Тетрадь для правил по геометрии 7 класс глава 4

Глава IV

Соотношения между сторонами и углами треугольника

№п/п

Название

Формулировка

Чертёж

1

Определение

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого

треугольника.

BCD - внешний угол Δ;

2

Теорема о сумме углов треугольника:

сумма углов треугольника равна 180⁰.

А+В+С=180º;

3

Следствия из теоремы о сумме углов треугольника:

1. каждый угол равностороннего треугольника равен 60⁰;

А=В=С=60º;

2. углы при основании равнобедренного треугольника только острые;

А=С - острые;

3. в любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой;

1) А - острый, В - острый,

С - острый;

2) А - острый, В - острый,

С - тупой;

3) А - острый, В - острый,

С - прямой;

4. внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним;

BCD=А+В;

5. если треугольник равнобедренный, то внешний угол при вершине, противолежащей основанию треугольника, в 2 раза больше угла при основании;

CBD=2А;

6. биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию;

BE | | АС;

7. если один из внешних углов треугольника в 2 раза больше угла треугольника, не смежного с ним, то треугольник равнобедренный;

CBD=2А, значит ΔАВС - равнобедренный;

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

4

Название сторон

Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны - катетами (катеты - это стороны треугольника, образующие прямой угол).

5

Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника.

В треугольнике

1) против большей стороны лежит больший угол;

2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.

(рис. п. 4)

большая сторона АВ - больший угол С;

больший угол С - большая сторона АВ;

6

Следствия из теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника:

1) В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета;

АВ>ВС; АВ>АС;

2) Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

А=В, значит ΔАВС - равнобедренный;

7

Теорема о неравенстве треугольника:

каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон, но больше разности двух других сторон;

в-с < а < в+с;

а-с < в < а+с;

а-в < с < а+в;

8

Свойства прямоугольных треугольников:

1.Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90⁰.

А+В=90º;

2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30⁰, равен половине гипотенузы.

А=30º, значит ВС=½АВ;

3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30⁰.

ВС=½АВ, значит А=30º

Признаки равенства прямоугольных треугольников

9

I признак равенства прямоугольных треугольников:

если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

II признак равенства прямоугольных треугольников:

если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого, то такие треугольники равны.

III признак равенства прямоугольных треугольников:

если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

VI признак равенства прямоугольных треугольников:

если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

10

Теорема.

(№231)

Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.

СM=½АВ, значит ΔАВС - прямоугольный;

11

Определение

Длина перпендикуляра, проведённого из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой.

АН - расстояние от точки до прямой;

АН - длина перпендикуляра (или просто перпендикуляр);

АМ - наклонная;

12

Теорема.

Перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой:

АН<АМ;

(рис. п. 11)

Дополнение

Расстояние от точки до прямой равно наименьшему из расстояний от этой точки до точек прямой.

13

Теорема о свойстве параллельных прямых.

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой:

РЕ=КТ=NМ;

14

Определение

Расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой называется расстоянием между этими параллельными прямыми.

АВ - расстояние между параллельными прямыми.

Дополнение

Расстояние между параллельными прямыми равно наименьшему из расстояний от точек одной прямой до точек другой прямой.

15

Теорема, обратная теореме о свойстве параллельных прямых:

Все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на прямой, параллельной данной.

a||b;

ПЛАН РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ

АНАЛИЗ даёт возможность составить план решения задачи на построение (т.е. отыскание способа решения задачи путём установления связей между искомыми элементами и данными задачи).

ПОСТРОЕНИЕ выполняется по намеченному плану.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО того, что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи.

ИССЛЕДОВАНИЕ - выяснение вопроса о том, при любых ли данных задача имеет решение, и если имеет, то сколько решений.