- Преподавателю
- Математика
- Методическое указание по выполнению практических работ по математике (1-2 курс)
Методическое указание по выполнению практических работ по математике (1-2 курс)
| Раздел | Математика |
| Класс | - |
| Тип | Другие методич. материалы |
| Автор | Омирбаева А.М. |
| Дата | 10.10.2015 |
| Формат | doc |
| Изображения | Есть |
ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТІРЛІГІ
АКАДЕМИК СӘТБАЕВ АТЫНДАҒЫ ЕКІБАСТҰЗ ИНЖЕНЕРЛІК - ТЕХНИКАЛЫҚ ИНСТИТУТЫНЫҢ КОЛЛЕДЖІ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН
ЕКИБАСТУЗСКИЙ КОЛЛЕДЖ ИНЖЕНЕРНО - ТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМЕНИ АКАДЕМИКА САТПАЕВА
Колледждің барлық
мамандығына (мамандықтар тобына) арналған
Математика
пәні бойынша
Ә Д І С Т Е М Е Л І К Н Ұ С Қ А У Л А Р
практикалық жұмыстарды орындауға арналған
М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я
по выполнению практических работ
по дисциплине
Математика
для специальности
Курс
1,2
Семестр
1, 2,3
Курс
Семестр
Методические указания по выполнению практических работ составлены на основании рабочей учебной программы для средних профессиональных учебных заведений по дисциплине «Математика» для всех специальностей колледжа.
Құрастырған/Составил:
оқытушысы:
Омирбаева А.М.
преподаватель
подпись
пәндік-циклдiк комиссиясында мақұлданды /
Одобрено цикловой методической комиссией
Хаттама №
ЦӘК төрағасы
Баграмова Ж.К.
Протокол №
Председатель ЦМК
подпись
«
»
20
ж/г
Келісілді / Согласовано:
директордың ОЖ бойынша орынбасары
Б.К. Орынбаев
зам. директора по учебной работе
подпись
директордың ГӘЖ бойынша орынбасары
Т.И. Иконникова
зам. директора по НМР
подпись
Рецензент:
Содержание
Пояснительная записка…………………………………….……………..…...
4
Раздел 1. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств
-
Уравнения и системы уравнений. Корень уравнения.
Свойства уравнений………………..…………………………………………….
5
1.2 Неравенство и системы неравенств. Решение неравенство. Свойства неравенств………………………………………………………………………...
7
1.3 Определители ІІ и ІІІ порядков. Решение систем двух (трех) уравнений
по формуле Крамера...............................................................................................
10
Раздел 2.Функции, их свойства и графики
2.1 Числовая функция. Способы задания функции. График функции.
Свойства функции...................................................................................................
12
2.2 Предел функции в точке. Основные свойства предела.................................
14
Раздел 3. Показательная, логарифмическая и степенная функции
3.1 Логарифмы. Решение простейших и сводящихся к ним логарифмических уравнений и неравенств…………………….……..…..…....
17
3.2 Решение простейших и сводящихся к ним показательных уравнений и неравенств………………………………………………………………………...
20
Раздел 4. Тригонометрические функции
4.1 Решение тригонометрических уравнений.…………………..…………..…
22
4.2 Решение тригонометрических неравенств……………..…………………..
28
4.3 Тождественные преобразования тригонометрических выражений….…..
30
Раздел 5. Векторы и координаты
5.1 Понятие вектора. Действия с векторами……..……………………………..
32
5.2 Уравнения прямой. Уравнения прямой, проходящий через одну точку, через две точки. Угол между прямыми…………………………………………
37
Раздел 6. Производная и ее приложения
6.1 Производные суммы, произведения и частного двух функций. Правило дифференцирования сложной функции.……………………….….……………
41
6.2 Производные тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций…...………………..……………………………..
43
6.3 Производные степенной, показательной, логарифмической функций…...
45
6.4 Применение производной к построению графиков функции .……………
47
Раздел 7. Первообразная функция и интеграл
7.1 Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства……………….
51
7.2 Определенный интеграл. Основные свойства и вычисление определенного интеграла…………………………………………………..……
54
Пояснительная записка
Методические указания предназначены для проведения практических работ по дисциплине "Математика" учащихся первого курса (для всех специальностей колледжа).
Содержание практических работ позволяет освоить:
-
методы и способы решения систем уравнений;
-
методы и способы решения систем неравенств;
-
исследование графиков функции;
-
практические приемы вычисления пределов;
-
виды и методы решения простейших логарифмических уравнений и неравенств;
-
виды и методы решения простейших показательных уравнений и неравенств;
-
виды и методы решения тригонометрических уравнений и неравенств;
-
различные способы задания прямой;
-
практические приемы нахождения частных производных функций многих переменных;
-
исследование функции с помощью производной;
-
практические приемы вычисления с помощью методов интегрального исчисления;
В методических указаниях к выполнению практических работ содержится инструкция с четким алгоритмом хода работы. Каждая практическая работа включает краткий теоретический материал, примеры задач и разноуровневый набор заданий. Выполнение практической работы помогает сконцентрировать внимание на главных проблемах изучаемого материала, способствуют развитию зрительной памяти, развивают навыки самостоятельной работы с материалом и закрепляют полученные знания.
Методические указания могут быть использованы для самостоятельной работы студентов.
Ход выполнения практической работы
Практические работы необходимо выполнять в специальных тетрадях с указанием номера, темы, целей работы.
-
Познакомиться с теоретическим материалом
-
Сделать краткий конспект теоретического материала в рабочих тетрадях (основные понятия, определения, формулы, примеры)
-
В тетрадях для практических работ выполнить задания по варианту.
-
Сдать преподавателю тетради для практических работ.
Критерии оценивания практических работ
Оценка «5» ставится, если верно и рационально решено 90%-100% предлагаемых заданий, допустим 1 недочет, неискажающий сути решения.
Оценка «4» ставится при безошибочном решении 80% предлагаемых заданий.
Оценка «3» ставится, если выполнено 70% предлагаемых заданий, допустим 1 недочет.
Оценка «2» - решено мене 50% предлагаемых заданий.
Раздел 1. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств
Практическая работа №1.1
" Уравнения и системы уравнений. Корень уравнения. Свойства уравнений "
Цель работы:
Научиться находить корни уравнения и системы уравнений различными способами.
Содержание работы: Общие приемы решения систем уравнений
-
Система линейных уравнений называется определённой, если она имеет единственное решение.
-
Несовместной называется линейная система, не имеющая решения.
-
Неопределенной называется линейная система имеющая бесконечное множество решений.
Существуют различные приёмы решения систем уравнений.
-
Метод подстановки заключается в следующем:
-
Одно из уравнений системы преобразуют к виду, в котором y выражено через х (или х через y);
-
Полученное выражение подставляют вместо y (или вместо х) во второе уравнение. В результате получается уравнение с одной переменной;
-
Находят корни этого уравнения;
-
Воспользовавшись выражением y через х (или х через y), находят соответствующие значения х (или y).
-
2. Метод сложения основан на следующих теоремах:
-
Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а другое уравнение системы заменить уравнением, ему равносильным, то полученная система будет равносильна заданной;
-
Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а другое уравнение заменить суммой или разностью обоих уравнений системы, то полученная система будет равносильна заданной.
3. Метод введения новых переменных применяется при решении систем двух уравнений с двумя переменными одним из следующих способов:
-
Вводится одна новая переменная только для одного уравнения системы;
-
Вводятся две новые переменные сразу для обоих уравнений.
4. Для того чтобы графически решить систему двух уравнений с двумя переменными, нужно в одной системе координат построить графики уравнений и найти координаты точек пересечения этих графиков.
5. Методы умножения и деления при решении систем уравнений основаны на следующем утверждении: если обе части уравнения 
ни при каких значениях 
одновременно не обращаются в нуль, то системы
равносильны.
I вариант
II вариант
III вариант
«3»
а) 
а) 
а) 
б) 
б) 
б) 
в) 
в) 
в) 
г) 
г) 
г) 
«4»
а) 
а) 
а) 
б) 
б) 
б) 
в) 
в) 
в) 
г) 
г) 
г) 
«5»
а) 
а) 
а) 
б) 
б) 
б) 
в) 
в) 
в) 
Раздел 1. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств
Практическая работа №1.2
" Неравенства и системы неравенств. Решение неравенство. Свойства неравенств "
Цель работы:
Совершенствовать навыки применения различных методов при решении неравенств различной сложности и систем неравенств.
Содержание работы: Иррациональными называют неравенства, в которые переменные или функция от переменной входят под знаком корня. Основным стандартным методом решения иррациональных неравенств является последовательное возведение обеих частей неравенства в степень с целью освобождения от корня. Но эта операция часто приводит к появлению посторонних корней или, даже, к потере корней, т.е. приводит к неравенству, неравносильному исходному. Поэтому, надо очень тщательно следить за равносильностью преобразований и рассматривать только те значения переменной, при которых неравенство имеет смысл:
-
если корень четной степени, то подкоренное выражение должно быть неотрицательным и значение корня тоже неотрицательное число.
-
если корень степени - нечётное число, то подкоренное выражение может принимать любое действительное число и знак корня совпадает со знаком подкоренного выражения.
-
возводить в чётную степень обе части неравенства можно только, предварительно убедившись в их неотрицательности;
-
возведение обеих частей неравенства в одну и ту же нечётную степень всегда является равносильным преобразованием.
-
Метод подстановки заключается в следующем:
-
Одно из уравнений системы преобразуют к виду, в котором y выражено через х (или х через y);
-
Полученное выражение подставляют вместо y (или вместо х) во второе уравнение. В результате получается уравнение с одной переменной;
-
Находят корни этого уравнения;
-
Воспользовавшись выражением y через х (или х через y), находят соответствующие значения х (или y).
-
2. Метод сложения основан на следующих теоремах:
-
Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а другое уравнение системы заменить уравнением, ему равносильным, то полученная система будет равносильна заданной;
-
Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а другое уравнение заменить суммой или разностью обоих уравнений системы, то полученная система будет равносильна заданной.
3. Метод введения новых переменных применяется при решении систем двух уравнений с двумя переменными одним из следующих способов:
-
Вводится одна новая переменная только для одного уравнения системы;
-
Вводятся две новые переменные сразу для обоих уравнений.
4. Для того чтобы графически решить систему двух уравнений с двумя переменными, нужно в одной системе координат построить графики уравнений и найти координаты точек пересечения этих графиков.
5. Методы умножения и деления при решении систем уравнений основаны на следующем утверждении: если обе части уравнения ни при каких значениях одновременно не обращаются в нуль, то системы
равносильны.
I вариант
II вариант
III вариант
«3»
а) 
а) 
а) 
б) 
б) 
б) 
в) 
в) 
в) 
г) 
г) 
г) 
«4»
а) 
а) 
а) 
б) 
б) 
б) 
«5»
а)
а)
а)
б) 
б)
б)
в) 
в)
в)
Раздел 1. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств
Практическая работа №1.3
" Определители ІІ и ІІІ порядков. Решение систем двух (трех) уравнений по формуле Крамера."
Цель работы:
1. Познакомиться с формулами Крамера
2. На конкретных примерах научиться решать системы уравнения методом Крамера
Содержание работы:
Формулы Крамера: 
Возможны 3 случая:
1. Δ
0 Тогда xi= Δ xi/ Δ - решение существует, причем единственное.
2. Δ =0 , а какой-либо из Δ xi 0 , то есть у нас в xi= Δ xi/ Δ производится деление на 0, система не имеет решения (несовместна).
3. Δ =0 и все Δ xi=0 то система имеет бесконечно много решений.
Пример: Решите систему
Решение:
I вариант
II вариант
III вариант
«3»
а) 
а) 
а) 
б) 
б) 
б) 
в) 
в) 
в) 
«4»
а)
а) 
а) 
б) 
б) 
б)
«5»
а) 
а) 
а) 
Раздел 2.Функции, их свойства и графики
Практическая работа №2.1
" Числовая функция. Способы задания функции. График функции. Свойства функции "
Определение : Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу х из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y.
Обозначение: y = f(x),
где x - независимая переменная (аргумент), y - зависимая переменная (функция). Множество значений x называется областью определения функции (обозначается D(f)). Множество значений y называется областью значений функции (обозначается E(f)). Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами (x, f(x))
Способы задания функции.
-
аналитический способ (с помощью математической формулы);
-
табличный способ (с помощью таблицы);
-
описательный способ (с помощью словесного описания);
-
графический способ (с помощью графика).
Основные свойства функции.
1. Четность и нечетность
Функция называется четной, если
- область определения функции симметрична относительно нуля
- для любого х из области определения f(-x) = f(x)
График четной функции симметричен относительно оси 0y
Функция называется нечетной, если
- область определения функции симметрична относительно нуля
- для любого х из области определения f(-x) = -f(x)
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
2.Периодичность
Функция f(x) называется периодической с периодом 
, если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т).
График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.
3. Монотонность (возрастание, убывание)
Функция f(x) возрастает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x1 < x2 выполнено неравенство f(x1)< f(x2).
Функция f(x) убывает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, чтоx1 < x2 выполнено неравенство f(x1) > f(x2).
I вариант
II вариант
III вариант
-
Найти область определения функции:
а) 
а) 
а) 
-
Исследовать функцию на четность и нечетность:
а) 
а) 
а) 
б) 
б) 
б) 
в) 
в) 
в) 
-
Найти интервалы возрастания и интервалы убывания функции:
а) 
а) 
а) 
б) 
б) 
б) 
-
Назовите период функции:
а)
а)
а)
Раздел 2.Функции, их свойства и графики
Практическая работа №2.2
" Предел функции в точке. Основные свойства предела"
Предел функции
Определение. Число А называется пределом функции y = f(x) при х стремящихся к х0 (или в точке х0 , если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для всех x, удовлетворяющих условиям
|x- х0| < δ , x ≠ х0 , имеет место неравенство | f(x) -А| < ε.
или
Определение. Число А называется пределом функции f(x), при х →∞
если для любого ε > 0 существует, что если х>М, то
Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х →∞
если для любого ε > 0 существует М > 0, что если х<-М, то
Основные теоремы о пределах функций
Если функции f(x) и q(x) определены в некоторой окрестности точки а, возможно, за исключением самой точки а, и существуют пределы и , то
Пример 1. Вычислить
Здесь f(x)=5x+2 и q(x) = х-5. Так как q(3) = 3-5 = -2 ≠ 0, то
Пример 2. Вычислить
Пример 3. Вычислить предел
Здесь f(x)= 5x+2 и q(x) = 1 - x
Пример 4. Вычислить предел
П
рименяем замечательный предел , где е*>2,7182Н.. - иррациональное число
(основание натурального логарифма). Преобразуем функцию:
I вариант
II вариант
III вариант
Вычислить предел функции:
а) 
а) 
а) 
б) 
б) 
б) 
в)
в) 
в) 
г) 
г) 
г) 
д) 
д) 
д) 
Вычислить пределы функций, используя замечательные пределы:
а) 
а) 
а) 
б) 
б)
б)
Раздел 3. Показательная, логарифмическая и степенная функции
Практическая работа №3.1
" Логарифмы. Решение простейших и сводящихся к ним логарифмических уравнений и неравенств "
Определение. Логари́фм числа 
по основанию 
(от греч. λόγος - «слово», «отношение» и ἀριθμός - «число») определяется какпоказатель степени, в которую надо возвести основание , чтобы получить число .
Обозначение: 
, произносится: "логарифм по основанию ".
Из определения следует, что нахождение 
равносильно решению уравнения 
. Например, 
потому что 
Решение логарифмических уравнений
Если в уравнении присутствуют показательные функции с разными основаниями, можно попытаться привести их к одному и тому же основанию. То же относится и к логарифмическим уравнениям.
-
при 
, 
; -
.
Простейшие логарифмические уравнения имеют вид: 
Решение логарифмических неравенств
Решение логарифмических неравенств, сводится к решению:
-
простейших неравенств вида
. В каждом из этих случаев нужно различать, каким числом является а, так как от этого зависит характер монотонности логарифмической функции. Если 
, то функция возрастает, а если 
, - убывает. Поэтому приходится рассматривать различные простейшие неравенства. -
или неравенств вида
-
; -
;
Решение системы логарифмических уравнений не содержит каких-либо принципиально новых моментов.
Используются обычные приемы решения логарифмических уравнений, такие как метод, заключающийся в преобразовании уравнения к виду 
, затем к виду 
и метод введения новой переменной, а также обычные приемы решения систем уравнений.
I вариант
II вариант
III вариант
Вычислить:
а) 
а) 
а) 
б) 
б) 
б) 
в) 
в) 
в) 
г) 
г) 
г) 
д) 
д) 
д) 
Решить уравнения:
а) 
а) 
а) 
б) 
б) 
б) 
в) 
в) 
в) 
г) 
г) 
г) 
д) 
д) 
д) 
е) 
е) 
е) 
Решить неравенства:
а) 
а) 
а) 
б) 
б) 
б) 
в) 
в) 
в) 
Решить системы уравнений:
а) 
а) 
а) 
б) 
б) 
б) 
в) 
в) 
в) 
г) 
г) 
г) 
д) 
д)
д)
Раздел 3. Показательная, логарифмическая и степенная функции
Практическая работа №3.2
" Решение простейших и сводящихся к ним показательных уравнений и неравенств "
Показательные уравнения
Простейшие показательные уравнения имеют вид: 
.
Уравнение 
при 
и при 
корней не имеет, так как показательная функция всегда положительна.
Решение показательных неравенств
При решении показательных неравенств вида 
следует помнить, что показательная функция 
возрастает при и убывает при . Значит, в случае, когда , от неравенства следует переходить к неравенству того же смысла 
. В случае же, когда , от неравенства следует переходить к неравенству противоположного смысла 
.
Решение системы показательных уравнений не содержит каких-либо принципиально новых моментов. Используются обычные приемы решения показательных уравнений, такие как метод уравнивания показателей и метод введения новой переменной, а также обычные приемы решения систем уравнений.
I вариант
II вариант
III вариант
Решить уравнения:
а) 
а) 
а) 
б) 
б) 
б) 
в) 
в) 
в) 
г) 
г) 
г) 
д) 
д)
д)
Решить неравенства:
а) 
а) 
а) 
б) 
б) 
б) (0,04)5x-x2-8 < 625.
в) 
в) 25x + 1 < 6 × 5x + 1 - 5.
в) 
Решить системы уравнений:
а) 
а) 
а) 
б) 
б) 
б) 
Раздел 4. Тригонометрические функции
Практическая работа №4.1
" Решение тригонометрических уравнений "
Определение. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим.
Простейшие тригонометрические уравнения.
Методы решения тригонометрических уравнений. Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений.
1. Алгебраический метод. Этот метод нам хорошо известен из алгебры ( метод замены переменной и подстановки ).
2. Разложение на множители. Этот метод рассмотрим на примерах.
П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .
Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:
sin x + cos x - 1 = 0 ,
преобразуем и разложим на множители выражение в левой части уравнения:
П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.
Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x - sin 2 x - cos 2 x = 0 ,
sin x · cos x - sin 2 x = 0 ,
sin x · ( cos x - sin x ) = 0 ,
П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2x - cos 8x + cos 6x = 1.
Р е ш е н и е . cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x ,
2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,
cos 4x · ( cos 2x - cos 4x ) = 0 ,
cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,
1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,
3
Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным относительно sin и cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо:
а) перенести все его члены в левую часть;
б) вынести все общие множители за скобки;
в) приравнять все множители и скобки нулю;
г) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на cos ( или sin ) в старшей степени;
д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .
П р и м е р . Решить уравнение: 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.
Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,
sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,
tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,
корни этого уравнения: y1 = -1, y2 = -3, отсюда
1) tan x = -1, 2) tan x = -3,
4. Переход к половинному углу. Рассмотрим этот метод на примере:
П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x - 5 cos x = 7.
Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) - 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) = =7sin ² ( x /2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,
2 sin ² ( x / 2 ) - 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,
tan ² ( x / 2 ) - 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,
. . . . . . . . . .
5. Введение вспомогательного угла. Рассмотрим уравнение вида:
a sin x + b cos x = c ,
где a, b, c - коэффициенты; x - неизвестное.
Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos 
и sin ( здесь - так называемый вспомогательный угол ), инаше уравнение принимает вид:
6. Преобразование произведения в сумму. Здесь используются соответствующие формулы.
П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin 2x · sin 6x = cos 4x.
Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:
cos 4x - cos 8x = cos 4x ,
cos 8x = 0 ,
8x = p / 2 + pk ,
x = p / 16 + pk / 8 .
7. Универсальная подстановка. Рассмотрим этот метод на примере.
П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x - 4 cos x = 3 
I вариант
II вариант
III вариант
Решить уравнения:
а) 
а) 
а) 
б) 
б) 
б) 
в) 
в) 
в) 
г) 
г) 
г) 
д) 
д) 
д) 
е) 
е) 
е)
ж) 
ж) 
ж) 
з) 
з) 
з) 
и) 
и) 
и) 
Раздел 4. Тригонометрические функции
Практическая работа №4.2
"Решение тригонометрических неравенств"
Определение. Неравенство, в котором неизвестная переменная находится под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим неравенством.
К простейшим тригонометрическим неравенствам относятся следующие 16 неравенств:
Здесь x является неизвестной переменной, a может быть любым действительным числом. Неравенство Неравенство Неравенство Неравенство Неравенство Неравенство Неравенство Неравенство I вариант II вариант III вариант Решить неравенства: а) а) а) б) б) б) в) в) в) г) г) г) д) д) д) е) е) е) Раздел 4. Тригонометрические функции Практическая работа №4.3 " Тождественные преобразования тригонометрических выражений " В тождественных преобразованиях тригонометрических выражений могут быть использованы следующие алгебраические приемы: добавление и вычитание одинаковых слагаемых; вынесение общего множителя за скобки; умножение и деление на одну и ту же величину; применение формул сокращенного умножения; выделение полного квадрата; разложение квадратного трехчлена на множители; введение новых переменных с целью упрощения преобразований. При преобразованиях тригонометрических выражений, содержащих дроби, можно использовать свойства пропорции, сокращение дробей или приведение дробей к общему знаменателю. Кроме того, можно пользоваться выделением целой части дроби, умножением числителя и знаменателя дроби на одинаковую величину, а так же по возможности учитывать однородность числителя или знаменателя. При необходимости можно представлять дробь в виде суммы или разности нескольких более простых дробей. Кроме того, применяя все необходимые методы преобразования тригонометрических выражений, необходимо постоянно учитывать облась допустимых значений преобразуемых выражений. Пример 1.Вычислить А = (sin(2x - π)cos(3π - x)+sin(2x - 9π/2)cos(x+ π/2))2+(cos(x-π/2)cos(2x-7π/2) + sin (3π/2 - x) · sin (2x - 5π/2))2 Решение. Из формул приведения следует: sin (2x - π) = -sin 2x; cos (3π - x) = -cos x; sin (2x - 9π/2) = -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x; cos (x - π/2) = sin x; cos (2x - 7π/2) = -sin 2x; sin (3π/2 - x) = -cos x; sin (2x - 5π/2) = -cos 2x. Откуда в силу формул сложения аргументов и основного тригонометрического тождества получаем А = (sin2xcosx + cos2xsinx)2 +(-sinxsin2x + cosxcos2x)2 = sin2 (2x + x) + cos2 (x+2x) = sin2 3x + cos2 3x = 1 Ответ: 1. Основными приемами доказательства тригонометрических тождеств являются: а) сведение левой части тождества к правой путем соответствующих преобразований; Пример 4. Проверить, что cos 3x = -4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3). Решение. Преобразуя правую часть этого тождества по соответствующим тригонометрическим формулам, имеем -4cosxcos(x + π/3)cos(x + 2π/3) = -2cosx(cos((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) - (x + 2π/3))) = -2cos x · (cos (2x + π) + cos π/3) = 2cos xcos 2x - cos x = (cos3x + cos x) - cos x = cos 3x. Правая часть тождества сведена к левой. I вариант II вариант III вариант Упростить выражение: а) а) а) б) б) б) в) в) в) г) г) г) Доказать тождества: а) а) а) б) б) б) Вычислить: а) а) а) б) б) б) Раздел 5. Векторы и координаты Практическая работа №5.1 " Понятие вектора. Действия с векторами " Определение: «Вектор - это направленный отрезок». Длиной вектора называется длина этого отрезка. Обозначается: Равными называются векторы, имеющие одинаковые длины и одинаковое направление. Это значит, что вектор можно перенести параллельно себе в любую точку плоскости. Для сложения векторов есть два способа. 1. Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю. 2. Второй способ сложения векторов - правило треугольника. Возьмем те же векторы По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего. Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В, из В в С, из С в D, затем в Е и в F. Конечный результат этих действий - перемещение из А в F. При сложении векторов Вектор Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов При умножении вектора Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга. Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними. Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю. Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами: Свойства векторов. Определение. Два вектора Нулевой вектор Теорема 1. Два ненулевых вектора Определение. Три вектора Теорема 2. Три ненулевых вектора Задания для самостоятельной работы 1. Даны координаты двух смежных вершин А и В квадрата АВСD: А(а; 0) и В(0; а). Найдите координаты остальных вершин квадрата. Сколько решений имеет задача? 2. Даны две смежные вершины параллелограмма АВСD: А(-1; 3) и В(2; 1). Найдите координаты двух других вершин параллелограмма, если известно, что диагональ АС параллельна оси Ох, а диагональ ВD параллельна оси Оу. 3. Треугольник задан координатами своих вершин: А(1; 0; -1), В(3; 2; 0) и С(-2; 4; 3). Является ли данный треугольник прямоугольным; равнобедренным? 4. Векторы 5. Точки К и М служат серединами сторон АВ и CD выпуклого четырехугольника АВСD. Выразите вектор 6. Треугольник АВС задан координатами своих вершин: А(1; 1), В(5; 4) и С(13; -2). Определите координаты и длины векторов 7. Одна из вершин параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 находится в точке А(1; 2; 3), а концы выходящих из нее ребер - в точках В(9; 6; 4), D(3; 0; 4) и А1(5; 2; 6). Найдите: а) длину диагонали АС1 этого параллелепипеда; б) угол, образуемый этой диагональю с ребром АВ; в) объем параллелепипеда; г) площадь основания АВСD и высоту параллелепипеда, опущенную на это основание. 8. Четырехугольник задан координатами своих вершин: А(0; 0), В(0; 4), С(2; 4) и D(7; 0). Можно ли в него вписать окружность? Примечание. Если суммы противоположных сторон четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность. 9. В треугольнике АВС проведена медиана АМ. Найдите ее длину, если известны координаты вершин треугольника: А(5; -4), В(-1; 2) и С(5; 1). 10. Вычислите площадь квадрата, две смежные вершины которого А(3; -7) и В(-1; 4). 11. Найдите координаты точки С, делящей отрезок АВ в отношении 3 : 2, считая от вершины А, если А(-2; 1), В(8; 6). 12. Однажды Лебедь, Рак и Щука … Воз расположен в точке О пересечения медиан треугольника АВС, а Лебедь, Рак и Щука - в вершинах треугольника. Определите суммарное воздействие на воз, т.е. 13. Лежат ли точки А(2; 4; 1), В(3; 7; 5) и С(4; 10; 9) на одной прямой? Указание. I способ. Используйте условие коллинеарности векторов. II способ. Сравните расстояния АВ, ВС и АС. 14. В треугольнике АВС известно: Указание. С помощью векторного произведения векторов определите площадь треугольника, а затем воспользуйтесь формулой площади треугольника, которая выражается через высоту. 15. Треугольник АВС задан координатами своих вершин: А(1; 1), В(5; 4) и С(13; -2) - условия задачи 6 (см. выше). Вычислите площадь треугольника АВС различными способами: а) с помощью основания и высоты (используйте результат задачи 6); б) с помощью формулы в) с помощью формулы Герона; г) с помощью векторного произведения. 16. Зная одну из вершин треугольника АВС А(2; -5; 3) и векторы, совпадающие с двумя его сторонами Указание. Используйте формулу определения координат вектора по координатам его начала и конца. 17. Будут ли компланарны векторы а) б) Указание. Используйте условие компланарности векторов (равенство нулю смешанного произведения векторов). Раздел 5. Векторы и координаты Практическая работа №5.2 " Уравнения прямой. Уравнения прямой, проходящий через одну точку, через две точки. Угол между прямыми " 1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку A(x1, y1) в данном направлении, определяемом угловым коэффициентом k, y - y1 = k(x - x1). (1) Это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку A(x1, y1), которая называется центром пучка. 2. Уравнение прямой, проходящей через две точки: A(x1, y1) и B(x2, y2), записывается так: Угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки, определяется по формуле 3. Углом между прямыми A и B называется угол, на который надо повернуть первую прямую A вокруг точки пересечения этих прямых против движения часовой стрелки до совпадения ее со второй прямой B. Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом y = k1x + B1, y = k2x + B2, (4) то угол между ними Следует обратить внимание на то, что в числителе дроби из углового коэффициента второй прямой вычитается угловой коэффициент первой прямой. Если уравнения прямой заданы в общем виде A1x + B1y + C1 = 0, A2x + B2y + C2 = 0, (6) угол между ними определяется по формуле 4. Условия параллельности двух прямых: а) Если прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов: k1 = k2. (8) б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е. 5. Условия перпендикулярности двух прямых: а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е. Это условие может быть записано также в виде k1k2 = -1. (11) б) Если уравнения прямых заданы в общем виде (6), то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства A1A2 + B1B2 = 0. (12) 6. Координаты точки пересечения двух прямых находят, решая систему уравнений (6). Прямые (6) пересекаются в том и только в том случае, когда Найти уравнение прямой, проходящей через две точки: (-1;2) и (2;1). Стороны треугольника заданы уравнениями: (AB) 2x + 4y + 1 = 0, (AC) x - y + 2 = 0, (BC) 3x + 4y -12 = 0. Найти координаты вершин треугольника. Найти уравнение прямой, проходящей через точку A(2, 5) параллельно прямой 3x - 4y + 15 = 0. Найти уравнение прямой, проходящей через точку A(5, -1) перпендикулярно к прямой 3x - 7y + 14 = 0. Даны две противоположные вершины квадрата A(2, 1) и C(4, 5). Найти две другие. Найти угол между двумя прямыми y = 2x + 4 и y = 3x - 1. Найти угол между двумя прямыми 3x + 4y - 7 = 0 и 4x - 3y + 8 = 0. Найти уравнения прямых, проходящих через точку A(3, 4) под углом в 60 градусов к прямой 2x + 3y + 6 = 0. Через центр тяжести треугольника, вершины которого A(2, 3), B(-1, 4), C(5, 5), провести прямую, перпендикулярную стороне AB. Определить, какие из точек M1(3; 1), M2(2; 3), M3(6; 3), M4(-3; -3), M5(3; -1), M6(-2; 1) лежат на прямой Точки P1, P2, P3, P4, P5 расположены на прямой Точки Q1, Q2, Q3, Q4, Q5 расположены на прямой Определить точки пересечения прямой Найти точку пересечения двух прямых Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС даны соответственно уравнениями Даны уравнения двух сторон параллелограмма Стороны треугольника лежат на прямых Площадь треугольника S=8, две его вершины суть точки А(1; -2), В(2; 3), а третья вершина С лежит на прямой Площадь треугольника S=1,5, две его вершины суть точки А(2; -3), В(3; -2), центр масс этого треугольника лежит на прямой Составить уравнение прямой и построить прямую на чертеже, зная ее угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый ею на оси Oy: k=2/3, b=3; k=3, b=0; k=0, b=-2; k=-3/4, b=3; k=-2, b=-5; k=-1/3, b=2/3. Определить угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый на оси Oy, для каждой из прямых: Дана прямая Параллельной данной прямой; Перпендикулярно к данной прямой. Дана прямая Параллельно данной прямой; Перпендикулярно данной прямой. Даны уравнения двух сторон прямоугольника Даны уравнения двух сторон прямоугольника Найти проекцию точке Р(-5; 13) относительно прямой Найти точку Q, симметричную точке Р(-5; 13) относительно прямой В каждом из следующих случаев составить уравнение прямой, параллельной двум данным прямым и проходящей посередине между ними: Вычислить угловой коэффициент k прямой, проходящей через две данные точки: M1(2; -5), M2(3; 2); P(-3, 1), Q(7; 8); A(5; -3), B(-1; 6). Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника A(5; -4), B(-1; 3), C(-3; -2) параллельно противоположным сторонам. Раздел 6. Производная и ее приложения Практическая работа №6.1 " Производные суммы, произведения и частного двух функций. Правило дифференцирования сложной функции " Производная произведения (функции) на постоянную: Производная суммы (функций): Производная произведения (функций): Производная частного (функций): Производная сложной функции: Задание. Найти производную функции Решение. Воспользуемся правилом дифференцирования частного: Производная суммы/разности равна сумме/разности производных и константу можно выносить за знак производной, поэтому имеем: Ответ. Задание. Найти производную функции Решение. Для нахождения производной данной функции используем правила дифференцирования и таблицу производных. Так как производная суммы/разности равна сумме/разности производных, то постоянный множитель можно вынести за знак производной Воспользуемся формулой для производной степенной функции: Ответ. I вариант II вариант III вариант Найти производные функций: а) y = x4 а) f(x) = 3x5 а) y = 4x-2 б) y = 3x3(x2 - 7x + 4) б) f(x) = б) y = x2 в) y = в) y = в) f(x) = г) Найти f'(3) f(x) = г) Найти f'(1,24) f(x) = г) Найти f'(0,917) f(x) = 3x3 д) y=(2x3-4x2+x)7 д) y=(x3-1)7 д) y=1/(x2-1)4 Раздел 6. Производная и ее приложения Практическая работа №6.2 " Производные тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций " Задача 1. Дано: Вычислить: Решение: Ответ: Задача 2. Дано: Вычислить: Решение: I вариант II вариант III вариант Найти производные функций: а) y = sin7x а) y = tg4x а) y = cos5x б) y = tgx-ctg2x б) y = sin4x·cosx б) y = в) Найти f' в) Найти f' в) Найти f' г) f(x)=sin(2x+1)-3cos(1-x) г) f'(x) = 2cos(2x+1)-3sin(1-x) г) f(x) = 4sinx + x² д) f(x) = tgx + ctgx д) f(x) = cos(x + 2) д) f(x) = -2ctg10x Найдите производную функции: Найдите производную функции: Найти производную функции: Раздел 6. Производная и ее приложения Практическая работа №6.3 " Производные степенной, показательной, логарифмической функций " I вариант II вариант III вариант Найти производные функций: а) y=ln(x3-4x+5) а) y=lg(3x2-x3) а) у=ln б) y=ln б) f(x)=ln б) y=ln в) у=ln2x в) y=ln в) y=ln2x3 г) y=log3(x2+4x) г) y=log5 г) y=ln(x+ д) y=x·e2x д) y=3x ·lnx д) y=x5 · 3lnx е) f(x)= е) f(x)=ln е) y= ж) ж) ж) з) з) з) и) и) и) к) к) к) л) л) л) м) Найти м) Найти м) Найти Раздел 6. Производная и ее приложения Практическая работа №6.4 " Применение производной к построению графиков функции " Исследование функций с помощью производной Способность производной характеризовать скорость изменения функции (а значит, и ее графика) лежит в основе исследования функций с помощью производной и построения графика. Для возрастающей функции (рис. 3) угол наклона касательной острый, т.е. f `(x) = tgα > 0, для убывающей (рис. 4) − тупой, т.е. f '(x) = tgα < 0. Можно по известному знаку производной судить о поведении функции. Функция постоянна в каждом интервале, в котором ее производная равна нулю, возрастает в каждом интервале, где производная положительна, и убывает в тех интервалах, где производная отрицательна. Особую роль играют так называемые критические точки из области определения функции, т.е. точки, в которых производная обращается в нуль, либо не существует. Среди критических точек отметим точки экстремума. Экстремумы функции Говорят, что функция y = f (x) имеет максимум в точке x1 (рис.5), если значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках, достаточно близких к x1 , т.е. если f(+∆x) < f(x1) для любых ∆x, как положительных, так и отрицательных, но достаточно малых по модулю. Таким образом, x= x1 − точка максимума, a ymax = f (x1) − максимум функции. Говорят, что функция у = f(x) имеет минимум в точке x2 (рис.5), если значение функции в этой точке меньше, чем ее значения во всех точках, достаточно близких к x2 , т.е. если f(x2 + ∆x)>(х2) для любых ∆x, как положительных, так и отрицательных, но достаточно малых по модулю. Таким образом, x= x2 − точка минимума, a ymin = f (x2) − минимум функции. Для исследования функции по первой производной следует: 1 .Найти область определения функции, 2.Найти первую производную и критические точки. 3. Отметить границы области определения и критические точки на числовой прямой. 4. Исследовать знак производной в каждом из полученных интервалов. 5. Выписать точки экстремума и вычислить экстремумы функции. Пример 9. Найти экстремумы функции у = (1 − х ) Решение 1 2. Функция имеет производную всюду, поэтому определяем критические точки из условия f '(x) = 0. Находим производную. у' = 3(1 − x2 )2 (1 − х2)' = 3(1 − х2)2(−2 х) = −6х(1 − х2)2 у' = 0; −6х(1 − х2)2 = 0 ; x1 = 0; х2= −1; x3=1. 3 4. Исследуем знак производной у' = −6х(1 − х2)2в каждом из полученных интервалов: у'(−2)> 0, у'(−0,5) > 0, у'(0,5) < 0, у'(−2) < 0. 5. Точка х = 0 − точка максимума, так как при переходе через нее слева направо производная меняет знак с плюса на минус: ymax = y(0)=1. Можно провести исследование функции с помощью второй производной. Если в точке х = х0 первая производная равна нулю (f'(x0) =0), а вторая производная отлична от нуля, то х = х0 − точка экстремума. При этом если вторая производная в этой точке положительна (f ''(x0) > 0), то х = х0 − точка минимума; если вторая производная в этой точке отрицательна (f ''(x0) < 0), то х = х0 − точка максимума. Для исследования функции на экстремум по первой и второй производной следует: Найти область определения функции. Найти первую производную функции и стационарные точки, т.е. точки, в которых она обращается в нуль. Найти вторую производную и исследовать ее знак в каждой критической точке. Выписать точки экстремума и вычислить (если нужно) экстремумы функции. Пример 10. Найти экстремумы функции Решение 1. Областью определения функции служит множество всех действительных чисел, т.е. 2. Функция имеет производную всюду, поэтому критические точки определяем из условия f ' (x) = 0. 3. Находим вторую производную функции f '' (x) = 6 x − 6 . Исследуем знак второй производной в каждой критической точке: f '' (0) = − 6 < 0 , значит, x=0 - точка максимума, ymax = y (0) = 1. Наибольшее и наименьшее значение функции Наибольшим значением функции называется самое большее, а наименьшим - самое меньшее из всех ее значений. Функция может иметь только одно наибольшее значение и только одно наименьшее значение или может не иметь их совсем. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке а ≤ х ≤ b, где она непрерывна, следует: Найти экстремумы функции на данном отрезке. Найти значение функции на концах отрезка: f(a) и f(b) Из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее. на отрезке [-2;4]. Решение 1. Найдем экстремумы функции, для чего найдем производную функции и критические точки из условия у' =0 y' = 0 при x1=0, x 2 - 2x − 3 = 0 , Отметим критические точки 1 рода x=−1, x=0, x=3, на числовой прямой (рис.7). Исследуем знак производной в каждом из полученных интервалов: у'(−2) < 0, у'(−0,5) > 0, у'(1) < 0, у'(4) < 0. Таким образом, I вариант II вариант III вариант Найти интервалы монотонности функций: а) а) а) б) б) б) в) в) в) Исследовать на экстремум функции: а) а) а) б) б) б) в) в) в) г) г) г) Исследовать функции и построить их графики а) а) а) б) б) б) в) в) в) Раздел 7. Первообразная функция и интеграл Практическая работа №7.1 " Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства " Определение первообразной. Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство Определение неопределенного интеграла. Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается Выражение Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C. На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной). Таблица первообразных (неопределенных интегралов). I вариант II вариант III вариант Найти первообразную функции: а) а) а) б) б) б) в) в) в) Исследовать на экстремум функции: а) а) а) б) б) б) в) в) в) г) г) г) Исследовать функции и построить их графики а) а) а) б) б) б) в) в) в) Раздел 7. Первообразная функция и интеграл Практическая работа №7.2 " Определенный интеграл. Основные свойства и вычисление определенного интеграла " Теорема. Определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений любой ее первообразной, вычисленных для для верхнего и нижнего пределов интегрирования: Рассмотрим примеры вычисления определенного интеграла. Пример 1. Вычислить интеграл Пример 2. Вычислить Свойства определенного интеграла Будем предполагать, что все рассматриваемые ниже функции интегрируемы на заданных промежутках. Свойство 1. Для доказательства составим интегральные суммы (3) в обоих случаях с теми же точками деления. Они будут отличаться только знаком за счет знаков Свойство 2. В этом случае отрезок интегрирования равен нулю и интегральная сумма - тоже. Свойство 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: если Свойство 4. Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций: Свойство 5. Если отрезок [a, b] разбит точкой с на две части [a, c] и [c, b], то Свойство 6. Если всюду на отрезке [a, b] функция неотрицательна Свойство 7. (Интегрирование неравенств). Если на отрезке [a, b] функции I вариант II вариант III вариант Вычислить определенный интеграл: а) а) а) б) б) б) в) в) в) г) г) г) д) д) д) е) е) е) ж) ж) ж) Литература: Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 -11 кл. общеобраз. учреждений. М.: Просвещение, 2003. - 384с.: ил Апанасов П.Т., Орлов "Сборник задач по математике" М: Высшая школа, 1987 г. Валуцз И. И., Дилигун Т Д. математика для техникумов на базе средней школы. - М. Наука, 1989
sinx>a, sinx≥a, sinxcosx>a, cosx≥a, cosxtanx>a, tanx≥a, tanxcotx>a, cotx≥a, cotx 
. Если , то это неравенство решения не имеет, так как синус не может быть больше единицы. Если 
, то решением неравенства является любое число, так как синус всегда больше или равен -1. Рассмотрим теперь случай, когда а лежит на полуинтервале 
. Ответ: 
. 
. Если , то решением неравенства является любое число, так как синус всегда меньше или равен 1. Если , то это неравенство решения не имеет, так как синус не может быть меньше -1. Рассмотрим теперь случай, когда а лежит на полуинтервале 
. Ответ: 
. 
. Если , то это неравенство решения не имеет, так как косинус не может быть больше единицы. Если , то решением неравенства является любое число, так как косинус всегда больше или равен -1. Рассмотрим теперь случай, когда а лежит на полуинтервале . Ответ: 
. 
. Если , то решением неравенства является любое число, так как косинус всегда меньше или равен 1. Если , то это неравенство решения не имеет, так как косинус не может быть меньше -1. Рассмотрим теперь случай, когда а лежит на полуинтервале . Ответ: 
. 
: 
: 
: 
: 
б) сведение правой части тождества к левой;
в) сведение правой и левой частей тождества к одному и тому же виду;
г) сведение к нулю разности левой и правой частей доказываемого тождества.
если 
если 
если 
если 
если 
если 
или 
Единичным называется вектор, длина которого равна 1. Нулевым - вектор, длина которого равна нулю, то есть его начало совпадает с концом. Сложение векторов
и 
, помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов и . 
и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов и . 
и 
получаем: 
, 
Вычитание векторов
направлен противоположно вектору 
. Длины векторов и равны. 
и - это сумма вектора и вектора 
. 
Умножение вектора на число
на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины . Он сонаправлен с вектором , если k больше нуля, и направлен противоположно , если k меньше нуля. 
Скалярное произведение векторов
А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и 
и 
называются коллинеарными, если они расположены на параллельных прямых или на одной прямой. 
коллинеарен любому вектору. и коллинеарны, когда они пропорциональны т.е. = k, k - скаляр. , , 
называются компланарными, если они параллельны некоторой плоскости или лежат в ней. , , компланарны, когда один из них является линейной комбинацией двух других, т.е. = k + l, k ,l - скаляры.
и 
служат диагоналями параллелограмма АВСD. Выразите векторы 
и 
через векторы 
и 
. 
через векторы 
и 
. 
, 
и 
, где АМ - медиана, BD - биссектриса и СН - высота треугольника АВС. 
. 
(3; -4) и (1; 5). Вычислите длину высоты СН этого треугольника. 
; (4; 1; 2) и (3; -2; 5), найдите координаты остальных вершин треугольника и вектор 
. 
и 
: 
, (7; -18; 2); 
, (3; 1; -1)?
(2) 
(3) 
определяется по формуле 
(5) 
(7) 
(9) 
(10) 
Задания для самостоятельной работы
и какие на ней не лежат. 
; их абсциссы соответственно равны числам 4; 0; 2; -2; -6. Определить ординаты этих точек. 
; их ординаты соответственно равны числам 1; 0; 2; -1, 3. Определить абсциссы этих точек. 
с координатными осями и построить эту прямую на чертеже. 
, 
. 
, 
, 
. Определить координаты его вершин. 
и уравнение одной из его диагоналей 
Определить координаты вершин этого параллелограмма. 
, 
. Вычислить его площадь S. 
. Определить координаты вершины С. 
. Определить координаты третьей вершины С.
. Определить угловой коэффициент k прямой:
. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М0(2; 1):
, 
и одна из его вершин А(2; -3). Составить уравнения двух других сторон этого прямоугольника. 
, 
и уравнение одной из его диагоналей 
. Найти вершины прямоугольника. 
. .
, 
, 
, 
, 
, 
Производные тригонометрических функций:
Производные обратных тригонометрических функций:
- нашли производную данной функции, 
- подставили значение 
. 
Ответ: 
, y = sin3x , y = -1/4 cos4x , f(x)= -ctg5x 
) 
, 
, 
, 
.Областью определения функции служит множество всех действительных чисел, т.е. 
. Отметим эти критические точки на числовой прямой (рис.6).
Точки х = −1 и х = 1 не являются точками экстремума.
f '' (2) = 6 > 0, значит, x=2 - точка минимума ymin = y (2)= 23 − 3·22 + 1 = −3.
Пример 11. Найти наибольшее и наименьшее значение функции 
для любого х из заданного промежутка. 
. Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину. 
. 
называют подынтегральным выражением, а f(x) - подынтегральной функцией. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x).
Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции. 
Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы. 
, где k - произвольная константа.
Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла. 
Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций. 
. 
. 
: слева 
>0, справа <0. Значит, в пределе получится нужное равенство. 
, то 
то 
а если 
то 
и 
удовлетворяют условию 
, то 
