Пособие для учащихся «Справочные материалы по математике», 9 класс

Содержание

Раздел I. АЛГЕБРА

§ 1. Линейные уравнения с двумя переменными ……...………………………….. 1

§ 2. Нелинейные уравнения с двумя переменными …………………..……………2

§ 3. Система нелинейных уравнений с двумя переменными ….…………………...3

§ 4. Решение задач с помощью системы уравнений ……………………………….6

§ 5. Система линейных неравенств с одной переменной…………………………..7

§ 6. Арифметическая прогрессия. Формула п-го члена…………………………….8

§ 7. Сумма первых п членов арифметической прогрессии…….…………………..9

§ 8. Геометрическая прогрессия. Формула п-го члена…………………………….10

§ 9. Сумма первых п членов геометрической прогрессии ………………………..12

§ 10. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии ……………...13

§ 11. Градусные и радианные меры угла .……... ………………………………….14

§ 12. Тригонометрические функции произвольного угла ………………………...14

§ 13. Свойства тригонометрических функций……………………………………..15

§ 14. Основные тригонометрические тождества …………………………………..16

§ 15. Тождественные преобразования тригонометрических выражений ..............16

§ 16. Формулы приведения ………………………………………………………….17

§ 17. Формулы сложения…………………………………………………………….18

§ 18. Формулы тригонометрических функций двойного и половинного углов ...19

Раздел II. ГЕОМЕТРИЯ

§ 19. Векторы. Коллинеарные векторы…………………………………………….20

§ 20. Координаты вектора ………………………………………………………….20

§ 21. Скалярное произведение двух векторов…………………….………….……21

§ 22. Центральная симметрия………………….………...........................................22

§ 23. Осевая симметрия ………..…………………………………………………...22

§ 24. Параллельный перенос …………….…………………………………………23

§ 25. Признаки подобия треугольников ……………..……………….……………23

§ 26. Признаки подобия прямоугольных треугольников …………………….......24

§ 27. Вписанный угол и его измерение. Следствия. …….......................................24

§ 28. Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности ……………...25

§ 29. Теоремы косинусов и синусов ……………………….………………………25

§ 30. Сумма углов выпуклого многоугольника ………………………………...25

§ 31. Правильные многоугольники …………………………….………………….25

§ 32. Четырёхугольники, вписанные в окружность и описанные около окружности ….26

§ 33. Длина окружности ……………………………………………………………27

§ 34. Площади правильных многоугольников ……………………………….….27

§ 35. Площадь круга и его частей …………………..……………………………..27

Соловьёв В.А.

Справочник

9 класс

Математика. Готовься к экзаменам

Справочные материалы

по курсу математики 9 класса

2010 г.

Цель пособия: привести ваши знания в систему, устранить пробелы

в теоретических сведениях курса математики 9 класса.

Не забывай: математику нужно изучать последовательно и

с большим вниманием. Не выучив материала даже одного урока, ты уже

можешь не понять последующей темы.

Чтобы освоить материал учебника, следуй следующему плану:

1) подумать о названии параграфа (ответить на вопросы:

что я должен узнать из этой темы, на что обратить внимание?

Что я знаю об этой теме?);

2) прочитать текст параграфа;

3) выделить непонятные слова, предложения, узнать их точное значение, используя учебники, справочники, словари, консультации учителя, родителей и др.;

4) во время чтения текста стараться найти ответы на следующие вопросы: о чём идёт речь? Что известно мне об этом? Какая существует связь с тем, что я знал до этого? Для какой цели можно использовать этот материал? Когда и как можно его использовать?

5) выделить основные понятия, правила;

6) внимательно прочитать формулировку определений, способы решения задач, примеры, данные в тексте, самостоятельно привести пример;

7) составить схемы, рисунки, таблицы, чертежи;

8) стараться запомнить изученный материал (рассказать по плану, схеме, чертежу, повторить сложные для понимания тексты, правила);

9) ответить на поставленные вопросы и выполнить задания.

Изучение математики требует от вас упорства, терпения, усидчивости и трудолюбия. Проявив эти качества характера, вы станете настойчивыми в достижении цели.

Буду доволен, если тебе данное пособие поможет привести

знания по математике за курс 9 класса в систему, ликвидировать

отставание, устранить пробелы в знаниях.

Если ты станешь глубже понимать математику, успешнее

учиться - значит, мой труд не пропал даром.

Твой учитель математики.

Рис. 41

Площадь сегмента (рис.41) вычисляется по формуле:

S= , где R - радиус круга, n◦ - градусная мера дуги кругового сегмента, - площадь треугольника с вершинами в концах радиусов и центре круга. Причём: знак «-» ставится, если

п < 180°, а «+» , - если п > 180°.

Ребята!

Отзывы и пожелания по материалам справочного пособия по курсу математики

9 класса вы можете высказать учителю математики.

Желаю Вам успехов в учёбе!!!

28

§ 1. Линейные уравнения с двумя переменными

Из курса алгебры предыдущих классов вам известно, что линейное уравнение с одной переменной имеет вид ах = в, где х - переменная, а и в - действительные числа. Вам известно также, что:

Если а ≠ 0, то линейное уравнение имеет единственный корень: х = в : а.

Если а = 0, в = 0, линейное уравнение имеет бесчисленное множество решений:

х - любое число.

Если а = 0, в ≠ 0, линейное уравнение не имеет решений.

Теперь перейдем к понятию линейного уравнения с двумя переменными.

Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ах + ву = с, где х и у - переменные; а, в и с - действительные числа; а и в одновременно не равны нулю.

Обратите внимание, что в линейном уравнении с двумя переменными в каждом слагаемом сумма показателей степеней переменных не превышает единицы.

Примерами линейных уравнений с двумя переменными могут служить:

3х - 4у = 5; 0,3х - у = 0,6; х - у = 3; и другие.

Однако уравнение 6 ху + 5у = 7 не является линейным, так как сумма показателей степеней первого слагаемого равна 2.

Задача: У двух соседей имеется 15 лошадей. Сколько лошадей у каждого из них?

Обозначим число лошадей одного из соседей буквой х, а другого соседа - у, то по условию задачи можно записать так: х + у = 15, где х и у - переменные величины.

Допустим, что у первого соседа имеется 1 лошадь, тогда у второго - будет 14; если у первого число лошадей 2, то у второго будет 13 и т.д. В результате мы получим следующее конечное множество пар чисел (х; у): (1; 14), (2;13), (3; 12), ..., (13; 2), (14;1).

Каждая пара чисел данного множества удовлетворяет выше составленному уравнению, т.е. они являются решениями уравнения х + у = 15.

Определение. Любая пара чисел, удовлетворяющая уравнению вида ах + ву = с называется решением линейного уравнения с двумя переменными.

Решение любого уравнения основано на следующих теоремах о равносильности и их следствиях.

● Теорема 1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число или выражение, имеющее смысл при всех допустимых значениях переменных, то получим равносильное уравнение.

Следствия:

1. Если в обеих частях уравнения имеются одинаковые числа или выражения, имеющие смысл, то их можно опустить (говорят: они взаимно уничтожаются).

2. Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, меняя его знак на противоположный.

● Теорема 2. Если обе части уравнения умножить одно и то же число, не равное нулю, или выражение, имеющее смысл и отличное от нуля при всех допустимых значениях переменных, то получим равносильное уравнение. 1

Следствия:

1. Знаки всех членов уравнения можно изменить на противоположные, что равносильно умножению обеих частей уравнения на -1.

2. Уравнения с дробными коэффициентами можно заменить равносильным уравнением с целыми коэффициентами, умножив обе части уравнения на общий знаменатель дробных коэффициентов.

Пример 1. Пусть дано уравнение 2х - 6у = 4, выразим переменную х через переменную у. Второе слагаемое уравнения перенесём из левой части в правую, меняя его знак на противоположный: 2х = 4 + 6у. Разделим обе части последнего уравнения на 2 и получаем уравнение х = 2 + 3у, которое равносильно исходному.

Решить уравнение с двумя переменными - это значит, найти множество пар чисел, приводящих данное уравнение в верное равенство.

Вам известно, что каждая пара чисел является координатами точки на плоскости, а множество таких точек изображает определённую линию (в данном случае - прямую). Следовательно, решить линейное уравнение с двумя переменными означает построение прямой, координаты любой точки которой превращают данное уравнение в верное равенство. Все эти точки образуют график уравнения.

Рассмотрим пример решения (построения графика) линейных уравнений с двумя переменными. Построим график уравнения 2х + у = 6. Графиком данного уравнения является прямая, для построения которой достаточно найти координаты двух точек.

Пусть у = 0, тогда х = 3. Данная пара чисел определяет первую точку с координатами (3; 0). Пусть у = 2, тогда х = 2, и получаем координаты второй точки: (2; 2). Через две точки (3; 0) и (2; 2) проведём прямую (рис. 1). Полученная прямая является графиком данного уравнения.

Рис. 1

Рассмотрим пример решения (построения графика) линейных уравнений с двумя переменными.

Построим график уравнения 2х + у = 6. Графиком данного уравнения является прямая, для построения которой достаточно найти координаты двух точек.

Пусть у = 0, тогда х = 3. Данная пара чисел определяет первую точку с координатами (3; 0). Пусть у = 2, тогда х = 2, и получаем координаты второй точки: (2; 2). Через две точки (3; 0) и (2; 2) проведём прямую. Полученная прямая является графиком данного уравнения.

§ 2. Нелинейные уравнения с двумя переменными

Если в уравнении с двумя переменными показатель степени переменных или сумма показателей степени переменных в одном слагаемом больше единицы, то такое уравнение называется нелинейным уравнением с двумя переменными.

Таковыми, например, являются уравнения 5х - 6 у =13; 2ху + 4 у+ 11 = 0.

Изученные вами ранее функции у = ах + вх + с (а ≠ 0), у = х, ху = k (k ≠ 0) также можно рассмотреть как нелинейные уравнения с двумя переменными.

Наибольший показатель степени одночлена, входящего в уравнение с двумя 2 переменными, называется степенью этого уравнения.

§ 33. Длина окружности

Длина окружности вычисляется по формуле: или , где R - радиус окружности, а π ≈ 3,14. Длина дуги в п° вычисляется по формуле: .

Радиусы R описанной вокруг правильного п-угольника со стороной а и r вписанной в правильный п-угольник со стороной а, окружностей вычисляются по формулам: и .

В равностороннем треугольнике: R = 2 r = h = , r = h = .

В правильном четырёхугольнике (квадрате): R =, r = .

В правильном шестиугольнике: R = а, r = .

§ 34. Площади правильных многоугольников

Площадь равностороннего треугольника со стороной а: .

Площадь квадрата со стороной а: .

Площадь правильного шестиугольника со стороной а: .

§ 35. Площадь круга и его частей

Площадь круга: .

Определение. Часть круга, ограниченная центральным углом и дугой, на которую он опирается, называется круговым сектором.

На рис. 40 радиусы ОА и ОВ делят круг на два сектора, ограниченные дугами АКВ и АNВ.

Центральный угол АОВ называют углом сектора.

Рис. 40

Площадь сектора вычисляется по формуле: S= .

Определение. Часть круга, ограниченная дугой окружности и хордой, соединяющей концы этой дуги, называется сегментом. 27

Правильными многоугольниками, с которыми вы хорошо знакомы, являются равносторонний треугольник и квадрат.

Обозначим периметр правильного п-угольника через , тогда ,

где - сторона правильного п-угольника. Сумма углов выпуклого п-угольника равна 180°(п - 2), а у правильного п-угольника все углы равны, значит сумма его углов находится, как 180°п, тогда каждый угол правильного п -угольника можно вычислить по формуле: .

Пример 1. Вычислить угол правильного 15-угольника.

Решение. Воспользуемся формулой при п = 15. Получим: . Ответ: 156°.

Пример 2. Определить число сторон правильного п-угольника, если его угол равен 144°.

Решение. Так как внутренний угол равен 144°, то внешний угол равен

180° - 144° = 36°. Мы знаем, что сумма внешних углов, взятых по одному при вершине, равна 360°. Чтобы найти один угол, надо 360° : 36° = 10 (сторон).

Ответ: 10 сторон.

§ 32. Четырёхугольники, вписанные в окружность и описанные около окружности

Определение. Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то многоугольник называется вписанным в окружность.

Если многоугольник вписан в окружность, то окружность является описанной вокруг многоугольника (рис. 38).

Рис. 38

Рис. 39

Определение. Если все стороны выпуклого многоугольника касаются окружности, то многоугольник называется описанным вокруг окружности.

В этом случае окружность будет вписанной в многоугольник (рис. 39).

Теорема 1. Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°.

Теорема 2 (обратная предыдущей). Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°, то вокруг него можно описать окружность

Теорема 3. Суммы длин противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, описанного вокруг окружности, равны.

Теорема 4 (обратная предыдущей). Если равны суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, то в него можно вписать окружность.

26

Например, 4х - 5у + 7 = 0 - уравнение второй степени;

8х - 12ху + 6 ху = 13 - уравнение третьей степени;

0,2ху + 5ху = 2у + 20 х- уравнение четвёртой степени.

Вы знаете, что графиком (решением) линейного уравнения с двумя переменными является прямая. В отличие от него графиком (решением) нелинейного уравнения с двумя переменными является не прямая, а кривая линия.

Например, графиком уравнения у = ах + вх + с (а ≠ 0), является парабола, графиком уравнения у = х- кубическая парабола, а графиком уравнения ху = k (k ≠ 0) - гипербола.

Пример 1. Построим на координатной плоскости график уравнения (х + 1) + (у - 3 ) = 4.

Решение.

Известно, что графиком уравнения х + у = R является окружность с центром в точке О (0; 0) и радиусом R.

Поэтому графиком уравнения

(х + 1) + (у - 3 ) = 4 является окружность

с центром в точке (-1; 3) и радиусом, равным 2 (рис. 2).

Рис. 2

Рис. 3

Пример 2. Решим уравнение ху = 6, где х ≠ 0 и у ≠ 0.

Решение. Данное уравнение можно записать в виде . Его графиком будет гипербола (рис. 3). Координаты всех точек этой гиперболы являются решением данного уравнения.

§ 3. Система нелинейных уравнений с двумя переменными

В курсе алгебры для 6 класса вы уже изучили систему двух линейных уравнений с двумя переменными, а в курсе для 8 класса научились решать нелинейные уравнения с одной переменной. Это даёт вам возможность приступить к изучению системы нелинейных уравнений с двумя переменными. Примечательно, что такие системы зачастую применяются при решении различных практических задач.

Определение. Система уравнений с двумя переменными, в составе которой хотя бы одно уравнение является нелинейным, называется системой нелинейных уравнений с двумя переменными.

Такие системы уравнений можно решить следующими известными способами: алгебраическое сложение, способ подстановки, графический способ, а также способом введения новой переменной.

1. Способ алгебраического сложения.

Данный способ применяется при решении не только системы линейных уравнений, но и при решении системы нелинейных уравнений с двумя переменными.

3

Для решения системы способом алгебраического сложения обычно используется следующий алгоритм (алгоритм - это последовательно выполняемые действия для достижения определённого результата):

1) умножить почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;

2) сложить почленно левые и правые части уравнений системы;

3) решить получившееся уравнение с одной переменной;

4) найти соответствующее значение второй переменной;

5) записать ответ в виде пар числовых значений переменных.

Пример 1. Решим систему уравнений

Решение. В уравнениях данной системы показатели степени переменной у равны, а коэффициенты противоположные числа, поэтому уравнения системы можно сложить, и тогда получим: 2х = 32 или х = 16, тогда: и . Теперь эти уравнения вычтем почленно, получим: 2у = 18, у = 9. Ответ: {(-4; 9), (4; 9)}.

2. Способ подстановки.

Этот способ применяем, используя следующий алгоритм:

1) в одном из уравнений системы нужно выразить одну переменную через другую;

2) подставить это выражение во второе уравнение для получения уравнения

с одной переменной;

3) решить полученное уравнение с одной переменной;

4) найти соответствующее значение второй переменной;

5) записать ответ в виде пар числовых значений переменных.

Пример 2. Решим систему уравнений

Решение. Разложим левые части уравнений на множители:

Выразим разность х - у через переменную х из второго уравнения

(х ≠ 0). . Подставив его в первое уравнение, получим: , у = 4х.

Подставляя выражение у во второе уравнение последней системы, имеем:

-3х² = -3 или х² = 1, тогда: и , соответственно: и .

Ответ: {(-1; -4), (1; 4)}.

3. Графический способ.

Систему нелинейных уравнений с двумя переменными можно решить графическим способом, используя следующий алгоритм:

1) нужно рассмотреть одну из переменных системы уравнений как аргумент, а другую - как функцию;

2) построить графики уравнений системы в одной прямоугольной системе

4 координат;

Следствие 3. Угол между секущими, проходящими через точку вне окружности, измеряется полуразностью дуг, заключённых между секущими сторонами данного угла.

На рисунке 34: ВАС = .

Рис. 34

§ 8. Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности

Рис. 35

Если хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков, лежащих на одной хорде, равно произведению отрезков другой хорды.

Если хорды окружности АВ и СD пересекаются в точке К, то

АК ∙ КВ = СК ∙ КD (рис. 35).

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение секущей на её внешнюю часть - величина постоянная.

Если из точки N, лежащей вне окружности, проведены две секущие, пересекающие окружность в точках А,В и С, D соответственно, то NВ ∙ NА = ND ∙ NС.

Рис. 36

§ 29. Теоремы косинусов и синусов

Теорема косинусов: Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

а= в + с- 2 вс · cosA, в= а + с- 2 ас · cosВ, с= а + в- 2 ав · cosС.

Полезно помнить формулу: .

Теорема синусов: Отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов -величина постоянная. , где R - радиус описанной около данного треугольника окружности.

§ 30. Сумма углов выпуклого многоугольника

Сумма углов выпуклого п-угольника равна или .

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.

§ 31. Правильные многоугольники

Рис. 37

Определение. Правильным многоуголь-ником называется выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны (рис. 37). 25

Первый признак: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Второй признак: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между ними равны, то эти треугольники подобны.

Третий признак: Если три стороны одного треугольника пропорциональны соответствующим трём сторонам другого треугольника, то эти треугольники подобны.

Периметры подобных многоугольников относятся как их сходственные стороны.

§ 26. Признаки подобия прямоугольных треугольников

1. Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то эти прямоугольные треугольники подобны.

2. Если два катета прямоугольного треугольника пропорциональны соответствующим двум катетам другого прямоугольного треугольника, то эти прямоугольные треугольники подобны.

3. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника пропорциональны гипотенузе и соответствующему катету другого прямоугольного треугольника, то эти прямоугольные треугольники подобны.

§ 27. Вписанный угол и его измерение

Рис. 31

Определение. Угол, вершина которого на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом (рис. 31).

Центральный угол измеряется величиной дуги окружности, которая ему соответствует.

Теорема. Вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую опирается.

Теперь приведем несколько следствий этой теоремы.

Следствие 1. Угол между касательной и хордой, проведённой через точку касания, измеряется половиной дуги, опирающейся на данную хорду.

На рисунке 32: ТАВ = .

Рис. 32

Рис. 33

Следствие 2. Угол между секущими, пересекающимися во внутренней точке окружности, измеряется полусуммой дуг, которые опираются стороны этого угла и продолжения этих сторон.

На рисунке 33: ВАС = α = .

24

3) определить координаты точек пересечений графиков уравнений;

4) записать ответ в виде пар числовых значений переменных.

Пример 3. Решим графическим способом систему уравнений: Решение.

Принимая уравнения системы как функции, построим их графики в одной системе координат. Первое уравнение системы изображает параболу. Сначала нужно определить координаты вершины параболы:, значит, .

Тогда .

Итак, вершиной параболы является точка О (3; -4).

Рис. 4

Теперь найдём точки пересечения параболы с осями координат. Если х = 0, то у = 5, а при у = 0 получим: х = 1 и х = 5. Следовательно, парабола пересекает оси координат в точках с координатами (0;5), (1;0), (5;0). Используя координаты найденных точек, построим график уравнения (рис. 4).

Графиком второго уравнения системы у = 2,5х - 13 является прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек, принадлежащих данной прямой. Поэтому вычислим координаты двух точек: если х = 2, то у = 2,5 ∙ 2 - 13 = -8,

(2; -8); если х = 6, то у = 2,5 ∙ 6 - 13 = 2, (6; 2). Теперь проведём прямую через эти две точки (рис. 4).

Из рис. 4 видно, что графики пересекаются в точке А(4; -3). Следовательно, данная система уравнений имеет единственное решение: х = 4, у = -3.

Ответ: {(4; -3)}.

4. Способ введения новой переменной.

Для решения более сложных систем уравнений с двумя переменными удобно использовать способ введения новых переменных. Алгоритм решения данным способом состоит в следующем:

1) ввести новые переменные для выражения определённых соотношений

переменных в уравнениях системы;

2) записать уравнения системы через введённые переменные;

3) решить полученную систему уравнений относительно новых переменных;

4) найти значения исходных переменных, используя числовые значения

введённых переменных;

5) записать ответ в виде пар числовых значений переменных исходных

уравнений системы.

Пример 4. Решим систему уравнений

5

Решение. Введём обозначения t = х + у и u = ху. Получаем систему уравнений: Полученную систему уравнений решим способом подстановки:

Тогда Отсюда: Возвращаясь к переменным х и у получаем:

Для решения последней системы используем способ подстановки. Тогда

Теперь решим квадратное уравнение у² - 3у + 2 = 0,и получим:

у = 1 и у = 2.

Затем, вычисляя соответствующие значения переменной х, получим: х = 2 и х = 1. Ответ: {(2; 1), (1; 2)}.

§ 4. Решение задач с помощью системы уравнений

При решении задач с помощью составления системы, например, из двух уравнений, вводятся два неизвестных в отличие от решения задач путём составления уравнения с одной переменной.

При решении задач с помощью системы уравнений можно придерживаться следующего алгоритма:

1) внимательно изучить условие задачи;

2) обозначить буквами искомые величины;

3) выразить искомые величины через данные;

4) составить уравнения и из них соответствующую систему;

5) найти решения системы;

6) проверить, какие из решений системы удовлетворяют условию задачи.

Задача 1. Сумма цифр двузначного числа равна 9. Если цифры этого числа переставить местами, то получится число, составляющее 5/6 первоначального числа. Найдите искомое число.

Решение. Пусть у - цифра единиц искомого числа, а х - цифра его десятков. Тогда искомое число запишем в виде 10х + у. По условию задачи: х + у = 9 и 10у + х =5/6∙(10х + у).

Значит, для нахождения ответа на вопрос задачи решаем следующую систему:

Решив эту систему, имеем х = 5; у = 4.

Ответ: 54.

Задача 2. Две бригады, работая вместе, могут отремонтировать шоссе за 18 дней. Если бы сначала первая бригада, работая одна, выполнила ⅔ всей работы, а затем вторая бригада оставшуюся часть, то на ремонт всего шоссе потребовалось бы

6

На плоскости начертим некоторую прямую l. Из любой точки А к плоскости опустим перпендикуляр АВ на прямую l, (Вl) и на прямой АВ отметим точку А′ так, чтобы имело место равенство АВ = ВА′. Тогда точки А и А′ называются симметричными относительно прямой (оси) l. Здесь прямая l называется осью симметрии (рис. 27). При этом также говорят, что точка А переходит в симметричную точку А ′ относительно оси l.

Рис. 27

Рис. 28

Рис. 29

Если при преобразовании плоскости каждая её точка переходит в симметричную ей точку относительно оси l, то это преобразование называется осевой симметрией

(рис. 28, 29).

Формулы симметрии относительно оси Ох:,оси Оу:

§ 24. Параллельный перенос

Рис. 30 (1)

Определение. Параллельным переносом фигуры F называется такое преобразование фигуры F, при котором все её точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние (рис. 30).

Рис. 30 (2)

Параллельный перенос - это преобразование фигуры, при котором все её точки смещаются на один и тот же вектор. Этот вектор называют вектором переноса.

Формулы параллельного переноса:

§ 25. Признаки подобия треугольников

Треугольники называются подобными, если у них соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Таким образом, если ∆АВС ∆А′В′С′, то А = А′, В = В′, С = С′ и

23

Рис. 23

В частности, если векторы = и = противоположно направлены, то лучи ОА, ОВ образуют развёрнутый угол: (;) = 180° (рис. 23).

Если угол между векторами иравен 90°, то векторы называются перпендикулярными: (;) = 90° или (рис. 24).

Рис. 24

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется произведение длин этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов и обозначается так: ∙.

Значит, по определению: · =||·||· cosφ. (1)

В формуле (1) φ - угол между векторами и , т.е. ( ; ) = φ.

Если векторы заданы своими координатами, то · = а· в+ а· в. (2)

Из формулы (1) можно выразить cosφ: .

Скалярный квадрат вектора равен квадрату длины этого вектора: ² =||².

Если два вектора ивзаимно перпендикулярны, т.е. (; ) = 90°, то их скалярное произведение равно нулю: · = 0, т.е. а· в+ а· в= 0.

§ 22. Центральная симметрия

Рис. 25

Преобразование плоскости, которое каждую точку плоскости переводит в точку, симметричную ей относительно центра О, называется преобразованием центральной симметрии

(рис. 25).

Координаты симметричных точек относительно начала координат равны по модулю, а знаки - противоположны, т.е. если точки А(х;у) и А′(х′; у′) симметричны относительно начала координат, то выполняются равенства:

(рис. 26).

Рис. 26

§ 22. Осевая симметрия

22

40 дней. Определите, за сколько дней каждая бригада, работая отдельно, могла бы отремонтировать шоссе.

Решение.

Пусть всю работу первая бригада выполнит за х дней, а вторая бригада - за у дней. Тогда их производительность соответственно равна и . По условию задачи имеем: или Решаем полученную систему способом

подстановки или Решив эту систему,

имеем: = 24, = 72; = 45, = 30. Эти значения удовлетворяют условию задачи.

Ответ: 45 дней и 30 дней или 24 дня и 72 дня.

§ 5. Система линейных неравенств с одной переменной

Определение. Система нескольких неравенств с одной переменной, в которой хотя бы одно неравенство нелинейно, называется системой нелинейных неравенств.

Решить систему неравенств - это значит найти множество общих решений всех неравенств, входящих в систему.

Решением системы неравенств с одной переменной является значение переменной, при котором каждое из неравенств обращается в верное числовое неравенство.

Пример 1. Решим систему неравенств:

Решение:

Рис. 5

Множество решений первого неравенства находим методом интервалов. Корнями трёхчлена являются: = 4, = 1. Итак, и (рис. 5).

Решение второго неравенства: (рис. 6).

Рис. 6

Рис. 7

Решением системы является пересечение множеств решений двух неравенств, составляющих данную систему. Изобразив множество решений этих неравенств на одной числовой прямой, найдём их пересечение (рис. 7).

Ответ: (5; + ∞). 7

Пример 2. Найдём решение системы неравенств:

Решение:

Решение первого и второго неравенств находим с помощью метода интервалов:

Рис. 8

Рис. 9

Теперь изобразим множество решений этих неравенств на одной числовой прямой. Пересечение этих множеств есть решение данной системы неравенств (рис. 10).

Рис. 10

Ответ: (-1/3; 2).

Пример 3. Найдём область определения функции .

Решение:

Для нахождения области определения данной функции рассмотрим систему: или

Рис. 11

Решением первого неравенства

является х≥ -3 и х ≤ ½ х или -3 ≤ х ≤ ½

(рис. 11).

Решением неравенства х ≠ 0 является вся числовая прямая за исключением нуля, т.е. х > 0

и х < 0 (рис. 12).

Рис.12

Рис. 13

Решением системы неравенств является общая часть решений двух неравенств данной системы (рис. 13).

Ответ: [-3; 0)(0; ½].

§ 6. Арифметическая прогрессия. Формула п-го члена

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа.

8

, тогда длина вектора равна:

. Ответ: (4; -3); 5.

Пример 2. Даны векторы (-1; 3), (-2; ) и .

1) Определить, вид треугольника АВС; 2) Найти периметр треугольника АВС.

Решение:

1) Найдём длины векторов: ||;

||; ||. Так как АВ=ВС≠ АС, то треугольник АВС - равнобедренный.

2) Найдём периметр треугольника АВС: Р = АВ + ВС + АС=+ +=

= 2+ . Ответ: 1) ∆ АВС - равнобедренный; 2) Р = 2+ .

5. Условие коллинеарности векторов

Два вектора и будут коллинеарными, если соответствующие координаты их пропорциональны, т.е.= .

Пример 3. Определить, при каких значениях т векторы и будут являться сонаправленными, противоположно направленными.

Решение:

Так как у коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорциональны, то верно равенство:, откуда получаем, что , т = ± .

При т = векторы и сонаправлены, при т =- векторы и противоположно направлены.

§ 21. Скалярное произведение двух векторов

Пусть даны векторы и. Отметим произвольную точку О и отложим от неё векторы = и = . При этом возможны два случая:

Рис. 22

1. Векторы и не сонаправлены, тогда лучи ОА и ОВ образуют угол АОВ.

Этот угол называется углом между векторами и и обозначается так: (;).АОВ = (;) (рис.22).

21

. Ответ: .

§ 19. Векторы. Коллинеарные векторы

Рис. 21

Вектором, или направленным отрезком, называется отрезок вместе с его направлением. На рис. 21 векторобозначен буквой . Поэтому можно записать: .

Точка А называется началом вектора, а точка В - концом вектора.

Два ненулевых вектора, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

§ 20. Координаты вектора

Пусть даны два вектора: и .

1. Сумма векторов.

Тогда =+ =.

Итак, каждая координата суммы двух векторов равна сумме соответствующих координат слагаемых векторов.

2. Разность векторов.

Аналогично =- =.

Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат уменьшаемого и вычитаемого векторов.

3. Умножение вектора на число.

k∙=.

Каждая координата произведения вектора на число равна произведению этого числа на соответствующую координату вектора.

4. Длина вектора

Пусть и , тогда.

Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

Длина вектора вычисляется по формуле: .

Пример 1. На плоскости даны точки: А (-3; 7) и В (1; 4). Найти координаты вектора АВ и его длину.

Решение:

20

Нетрудно заметить, что прибавляемое число можно получить, если любой член прогрессии отнять от его последующего члена. Это число называют разностью арифметической прогрессии и обозначают буквой d.

Пример 1. Последовательности 6; 10; 14; 18; 22; 26; 30; ... и 13; 8; 3; -2; -7; -12; ... будут арифметическими прогрессиями, так как в них каждый член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену в первой последовательности числа 4, а во второй - числа -5.

Любой член арифметической прогрессии можно выразить через её первый член и разность d. Для этого к первому члену арифметической прогрессии нужно лишь прибавить произведение разности на число, меньшее на единицу, чем порядковый номер искомого члена прогрессии: . Это равенство называется формулой п-го члена арифметической прогрессии.

Пример 2. Найдите 122-й член арифметической прогрессии 218; 212; 206; …

Решение:

В этой прогрессии = 218, = 212, найдём d = - = 212 - 218 = - 6.

По формуле имеем:

= 218 - 726 = -508. Ответ: -508.

Пример 3. Дана арифметическая прогрессия 4; 9; 14; 19; 24; 29; … Определить номер члена прогрессии, равного 304.

Решение:

Подставим = 4, d = 5, = 304 в формулу п-го члена арифметической прогрессии, а именно: .

Получим уравнение: 304 = 4 + (п - 1) ∙ 5.

Решив его, найдём номер п: 5 (п - 1) = 300; п - 1= 60; п = 61. Ответ: п = 61.

Пример 4. Является ли членом арифметической прогрессии -10; - 5,5; -1; 3,5; ... число: а) 71; 6) 109?

Решение:

а) = -10, = -5,5, найдём d = - = -5,5 - (-10)=10 - 5,5 = 4,5.

Число 71 является членом этой прогрессии, если существует такое натуральное значение переменной п, при котором значение выражения -10 + (п - 1) ∙ 4,5 равно 71.

Решаем уравнение: -10 + (п - 1) ∙ 4,5 = 71.

4,5 (п - 1) = 81; п - 1 = 18; п = 19. 19 - натуральное число. Значит, 71 является девятнадцатым членом данной прогрессии.

б) Для того, чтобы выяснить, является ли число 109 членом данной арифметической прогрессии, решим уравнение: -10 + (п - 1) ∙ 4,5 = 109. Получим, что п = 27.

Значит, значение п - ненатуральное число. Следовательно, 109 не является членом рассматриваемой прогрессии. Ответ: а) да, п = 19; б) нет.

§ 7. Сумма первых п членов арифметической прогрессии

● Теорема. Сумма первых п членов арифметической прогрессии равна полусумме крайних членов, умноженной на число членов. 9

Значит, формула суммы п первых членов арифметической прогрессии имеет вид:

(1) или . (2)

Пример 1. Найти сумму первых 20 членов арифметической прогрессии: 1; 3,5;…

Решение:

По условию = 1, = 3,5, тогда d = - = 3,5 - 1= 2,5.

Найдём 20-й член этой прогрессии: .

Теперь можно вычислить искомую сумму:

Ответ: 495.

Пример 2. Найти сумму первых 35 членов арифметической прогрессии, если её шестой член равен 31, десятый 55.

Решение:

Разность номеров членов 10 - 6 = 4, а разность членов: 55 - 31 = 24, значит

4d = 24, а d = 6.

Найдём . Вычислим: .

Значит

Ответ: 3605.

Пример 3. В арифметической прогрессии = 20, d = - 0,5 и = 371.

Найти п и .

Решение:

Подставим данные значения в формулу (2):

или . Преобразовывая последнее уравнение, получим: п² - 81п + 1484 = 0. Полученное квадратное уравнение имеет два корня: п = 28 и п = 53. Для каждого значения п вычисляем соответствующее значение п-го члена по формуле: , получаем: и .

Ответ: п =28 и ; п = 53 и .

§ 8. Геометрическая прогрессия. Формула п-го члена

Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же, не равное нулю, число, называется геометрической прогрессией.

Число, на которое надо умножить предыдущий член, чтобы получить последующий, называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается буквой q.

10

§ 18. Формулы тригонометрических функций двойного и половинного углов

Тригонометрические функции двойного угла:

; ; ;

; .

Тригонометрические функции половинного угла:

; ; ; ; ; ; .

Пример 1. Упростить выражение: .

Решение:

=. Ответ: .

Пример 2. Доказать тождеств: .

Доказательство:

Для этого в левой части равенства одновременно применяем формулы синуса двойного угла и косинуса двойного угла, тогда получим:

=. ■

Пример 3. Вычислим значение , зная, что и .

Решение:

Мы знаем, что: . , значит . Отсюда .

Тогда. Ответ: .

Пример 4. Найти значение .

Решение:

19

. Ответ: .

Пример 3. Вычислить значение .

Решение:

. Ответ:1.

Пример 4. Вычислить значение:

Решение:

. Ответ: .

§ 17. Формулы сложения

и

Пример 1. Не используя таблицу и не применяя микрокалькулятор, найти значение .

Решение:

. Ответ: .

Пример 2. Упростить выражение: .

Решение:

. Ответ: .

Пример 3. Найти сумму углов α + β, зная, что , , α и β - острые углы.

Решение:

Воспользуемся формулой тангенса суммы, тогда

= , отсюда следует, что α + β = 45°. Ответ: 45°.

18

Рассмотрим несколько примеров: 1) 3; 9; 27; 81; ...; 2) 8; -4; 2; -1; .

Приведённые выше примеры являются примерами геометрической прогрессии со знаменателями, которые соответственно равны 3 и - ½.

Формула п-го члена геометрической прогрессии имеет вид:

(3)

т.е. любой член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению первого её члена на степень, основанием которой является знаменатель этой прогрессии, а показателем - номер предыдущего члена.

Пример 1. Найти шестой член геометрической прогрессии, если первый член равен 6, а знаменатель ⅓.

Решение:

Согласно формуле (3) имеем: Ответ:

Пример 2. Найти номер члена геометрической прогрессии 1; 2; 4; 8,... равного 128.

Решение:

Ясно, что и q = 2. По формуле (3): . Так как , то можно записать, что или Отсюда или 9 = п - 1, п = 10.

Ответ: п = 10.

Пример 3. Найти первые два члена геометрической прогрессии, если четвёртый её член равен , а шестой член - .

Решение:

Применяя формулу п-го члена геометрической прогрессии и условие задачи, получим следующую систему уравнений:

или

Решая её, имеем q = , и q = - , . Тогда соответственно получим два одинаковых значения второго члена: и .

Ответ: , и , .

Пример 4. Сумма трёх чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 15. Если к ним прибавить соответственно числа 1, 4 и 19, то получатся три числа, составляющие геометрическую прогрессию. Найти эти числа 11

Решение:

По условию . По свойству разности арифметической прогрессии тогда . Из условия имеем: . Отсюда , . Тогда , , . Теперь по условию, прибавляя к каждому члену соответствующее число, получим члены геометрической прогрессии:

, , .

Мы знаем, что или , используя последнюю формулу, можно записать, что .

Решим полученное уравнение, тогда , . Теперь, используя равенство и найденные значения разности, вычислим соответствующие значения первого члена. Получим и . Тогда при и получаем числа 2; 5; 8; при и получим числа 26; 5; -16.

Ответ: 2; 5; 8 и 26; 5; -16.

§ 9. Сумма первых п членов геометрической прогрессии

Формула суммы первых п членов геометрической прогрессии имеет вид:

. В случае, когда 0 <q < 1 удобна формула: .

Пример 1. Найти сумму: .

Решение:

Данная сумма является суммой первых восьми членов геометрической прогрессии, в которой , q = 3. По формуле: имеем:

Ответ: 3280.

Пример 2. Вычислить сумму первых пяти членов геометрической прогрессии 6; 2; ⅔,…

Решение:

В данной прогрессии , q = ⅓. По формуле: имеем:

. Ответ: .

12

Пример 4. Доказать тождество:.

Доказательство:

Преобразование произведём в правой части равенства. Для этой цели к правой части прибавим и вычтем одно и то же выражение:.

=

=. =. ■

В некоторых случаях для доказательства тождества приходится произвести преобразование в обеих его частях и получить одно и тоже выражение.

§ 16. Формулы приведения

Формулы, выражающие тригонометрические функции углов, , , через тригонометрические функции угла α, называются формулами приведения (к наиболее простому виду).

При этом нужно помнить два правила применения формул приведения:

1. Если в левой части равенства в скобках стоит угол π или 2π (180°, 360°), то название

функции в правой части сохраняется.

Если в левой части равенства в скобках стоит угол или (90°, 270°), то название

функции в правой части меняется на кофункцию.

2. Знак в правой части равенства определяется по знаку левой части, при этом угол α

считается острым.

Формулы приведения приведены в следующей таблице:

х

sin x

cos α

cos α

sin α

- sin α

- cos α

- cos α

- sin α

sin α

cos x

sin α

- sin α

- cos α

- cos α

- sin α

sin α

cos α

cos α

tg x

ctg α

- ctg α

- tg α

tg α

ctg α

- ctg α

- tg α

tg α

ctg x

tg α

- tg α

- ctg α

ctg α

tg α

- tg α

- ctg α

ctg α

Пример 1. Найти значение .

Решение:

. Ответ: .

Пример 2. Найти значение .

Решение:

17

Число Т ≠ 0 называется периодом функции.

Периодичность тригонометрических функций: ; ; ; .

§ 14. Основные тригонометрические тождества

Основные тригонометрические тождества:

sinα + cosα = 1; ;

; ; .

§ 15. Тождественные преобразования тригонометрических выражений

Рассмотрим, как тригонометрические формулы применяются для упрощения выражений и доказательства тождеств.

Пример 1. Упростить выражение: cosα + 1 + sinα.

Решение:

Для этого воспользуемся формулой sinα + cosα = 1. Тогда cosα + 1 + sinα =

= (cosα + sinα ) + 1 = 1 + 1 = 2. Ответ: 2.

Пример 2. Выразить через дробь .

Решение:

Для этого каждое слагаемое числителя и знаменателя дроби разделим на cos α при условии, что cos α ≠ 0.

Тогда . Ответ: .

Пример 3. Доказать тождество: .

Доказательство:

Воспользуемся формулой разложения разности квадратов двух выражений

на множители в знаменателе: =

= cosα - sinα . Тогда , что и требовалось доказать.

В данном примере для доказательства тождества мы осуществили тождественное преобразование его левой части и получили правую часть.

Иногда поступают наоборот, т.е. преобразуя правую часть тождества, получают его левую часть.

16

Пример 3. Найти сумму первых десяти членов геометрической прогрессии {}

1; 2; 4; 8; …

Решение:

Первый член прогрессии равен 1, а второй член - 2. Найдём знаменатель этой прогрессии: q = 2. Теперь воспользуемся формулой суммы первых п членов геометрической прогрессии:

. Ответ: 1023.

Пример 4. Сумма первых п членов геометрической прогрессии , первый член прогрессии , а знаменатель q = 2. Найти п.

Решение:

Воспользуемся формулой . Имеем: .

, значит п = 5. Ответ: п = 5.

§ 10. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия со знаменателем │q│< 1 называется бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Пример 1. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если её первый член равен 3, а знаменатель ⅓.

Решение:

Применив формулу суммы членов при , q = ⅓, получим:

Ответ: 4,5.

Пример 2. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии

2; -1; …

Решение:

Первый член , а второй член , тогда знаменатель q = -½.

Ответ:

Пример 3. Представим бесконечную десятичную периодическую дробь 0,(03) в виде обыкновенной.

Решение:

Число 0,(03) можно записать в виде суммы: 0,(03) = 0,03 + 0,0003 + 0,000003 + …

13

Эта сумма является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем 0,01, поэтому:

Ответ:

Пример 4. Обратить бесконечную периодическую десятичную дробь 0,2(54) в обыкновенную.

Решение:

Число 0,2(54) можно записать в виде суммы: 0,2(54) = 0,2 + 0,054 + 0,00054 +....

В сумме 0,054 + 0,00054 + 0,0000054 + ... слагаемые являются членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q = 0,01.

Применив формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, найдём, что:

Значит 0,2(54) =0,2 +=. Ответ: .

§ 11. Градусные и радианные меры угла

Угол α считается положительным, если он образован поворотом луча ОМ от исходного своего положения против движения часовой стрелки, и отрицательным, если он образован поворотом луча по направлению движения часовой стрелки (рис. 14).

Рис. 14

Рис.15

В качестве радианной меры угла берётся отношение длины дуги окружности, образующей угол, к её радиусу. Значит: , где l - длина дуги окружности; R - радиус этой окружности; α - угол, заданный в радианах, соответствующий данной дуге окружности.

Центральный угол, опирающийся на дугу длиной, равной длине радиуса окружности, называется углом в 1 радиан. (Рис.15)

Всякий угол, заданный в градусной мере, можно перевести в радианную, и наоборот, угол, заданный в радианной мере, можно перевести в градусную меру.

Следует помнить, что π = 180° . Поэтому при переводе радианной меры угла в градусную или обратно надо π заменить на 180° или наоборот.

Значит, 270°= и .

§ 12. Тригонометрические функции произвольного угла

14

Возьмём прямоугольную систему координат и на правой части оси абсцисс обозначим точку А. Проведём окружность с центром в начале координат и радиусом

ОА = 1 (рис. 16).

На рисунке вы видите обозначение четвертей единичной окружности.

Ордината точки В - конца подвижного радиуса называется синусом угла α.

Абсцисса точки В - конца подвижного радиуса называется косинусом угла α

Рис. 16

Отношение ординаты конца подвижного радикса к его абсциссе называется тангенсом угла α.

Отношение абсциссы конца подвижного радикса к его ординате называется котангенсом угла α.

Введём обозначения: , , , .

§ 13. Свойства тригонометрических функций

1. Знаки тригонометрических функций

2. Чётность функций

Функция у = f(x) называется чётной, если для всех значений х из области определения функции выполняется равенство:

f(-x) = f(x).

Чётная только одна функция

y = cos x.

Значит: cos (-x) = cos x.

Функция у = f(x) называется нечётной, если для всех значений х из области определения функ-ции выполняется равенство:

f(-x) = - f(x).

Нечётные функции: y = sin x,

y = tg x, y = ctg x.

Значит: sin (-x) = - sin x,

tg (-x) = - tg x,

ctg (-x) = - ctg x.

Рис. 17

Рис. 18

Рис. 19

Рис. 20

Функция не являющейся ни чётной, ни нечётной, называется функцией общего вида (ФОВ).

3. Периодичность тригонометрических функций

Функция называется периодической, если для всех х из области определения функции выполняется равенство: f(x + Т) = f(x). 15