Практическое занятие Сходящиеся и расходящиеся последовательности

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 29

СХОДЯЩИЕСЯ И РАСХОДЯЩИЕСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Цель:

- сформировать навыки выполнения действий над числовыми последовательностями;

- развить умение исследовать сходимость последовательности по заданному признаку;

- закрепить знания о пределе последовательности;

Материально - техническое обеспечение: методические указания по выполнению работы;

Время выполнения: 2 академических часа;

Ход занятия:

1. Изучить краткие теоретические сведения;

2. Выполнить задания;

3. Сделать вывод по работе;

4. Подготовить защиту работы по контрольным вопросам.

Краткие теоретические сведения:

На конкретных примерах покажем правила нахождения членов последовательности по заданному общему члену, подбор формулы общего члена последовательности, исследование сходимости числовых последовательностей.

Пример 1. Написать первые пять членов последовательности по заданному общему члену:

Решение:

1. Придавая номеру n согласно условия задачи значения 1, 2, 3, 4, 5, получим:

Сложив члены, получим последовательность:

2. Придавая номеру n значения 1, 2, 3, 4, 5 и учитывая, что n!-факториал - это произведение первых n натуральных чисел, имеем:

.

Следовательно:

.

Сложив члены, получим последовательность:

Пример 2. Найти общий член последовательности по заданным её первым членам:

Решение:

Наша задача - найти закономерность, по которой изменяются все члены данной последовательности. Очевидно, что числители не меняются и равны 1. Знаменатели членов последовательности являются нечётными числами, но начинаются не с 1, а с 3, следовательно, они изменяются по формуле 2n+1.Тогда общий член последовательности имеет вид . Итак, преобразуя члены последовательности , получим формулу: .

Пример 3. Установить расходимость последовательности с помощью необходимого признака.

Решение: Согласно необходимому признаку сходимости, последовательность сходится только при условии, что её общий член u_n стремится к нулю при неограниченном возрастании номера n, т.е. если существует предел .

Находим предел общего члена u_n, учитывая, что в теории пределов: .

Последовательность расходится, так как .

Пример 4. Исследовать сходимость последовательности, используя признак Даламбера:

.

Решение: Согласно признаку Даламбера, последовательность u_n сходится, если коэффициент Даламбера Д = и расходится, если Д =.

Найдём общий член последовательности , а вместо u_n+1 члена подставим Вычислим предел отношения и получим:

Д =

Следовательно, по Даламберу, данная последовательность сходится.

Пример 5. Используя радикальный признак Коши, исследуйте сходимость последовательности:

Решение:

Согласно признаку Коши последовательность u_n сходится, если коэффициент Коши К= и расходится, если К=.

Используя радикальный признак Коши и известные преобразования, имеем:

Очевидно, по признаку Коши последовательность сходится.

Задания для самостоятельного выполнения:

I. Написать первые пять членов последовательности по заданному общему члену.

II. Найти формулу общего члена последовательности.

III. Используя признак Даламбера, исследовать сходимость последовательности.

IV. Исследовать сходимость последовательности, применяя необходимый признак и радикальный признак Коши.

Вариант 1.

1. а) б) 2. а) б)

3. а) б) 4. а) б)

Вариант 2.

1. а) б) 2. а) б)

3. а) б) 4. а) б)

Вариант 3.

1. а) б) 2. а) б)

3. а) б) 4. а) б)

Вариант 4.

1. а) б) 2. а) б)

3. а) б) 4. а) б)

Вариант 5.

1. а) б) 2. а) б)

3. а) б) 4. а) б)

Вариант 6.

1. а) б) 2. а) б)

3. а) б) 4. а) б)

Вариант 7.

1. а) б) 2. а) б)

3. а) б) 4. а) б)

Вариант 8.

1. а) б) 2. а) б)

3. а) б) 4. а) б)

Вариант 9.

1. а) б) 2. а) б)

3. а) б) 4. а) б)

Вариант 10.

1. а) б) 2. а) б)

3. а) б) 4. а) б)

Вариант 11.

1. а) б) 2. а) б)

3. а) б) 4. а) б)

Вариант 12.

1. а) б) 2. а) б)

3. а) б) 4. а) б)

Вариант 13.

1. а) б) 2. а) б)

3. а) б) 4. а) б)

Вариант 14.

1. а) б) 2. а) б)

3. а) б) 4. а) б)

Вариант 15.

1. а) б) 2. а) б)

3. а) б) 4. а) б)

Вопросы для самоконтроля:

1. Дать определение числовой последовательности.

2. Сходящиеся и расходящиеся последовательности.

3. Сформулируйте необходимое условие сходимости числовой последовательности.

6