Урок математики в 8 классе

Тема: Теорема Виета.

Цели урока:

1. развивать интерес к математике;

2. сообщить информацию по теме;

3. систематизировать материал.

Ход урока:

Все дома решили уравнения вида . Получили корни:

Надо установить связь между

и ; ,

и . .

Прекрасно!

Мы установили это из данных уравнений.

Проверим гипотезу!

а) ,

, ,

.

Гипотеза верна!

б)

Уравнение имеет два равных корня.

Гипотеза верна!

в)

- 4 < 0, действительных корней нет.

Значит, гипотеза неверна?

Гипотезу надо уточнить!

Если уравнение имеет корни, то

Теперь эту гипотезу надо доказать! Открыл и доказал эту теорему французский ученый математик Франсуа Виет. Домашним заданием вам будет законспектировать доказательство этой теоремы одним из способов из учебника и поискать материал о жизни и деятельности Ф. Виета.

В классе докажем ее другим способом.

Пусть и - корни квадратного уравнения .

Надо получить:

Что значит и корни уравнения?

(1)

(2)

Вычтем из (1) уравнения (2), получим:

или

докажем этот случай

на консультации

Подставим найденной значение для в (1) уравнение:

Получили:

Мы открыли, потом доказали теорему Виета.

Верна и обратная теорема.

Дано: - числа,

Доказать: - корни уравнения .

Доказательство:

0 = 0 (верно) 0 = 0 (верно)

- корень - корень. ч.т.д.

Где использовать теорему Виета?

1). Можно, не находя корни, найти сумму и произведение корней квадратного уравнения вида :

2). Не решая уравнение , найти

Итак,

Где использовать теорему, обратную теореме Виета?

а). Можно проверить правильность решения квадратного уравнения.

Покажем, что корни уравнения найдены правильно:

- 8 + 5 = - 3. - 8  5 = - 40.

Значит, по теореме, обратной теореме Виета, числа - 8 и 5 являются корнями уравнения

б). Найти подбором корни квадратного уравнения (устно):

Как быть, если уравнение имеет вид где

Стихотворение «Теорема Виета», поэт Александр Гуревич:

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи, постоянства такого:

Умножишь ты корни - и дробь уж готова:

В числителе , в знаменателе

А сумма корней тоже дроби равна.

Хоть с минусом дробь эта, что за беда -

В числителе , в знаменателе

Итак,

Итак, мы научились применять теорему Виета и обратную ей для уравнений вида и

Угадайте корни уравнений:

Что трудно? Тогда решите сначала три таких уравнения, найдя корни подбором.

Что вы заметили? (Один из корней равен 1).

Установите связь между и корнями. Если , тогда один из корней 1, а другой .

Теорему Виета применяют для решения квадратных уравнений, где или . Это дает значительное преимущество для быстрого получения ответа.

Если в уравнении , то один из его корней 1, а другой .

Если в уравнении , то один из его корней - 1, а другой

Теперь вернитесь к решению уравнений

Придумайте дома по 3 красивых уравнения и предложите решить их товарищу.

4