Информационный лист по математике на тему: Числовые последовательности и их свойства

Последовательности и их свойства. Предел последовательностей

Определение 1. Функцию вида у = f(x), xN называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают: у=f(n) или у₁, у₂, у₃, …, у_n,...

Способы задания

Словесный - задания последовательности описано словами, без указания каких-то формул

Аналитический - указывают формулу ее n-го члена

Рекурентный- задают правило, позволяющее вычислить n-й член последовательности через предшествующий,

Пример.

1. у_n =n³ последовательность вида

1, 8, 27, 64, ... ,n³, ...

2. у_n =С. последовательность вида

С, С, С, .... С,...

Она называется постоянной

е

2. Свойства числовых последовательностей

а) Последовательность (у_n) называют ограниченной

сверху, если все ее члены не больше некоторого числа.

То есть, число М такое, что выполняется неравенство

у_nМ. Число М называют верхней границей последовательности.

Например: последовательность -1, -8, -27, -64, ... , -n³ , ... ограничена сверху.

В качестве верхней границы можно взять число М= -1

б) Последовательность (у_n) называют ограниченной снизу, если все ее члены не меньше некоторого числа. То есть, число т такое, что выполняется неравенство у_nт. Число т называют нижней границей последовательности.

Например: последовательность 0, 1, 2, 3, 4, ..., (n-1), ... ограничена снизу.

В качестве нижней границы можно взять число т=0 .

в)Если последовательность ограничена и сверху, и снизу, то ее называют ограниченной.

Например: -1, , , , ... , , ...Эта последовательность ограничена и сверху, и снизу. В качестве верхней границы можно взять число М=0, в качестве нижней границы - число m= -1.

г) Последовательность (у_n) называют возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего. Например: 1, 3, 5, 7, … , 2n-1, ... - возрастающая последовательность.

д) Последовательность (у_n) называют убывающей, если каждый ее член меньше предыдущего Например: 1, , , ... , , ...- убывающая последовательность

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином - монотонные последовательности.