Тема: “Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла”

Урок по математике для первого курса учреждений среднего профессионального образования

Тема: "Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла".

Преподаватель математики С.Б. Баранова

Образовательные задачи:

• обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала по данной теме;

• создать условия контроля (самоконтроля) знаний и умений.

Развивающие задачи:

• способствовать формированию умений применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного;

• продолжить развитие математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

Воспитательные задачи:

• содействовать воспитанию интереса к математике;

• воспитание активности, мобильности, умения общаться.

Тип урока - комбинированный урок с элементами проблемного обучения.

Методы и приёмы обучения - проблемный, наглядный, самостоятельная работа студентов, самопроверка.

Оборудование - приложение к уроку, таблицы.

План урока

1. Организационный момент. Подготовка студентов к работе на занятии.

2. Подготовка студентов к активной деятельности (проверка вычислительных навыков и таблиц интегралов по группам).

3. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний.

4. Работа с новым материалом.

5. Первичное осмысление и применение изученного материала, его закрепление.

6. Домашнее задание.

7. Применение знаний.

8. Подведение итогов.

9. Рефлексия.

Ход урока

1. Организационный момент.

Понятие определенного интеграла является одним из основных понятий математики. К концу 17 в. Ньютоном и Лейбницем был создан аппарат дифференциального и интегрального исчисления, который составляет основу математического анализа.

На предыдущих занятиях мы научились "брать" неопределенные интегралы, вычислять определенные интегралы. Но куда важнее применение определенного интеграла. Мы знаем, что с его помощью можно вычислять площади криволинейных трапеций. Сегодня мы ответим на вопрос: "Как это сделать?"

2. Подготовка студентов к активной деятельности.

Но сначала нам необходимо проверить вычислительные навыки и знание таблицы интегралов. Перед вами задание, результатом выполнения которого будет высказывание французского математика С.Д. Пуассона (Жизнь украшается двумя вещами: занятием математикой и ее преподаванием).

Задание выполняется парами (Приложение №1).

3. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний.

Переходим к теме нашего занятия "Вычисления площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла". Кроме умения вычислять определенный интеграл, нам нужно вспомнить свойства площадей. В чем они заключаются?

• Равные фигуры имеют равные площади.

• Если фигура разбита на две части, то её площадь находится как сумма площадей отдельных частей.

Также нам нужно повторить правило интеграла суммы и формулу Ньютона-Лейбница.

4. Работа с новым интегралом

1. Определенный интеграл служит для вычисления площадей криволинейных трапеций. Но на практике чаще встречаются фигуры, которые таковыми не являются и нам необходимо научиться находить площади именно таких фигур.

Работа по таблице "Основные случаи расположения плоской фигуры и соответствующие формулы площадей" (Приложение №2).

2. Давай проверим себя.

Работа с заданием (Приложение №3) с последующей проверкой (таблица №3).

3. Но умения правильно выбирать формулы для площади недостаточно. На следующей таблице (Приложение №4) в каждом из заданий есть "внешняя" причина, не позволяющая вычислить площадь фигуры. Найдём их.

а) не указаны формулы для графиков функций.

б) нет пределов интегрирования.

в) не указаны названия графиков и нет одного предела.

г) не указана формула одного из графиков.

4. С учетом проделанной работы, сформулируем и запишем алгоритм решения задач на тему урока.

1. Построить графики данных линий. Определить искомую фигуру.

2. Найти пределы интегрирования.

3. Записать площадь искомой фигуры с помощью определенного интеграла.

4. Вычислить полученный интеграл.

5. Первичное осмысление и применение изученного материала, его закрепление.

1. С учетом алгоритма выполним задание №2 из последней таблицы.

Рисунок 1

Решение:

Найдём пределы интегрирования.

Для точки А:

- не удовлетворяет условию задания

Для точки В:

- не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: (кв. ед).

2. Но при выполнении этого задания алгоритм применялся не полностью. Для его отработки выполним следующее задание

Задание. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

Рисунок 2

Решение:

- парабола, вершина (m,n).

(0;2) - вершина

-2

0

2

4

2

4

Найдём пределы интегрирования.

Ответ: (кв.ед).

6. Домашнее задание.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (задание разобрать).

7. Применение знаний.

Самостоятельная работа (Приложение №5))

8. Подведение итогов.

• научились составлять формулы для нахождения площадей плоских фигур;

• находить пределы интегрирования;

• вычислять площади фигур.

9. Рефлексия.

Студентам раздаются листочки. Они должны оценить свою работу, выбрав один из предложенных вариантов ответа.

Оценить степень сложности урока.

Вам было на уроке:

• легко;

• обычно;

• трудно.

Оцените степень вашего усвоения материала:

• усвоил полностью, могу применить;

• усвоил полностью, но затрудняюсь в применении;

• усвоил частично;

• не усвоил.

Просмотрев ответы, сделать вывод о подготовленности студентов к практической работе.

Используемая литература:

1. Валуцэ И.И., Дилигулин Г.Д. Математика для техникумов.

2. Крамер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М. Высшая математика для экономистов.

3. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика, ч.1.

4. Званич Л.И., Рязановский А.Р. М., Новая школа.

5. Газета "Математика". Издательский дом "Первое сентября".

Приложение № 1

Вычислите определённые интегралы и вы узнаете одно из высказываний французского математика С.Д.Пуассона.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Жизнь

-1

Тремя

-16

Двумя

1

Вещами

7

Занятием

И

0

Математикой

6

Арифметикой

Преподаванием

0

Её

3

Украшается

Забыванием

0

Приложение № 2

ОСНОВНЫЕ СЛУЧАИ РАСПОЛОЖЕНИЯ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ И СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ФОРМУЛЫ ПЛОЩАДЕЙ

1. Фигура ограниченная графиком непрерывной и неотрицательной функции , осью абсцисс и прямыми .

______________________________________

2. Фигура ограниченная графиком непрерывной и неположительной функции , осью абсцисс и прямыми .

____________________________________________

3. Фигура ограниченная осью абсцисс, прямыми и графиком функции , которая непрерывна на и меняет свой знак конечное число раз на этом отрезке.

____________________________________________

4. Фигура ограниченная графиками двух непрерывных функций и на и прямыми , где .

________________________________________

5. Фигура ограниченная графиками трёх и более непрерывных функций на .

______________________________________

6. Фигура ограниченная графиком непрерывной функции , осью ординат и прямыми .

___________________________________

7. Фигура симметричная относительно оси ординат или начала координат.

_____________________________

Приложение № 3

Используя определенный интеграл, запишите формулы для вычисления площадей фигур, заштрихованных на рисунке.

_________________________________________

__________________________________________

___________________________________________

___________________________________________

____________________________________________

Приложение № 4

Найти «внешнюю» причину, не позволяющую вычислить площадь фигуры.

Рисунок 1

Рисунок 2

Рисунок 3

Рисунок 4

_____________________________

Приложение № 5

Самостоятельная работа

Вариант 1

1. Установите, верны ли следующие утверждения:

1. Площадь фигуры Ф вычисляется с помощью интеграла

2. Запишите с помощью интегралов площади фигур и вычислите их

3. Нарисуйте фигуры, площади которых равны следующим интегралам:

Самостоятельная работа

Вариант 2

1. Установите, верны ли следующие утверждения:

1. Площадь фигуры Ф вычисляется с помощью интеграла

2. 

   1. Запишите с помощью интегралов площади фигур и вычислите их

1. 1. Нарисуйте фигуры, площади которых равны следующим интегралам:

13