- Преподавателю
- Математика
- Конус. Сечения конуса. Развертка конуса. Площадь поверхности конуса
Конус. Сечения конуса. Развертка конуса. Площадь поверхности конуса
Раздел | Математика |
Класс | 11 класс |
Тип | Конспекты |
Автор | Семёнов Т.Ю. |
Дата | 28.01.2016 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
Зам.Дир по УВР_______________ Утверждаю
№_____ Дата_________
Предмет ГЕОМЕТРИЯ
Класс 11
Тема урока: Конус. Сечения конуса. Развертка конуса. Площадь поверхности конуса.
Цели урока:
Изучить понятие конуса, его элементов; рассмотреть построение прямого конуса; рассмотреть нахождение полной поверхности конуса.
рассмотреть виды сечений конуса различными плоскостями, ввести понятие усеченного конуса, его элементов, рассмотреть усеченный конус как тело вращения, вывести формулу для вычисления площади боковой и полной поверхности усеченного конуса, показать связь темы с окружающим миром;
развивать логическое мышление и конструктивные навыки, сознательное восприятие учебного материала, зрительную память и грамотную математическую речь, навыки самоконтроля и самооценки;
воспитывать познавательную активность, чувство прекрасного, культуру речи и общения, аккуратность.
Тип урока: Изучение нового материала.
ХОД УРОКА
1. Организационный момент.
Приветствие учащихся, проверка готовности класса к уроку, организация внимания учащихся, раскрытие общих целей урока и плана его проведения.
2.Этап актуализации.
Задачи: обеспечение мотивации учения школьников, включение в совместную деятельность по определению целей урока. Актуализировать субъективный опыт учащихся.
ТЕСТ по теме "Цилиндр"
3. Формирование новых понятий и способов действия.
Задачи: Обеспечить восприятие, осмысление и запоминание учащимися изучаемого материала. Обеспечить усвоение учащимися методики воспроизведения изученного материала, содействовать философскому осмыслению усваиваемых понятий, законов, правил, формул. Установить правильность и осознанность учащимися изученного материала, выявить пробелы первичного осмысления, провести коррекцию. Обеспечить соотнесение учащимися своего субъективного опыта с признаками научного знания .
Содержание этапа:
6.1. Конус как фигура вращения
Определим еще одну замечательную геометрическую фигуру - конус(рис.44.1).
Пусть дан прямоугольный треугольник Q (рис. 44.2). Если этот прямоугольный треугольник вращать вокруг оси I, содержащей катет
треугольника, то в результате этого вращения мы получим фигуру вращения - конус (рис. 44.3).
Определение 19. Конусом называется фигура, полученная при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.
На рисунке 45 конус получен при вращении треугольника FAO с прямым углом О вокруг катета FO. Используя этот рисунок и имеющиеся знания, можно узнать о следующих свойствах конуса:
-
Катет О А при вращении образует круг, который называется основанием конуса.
-
Плоскость основания конуса перпендикулярна к оси вращения FO, <FOA=90°. Тем самым мы можем определить высоту конуса.
-
Перпендикуляр, проведенный из вершины конуса на плоскость основания, является его высотой.
-
Гипотенуза FA при вращении вокруг оси образует боковую поверхность конуса. Отрезки, соединяющие любую точку окружности основания с точкой F - вершиной конуса, равны как наклонные, имеющие равные проекции. Эти отрезки называются образующими конуса. Боковая поверхность конуса называется также конической поверхностью.
У конуса, основанием которого всегда является круг, а основание высоты конуса всегда попадает в центр основания конуса, называется прямым круговым конусом.
На рисунке 46 мы видим непрямой конус, но такие конусы в школьном курсе геометрии практически не рассматриваются (конус на рис. 46 не является фигурой вращения).
6.2. Сечения конуса плоскостью
Конус и плоскость могут иметь в пересечении часть конуса. В этом случае мы получаем различные сечения. Пусть плоскость сечения проходит через две образующие конуса.
Через две прямые, на которых лежат какие-нибудь две образующие конуса, можно провести единственную плоскость а. Эта плоскость пересечет основание конуса по хорде, а боковую поверхность - по двум образующим. Общей частью этой плоскости и конуса является равнобедренный треугольник (рис.47.1). Если плоскость а проходит через ось конуса, то полученный в сечении треугольник называется осевым сечением конуса.
На рисунке 47.2 треугольник FAB - осевое сечение, а на рисунке 47.1 треугольник FAB осевым сечением не является.
Конус можно пересечь плоскостью а, перпендикулярной к его оси. В этом случае плоскость сечения параллельна плоскости основания, а сечением конуса является круг (рис. 47.3) (обоснуйте ваши выводы).Если боковую поверхность конуса пересечь плоскостью р так, чтобы эта плоскость не пересекала его оснований и не была перпендикулярной к оси конуса, то в сечении получается эллипс (рис. 47.3).Плоскость, которая проходит через образующую конуса и не имеет с ним других общих точек, называют касательной плоскостью конуса (рис. 48).
6.3. Развертка и площадь поверхности конуса
Если боковую поверхность конуса разрезать по какой-нибудь образующей, например по АВ, и развернуть ее на плоскости, то получится развертка боковой поверхности конуса (рис.49).
Какую фигуру мы при этом получим? Как найти площадь этой фигуры?
Развертка боковой поверхности конуса радиуса R и образующей I представляет собой сектор круга радиуса I, длина которого 2 R (рис. 49).
Площадь такой развертки принимают за площадь S боковой поверхности конуса и обозначают S бок. пов. кон.
Используя формулу площади кругового сектора, получим:
S бок.пов.кон.= S сект.= 'где - угловая величина дуги сектора.
Приравнивая длину окружности основания конуса 2 R к длине дуги сектора , найдем угловую величину дуги :
2 R=, откуда =
где С- длина окружности основания конуса. Итак, мы вывели формулу: площадь боковой поверхности конуса равна половине произведения длины окружности основания на образующую.
S бок. пов. кон.= R, где R - радиус основания конуса, - образующая конуса.
За площадь поверхности конуса, или за площадь полной поверхности конуса, принимается площадь его развертки Sполн.. Она состоит из площади боковой поверхности и площади круга основания (рис. 49).
5. Применение. Формирование умений и навыков.
Задачи: Обеспечить применение учащимися знаний и способов действий, которые им необходимы для СР, создать условия для выявления школьниками индивидуальных способов применения изученного.
Содержание этапа: №8, 9,10.
6.Этап информации о домашнем задании.
Задачи: Обеспечить понимание учащимися цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.№14, 15(1)
7.Подведение итогов урока.
Задача: Дать качественную оценку работы класса и отдельных учащихся.