План - конспект урока в 11 классе по алгебре и началам анализа «Применение производной для исследования функций на монотонность»

План -конспект урока алгебры и начала анализа в 11 классе МБОУ «СОШ №3»

с использованием здоровьесберегающих технологий

Учитель: Ивченко И.Ю.

Дата: 13марта 2013 г.

Тема : «Применение производной для исследования функций на монотонность»

Тип урока урок разноуровневого обобщающего повторения

Урок составлен для учащихся общеобразовательного 11 класса.

Цель урока. Обобщить теоретические знания по теме « Применение производной для исследования функций на монотонность». Рассмотреть методы решения заданий базового и повышенного уровня сложности на данную тему. Организовать работу учащихся по указанной теме на уровне, соответствующем уровню уже сформированных знаний.

Оборудование.

1. Интерактивная доска. На уроке используются презентация « Применение производной для исследование функций на монотонность»

• При повторении теоретического материала на доске высвечиваются тестовые задания, используемые в ЕГЭ, с выбором ответа и демонстрируется правильный ответ, что позволяет учащемуся наглядно представить смысл задания.

2.Раздаточный материал, подготовленный учителем для организации самостоятельной работы.

Ход урока:

I этап урока - организационный (1 минута)

Учитель сообщает учащимся тему урока, цель и поясняет, что во время урока постепенно будет использоваться тот раздаточный материал, который находится на столах.

II этап урока (2 минуты) - Актуализация знаний учащихся

Учитель обращается к детям с вопросом: «Какая существует связь между характером монотонности функции и знаком её производной?».

Ответ учеников может быть таким: «Если функция возрастает на промежутке и имеет на нём производную, то производная неотрицательна; если функция убывает на промежутке и имеет на нём производную, то производная неположительна.»

Учитель: « Сформулируйте признаки монотонности функции»

Ответ может быть таким: «1. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f¹(x)0 (причём равенство f¹(x)=0 выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке), то функция у=f(x) возрастает на промежутке Х.

2. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f¹(x) 0 (причём равенство f¹(x)=0 выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке), то функция у=f(x) убывает на промежутке Х.»( учебник А.Г.Мордкович)

III этап - Работа с тренажёром. (10 минут)

Учащиеся берут на своих столах тематический тренажёр с заданиями ЕГЭ. Задания выполняются самостоятельно, проводится взаимопроверка по готовым ответам (ответы можно заготовить на слайде интерактивной доски с занавеской), разбираются задания, вызвавшие затруднения. (Наиболее подготовленным учащимся, справившимся с заданиями тренажёра №1, можно предложить более сложные задания тренажёра №2)( см. приложение ниже)

Ответы на тренажёр №1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-1,5

3

0

-1

2

-0,5

1,5

0

-1,5

0,75

Ответы на тренажёр №2

№

1

2

3

4

5

6

7

8

ответ

-2

5

5

3

2

4

1,5

5

IV этап - Работа по теме урока. (15 минут)
(Задания записаны на страничках интерактивной доски, ниже учащиеся приводят решения)

Слайд №1 Исследовать на монотонность функцию у = х⁵ + х³ +1.

Решение:

D(y) = R; у^'=5х⁴ + 3х²

Справедливо неравенство 5х⁴ + 3х² 0

Нули производной: 5х⁴ +3х² =0,

х²(5х² +3)=0,

х=0 , 5х² +3=0 - нет решений

f^'(x) + +

_________________________________

f(x) 0

y^'>0 и функция у = х⁵ + х³ +1 возрастает на всей числовой прямой.

Слайд 2. Исследовать на монотонность функцию y = 2 sinx -3x.

Решение:

D(y) = R; Имеем у^' = 2 cosx - 3, т.к. | cosx| 1, то 2 cosx - 3 <0 при всех х. Значит y^'< 0. Функция y = 2 sinx -3x убывает на всей числовой прямой.

Слайд 3. Работа по учебнику (Мордкович А.Г., стр 97)

( у доски 3 человека слабый-средний-сильный, остальные работают в тетрадях)

№ 30.14( в) Исследовать на монотонность функцию у= -3х⁴ +4х³ -15

№ 30.15( в) Исследовать на монотонность функцию .

№ 31.5( а) Исследовать на монотонность функцию у = х³ - 3х + 2 и построить схематически её график.

Физминутка (с помощью офтальмотренажёра)

Упражнение по профилактике нарушения зрения

1) вертикальные движения глаз вверх - вниз;
2) горизонтальное вправо - влево;
3) вращение глазами по часовой стрелке и против;
4) закрыть глаза и представить по очереди цвета радуги как можно отчетливее;
5) с помощью офтальмотренажёра предлагается глазами «нарисовать» одну из понравившихся фигур несколько раз в одном, а затем в другом направлении.

V этап Cамостоятельная работа (дифференцируемая: для слабых варианты 1,2, для более подготовленных детей варианты 3,4)

С.Р. ВАРИАНТ 1 11 кл.

1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции: а) f(x) = х² + 3х + 6;

б) g (x) = 3x³ - x² - 7x;

в) h (x) = sin 3x - 4x.

2. На рисунке изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной в точке .

3. На рисунке изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной в точке .

С.Р. ВАРИАНТ 2 11 кл.

1.Найдите промежутки возрастания и убывания функции: а) f(x) = - х² + 4х - 3;

б) g (x) = 2x³ + 3x² - 12x;

в) h (x) = cos 2x + 3x.

2. На рисунке изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной в точке .

3. На рисунке изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной в точке .

С.Р. ВАРИАНТ 3 11 кл.

1. Исследуйте функцию на монотонность:

а) ;

б) y = sinx - 3x.

2. При каких значениях параметра p функция

возрастает на всей числовой прямой?

С.Р. ВАРИАНТ 4 11 кл.

1. Исследуйте функцию на монотонность:

а) ;

б) у = сosx +5x.

2. При каких значениях параметра p функция убывает на всей числовой прямой?

VI этап Итоги урока.

Домашнее задание №30.14 а, 30.15 а, 31.5 б, ( + обменяться вариантами с.р.)

ПРИЛОЖЕНИЕ( к уроку «Применение производной для исследования функций на монотонность»

Тренажёр №1

1. На рисунке изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной в точке .

2. На рисунке изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной в точке .

3. На рисунке изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной в точке .

4. На рисунке изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной в точке .

5. На рисунке изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной в точке .

6. На рисунке изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной в точке .

7. На рисунке изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной в точке .

8. На рисунке изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной в точке .

9. На рисунке изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной в точке .

10. На рисунке изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной в точке .

Тренажёр №2

1. Функция определена на промежутке . На рисунке изображен график производной этой функции. Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции имеет наибольший угловой коэффициент.

2. Функция определена на промежутке . На рисунке изображен график производной этой функции.

К графику функции провели касательные во всех точках, абсциссы которых целые числа. Укажите количество точек графика функции, в которых проведенные касательные имеют отрицательный угловой коэффициент.

3. Прямая пересекает ось абсцисс при , касается графика функции в точке . Найдите .

4. Функция определена на промежутке . Используя изображенный на рисунке график производной , определите количество касательных к графику функции , которые составляют угол с положительным направлением оси Ox.

5. Функция определена на промежутке . На рисунке изображен график производной этой функции.

К графику функции провели касательные во всех точках, абсциссы которых целые числа. Укажите количество точек графика функции, в которых проведенные касательные имеют отрицательный угловой коэффициент.

6. Функция определена на промежутке . На рисунке изображен график производной . Определите число касательных к графику функции , тангенс угла наклона которых к положительному направлению оси Ox равен 3.

7. Прямая пересекает ось ординат при , касается графика функции в точке . Найдите .

8. Функция определена на промежутке . На рисунке изображен график производной этой функции.

К графику функции провели касательные во всех точках, абсциссы которых целые числа. Укажите количество точек графика функции, в которых проведенные касательные имеют отрицательный угловой коэффициент.