Урок Решение задач с помощью квадратных уравнений

Урок алгебры для 8-го класса по теме "Решение задач с помощью квадратных уравнений"

Тема урока: Решение задач с помощью квадратных уравнений.

Цели урока:

• Закрепить навыки решения текстовых задач с помощью квадратных уравнений;

• Развивать у учащихся внимание при чтении условия задачи и выборе способа решения уравнения;

• Воспитание ответственности и коллективизма у учащихся.

Оборудование: мультимедийный проектор, экран, проектор, шесть конвертов с шестью карточками, на каждой из которых написана задача.

Структура урока:

• Организационный момент: замена тетрадей, учащиеся рассаживаются по группам: 6 групп по 5-6 человек в каждой, группы составлены разноуровневые- 3 мин.

• Мотивация учебной деятельности через осознание учащимися практической значимости применяемых знаний и умений, сообщение темы, цели и задач урока -2 мин

• Актуализация изученного материала:

  • Вопросы:

  • • Какое уравнение называется квадратным?

    • Что показывает дискриминант?

    • Формулы корней квадратного уравнения?

  • Задания для устного решения Презентация 1 - 7 мин:

  • • Решить уравнения;

    • Найти натуральный корень уравнения.

• Решение задач (работа в группах):

Каждой группе предлагается конверт с 6задачами. Набор задач у каждой группы одинаков.Каждый ученик выбирает себе задачу и решает ее. В первую очередь выбирать задачи № 1-5. Возможно советоваться с ребятами из своей группы. Учитель контролирует процесс и, в случае необходимости,оказывает помощь - 7 мин.
От каждой группы выходят по 1 человеку (те, кто раньше решил свою задачу) и оформляют свои решения на доске (3 чел.), на пленках для графопроектора (2 чел). Учитель контролирует,чтобы задачи были различны (задачи 1-5).
Весь класс сверяет свои решения с теми, которые представлены на доске. Те задачи, которых у учеников нет в тетрадях, они записывают. Для удобства текст проверяемой на доске задачи представлен в виде слайдов Презентации2.
В ходе проверки задач, записанных на доске,остальные ребята, решавшие эти же задачи, вносят свои коррективы, если необходимо. Задачу 6проверяет учитель в тетрадях, если есть время, то- разбор на доске. (15 мин.)

• Подведение итогов урока, обобщение и систематизация результатов выполненных заданий. (4 мин.)

• Постановка домашнего задания: № 656, 651, составить свою задачу, аналогичную одной из решенных в классе, и решить ее. (2 мин)

Задачи (в порядке разбора их у доски):

1. Несколько подруг решили обменяться фотографиями на память. Чтобы каждая девочка получила по одной фотографии каждой своей подруги, потребовалось 30 фотографий. Сколько было подруг?

Решение:

Пусть было х подруг, тогда каждая должна получить по (х - 1) фотографии. Всего фотографий было х(х - 1), что по условию задачи равно 30. Составим и решим уравнение:

х(х - 1) = 30
х² - х - 30 = 0,
D = 1 + 120 = 121,
х = ,
х₁ = - 5 - не удовлетворяет смыслу задачи,
х₂ = 6.

По смыслу ясно, что х - натуральное число,и существует только два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 30.Итак, х = 6. 6 подруг обменивались фотографиями.

Ответ: 6 подруг.

2. Несколько приятелей решили сыграть турнир по шахматам. Кто-то из них подсчитал, что если каждый сыграет с каждым по одной партии, то всего будет сыграно 36 партий. Сколько было приятелей?

Решение:
Пусть х приятелей участвует в турнире, тогда каждый из них сыграет (х - 1) партию, но в этом случае партия каждой пары учтена дважды, значит всего было сыграно х(х - 1) партий, что по условию задачи равно 36. Составим и решим уравнение:
х(х- 1) = 36,
х(х - 1) = 72,
х² - х - 72 = 0,
D = 1 + 288 = 289,
х = ,
х₁ = 9,
х₂ = - 8 - не удовлетворяет смыслу задачи.

Рассуждения, аналогичные задаче 1.

9 приятелей участвовало в турнире.

Ответ: 9 приятелей.

3. Задача Диофанта (III в.)

Найти два числа. Зная, что их сумма равна 20, а произведение - 96.

Решение:

Пусть х - одно из чисел, тогда второе число- (20 - х). Значит х(20 - х) -произведение этих чисел, что по условию задачи равно 96. Составим и решим уравнение:

х(20 - х) = 96,
20х - х² - 96 = 0,
х² - 20х + 96 = 0,
= 100 - 96 = 4,
х = 10 + 2,
х₁ = 12,
х₂ = 8.
12 - первое число, тогда 20 - 12 = 8 - второе число;
8 - первое число, тогда 20 - 8 = 12 второе число.

Ответ: 12 и 8.

4. Решение Диофанта (показывает учитель):

Пусть числа 10 + х и 10 - х (сумма их равна 20), тогда (10 + х)(10 - х) - их произведение, что равно 96. Имеем:

(10 + х)(10 - х) = 96,
100 - х² = 96,
х² = 4.
х = + 2.
В обоих случаях искомые числа 12 и 8.

Ответ: 12 и 8.

5. Задача Бхаскары, Индия, XII в.

Цветок лотоса возвышается над тихим озером на полфута. Когда порыв ветра отклонил цветок от прежнего места на 2 фута, цветок скрылся под водой. Определите глубину озера.

Решение.

Пусть глубина озера х ф., тогда длина стебля (х+ ) ф.Учитывая, что цветок рос вертикально, составим и решим уравнение:
х² + 22 = (х + )²
х² + 4 = х² + х +
х = 3
3 фута -глубина озера.
Ответ: 3 ф.

6. В море встретились два корабля. Один из них шел в восточном направлении, другой - в северном.Скорость первого на 10 узлов больше, чем второго.Через 2 часа расстояние между ними оказалось равным 100 милям. Найдите скорость каждого корабля.

Решение:

Пусть х узлов - скорость второго корабля,тогда (х - 10) узлов - скорость первого корабля, за 2 часа они пройдут 2х и 2(х -10) миль соответственно, т.к. они идут в перпендикулярных направлениях, то, используя теорему Пифагора, составим и решим уравнение:

(2х)² + (2(х + 10))² = 100²
4х² + 4(х² + 20х + 100) = 10000
2х² + 20х + 100 = 2500
х² + 10х + 50 - 1250 = 0
х² + 10х - 1200 = 0
= 25 + 1200 = 1225
х = - 5 + 35
х₁ = - 40 - не удовлетворяет смыслу задачи,
х₂ = 30
30 узлов - скорость корабля, идущего на север,тогда 30 + 10 = 40 (узлов) - скорость корабля, идущего на восток.

Ответ: 30 узлов и 40 узлов.

7. Два равных прямоугольника сложили так, что они образуют букву Т и их общей частью является меньшая сторона одного из прямоугольников.Периметр образовавшейся фигуры равен 42 м, а площадь каждого прямоугольника равна 27 м².Найти стороны прямоугольников.

Решение.

P = 3b + 3a + (b - a) = 4b + 2a, a = -2b, S = ab
Пусть b см длина прямоугольника, тогда ширина прямоугольника ( - 2b) м, т.к. P = 42 м, то длина - (21 - 2b)м. Площадь прямоугольника b(21- 2b), что по условию равно 27 м².Составим и решим уравнение.
b(21 - 2b) = 27
21b - 2b² - 27 = 0
2b² - 21b + 27 = 0
D = 441 - 4 * 2 * 27 = 441 - 216 = 225
b =
b₁ = 9
b₂ = 1
Если 9 м - длина, тогда 21 - 2 * 9 = 3(м) - ширина.
Если 1м -длина, тогда 21 - 2 * 1 = 18(м) - ширина, что не удовлетворяет смыслу задачи.

Ответ: 9 м и 3 м.