«ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ» (Программа элективного курса для предпрофильной подготовки учащихся 9 класса.)

Программа элективного курса

для предпрофильной подготовки

учащихся 9 класса.

«ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ»

Выполнила:

учитель математики Жарковской средней

общеобразовательной школы

Фролова Лидия Васильевна

пос. Жарковский

Жарковского района

Тверской области

2011

I. Маркетинг деятельности

1. Обоснование выбора темы.

Правительство РФ в концепции модернизации Российского образования на период до 2010 г. (распоряжение правительства РФ от 29.12.2001г. № 1756 - р) ставится задача создания « системы специализированной подготовки (профильного обучения) в старших классах общеобразовательной школы, ориентированной на индивидуализацию обучения и социализацию обучающихся, в том числе с учетом реальных потребностей рынка труда».

Обновление старшей ступени общего образования (профильное обучение) предусматривает предпрофильную подготовку - элективные курсы по выбору учащихся, способствующие осознанному выбору профиля обучения в 10-11 кл. будущей профессии, но отсутствие программ элективных курсов «подтолкнуло меня на разработку программы курса по выбору (для предпрофильной подготовки в 9-х классах).

В настоящее время между требованием жизни (необходима активная, творческая молодежь, у которой выработана потребность в самообразовании, самостоятельность и личная ответственность) и действительностью (отсутствие у выпускников навыков самостоятельной деятельности, умения и желание принимать самостоятельные решения, нести ответственность) возникает противоречие, которое не в полной мере, но частично можно разрешить на занятиях элективного курса, продолженное обучение в профильном классе полностью его ликвидирует.

Выбор темы также связан с необходимостью обучения всех учащихся, но уровень развития и подготовленности учащихся различный, поэтому выбранный курс должен помочь одной части группы ликвидировать проблемы, а другой части получить опыт решения задач повышенного уровня сложности, а также помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы, проверить себя, ответить на вопросы: «Могу ли я, хочу ли я учить это, заниматься этим?»

2. Цель .

Разработать программу предпрофильного курса по выбору «Вписанные и описанные многоугольники» и учебно-методический комплект.

3. Задачи.

- познакомиться с «Концепцией профильного обучения на старшей ступени общего образования»;

- познакомиться с письмом Департамента общего и дошкольного образования об элективных курсах в системе профильного обучения на старшей ступени общего образования от 13.11.2003 года;

- познакомиться с «Положением об элективных курсах в МОУ «Жарковская средняя общеобразовательная школа № 1»;

- познакомиться с структурной программы элективных курсов;

- познакомиться с публикациями о предпрофильном обучении в учебно- методических и научно- практических журналах;

- выяснить интересы детей, готовность реализации, изучить опыт детей;

- познакомиться с новыми технологиями, видами контроля, подобрать инструментарий для достижения цели;

- подобрать соответственную литературу;

- ознакомиться и систематизировать материал по геометрии из сборников заданий по ЕГЭ за 2010-2015г.

4. Планируемый результат.

- составить программу предпрофильного курса по выбору и УМК;

- реализовать программу своей деятельности.

5. Инструментарий.

Сертификация.

Литература.

1. Ермаков Д.С., Петрова Г.Д. Элективные курсы для профильного обучения (народное образование, 2004, № 2. с. 114-119)

2. Школьные технологии. 2003, № 6, с. 23.

3. Концепция модернизации российского образования на период до 2010 года. (Вестник образования России. 2002г. № 6 с.10-40)

4. Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования. Стандарты и мониторинг в образовании. (Вестник образования 2002г. № 4 с3-16

5. Артюхова И.С. «Проблема выбора профиля обучения в старшей школе» Педагогика 2004 № 2 с.28-33

6. Артемова Л.К. «Профильное обучение: опыт, проблемы, пути решения» Школьные технологии 2003г. № 4 с. 22-31

7. Элективные курсы в профильном обучении «Управление школой» № 9 2004г. стр.8-9.

Пояснительная записка.

Элективный курс для предпрофильной подготовки учащихся 9-х классов (второе полугодие) посвящен трудной теме для учащихся в планиметрии «Вписанные и описанные треугольники и четырехугольники».

К, сожалению, в основной школе, где на изучении этих вопросов отводится мало часов и этот материал изучается в конце учебного года в 8 классе (по остаточному принципу), трудно поддержать интерес учащихся из-за ограниченности приобретенных знаний. А важные свойства, необходимые при решении задач, вообще отсутствует или перенесены в задачи и не воспринимаются школьниками как теоретические положения.

Теоретический материал ученик применяет всегда, а свойства, заложенные в задачу, в лучшем случае, при изучении конкретной темы. Такое положение создает определенные трудности для дальнейшего изучения геометрии учащихся в 10-11 классах и как результат - сдача ЕГЭ, где 3 задачи геометрического содержания решаются детьми очень слабо. Данный элективный курс позволит детям почувствовать себя увереннее и комфортнее на экзамене, смягчает стрессовую ситуацию.

Предлагаемый курс является развитием системы ранее приобретенных программных знаний, его цель - создать целостное представление о теме и значительно расширить спектр задач, посильных для учащихся. Все свойства, входящие в элективный курс, и их доказательство не вызовут трудности у учащихся, т.к. не содержат громоздких выкладок, и каждое предыдущие готовит последующее. При направляющей роли учителя, школьники смогут самостоятельно сформулировать новые для них свойства и даже доказать их. Все должно располагать и самостоятельному поиску и повысить интерес к изучению предмета. Представляя, возможность осмысливать свойства и их доказательства, учителем развивает геометрическую интуицию, без которой немыслимо творчество. Можно утверждать, что как раз геометрия лучше всего развивает нестандартное мышление и помогает выделить математически одаренных детей. Организация на занятиях должна несколько отмечаться от урочной: ученику необходимо давать время на размышление, учить рассуждать, выдвигать гипотезы. В курсе звложена возможность дифференцированного обучения. Одной группе учащихся дать нетривиальные задачи, для решения которых требуется необычные идеи и специальные методы, а для другой - более стандартные, но которые можно решить оригинальным способом. Чаще давать задачи, которые используют в своем решении необычную идею, как правило, дополнительное построение.

Цель курса.

- обобщить и расширить знания по теме «Вписанные и описанные многоугольники»;

- познакомить учащихся с некоторыми методами и приемами решения нового класса задач;

- сформировать умения применять полученные знания при решении «нетипичных», нестандартных задач.

Задачи курса.

- дополнить знания учащихся теоремами прикладного характера, областью применения которых являются задачи;

- расширить и углубить представления учащихся о приемах и методах решения планиметрических задач;

- помочь овладеть технических и интеллектуальных умений на уровне свободного их использования;

- развить интерес и положительную мотивацию изучения геометрии.

Структура курса представляет собой четыре логически законченных и содержательно взаимосвязанных тем, изучение которых обеспечит системность и практическую направленность знаний и умений учеников. Разнообразный дидактический материал дает возможность отбирать дополнительные задания для учащихся различной степени подготовки. Все занятия направлены на расширение и углубление базового курса содержание курса можно варьировать с учетом склонности, интересов и уровня подготовленности учеников.

Основной тип занятий - практикум. Для наиболее успешного усвоения материала планируется различные формы работы с учащимися:

- лекционно-семинарские занятия, групповые, индивидуальные формы работы. Для текущего контроля на каждом занятии учащимся рекомендуется серия заданий, часть которых выполняется в классе, а часть - дома самостоятельно. Изучение данного курса заканчивается проведением итоговой контрольной работы.

В результате изучения курса учащихся должны уметь:

- точно и грамотно формулировать теоретические положения и излагать собственные рассуждения в ходе решения заданий;

- уверенно решать задачи на вычисление, доказательство и построение;

- применять аппарат алгебры и тригонометрии к решению геометрических задач;

- применять свойства геометрических преобразований к решению задач.

Содержание программы.

Тема 1. Окружность

На первом занятии учащимся сообщаются цель и значение элективного курса, систематизируются знания учащихся и центральных и вписанных углах, развивая их, учащиеся формируют и доказывают теоремы об углах между хордами, секущими, касательной и хордой, двумя касательными. В результате учащиеся получают необходимые знания, расширяющие пласт посильных задач. Применение полученных знаний к практике решения задач полезно организовать в малых группах. Лучшему осмыслению учебного материала послужит составление справочной таблицы, озвучивая которую, учащиеся оценят себя и своего товарища.

Тема 2. Окружности и треугольники

Тема 3. Окружности и четырехугольники

В программе для общеобразовательных школ не апцептируется внимание на некоторых геометрических фактах, которые были бы полезны и значительно упрощают решение некоторых задач (свойство биссектрисы треугольника, параллелограмма и т.д.). Содержание элективного курса призвано ликвидировать этот пробел. Последовательность заданий составлены так, что при определенной организации учебного процесса школьники будут приобщаться к исследовательской деятельности и сами формулировать новые свойства. Полезно выделить время на индивидуальную работу учащихся.

Тема 4. Решение олимпиадных задач и задач контрольно-измерительных материалов.

Содержание заключительной темы курса рассчитано на повышение учебной мотивации за счет нетрадиционных заданий, имеющих практическую направленность, психологической готовности «Я смогу!»

Учебно - тематический план

№ пп

Наименование тем курса

Всего часов

В том числе

Форма контроля

лекция

практика

семинар

1

2

3

4

5

6

7

1

Окружность

2

1

1

Составление справочной таблицы самостоятельная работа

2

Окружности и треугольники

5

2

3

3

Окружности и четырехугольники

5

2

3

Самостоятельная работа

4

Решение олимпиад-ных задач и задач контрольно-измери-тельных материалов

5

4

1

Собеседование с учащимися. Самооценка и оценка товарищей

5

Итоговый контроль

1

1

Контрольная работа

Литература для учащихся

1. Геометрия. Атанасян и др. Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. М: Просвещение 2010г.

2. Атанасян и др. Дополнительные главы к школьному учебнику. М: Просвещение 2010 год.

3. Петраков И.С. Математические кружки М: Просвещение 1987 год.

4. Фарков А.В. Учимся решать олимпиадные задачи. Геометрия 5-11 классы Москва Айрис - пресс (5) 2007 год.

5. КИМы ГИА - 2010 - 2015 года издания.

Литература для учителя

1. Звавич Л.И. Геометрия 8-11 классы. Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики. М: Дрофа 2000г.

2. Зив Б.Г. дидактические материалы по геометрии для 8-9 кл. М: Просвещение 2002г.

3. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. - курс геометрии 8 кл. в задачах М: 1996 год.

4. Глазков Ю.А. и др. Планиметрия в едином государственном экзамене. Математика для школьников - 2008 год.

5. Киселев А.П. Элементарная геометрия: книга для учителя. М: Просвещение, 1990г.

6. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии Ч 1, 2. М: Просвещение, 1986г.

7. Шабунин М. Математика для поступающих в ВУЗы. М: Лаборатория базовых знаний 1999г.

8. ФГОС КИМ «Геометрия» к учебнику Л.С. Атанасяна, Москва «ВАКО» 2011

9. Поурочные разработки по геометрии 7-9 классы. М - 2010 год.

ТЕМА 1.

Окружность.

Свойства касательных, хорд и секущих.

1.

а) отрезки касательных АМ и А равны

О оооо б) прямая, проходящая через центр окружности

и точку А делит угол пополам

2.

а) MA² =

б)

F

3. а) Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит

её пополам;

б) Обратно: диаметр, проходящий через середину

хорды, перпендикулярен ей.

4.

где АВ₁ и АВ₂ - внешние части секущих/

5. а) ВАС и ВА₁ С - вписанные опираются на

дугу ВС, значит ВАС = ВА₁ С = ВС

б) Вписанный угол, опирающийся на диаметр,

является прямым.

в) Если в окружность радиуса R вписанный угол₁

опирающийся на хорду длины а равен , то

а = 2R sin

6. Угол между пересекающимися хордами:

γ =

7. Угол между секущими, пересекающимися

вне окружности =

8. Угол между касательной и секущей:

9. Угол между касательными

10. Угол между касательной и хордой.

Решение задач

Задача № 1.

Доказать, что АВС+ АОС = 180

Творческое задание: доказать несколькими способами.

Задача № 2.

На окружности выбраны диаметрально противоположные

точки А и В и отличная от точка С. Касательная к окружности

в точке А и прямая ВС пересекаются в точке D.

Докажите, что прямая, касающаяся окружности в точке С,

делит пополам отрезок АD.

Дано: Окружность, т. А и В - диаметрально

противоположные, т. С принадлежит

окружности АD - касат., ВС- секущая,

АD ВС=D.

СF - касат., СF АD = Е

Доказать, что АЕ = ЕD

1. Выполним дополнительное построение:

Проведем АВ и ОС

2. АЕ - ЕС - как отрезки касательных, проведенные из одной точки к окружности.

3. В ∆ ВОС, ОВ = ОС = R, то ОВС = ОСВ;

4. т.к. ОС ЕС, то ЕСD = ВСF = 90 - ОСВ = 90 - ОВС;

5. В АВD. ВDА = 90 - ОВС, значит ВDА = ЕСD, а значит ЕСD - равнобедренный, поэтому СЕ = ЕD.

6. СЕ = АЕ

АЕ = ЕD

СЕ = ЕD

Задача № 3

Окружность с центром О касается сторон угла в точках А и С. Отрезок ВО пересекает окружность в точке К. Найдите периметр АКСО, если В = 60, ВК = 12.

1. Пусть ОК = r. В прямоугольном ВАО, АВО = 30,

следовательно ВО = 2АО = 2r, ВК + r = 2r, следовате-

но ВК = r.

2. АВО. АОВ = 60, АО = ОК, треугольник

равносторонний, АК = r = 12.

3. Аналогично СК = r = 12

4. Р АКСО = = 48

Ответ: 48

Задачи для самостоятельного решения

Задача № 1. Радиус окружности равен . Определите длины хорды, проведенную из

конца данного диаметра через середину перпендикулярного ему радиуса.

Решение.

1. АОМ. ₀ т. . АМ =

=

2. Продолжим радиус ОD до пересечения с окружностью

в т. К.

По свойству пересекающихся хорд в окружности имеем: =

= , МС =

Т.к. DМ = МК =, получаем МС =

Значит АС = АМ + МС =

Ответ: 4

Задача № 2. Из точки В к окружности проведены касательные ВР и ВQ (Р и Q - точки

касания).

Найдите длину хорды РQ, если дли отрезка РВ = 40, а расстояние от

центра окружности хорды РQ равно 18.

Решение:

1. РQ = 2 РМ, РОВ - прямоугольный

РМ - высота

РВ² =

2. Пусть ВМ = х, тогда 40² =

х²+18х-1600=0

х_1,2= -941

х = 32

РМ² =, РМ= 24

РQ =

Ответ: 48

Самостоятельная работа

Задача № 1 Известно, что АВ = 6, ВС = 9, DЕ = 13

Найти: АD

Ответ: 5

Задача № 2. CD=CE, О - цент окружности. Угол на больше

угла . Найдите угол .

Ответ: 5

О

Задача № 3. На окружности радиуса R последовательно отмечены точки А, В, С и

D так, что величины Дуг АВ и ВС равны соответственно 50⁰ и 80⁰, а

диагонали четырехугольника АВСD равны между собой. Найдите

длину наибольшей стороны четырехугольника.

Решение:

по условию, значит

;,AD- диаметр,AD = 2 R

Ответ: 2 R

ТЕМА 2.

Треугольники и окружность.

2.1. Окружность, вписанная в треугольник.

Большинство планиметрических задач, предлагаемых на ЕГЭ, составляют задачи, связанные с окружностью, вписанной в треугольник - произвольной, равнобедренный, прямоугольный.

При решении задач следует опираться на следующие факты:

• отрезок, соединяющий центр окружности и точку её касания со стороной, перпендикулярен этой стороне;

• отрезки двух соседних сторон от общей вершины до точек касания равны между собой;

• центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис углов треугольника;

• в треугольниках АОИ, АОС,ВОС, образованных отрезками биссектрис АВС, углы при вершине О связаны с углами АВС следующими соотношениями: ;

• если окружность вписаны в прямоугольный треугольник АВС , то угол между биссектрисами острых углов .

- Четырехугольники КОМС - квадрат,

а r =

Решение задач.

Задача 1. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник АВС с основанием

АС касается сторон АВ и ВС в точках К и М соответственно. Найдите КМ,

если АК = 6, КВ=12.

Решение.

1. МВ=ВК=12, КА=АТ=ТС=СМ = 6, как отрезки касательных,

проведенных из одной точки. АВ=18; АС = 12.

2. ~

Ответ: 8

Задача № 2. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2,

радиус описанной окружности - 5. Найдите большой катет треугольника.

Решение:

1. АВ = 2R = 10, ОК = ОР = r = 2.

2. Пусть АК = х, тогда АТ = х, а ВТ = 10-х, ТВ = РВ.

3. По т. П из АВС имеем:

Но АК не может быть меньше 5, следовательно, АК = 6. Итак АС = 6 + 2 = 8

Ответ:8.

Задача № 3. Найдите радиус окружности, вписанной в остроугольный АВС, если

высота ВН равна 12 и известно, что sin

Решение:

1. прямоугольный, тогда

по теореме Пифагора из АВН имеем:

2. Аналогично для ВНС

3.S_АВС=

4. Воспользуемся формулой S=,

Ответ: 4

Задачи для самостоятельного решения

Основание равнобедренного треугольника равно 36. Вписанная окружность касается его боковых сторон в точках А и Р, АР = 12.

Найдите периметр треугольника.

Решение.

1. Проведем высоту СН. Т.к. треугольник равнобедренный, то

то ВН =НF = 18.

По свойству касательных:

АВ = ВН = НF = FР = 18.

2. Пусть АС = х, ~, тогда

36х =12х + 216, 24х = 216, х = 9. Поэтому ВА + АС = ВС = 18 + 9 = 27, Р = 27+27+36=90

Ответ: 90

Задача № 2. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник АВС ,

касается катета ВС в точке Н. Биссектриса угла А пересекает катет ВС

в т. М. Найдите НМ, если СН = 4, ВН = 12.

Решение.

1. Пусть т. О - центр окружности, вписанной в АВС.

Тогда О Є АМ; ОН ВС

2. Пусть окружность касается гипотенузы в т. К, а катета АС -

- в точке Т. АК = х. Тогда АТ = АК = х

ВК = ВН = 12, СТ = СН = 4

По т. П. получаем

3. ~(по двум углам)

Следовательно, НМ : ОТ = ОН : АТ

Получаем,

Ответ: 2

2. Окружность, описанная около треугольника

1. Цент О окружности, описанной около АВС, есть точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого треугольника.

2. Треугольники АОВ, ВОС, СОА - равнобедренные (ОА = ОВ = ОС = R).

3. 

4. Длины сторон АВС определяются по формулам АВ = 2 sin

Решение задач.

Задача № 1. Около АВС описаны окружности. Медиана АМ, проведена до пересечения

с окружностью в точки К. Найти АС, если АМ = 18, МК = 8, ВК = 10

Решение.

1. откуда

2. ~ (по двум углам)

.

Ответ:15.

Задача № 2. Основание равнобедренного остроугольного треугольника 48, а радиус

описанной около нею окружности 25. Найдите расстояние между цент-

рами вписанной и описанной окружностей треугольника.

Решение.

1. О: - цент вписанной окружности, лежит на серединном перпендику-

ляре, содержащем высоту АН треугольника к основанию ВС. Т.к.

треугольник остроугольный, то О лежит внутри треугольника, на

высоте АН. При этом ОА = ОВ = ОС = 25 - радиусы описанной окружности

2. Радиус вписанной окружности найдем, используя полупериметр и площадь АВС.

р = 24 + 40 = 64, S

3. Центр вписанной окружности точка Q также лежит на высоте АН, значит QН=QН-ОН = = 12 - 7 = 5

Ответ: 5.

Задачи для самостоятельного решения.

Задача № 1. Около равнобедренного АВС с основанием АС и углом при основании

75⁰ описана окружность с ц. О. Найдите её радиус, если площадь ВОС

равна 16.

Решение.

1. (по условию), следовательно , т.к.

2.

Ответ: R=8.

Задача № 2. Около тупоугольного равнобедренного треугольника описана окружность

радиусом 25. Расстояние от центра до основания треугольника равно 7.

Найдите расстояние от центра окружности до боковой стороны треугольника.

Решение.

1. Искомое расстояние - длина перпендикуляра ОК, проведенного

из т. О к стороне АВ.

Прямоугольный АОК~АВН, следовательно

2. Цент О окружности, описанной около тупоугольного равнобедренного АВС лежит вне его, на прямой АН, содержащей высоту треугольника. Поэтому АН=АО-ОН=25-7=18.

3. В прямоугольном ОВН, Тогда в

Итак, .

Ответ: 20.

ТЕМА 3.

Четырехугольники и окружности.

1. Около параллелограммы можно описать окружность в том и только в том случае, если параллелограмм является прямоугольником.

2. В параллелограмм можно вписать окружность в том и только в том случае, если он является ромбом.

3. Параллелограмм, в который можно вписать окружность и вокруг которого можно описать окружность, является квадратом.

4. Если в четырехугольнике можно вписать окружность, то

1) АВ + СD = ВС + АD; 2) S = , где r - полупериметр

четырехугольника.

5. Если около четырехугольника можно описать окружность,

то

Теорема Пигаммея:

6. В окружность можно вписать только равнобедренную

трапецию НD=е, где е - средняя линия трапеции,

ВD = 2R sin

7. Если основание трапеции является диаметром, то АВD и

АСD - прямоугольные, ВН - высота прямоугольного АВD

8.Если трапеция описана около окружности, то ВОА и СОD

- прямоугольные;

MN = h = 2r

BC + AD = BA = CD

r² = xy.

9. Если равнобедренная трапеция описана около окружности

то: 1)

2) НD= е, где е - средняя линия трапеции;

3)

1. Окружность, вписанная в ромб.

1. Радиус r вписанной окружности удовлетворяет соотношениям:

, где h - высота ромба

, где d₁ и d₂ - диагонали ромба, d₁² + d₂² = 4а².

2. Точка касания вписанной окружности делит сторону ромба на отрезки, связанные с его диагоналями и радиусом вписанной окружности следующими соотношениями:

3. Площадь ромба: S = ah, S = 2ar, S = a²sin, S =

Решение задач.

Задача № 1. Диагонали четырехугольника АВСD, вписанного в окружность, пересекаются

в точке М, АМ = 4, СМ = 9, ВМ = DМ, АМВ = 30⁰.

Найдите площадь четырехугольника.

Решение

1. (свойство 5)

2.

Ответ: 39

Задача № 2. Высота ромба, проведенная из вершины его тупого угла, делит сторону

ромба в отношении 1:2, считая от вершины острого угла.

Какую часть площади ромба составляет площадь писанного в него круга?

Решение.

Пусть АН = а, тогда НD = 2а и АD = 3а;

ВН = h, r - радиус вписанного круга. По т. П. из АВН имеем: h=ВН=

=

Ответ: .

Задача № 3. В прямоугольную трапецию вписана окружность. Расстояние от центра

окружности до концов боковой стороны трапеции равны 6 и 8.

Найдите S трапеции.

Решение:

Способ 1.

1. СОD - прямоугольный, CD=

2. М - точка касания окружности и стороны СD. Тогда ОМ = r, ОМCD. COD,

3. Высота прямоугольной трапеции равна её меньшей боковой стороны, т.е. диаметру вписанной окружности. Следовательно, РВ = h_тр= 2r = 9,6

Тогда S_тр.=

Ответ: 94,08

Способ 2.

Разобъём данную трапецию на два квадрата со стороной, равной радиусу вписанной окружности, и две пары равных треугольников.

Следовательно, S_тр.=

Ответ: 94,08

Задача № 4. Около трапеции описана окружность, центр которой лежит внутри трапеции

Высота трапеции равна 27, а длины оснований равны 48 и 30. Найдите радиус

окружности.

Решение:

1. Трапеция, вписанная в окружность, является равнобедренной.

Центр окружности лежит внутри трапеции на общем серединном перпендикуляре к её основанием.

2. Пусть ОН = х, тогда ОК = 27 - х; из прямоугольных треугольников АОН и ВОК получаем АН²= ОН²= ВК²= ОК², т.е. 24²= х²= 15²= (27 - х)². Решая уравнение получаем

х = 7. Следовательно,R= АО =

Ответ: 25.

Задачи для самостоятельного решения.

Задача № 1. Дан ромб ABCD. Окружность, описанная около треугольника ABD,

пересекает большую диагональ ромба АС в т.Е.

Найдите СЕ, если АВ = , BD = 16.

Решение:

1. Диагонали ромба пересекаются в точке О. Из треугольника АОВ.

находим ОА = 16, следовательно, АС= 32. Из ADE находим DE:

DE =

2. Четырехугольник ABED вписан в окружность.

По теореме Птолелия

АЕ = 20. Следовательно, СЕ = АС = АЕ = 32-20 = 12

Ответ: 12.

Задача № 2. Площадь круга, вписанного в трапецию, равна 9, а сумма боковых сторон

трапеции равна 20. Найдите площадь трапеции.

Решение:

1. По условию задачи S_тр.=. Тогда диаметр круга, а значит, и высота трапеции равны 6.

2. Средняя линия трапеции, описанной около круга, равна полусумме её боковых сторон, т.е.10.

Итак, S_тр = Ответ: 60.

Самостоятельная работа.

Задача № 1. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник АВС, касается

гипотенузы АВ в т. Е. Найдите площадь треугольника АВС, если АЕ = 5,

ВЕ = 4.

Решение:

1. ОМ = ОN = r, МОNС - квадрат, МС = СN = r

2. АЕ = АМ = 5, ВЕ = ВN = 4, АС = АМ + МС = АМ + r, ВС = DN + r.

По т.П.

Тогда АС =

ВС =

3. S_АВС =

=

Ответ: 20.

Задача № 2. Большее основание трапеции является диаметром описанной окружности.

Определите радиус окружности, если средняя линия трапеции равна 8, а её

площадь 32.

Решение:

1. Трапеция вписана в окружность. Следовательно, она равнобедренная.

2. АВD - вписанный, опирается на диаметр, значит АВD = 90⁰,

АВD - прямоугольный.

Ответ: 5.