Практикум Обратные тригонометрические функции

6

Вычисление области определения и множества значений функций, связанных с обратными тригонометрическими функциями.

Ход урока.

Деятельность учителя.

Деятельность учащихся.

- Здравствуйте, ребята.

-Сегодняшний урок я хотела бы начать с повторения свойств обратных тригонометрических функций.

-Скажите, что называют арксинусом числа y₀? Сделайте соответствующую запись на доске.

- Почему функция y=arcsin x относится к обратным тригонометрическим функциям?

- Каковы область определения, множество значений и характер монотонности функции y = =arcsin x?

- Теперь повторим определение арккосинуса числа y₀.

- Почему функция y=arccos x относится к обратным тригонометрическим функциям?

- Каковы область определения, множество значений и характер монотонности функции y = =arccos x?

- Ответьте мне на те же вопросы, касающиеся чисел arctg y₀ и arcсtg y₀ и функций y=arctg x и y=arcсtg.

-Что называют арктангенсом числа y₀?

-Что называют арккотангенсом числа y₀?

- Функции y=arctg x и y=arcctg x, как вам уже известно, также относят к обратным тригонометрическим функциям. Обоснуйте этот факт.

- Опишите основные свойства этих функций, то есть те свойства, которые мы уже установили для y=arcsin x и y=arccos x.

- Как вы думаете, для чего мы изучали все эти свойства?

- Верно. Запишите в тетрадях тему нашего сегодняшнего занятия «Вычисление области определения и множества значений функций, связанных с обратными тригонометрическими функциями».

- Для начала выполним задание № 670 под номером 1.

К доске идет Даша, все остальные записывают задачу в рабочую тетрадь.

- Даша, прочитайте задачу и выполните ее.

- Верно, теперь выполним следующее задание, найдите область определения и множество значений функции . На доске его будет выполнять Кирилл, а все остальные в тетрадях.

- Кирилл, обратите внимание на выражение, стоящее под знаком арксинуса.

- Какими свойствами обладает данная функция? Каковы ее область определения и множество значений?

- Как это можно сделать?

- Молодец, Кирилл, садитесь.

Обратите внимание, в задачах такого типа, то есть в задачах на нахождение области определения и множества значений функции вида

нужно исследовать функцию g(x), ее область определения и множество значений.

-Решим еще одну подобную задачу. Найдите множество значений функции . На доске его будет выполнять Ира, а все остальные в тетрадях.

- Какую в данном случае надо исследовать функцию прежде, чем переходить к непосредственному нахождению множества значений функции ?

- Молодец, садитесь.

- Разделитесь на 3 группы, каждой группе я выдаю карточку с двумя заданиями. Сделав задания, сначала вы отчитываетесь передо мной, а затем, при условии, что у вас нет ошибок - перед всем классом. Того, кто будет предоставлять отчет мне и классу, выберу я, причем мне будет отвечать один человек из группы, а защищать работу перед классом - другой. Таким образом, 6 человек должны сегодня получить хорошую оценку.

Домашнее задание к следующему уроку найдите область определения и множество значений функции , Найдите множество значений функции.

А теперь приступим к работе с карточками.

-Если | y₀|≤1, то арксинусом y₀ называют такое число x₀, что sin x₀= y₀ и -π/2 ≤ x₀ ≤ π/2.

(x₀=arcsin y₀, -1≤ у₀≤1) (у₀= sin x₀, -π/2≤ x₀ ≤π/2)

- Функция y=arcsin x относится к обратным тригонометрическим функциям, так как она является обратной к функции y=sin x, где -π/2≤x≤ π/2.

- Область определения функции y=arcsin x - отрезок [-1;1], множество ее значений - отрезок [-π/2; π/2], данная функция монотонно возрастает на всей своей области определения.

-Если | y₀|≤1, то арккосинусом y₀ называют такое число x₀, что cos x₀= y₀ и 0 ≤ x₀ ≤ π.

(x₀=arccos y₀, -1≤ у₀≤1) (у₀= cos x₀, 0≤ x₀ ≤π)

- Функция y=arccos x относится к обратным тригонометрическим функциям, так как она является обратной к функции y=cos x, где 0≤x≤ π.

- Область определения функции y=arccos x - отрезок [-1;1], множество ее значений - отрезок [0; π], данная функция монотонно убывает на всей своей области определения.

-Арктангенсом y₀ называют такое число x₀, что tg x₀= y₀ и -π/2 < x₀ < π/2.

(x₀=arctg y₀, y₀ R) (у₀= tg x₀, -π/2< x₀ <π/2)

-Арккотангенсом y₀ называют такое число x₀, что ctg x₀= y₀ и 0 < x₀ < π.

(x₀=arcctg y₀, y₀ Î R) (у₀= ctg x₀, 0< x₀ <π)

-Функция y=arctg x относится к обратным тригонометрическим функциям, поскольку является обратной к функции y=tg x, где -π/2<x< π/2, а функция y=arcсtg x обратная тригонометрическая, так как обратна к функции y=сtg x, где 0<x< π.

- Область определения функции y=arctg x - все множество действительных чисел, множество ее значений - интервал (-π/2; π/2), данная функция монотонно возрастает на всей своей области определения.

Область определения функции y=arcсtg x также все множество действительных чисел, множество ее значений - интервал (0; π), данная функция монотонно убывает на всей своей области определения.

-Вероятно, для того чтобы решать такие задачи, выполнять такие упражнения, которые требуют наличия знаний об обратных тригонометрических функциях и их свойствах.

выполняют

- Найдите область определения функции . Для того чтобы найти область определения данной функции нужно учесть, что область определения функции y=arcsin t - отрезок [-1;1]. В нашем случае t=x-2, то есть

-1 ≤ x-2 ≤ 1.

Прибавим 2 ко всем частям данного неравенства:

1 ≤ x ≤ 3.

Таким образом, искомая область определения функции - отрезок [1;3].

Кирилл записывает на доске .

- Это функция .

- Область определения функции g(x) - множество действительных чисел.

Для того чтобы найти ее множество значений нужно для начала преобразовать выражение .

- Так как коэффициенты, стоящие перед и равны 1, разделим и умножим данное выражение на

.

Получаем ,

,

.

Так как множество значений функции y=sin t - отрезок [-1;1], то

,

умножим все части данного неравенства на , тогда

.

Теперь прибавим , а затем разделим на :

.

Таким образом, мы получили, что множество значений функции g(x) - это отрезок [1/2;1].

Учитывая, что функция g(x) стоит под знаком арксинуса и область определения функции y=arcsin t, делаем вывод о том, что областью определения функции является множество действительных чисел.

Далее учитывая, что функция y=arcsin t монотонно возрастает на всей своей области определения, из неравенства получаем, что .

Умножив все части последнего неравенства на 6, получим искомое множество значений.

.

Ответ: D(f)=R, E(f)=[π;3π].

Ира записывает .

- Сначала надо найти множество значений функции .

Учитывая то, что модуль числа всегда неотрицателен, имеем:

,

умножим обе части неравенства на 3, 3>0, тогда

.

Затем прибавим 4и разделим на 8, получаем

.

Учитывая область определения функции y=arсcos t, запишем .

Функция y=arcсos t является убывающей, то

.

.

Ответ: E(f)=[0;1].

Задания.

Карточка № 1.

1)Найдите область определения и множество значений функции .

2) Найдите множество значений функции .

Карточка № 2.

1)Найдите множество значений функции .

2) Найдите область определения и множество значений функции .

Карточка № 3.

1)Найдите область определения и множество значений функции.

2) Найдите множество значений функции .