- Преподавателю
- Математика
- Пособие для учащихся «Справочные материалы по математике», 11 класс
Пособие для учащихся «Справочные материалы по математике», 11 класс
| Раздел | Математика |
| Класс | 11 класс |
| Тип | Другие методич. материалы |
| Автор | Соловьёв В.А. |
| Дата | 09.01.2016 |
| Формат | doc |
| Изображения | Есть |
Соловьёв В.А.
-
Справочник
5-11 классы
Математика. Готовься к экзаменам
Справочные материалы
по курсу математики
средней школы
(основные понятия, формулы)
2010 г.
Данное пособие поможет вам, ребята, повторить
теоретические основы курса математики 7 класса.
Цель пособия: привести ваши знания в систему,
устранить пробелы в теоретических сведениях курса
математики средней школы.
Буду доволен, если тебе данное пособие поможет
привести знания по математике за курс средней школы
в систему, ликвидировать отставание, устранить пробелы
в знаниях.
Если ты станешь глубже понимать математику,
успешнее учиться - значит, мой труд не пропал даром.
Справочник опробован на практике.
Все, кто повторял материал, используя его, сделал справочник
своей настольной книгой, оперативным
помощником, получили высокие баллы на ЕНТ.
Учитель математики.
1. Делители и кратные
Делитель делит данное число нацело.
Число 1 является делителем любого натурального числа, так как все натуральные числа делятся на 1.
Наибольший делитель данного натурального числа равен самому числу.
Кратным натурального числа в называют натуральное число, которое делится на в без остатка.
Кратное делится на данное число.
Натуральное число, которое делится только на 1 и на себя, называется простым числом.
Существует только одно чётное простое число, это 2.
Натуральное число, которое имеет более двух различных делителей, называется составным числом.
Число 1 не является ни простым числом, ни составным.
2. Наибольший общий делитель (НОД). Взаимно простые числа
НОД (18; 30) = 6.
Наибольшим общим делителем данных натуральных чисел называют наибольшее натуральное число,
на которое делится каждое из этих чисел.
Общим делителем чисел 25 и 12 является только одно число - число 1. НОД (25; 12) =1.
Два или более натуральных числа, которые имеют только один общий делитель - единицу, называют взаимно простыми числами.
3. Наименьшее общее кратное (НОК)
Наименьшим общим кратным данных натуральных чисел называют наименьшее натуральное число, кратное каждому из данных чисел.
Наименьшее общее кратное чисел 4 и 6 - число 12. Его обозначение: НОК (4; 6) = 12.
4. Формулы сокращённого умножения:
; 
; 
;
; 
;
; 
.
5. Законы сложения и умножения
Переместительный закон: а + в = в + а; а ∙ в = в ∙ а.
Сочетательный закон: (а + в) + с = а + (в + с); (а ∙ в)∙ с = а ∙ (в ∙ с).
Распределительный закон: (а + в) ∙ с = а ∙ с + в ∙ с.
6. Степень с рациональным показателем. Свойства степеней
а
= а ∙ а ∙ …∙ а ∙ а (n множителей); а° = 1; 
.
а
∙ а= а 
; 
; (а
; (ав)
; (
.
7. Степени и корни
если а
, где х ≥ 0.
; 
; а 
= 
; 
; 
│а│;
= 
(k > 0); = (
.
8. Вычисление сложных радикалов
; 
.
Например: 
1
9. Арифметическая прогрессия
Формула п - го члена: 
.
Формула суммы п первых членов: 
10. Геометрическая прогрессия
Формула п - го члена: 
.
Формула суммы п первых членов: 
.
Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
11. Линейная функция. Уравнение прямой
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки: 
.
Уравнение прямой: у = kх + в. Если у
у
, то k ∙ k = -1.
Если у|| у, то k = k.
12. Квадратное уравнение и его корни
Решим уравнение 
в общем виде. Найдём 
- дискриминант.
При этом возможны случаи:
1) D > 0, тогда уравнение имеет два корня: 
, эту формулу называют
формулой корней квадратного уравнения.
2) D = 0, тогда уравнение имеет один корень: 
.
3) D < 0, тогда уравнение не имеет корней.
13. Таблица квадратов натуральных чисел
-
дес.
единицы
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
100
121
144
169
196
225
256
289
324
361
2
400
441
484
529
576
625
676
729
784
841
3
900
961
1024
1089
1156
1225
1296
1369
1444
1521
4
1600
1681
1764
1849
1936
2025
2116
2209
2304
2401
5
2500
2601
2704
2809
2916
3025
3136
3249
3364
3481
6
3600
3721
3844
3969
4096
4225
4356
4489
4624
4761
7
4900
5041
5184
5329
5476
5625
5776
5929
6084
6241
8
6400
6561
6724
6889
7056
7225
7396
7569
7744
7921
9
8100
8281
8464
8649
8836
9025
9216
9409
9604
9801
14. Теорема Виета
Квадратные уравнения, в которых первый коэффициент равен 1, называют
приведёнными квадратными уравнениями.
Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту,
взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Если 
, то 
Эти формулы выражают теорему Виета.
Пусть квадратное уравнение имеет корни 
и 
.
Отсюда: 
. По теореме Виета: 
и
2
58. В пирамиде площади сечений, параллельных основанию относятся как квадраты их расстояний
от вершины пирамиды.
Дополнительные сведения
Область значений функции
1. Функция у = 
, у ≠ 0, т.е. Е(у) = (- ∞; 0)
(0; + ∞).
2. Функция у = 
, у ≠ 
, т.е. Е(у) = (- ∞; )(; + ∞).
3. Функция у = 
, у ≥ 0, т.е. Е(у) = [0; + ∞).
4. Функция у = 
, при 
, где А - значение функции
в вершине параболы, т.е. А = f (-
).
5. Функция у = sin (kx + в), Е(у) = [- 1; +1]; у = cos (kx + в), Е(у) = [- 1; +1].
6. Функция у = a sin (kx + в) + c, Е(у) = [- a + c; a + c]; у = a cos (kx + в) + c, Е(у) = [- a+ c; a + c].
7. Функция у = а sin (kx + в) + в cos (kx + в), Е(у) =[-
; ].
Таблица простых чисел (до 1000)
-
2
61
149
239
347
443
563
659
773
887
3
67
151
241
349
449
569
661
787
907
5
71
157
251
353
457
571
673
797
911
7
73
163
257
359
461
577
677
809
919
11
79
167
263
367
463
587
683
811
929
13
83
173
269
373
467
593
691
821
937
17
89
179
271
379
479
599
701
823
941
19
97
181
277
383
487
601
709
827
947
23
101
191
281
389
491
607
719
829
953
29
103
193
283
397
499
613
727
839
967
31
107
197
293
401
503
617
733
853
971
37
109
199
307
409
509
619
739
857
977
41
113
211
311
419
521
631
743
859
983
43
127
223
313
421
523
641
751
863
991
47
131
227
317
431
541
643
757
877
997
53
137
229
331
433
547
647
761
881
59
139
233
337
439
557
653
769
883
11
35. Скалярное произведение двух векторов 
и 
(
) вычисляется по формулам:
1) 
· 
=||·||· cos φ, где φ - угол между векторами и ;
2) · = х
· х
+ у· у+ z· z.
36. Если два вектора и () коллинеарны, то 
= 
=
.
37. Если два вектора и () перпендикулярны, то х· х+ у· у+ z· z= 0.
Объёмы
38. Объём прямоугольного параллелепипеда: V = aвc.
39. Объём призмы: V = S
· H или V = S
· AA
.
49. Объём пирамиды: V = 
S· H.
41. Объём усечённой пирамиды: 
.
42. Объём цилиндра: V = π R
· H.
43. Объём конуса: V = π R· H.
44. Объём усечённого конуса:
.
Поверхности
45. Поверхность прямоугольного параллелепипеда: S = 2 ав + 2ас + 2 вс.
46. Поверхность призмы: S = 2 S + S
47. Поверхность пирамиды: S = S + S
48. Боковая поверхность цилиндра: S = 2 πR H.
49. Полная поверхность цилиндра: S
= 2S + S= 2π R+ 2 πR H= 2 πR (R + H).
50. Боковая поверхность конуса: S = π R L.
51. Полная поверхность конуса: S = S + S= π R+ πR L = πR (R + L).
52. Поверхность усечённого конуса:
.
53. Свойство диагонали прямоугольного параллелепипеда. В прямоугольном параллелепипеде
квадрат диагонали равен сумме квадратов трёх его измерений: d
= a+ в+ с.
54. Площадь ортогональной проекции фигуры: 
, где φ - угол между фигурой
и её проекцией.
55. Теорема Фалеса. Если на одной стороне угла отложить пропорциональные отрезки и
провести через точки деления параллельные прямые до пересечения с другой
стороной угла, то отношение отрезков на одной стороне угла будет равно отношению
отрезков на другой стороне угла.
Подобные фигуры
56. Периметры подобных фигур относятся как их сходственные стороны: 
57. Площади подобных фигур относятся как квадраты их сходственных сторон:
.
10
15. Разложение квадратного трёхчлена на множители
,
где 
и 
- корни квадратного уравнения .
16. Основные формулы тригонометрии
sinα+ cosα = 1; 
; 
; 
; 
.
17. Значения тригонометрических функций некоторых углов
α
0
π
α
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
sin α
0
1
0
cos α
1
0
-
-
-
- 1
18. Тригонометрические функции суммы и разности двух аргументов
19. Тригонометрические функции двойного угла
; 
;
; 
; 
; 
.
20. Тригонометрические функции половинного угла
; 
; 
;
; 
; 
; 
;
; 
.
21. Формулы понижения степени
; 
; 
.
22. Преобразование суммы в произведение
; 
;
; 
.
3
23. Преобразование произведения в сумму
; 
;
.
24. Свойства тригонометрических функций
Чётность: 
; 
; 
; 
.
Периодичность: 
; 
;
; 
.
Период функции sin (кх + в) , cos(кх + в), tg(кх + в), ctg(кх + в) находим по формуле: 
.
25. Решение тригонометрических уравнений
Уравнение соs x = а.
Вспомним, что arc cos a = α, если cos α = a и 0 ≤ α ≤ π
соs x = а, где а
[-1; 1].
Частные случаи: соs x = 0 , тогда
;
соs x = 1, тогда 
; соs x = - 1, тогда
.
Если же соs x = а, где - 1 < а < 1, а ≠ 0, то 
.
а
- 1
-
-
-
0
1
аrc cos α
π
0
Уравнение sin x = а.
Вспомним, что arc sin a = α, если sin α = a и - ≤ α ≤ .
Частные случаи: sin x = 0, тогда
;
sin x = 1, тогда 
; sin x = - 1, тогда 
.
Если же sin x = а, где - 1 < а < 1, а ≠ 0, то 
k 
Z.
а
- 1
-
-
-
0
1
аrc sin a
-
-
-
-
0
Уравнение tg x = а.
Вспомним, что arc tg a = α, если tg α = a и - < α <.
tg x = а, то 
k Z.
а
- 
- 
- 
- 1
0
1
аrc tg а
-
-
-
-
0
4
PQ = 
, где а и в - основания трапеции.
20. Отрезок, параллельный основаниям трапеции и делящий её на две равновеликие части
(площади которых равны), вычисляется по формуле: 
Произвольный четырёхугольник
21. Площадь произвольного четырёхугольника может быть найдена, как половина произведения диагоналей
на синус угла между ними.
Правильный шестиугольник
21.1. Р = 6а, S = 6 · 
= 
; 
и R = a.
Координаты точек. Векторы
22. Расстояние между двумя точками:
а) на плоскости: А(
) и В (
) находим по формуле: 
б) в пространстве: А(
) и В () и АВ = 
23. Координаты середины отрезка АВ, где А() и В ()
вычисляются по формулам: х = 
; у = 
; z = 
.
24. Координаты точки М, делящей отрезок АВ в отношении λ (т.е. точка М удовлетворяет
условию 
), находятся по формулам: 
и 
.
25. Уравнение окружности с центром в точке О (а; в) имеет вид: (х - а) + (у - в)= R.
Длина окружности: С = 2 πR = πD и площадь круга: S = π R= π
, где D - диаметр круга.
26. Длина дуги окружности и площадь сектора: 
S
= 
.
27. Свойство касательной к окружности.
Если из одной и той же точки провести секущую и касательную к окружности, то:
Произведение длины секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной.
28 . Если хорды АВ и СD пересекаются в точке S, АS · SВ = СS · SD.
29. Центральный угол измеряется величиной дуги, на которую он опирается.
30. Вписанный угол измеряется половиной величины дуги, на которую он опирается.
31. Сумма внутренних углов правильного многоугольника: S= 
.
Сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятому по одному при вершине, равна
32. Уравнение сферы с центром в точке О (а; в; с) имеет вид: (х - а) + (у - в) + (z - c)= R.
Поверхность сферы: S = 4 π R, где R - радиус сферы. Объём шара: V = 
π R
, где R - радиус шара.
33. Пусть А() и В (), тогда 
; длина вектора 
вычисляется по формуле: 
.
34. Пусть и 
(), тогда 
=(
),
=
, k
=(
).
9
или а = 
; 
или в = 
.
3) 
. 4) В прямоугольном треугольнике: 
. 5) 
и 
.
9. Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон
без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:
а= в + с- 2 в с · cos A; в= а + с- 2 а с · cos В; с= а + в- 2 ав · cos С.
10. Теорема синусов. Отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов -
величина постоянная: 
.
11. В треугольнике точка пересечения медиан отсекает 
от каждой медианы, считая от стороны.
12. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине.
13. Биссектриса угла делит угол пополам. В треугольнике биссектриса делит противоположную
сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
Формулы медианы и высоты треугольника:
5) 
(из формулы Герона); 6) 
;
7) 
.
14. Теорема Стюарта.
Пусть l - биссектриса треугольника АВС, делящая противолежащую сторону на отрезки 
и 
.
Тогда 
.
Прямоугольник и квадрат
15. Периметр и площадь прямоугольника: Р = 2а + 2в или Р = 2· (а + в); S = а· в.
Периметр и площадь квадрата: Р = 4а; S = аили 
.
Параллелограмм
16. Параллелограмм, его площадь. Свойства диагоналей параллелограмма.
S = а· h; S = а·в·sin C; 
, α - угол между диагоналями; 
.
Трапеция
17. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме: 
18. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований (средней линии) на высоту:
19. Отрезок, параллельный основаниям трапеции, проходящий через точку пересечения диагоналей,
вычисляется по формуле:
8
Уравнение сtg x = а.
Вспомним, что arc ctg a = α, если ctg α = a и 0 < α < π. Если ctg x = а, то 
k Z.
а
-
-
-
- 1
0
1
аrc ctg а
0
26. Формулы приведения
-
рад
градусы
90°- α
90° + α
180° - α
180° + α
270°- α
270°+ α
360°- α
sin β
cos α
cos α
sin α
- sin α
- cos α
- cos α
- sin α
cos β
sin α
- sin α
- cos α
- cos α
- sin α
sin α
cos α
tg β
ctg α
- ctg α
- tg α
tg α
ctg α
- ctg α
- tg α
ctg β
tg α
- tg α
- ctg α
ctg α
tg α
- tg α
- ctg α
27. Знаки тригонометрических функций
28. Решение тригонометрических неравенств
1) sinx > a, (|а| < 1) => х (arc sinа + 2πk; π - arc sinа + 2πk), kZ;
2) sinx < a, (|a| < 1) => x (- π - arc sina + 2πk; arc sinа + 2πk), kZ;
3) cosx > a, (|a| < 1) => x (- arc cosa + 2πk; arc cosa + 2πk), k Z;
4) cosx < a, (|a| < 1) => x (arc cosa + 2πk; 2π - arc cosa + 2πk), kZ;
5) tgx ≥ a => x[arc tga + πk; π/2 + πk), kZ;
6) tgx ≤ a => x(- π/2 + πk; arc tga + πk], kZ;
7) ctgx ≥ а => x(πk; arc сtga + πk], kZ;
8) ctgx ≤ a => x[arc сtga + πk; π + πk), kZ.
29. Формулы для вычисления производных
(u + v)' = u' + v '; (u ∙ v)' = u' v + u v'; (C u)' = C ∙ u'; 
C ' = 0 (где C = const); (sin x)' = cos x; (cos x)' = - sin x;
(tg x)' = 
; (ctg x)' = 
; (
)' = 
; (ln x)' = 
;
(x)' = n ∙ x
; (e
)' = e; (a)' = a∙ ln a; (log
x)' = 
.
Уравнение касательной имеет вид: у - у
=
(х - х).
Геометрический смысл производной: тангенс угла наклона касательной: 
.
Механический смысл производной: производная пути по времени есть скорость, т. е. 
,
а производная скорости по времени есть ускорение: 
.
Критические точки: это те точки, в которых производная равна нулю.
Функция убывает на промежутке, если у′ на нём отрицательна (у′ < 0);
Функция возрастает на промежутке, если у′ на нём положительна (у′ > 0).
5
Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с «-» на «+»,
то это точка минимума; если же при переходе через критическую точку производная меняет знак
с «+» на «-», то это точка максимума.
Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции на промежутке, надо найти
значения функции на концах промежутка и в точках максимума и минимума (если они есть), принадлежащих указанному промежутку, а затем выбрать из них самое большое и самое
маленькое.
30. Логарифмическая функция
Логарифмом числа в по основанию а называется такой показатель степени, в которую нужно
возвести а, чтобы получить в.
Поэтому: а
, где а > 0, в > 0.
Основные свойства логарифмов:
log
1= 0; log а = 1; logху = logх + logу;
log
= logх - logу; logх
= p ∙ logх. logв= 
- формула перехода
к новому основанию.
31. Первообразная. Интеграл
Если F' (x) = f (x), то F(x) - первообразная для f (x).
Таблица первообразных:
-
функция f (x)
первообразная F(x)
функция f (x)
первообразная F(x)
k
kx + C
sin x
- cos x + С
x
+ C
cos x
sin x + С
ln │x│ + C
- ctg x + C
e
e
+ C
tg x + C
a
2
+ C
у = f (kx+в)
F(x) =
F(kx+в)+ C
+ C
Формула нахождения неопределённого интеграла: 
.
Формула Ньютона-Лейбница: 
.
Формула вычисления площади плоской фигуры: 
.
Формула объёма тела, полученного вращением криволинейной трапеции вокруг оси Ох:
.
32. Обращение десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь
Рассмотрим этот приём на конкретных примерах: 
; 
;
6
; 
.
33. Область допустимых значений (ОДЗ)
При нахождении ОДЗ следует обращать внимание на 3 факта:
1) Делить на нуль нельзя, поэтому делитель (знаменатель дроби) всегда отличен от нуля (≠ 0).
2) Выражение, стоящее под знаком корня чётной степени всегда неотрицательно (≥ 0).
3) Выражение, стоящее под знаком логарифма всегда положительно (> 0).
34
. Основные тождества для обратных тригонометрических функций
-
x
[-1; 1] x
[-; ]
x
[-1; 1]
x
[0; π] sin (arc sin x) = x
arc sin (sin x) = x
cos (arc cos x) = x
arc cos (cos x) = x
-
x
(-; ) tg (arc tg x) = x
arc tg (tg x) = x
arc sin (- x) = - arc sin x; arc cos (- x) = π - arc cos x; arc tg (- x) = - arc tg x; arc ctg (- x) =π - arc ctg x;
arc sin x + arc cos x = , если x[-1; 1];
arc tg x + arc ctg x = ,
sin (arc cos x) = cos (arc sin x) = 
, если x[-1; 1];
tg (arc ctg x) = ctg (arc tg x) = 
, если x ≠ 0.
Основные формулы по геометрии
Треугольники
1. Формулы площади треугольника: S
= 
a· h = aв sin C; формула Герона:
S= 
, где р = 
А так же: 
.
2. Радиусы вписанной и описанной окружности для треугольника: 
и
2 R = а + в - 2r; r = 
; 2 (R + r) = а + в.
3. Равносторонний треугольник: S = , h = l = m =
, 
и
.
4. В треугольнике сумма всех трёх углов равна 180°: 
= 180°.
5. Смежные углы в сумме составляют 180°.
6. Вертикальные углы равны между собой.
7. Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов
катетов: с= а + в.
8. Свойства прямоугольного треугольника.
1) В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, есть
среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу: 
или 
2) Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой
и его проекцией на гипотенузу:
7