Опорный конспект по теме Решение тригонометрических уравнений

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Определение: Показательные уравнения - это уравнения, в которых неизвестное находится в показатели степени

Примеры: 3^х = 27; 4·2^х = 16; 3^х-1 = 9·3^х

Теорема: Если и , то x₁ = x₂

Эту теорему будем использовать при решении показательных уравнений

Рассмотрим пять различных способов

РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

I способ.

Приведение к одинаковому основанию

Решить уравнение:

1. 5^х = 25 (приведем к основанию 5)

2. 5

   Самостоятельно

   4^х = 64^х = 5² по теореме имеем

х = 2

Ответ: х = 2

2) 4^х-1 = 1 (приведем к основанию 4)

4^х-1 = 4⁰ заменим 1 на 4⁰ а⁰=1

x

Самостоятельно

3^х-2= 1- 1 = 0

х = 1

Ответ: х = 1

3) 27^х = (приведем к основанию 3)

(3³)^х = 3^-1

3^3x = 3^-1 (aⁿ)^m=a ^{n m}

3

Самостоятельно

25^х = x = -1

x =

Ответ:

4) 4 · 2^х = 1 (приведем к основанию 2)

2² · 2^х = 2⁰ aⁿ · a^m = a^{n+ m}

2

Самостоятельно

9 · 3^х =

Самостоятельно

Самостоятельно

5^2х-1 · 5^2-х = ^2+х = 2⁰

2 + х = 0

х = -2

Ответ: х = -2

5) 3 · 9^х = 81 | :3

9^х = 27 (приведем к основанию 3)

(3²)^х = 3³ (aⁿ)^m=a^{n m}

3^2х = 3³

2

Самостоятельно

2 · 25^х = 50х = 3

х =

Ответ: х = 1,5

6) (приведем к основанию 3)

х² + х - 12 =0

a = 1; b = 1; c = -12

D = b² - 4 ac; D = 1² - 4 · 1 · (-12) = 1 + 48 = 49 > 0

Ответ: х₁ = 3; х₂ = -4

7) 4^х+1 · 4^2х+3 = 1 (приведем к основанию 4)

4^х+1+2х+3 = 4⁰ aⁿ · a^m = a^n+m

4^3х+4 = 4⁰

3х + 4 = 0

3х = - 4

Ответ:

Задание для проверки

Решить уравнения:

1. 7^х = 49

2. 

3. 4^х+1 =

4. 2 · 4^х = 64

5. 3^х · 3^х-2 =

РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

II способ.

Приведение к одинаковому показателю

Решить уравнение. Для решения уравнений этим способом нужно получить в левой и правой части уравнения степени с одинаковыми показателями.

1. 5^х = 8^х | обе части уравнения разделим на 8^х > 0

1 = а⁰

Самостоятельно

7^х = 3^х

х = 0

Ответ: х = 0

2)  :

Самостоятельно

(0,6)^х=(0,3)^хк основанию

х = 0

Ответ: х = 0

3) 3^х = 5^2х

3^х = (5²)^х а^{n m}=(аⁿ)^m

3^х = 25^х : 25^х

Самостоятельно

4^2х=3^х

Самостоятельно

5^2х-1=3^1-2х

х = 0

Ответ: х = 0

4) 7^х-2 = 3^2-х

7^х-2 = 3^-1(х-2) а^{n m}=(аⁿ)^m

7^х-2 = (3^-1)^х-2

7^х-2 =  :

21^х-2 = 1

21^х-2 = 21⁰

х-2 = 0

х = 2

Ответ: х = 2

5) к показателю (х-3)

 : 9^х-3

Самостоятельно

х - 3 = 0

х = 3

Ответ: х = 3

6) 2^3х · 3^х = 576

(2³)^х · 3^х = 24²

8^х · 3^х = 24² aⁿ · bⁿ = (ab)ⁿ

(8 · 3)^х = 24²

24^х = 24²

х = 2

Ответ: х =2

Задание для самоконтроля

1. 4^х = 3^2х

2. 5^х =

3. 2^2х+6 = 3^х+3

РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

III способ.

Вынесение общего множителя за скобки

При решении уравнений этим способом за скобку выносится степень с наименьшим показателем.

Решить уравнение:

1. 3

   Самостоятельно

   4^х - 3 · 4^х-2 = 52^х+1 - 2 · 3^х-2 = 25

х + 1 > х - 2, значит, вынесем 3^х-2

3^х-2 (3^х+1-(х-2) - 2) = 25 аⁿ : a^m = a^n-m

3^х-2 (3^х+1-х+2 - 2) = 25

3^х-2 (3³ - 2) = 25

3^х-2 * 25 = 25 | : 25

3^х-2 = 1

3^х-2 = 3⁰

х - 2 = 0

х = 2

Ответ: х = 2

2. 3

   Самостоятельно

   2^3х+2 - 2^3х-2 = 30^2х-1 + 3^2х = 108; (2х-1<2х)

3^2х-1 (1+ 3^2х-(2х-1)) = 108

3^2х-1 (1+ 3^2х-2х+1) = 108

3^2х-1 (1+ 3¹) = 108

3^2х-1 · 4 = 108 | :4

3^2х-1 = 27 к основанию 3

3^2х-1 = 3³

2х-1 = 3

2х = 4

х = 2

Ответ: х = 2

3. 2

   Самостоятельно

   3^х-1 - 3^х + 3^х+1 = 63^х+1 + 2^х-1 + 2^х = 28

наименьший показатель х-1

2^х-1 (2^х+1-(х-1) + 1 + 2^х-(х-1)) = 28

2^х-1 (2^х+1-х+1 + 1 + 2^х-х+1) = 28

2^х-1 (2² + 1 + 2¹) = 28

2^х-1 · 7 = 28 | : 7

2^х-1 = 4 к основанию 2

2^х-1 = 2²

х - 1 = 2

х = 3

Ответ: х = 3

Проверочная работа

1. 5^3х + 3 · 5^3х-2 = 140

2. 7^х - 7^х-1 = 6

3. 2^х+1 + 3 · 2^х-1 - 5 · 2^х = -6

РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

IV способ.

Сведение уравнения к квадратному

Решить уравнение:

1. 9^х - 4 · 3^х - 45 = 0 к основанию 3

(3²)^х - 4 · 3^х - 45 = 0

3^2х - 4 · 3^х - 45 = 0

(3^х)² - 4 · 3^х - 45 = 0

Заменим 3^х на t

3^x = t (t>0)

t² - 4t - 45 = 0

a=1; b=-4; c=-45

D = b² - 4ac = (-4)² - 4 · 1 · (-45) = 16 + 180 = 196

3^x=t (t > 0)

1. 3^x = 9 2) 3^x = -5

3^x = 3² не имеет смысла, т.к. 3^х > 0

x = 2

Ответ: х = 2

2. 25^х - 6 · 5^х + 5 = 0

5^2х - 6 · 5^х + 5 = 0

(5^х)² - 6 · 5^х + 5 = 0 5^x=t (t > 0)

t² - 6t + 5 = 0

a=1; b=-6; c=5

D = b² - 4ac = (-6)² - 4 · 1 · 5 = 36 - 20 = 16

t=5^x

2. 5^x = 5 2) 5^x = 1

x = 1 5^x = 5⁰

x = 0

Ответ: х₁ = 0; x₂ = 1

3. 3^2x+1 - 10 · 3^х + 3 = 0

3¹ · 3^2x - 10 · 3^х + 3 = 0 а^n+m = aⁿ · a^m

3 · (3^х)² - 10 · 3^х + 3 = 0 3^х=t (t > 0)

3t² - 10t + 3 = 0

a = 3; b = -10; c = 3

D = b² - 4ac = (-10)² - 4 · 3 · 3 = 100 - 36 = 64

t=3^x

1) 3^x = 3 2) 3^x =

x = 1 3^x = 3^(-1)

x = -1

Ответ: х₁ = 1; x₂ = -1

Решить самостоятельно:

1. 9^х - 4 · 3^х + 3 = 0

2. + - 6 = 0

3. 13^2х+1 - 13^х - 12 = 0

4. 8 · 4^х - 6 · 2^х + 1 = 0

РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

V способ.

Графический

Решить графически уравнение:

1. 2^х = х+1

Построим графики функций

у₁=2^х ; у=х+1

х

у

х

у

0

1

0

1

1

2

2

3

2

4

3

8

-1

-2

-3

Абсциссы точек пересечения графиков и будут решением уравнения. Таких точек две. Опустим перпендикуляр на ось Ох, получим точки

х₁=0 и х₂=1

Ответ: х₁=0, х₂=1

Решить самостоятельно (графически):

РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ

Решение показательных неравенств сводится к решению
неравенств а^х>a^b или а^х<а^b

1) 3^х < 81

3^x < 3⁴ основание а=3, а>1, функция у=а^х возрастает,

x < 4 т.е. , х₁ > х₂ знак неравенства не меняем

Ответ: x < 4

2. основание а=; 0<a<1, функция у=а^х убывает,

т.е. , х₁ < х₂ знак неравенства меняем

х > 3 на противоположный

Ответ: х > 3

т.к. 3>1, то знак не меняем

х² - х < 2

x² - x - 2 < 0 решим уравнение

х² - х - 2 = 0

a = 1; b = -1; c = -2

D = b² - 4ac = (-1)² - 4 · 1 · (-2) = 1 + 8 = 9

решаем неравенство методом интервалов

Ответ: -1 < x < 2

4) приведем к основанию а =

а =, 0 < a <1, знак меняем на противоположный

2х > -1  :2

х >

Ответ:

5) 3^х+2 + 3^х+1 28 вынесем за скобку 3^х+1

3^х+1 ( 3^х+2-(х+1) + 1)  28

3^х+1 ( 3³ + 1)  28

3^х+1 · 28  28  : 28>0, значит, смысл неравенства не меняем

3^х+1 1

3^х+1 3⁰ 3>1, 3^х - возрастает

х + 1  0

х  -1

Ответ: х  -1

Самостоятельно:

1. 

2. 5^х-1 

3. 2^х-1 + 2^х+3 > 17