Открытый урок по математике Тригонометрические уравнения

10 класс

Тема: Решение тригонометрических уравнений

Цели:

Образовательные: проверить знания учащимися корней простейших тригонометрических уравнений, познакомить с решение более сложных тригонометрических уравнений, приводящихся к простейшим тригонометрическим уравнениям.

Развивающие: способствовать формированию умений применять полученные знания, развивать логическое мышление, математическую речь.

Воспитательные: воспитать интерес учащихся к математике, познавательную активность, коммуникативные навыки.

Оборудование: плакат с формулами решений тригонометрических уравнений, учебник, тетрадь.

Ход урока.

1. Постановка цели и задач урока.

С каким настроением вы сегодня пришли на урок?

Давайте постараемся сделать так, чтобы с нами рядом

Станет добрым и веселым хмурый человек

Как вы думаете, когда люди впервые столкнулись с тригонометрическими уравнениями.

Ещё древнегреческие математики, используя элементы тригонометрии для решения прямоугольных треугольников, фактически составляли и решали простейшие тригонометрические уравнения типа: sin x = a, где 0 < x < П/2 и |a| < 1.

Исторически учение о решении тригонометрических уравнений формировалось с развитием теории тригонометрических функций, а также черпало из алгебры общие методы их решения. Как мы видим, часть тригонометрических уравнений непосредственно решается сведением их к простейшему виду, иногда - с предварительным разложением левой части уравнения на множители, когда правая часть равна 0. В некоторых случаях удается произвести замену неизвестных таким образом, что тригонометрическое уравнение преобразуется в «удобное» для решения алгебраическое уравнение.

К сожалению, нельзя указать общего метода решения тригонометрических уравнений, почти каждое из них (кроме простейших) требует особого подхода.

Какие новые знания вы узнали на последних уроках. На последних уроках вы познакомились с арксинусом, арккосинусом, арктангенсом, формулами для решения простейших тригонометрических уравнений. Сегодня мы с вами закрепим полученные знания, расширим их при решении более сложных уравнений.

В ходе работы вы будете заполнять лист успешности.

2. Устная работа.

а) повторение формул (на планшете).

1. Sin x = а, |a|≤1

х = (-1)^к arcsin а + πк= arcsin а + 2πк

π-arcsin а + 2πк, к Є Z

2. Cos x = а, |a|≤1

х = +/- arccos a + 2 π n; n Є Z

3. tg x = a

х = arctg a + πn, n Є Z

4. ctg x = a

tg х =

х = arcсtg a + πn = arctg + πn, n Є Z.

б) Математическое лото. Заполнить таблицу (один человек решает у доски):

а

sin x = a

cos x = a

tg x = a

ctg x = a

0

1

-1

Ответ:

а

sin x = a

cos x = a

tg x = a

ctg x = a

0

х = к

х =

х = к

-

1

х =

х =

х =

х =

-1

х = -

х =

х = -

х =

в) Математическая эстафета.

По двое учащиеся подходят к доске, решают пример и передают «палочку» (мел) по эстафете

Sin x =1∕2

Cos x = √3∕2

Sin x = √3∕2

Cos x = 1∕2

Sin x = -√2∕2

Cos x = 0

Sin x = 0

tg x = √3∕3

Sin x = 1

tg x = -1

Cos x = -1∕2

tg x = 0

Cos x = -√2∕2

сtg x = 0

сtg x = -√3

Проверка решения заданий:

Sin x = 1∕2 х = (-1)^кπ ∕6+πк, к Є Z

Cos x = √3∕2 х = +/- π∕6+ 2 π n; n Є Z

Sin x = √3∕2 х = (-1)^кπ∕3+πк, к Є Z

Cos x = 1∕2 х = +/- π∕3+ 2 π n; n Є Z

Sin x= -√2∕2 х = (-1)^п+1π∕4+πn, n Є Z

Cos x = 0 х = 2 π n; n Є Z

Sin x = 0 х = πn, n Є Z

tg x = √3∕3 х = π∕6 + πn, n Є Z

Sin x = 1 х = π∕2+2πn, n Є Z

tg x = -1 х = -π∕4+ π n; n Є Z

Cos x = -1∕2 х = +/- 2π∕3+ 2 π n; n Є Z

tg x = 0 х = π n; n Є Z

Cos x = -√2∕2 х = +/- 3π∕4+ 2 π n; n Є Z

сtg x = 0 х не существует

сtg x = -√3 х = 5π∕6+ π n; n Є Z

Проверка математического лото.

3. Решение уравнений, приводимых к простейшим тригонометрическим уравнениям.

Мы рассмотрим уравнения, которые можно привести к простейшим с помощью преобразований.

а) cos =1

= 2πk, k Z

X= 4πk, k Z

б) cos = - (самостоятельно для тех, кто справился с а)

= ± arccos (-) + 2πn, n Z

x = ± 2arccos (- ) + 4πn, nZ

в) sin 2x =

2x = (-1) ⁿ arcsin () + πn, n Z

х = (-1) ⁿ +, n Z

Минута отдыха.

Массаж ушных раковин.

Более тысячи биологически активных точек на ухе известно в настоящее время, поэтому, массируя их, можно апосредовательно воздействовать на весь организм. Нужно стараться так помассировать ушные раковины, чтобы уши «горели». Упражнение можно выполнять в такой последовательности:
1) потягивание за мочки сверху вниз;
2) потягивание ушной раковины вверх;
3) потягивание ушной раковины к наружи;
4) круговые движения ушной раковины по часовой стрелке и против;

5) растирание ушей до ощущения «горения».

№ 137 а,б

№ 139 а,б

№ 145 а,б

4. Самостоятельная работа (программируемый контроль)

Задания

Ответ (n Z)

Вариант 1

Вариант 2

1

2

3

4

Sin x = -1∕2

Sin x = 1∕2

х = (-1)^пπ∕6+πn

х = 2 π n

х = (-1)^п+1π∕6+πn

х = +/- 2π∕3+ 2 π n

√3tg x -1=0

tg 2x- √3=0

х = π∕6+πn

не существует

х = +/- π∕3+ 2 π n

х = 5π∕6+2πn

Sin (х- π∕3) = 1

Sin (х- π∕3) = -1

х = -5π∕6+2πn

х = -π ∕6+2πn

х = πn

х = 5π∕6+2πn

Ответы: 1 вариант-3, 1, 4

2 вариант-1, 1, 2.

Во время выполнения самостоятельной работы учитель формирует итоговый лист мониторинга.

ФИ учащегося

Устная работа

Математическое лото

Математическая эстафета

Решение уравнений

Самостоятельная работа

Всего

5. Домашняя работа.

Решить тригонометрические уравнения (индивидуальные задания)

Обязательные задания 1-5, остальные по желанию.