- противоположные векторы не являются коллинеарными?

- противолежащие векторы не лежат на одной прямой?

- скалярное произведение двух векторов равняться произведению их длин?

- скалярное произведение двух сонаправленных векторов быть отрицательным?

- скалярное произведение векторов является вектором?

- если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то один из векторов - нулевой?

- если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то данные векторы перпендикулярны?

3. Фронтальная работа по решению задач.

1) Дано: b,

Укажите: а) коллинеарные векторы; б) сонаправленные векторы; в) противоположно направленные векторы, г) равные векторы; д) нулевые векторы.

2) Дано:

Найдите: длины векторов

Постройте векторы:

а) правилом треугольника;

б) правилом параллелограмма;

в)

г) 2

3) Дано: АВСD - параллелограмм. К  ВС, ВК : КС = 2 : 1, М - середина СD.

Разложите векторы и через векторы и

4) Дано: А (3; -2), 5 (-5; 4), С (-1; -3).

Найдите:

а) координаты вектора

б) длину вектора ;

в) координаты середины отрезка АС;

г) расстояние между точками А и В.

5) Дано: {3; -4}, {-2; 4}.

Найдите:

а) б)

в) ; г)

д) найдите косинус угла между векторами и .

6) Даны {2; -5} и {-10; у}.

При каком значении векторы и перпендикулярны?

7) Дан треугольник АВС. Постройте его образ:

а) при осевой симметрии относительно прямой АВ;

б) при центральной симметрии относительно точки С;

в) при параллельном переносе на вектор АМ, где М - середина стороны ВС;

г) при повороте вокруг точки А на 45° по часовой стрелке.

III. Самостоятельное решение задач.

1. АВСD и АDЕF - параллелограммы, имеющие общую сторону.

Постройте вектор такой, что:

а)

б)

2. На стороне СD и диагонали АС параллелограмма АВСD лежат точки Р и Е так, что DР : РС = 3 : 2, АЕ : ЕС = 4 : 3. Выразите вектор через векторы

3. В треугольнике МNК О - точка пересечения медиан, = , = , = k  (+). Найдите число k.

4. Докажите, что если для четырехугольника АВСD и произвольной точки О выполняется равенство то этот четырехугольник - параллелограмм.

5. Докажите, что четырехугольник МNКР, заданный координатами своих вершин М (2; 2), N (5; 3), К (6; 6), Р (3; 5), является ромбом, и вычислите его площадь.

6. Найдите координаты точки N, лежащей на оси абсцисс и равноудаленной от точек Р (-1; 3) и К (0; 2).

7. В равнобедренном треугольнике основание равно 12 см, а высота, проведенная к основанию, равна 8 см. Найдите медиану, проведенную к боковой стороне.

8. Определите значение х, при котором вектор {2 - х; 2х + 3} и вектор {-2; 5}:

а) коллинеарны;

б) перпендикулярны.

9. В четырехугольнике АВСD АВ = АD = 5, ВС = СD = 3, АС = 7. Используя метод координат, найдите расстояние между серединами противолежащих сторон четырехугольника.

Ответы к текстовым задачам.

1. а) б)

2. 3. 4. S = 8; 6. N (-3; 0); 7.;

8. а) х = 16; б) х = 9. .

Домашнее задание: подготовиться к итоговой контрольной работе.

Ключевые задачи для домашнего задания.

№ 48. Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Даны три точки О, А, В. Точка Х делит отрезок АВ в отношении  : , считая от точки А. Выразите через векторы и .

Решение:

2) Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит их в отношении 2 : 1, считая от соответствующих вершин.