Творческая работа по теме: Методы доказательства числовых неравенств и их применение при решении прикладных задач

Министерство образования Саратовской области

ГАОУ ДПО «Саратовский институт повышения квалификации и переподготовки работников образования»

Кафедра математического образования

«Методы доказательств числовых неравенств и их использование при решении прикладных задач»

Творческая работа

слушателя курсов переподготовки по

дополнительной профессиональной образовательной программе

«Преподавание математики в общеобразовательной школе»

Брызгаловой Ирины Николаевны

Научный руководитель: д.ф.м.н., профессор______________ В. А. Молчанов

^{дата, подпись}

Зав. кафедрой: к.пед.н., доцент ___________________________Т. В. Костаева

^{дата, подпись}

Саратов 2011

Содержание работы:

I. Введение.---------------------------------------------------------------------------- 2

II. Историческая справка.--------------------------------------------------------- 4

III.Основные методы доказательства неравенств.----------------------- 6

1.Неравенство Коши.--------------------------------------------------------------- 8

2. Доказательство неравенств путем определения знака разности их частей.-------------------------------------------------------------------------------------- 11

3. Доказательство неравенств с помощью использования ранее доказанных и очевидных неравенств.-------------------------------------------- 12

4. Метод оценивания. ------------------------------------------------------------ 14

5. Доказательство неравенств методом от противного.----------------- 15

6.Доказательство неравенств методом математической индукции-17

7. Метод использования тождеств.--------------------------------------------- 18

8. Метод ведения новых переменных (метод подстановки).------------ 18

9. Метод интерпретации или моделей.--------------------------------------- 19

10. Функционально - графические методы доказательства неравенств. ------------------------------------------------------------------------------ 20

11.Метод уменьшения числа переменных в неравенстве и понижения степени неравенства.-------------------------------------------------------------- 21

IV. «Доказательство неравенств» в школьном курсе математики.----- 22

V. Заключение.------------------------------------------------------------------------- 26

VI. Список использованных источников.------------------------------------- 29

Приложение.--------------------------------------------------------------------------- 32

I. Введение

Доказательства неравенств рассматривается на базовом уровне в начале изучения темы «Неравенство». В дальнейшем неравенства можно доказывать на занятиях математических кружков, факультативов, т.е. во внеклассной работе по предмету.

Доказательство неравенств как задача сложнее, чем усвоение алгоритмов решения простых неравенств - доказательство обычно основано на эвристике, а не на алгоритмах. Поэтому в основной школе принято рассматривать лишь неравенство Коши. В профильном курсе ознакомление учащихся с самой задачей доказательства неравенств и с применяемыми методами рассуждений представляется в настоящее время совершено необходимым. Это позволяет учащимся при решении задач перейти с уровня формально - оперативных умений, на более высокий уровень, позволяющий строить логические цели рассуждения; делать выводы о выборе решения, анализировать и оценивать полученные результаты.

В программе по алгебре и началам анализа для профильного уровня, в разделе «Уравнения и неравенства» есть тема: «Доказательства неравенств: использование равносильных преобразований, метода математической индукции, исследования функций. Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом нескольких чисел».

В курсе математики девятилетней школы линия неравенств тесно связана с другими основными линиями: развитием понятия числа и операциями над числами, тождественными преобразованиями выражений с переменной, с функциями и др., поэтому требуется разработка методики использования неравенств при раскрытии этих вопросов. Такой подход позволит осознанно изучить тему «Неравенства» и предоставить в распоряжение учащихся приёмы изучения ряда вопросов, так, как аппарат неравенств может быть применён:

- к решению прикладных задач;

- к исследованию свойств функций и др.

Доказательства неравенств на базовом уровне рассматривается в 8 классе в начале изучения темы «Неравенство». Обучающиеся доказывают неравенства самым простым способом, находя разность двух выражений. В дальнейшем неравенства доказываются, в лучшем случае на занятиях математических кружков, факультативов, т.е. во внеклассной работе по предмету.

На страницах учебников, по которым изучается базовый курс математики, из классических неравенств встречаются только соотношения между средне арифметическим и средне геометрическим двух неотрицательных действительных чисел (неравенство Коши).

Задачи, решение которых весьма затруднительно без применения классических неравенств, встречаются на математических олимпиадах школьников. Решение задач такого типа обычно представляют собой последовательность достаточно простых рассуждений. Но вот логика и идеи всей цепочки этих элементарных звеньев - рассуждений выходят за рамки методов и приемов школьного курса. Тем более, что процесс получения и изучения неравенств и их приложений неформален и мало алгоритмизуем.

Актуальность темы «Доказательство неравенств» бесспорна, так как неравенства играют фундаментальную роль в большинстве разделов современной математики, без них не может обойтись ни физика, ни астрономия, ни химия. Теория вероятности, математическая статистика, финансовая математика, экономика - все эти взаимопроникающие и обобщающие друг друга науки и в формулировках основных своих законов, и в методах их получения, и в приложениях, постоянно используют неравенства.

Цель работы: Изучить методы доказательств числовых неравенств и выяснить, какие методы целесообразно применить при решении прикладных задач.

II. Историческая справка

Понятия «больше» и «меньше» наряду с понятиями равенство возникли в связи со счетом предметов и необходимостью сравнивать различные величины. Понятиями неравенства пользовались уже древние греки. Архимед (III в. до н. э.), занимаясь вычислением длины окружности, установил, что «периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых». Иначе говоря, Архимед указал границы числа π:

Ряд неравенств приводит в своем знаменитом трактате «Начала» Евклид. Он, например, доказывает, что среднее геометрическое двух положительных чисел не больше их среднего арифметического, т. е. что верно неравенство

≤ (a+b)/2 .

В «Математическом собрании» Папы Александрийского в III в., доказывается: «Если a/b >с/d (а, b, с и d - положительные числа), то ad>bс».

Однако все эти рассуждения проводили словесно, опираясь в большинстве случаев на геометрическую терминологию.

В 1557 г., когда Роберт Рекорд впервые ввел знак равенства, он мотивировал свое нововведение следующем образом: никакие два предмета не могут быть между собой более равными, чем два параллельных отрезка. Знак равенства Рекорда стал, однако, общеупотребительным лишь в ХVIII веке после того как им стали пользоваться Лейбниц и его последователи. Исходя из знака равенства Рекорда, другой английский ученый Гарриот ввел употребляемые поныне знаки неравенства, обосновывая (в «Практике аналитического искусства», вышедшей в 1631 г. посмертно) нововведение следующим образом: если две величины не равны, то отрезки, фигурирующие в знаке равенства, уже не параллельны, а пересекаются. Пересечение может иметь место справа (>) или слева (<). В первом случае образованный знак неравенства будет обозначать «больше», во втором - «меньше».

Несмотря на то что знаки неравенства были предложены через 74 года после предложенного Рекордом знака равенства, они вошли в употребление намного раньше последнего. Одна из причин этого явления коренится в том, что типографии применяли в то время для знаков неравенства уже имевшуюся у них латинскую букву V, тогда как наборного знака равенства (=) у них не было, а изготовлять его тогда - было нелегко.

Знаки ≤ и ≥ ввел французский математик П. Буге (1698-1758).

Неравенства и системы неравенств широко используются как в теоретических исследованиях, так и при решении важных практических задач.

Введение в программу профильного обучения этой темы очень важно. Задачи этой темы решаются алгебраическим способом, который является одним из лучших средств развития самостоятельного, творческого мышления. С помощью специально подобранных задач, которые способны заинтересовать учащихся своей кажущейся простотой и тем, что их решение не сразу дается в руки, можно показать учащимся красоту, простоту и изящество логического рассуждения. Задачи на доказательство неравенств часто решаются несколькими способами. Это дает возможность обратить внимание учащихся не только на наиболее рациональный, красивый способ решения данной задачи, но и на те способы, которые широко применяются при решении других задач и в некоторых случаях оказываются единственными.

Доказательства неравенств дает возможность реализовать в процессе изучения темы такие задачи: формирование у учащихся навыка осмысления и применение приемов доказательство неравенств; умение применять приемы доказательств при выполнении различных задач; умение анализировать, обобщать и делать выводы; логически излагать мысли; творчески относится к делу.

С неравенствами связаны два взаимодополняющих направления:

III.Основные методы доказательства неравенств

1. Доказательство неравенств.

2.Решение неравенств.

Как показывает практика, при доказательстве неравенств учащиеся испытывают ряд серьёзных затруднений, которые обусловлены как объективными, так и субъективными причинами. Субъективные причины заключены в том, что большинству учащихся с трудом даётся:

1. понимание связей, существующих между условием и заключением;

2. осмысление самого процесса доказательства неравенств.

Объективные причины указанных затруднений состоят в том, что данному вопросу неоправданно уделяется очень мало внимания. Доказательство неравенств находит применение:

1. в самой математике;

2. в решении задач на оптимизацию;

3) в решении различных прикладных задач.

Задачи на доказательство неравенств особенные. Конкретных особых подходов здесь нет. Одно и тоже неравенство можно доказать различными способами. Разберем теперь наиболее часто встречающие приемы установления истинности неравенств с переменными, продемонстрировав соответствующие идеи и методы на конкретных примерах. В дальнейшем речь пойдет о неравенствах справедливость которых требует доказать на заданном множестве значений переменных. Если такое множество неуказанно, то подразумевается, что эти переменные могут принимать любые действительные значения.

Доказать неравенство, содержащее переменную (переменные), - это значит установить, что при указанных значениях переменной (переменных), данное неравенство обращается в верное числовое неравенство.

В школьном курсе математики можно выделить следующие методы доказательства неравенств:

1. По определению неравенства (оценка знака разности).

2. Синтетический метод, основу которого составляют опорные неравенства:

1) а² > 0 для любого а Є R;

2) ≥ , если a≥0, b0, неравенство Коши;

3) ≥, если a ≥ 0, d ≥ 0.

Следствие :Сумма двух положительных множителей, произведение которых постоянно, достигает наименьшего значения тогда, когда эти множители равны.

Следствие может быть распространено на любое число положительных множителей.

4) + ≥, если a > 0, b > 0;

5) ++…+ ≥ , если a ≥ 0, b ≥ 0.

6)+≥ 2, если ab > 0;

7) ax² +bx+ c > 0, если a > 0, x Є R,

D = b² - 4ac < 0.

3. Переход от неравенства а > б к равенству а = b+ с, с > 0.

4. Использование свойства транзитивности неравенств.

5. Возведение обеих частей неравенства в натуральную степень.

6. Метод от противного.

7.Метод полной индукции.

8. Метод математической индукции.

9.Геометрический метод.

10. Использование элементов математического анализа.

Все методы, за исключением последнего, могут быть рассмотрены в девятилетней школе.

1. Неравенство Коши

Пусть а и b - неотрицательные числа. Доказать, что ≥.

Это неравенство иногда называют неравенством Коши в честь французского математика XIX в. Огюста Коши.

Доказательство: Составим разность левой и правой частей: (a+b)/2 -= =((a+b)-2)/2=(- )²/2 .

Получим неотрицательное число, значит, ≥. Число называют средним арифметическим чисел а и b; число называют средним геометрическим чисел а и b. Таким образом, неравенство Коши, означает, что среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не менее их среднего геометрического.

Неравенство Коши имеет любопытное геометрическое истолкование.

Пусть дан прямоугольный треугольник и пусть высота h, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки а и b. В геометрии доказано, что h=. А что такое ? Это длина половины гипотенузы. Но из геометрии известно, что медиана m прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, как раз равна половине гипотенузы. Таким образом, неравенство Коши означает, что длина медианы, проведенной к гипотенузе (т.е. ), не меньше длины высоты, проведенной к гипотенузе (т.е. ).

Замечание: Из неравенства Коши вытекают следующие неравенства, используемые нами ранее при доказательстве предыдущих неравенств, которые широко применяются при доказательстве неравенств вообще. a+b≥2, если a и b - произвольные неотрицательные; , если a и b - произвольные положительные числа; , если a и b - произвольные ненулевые числа одного знака.

Обобщив неравенство ≤ на 3,4,5…n неотрицательных чисел знаменитый французский математик Огюстен Луи Коши доказал в 1821 г. следующее неравенство:

≤,

т.е. среднее геометрическое n неотрицательных чисел не больше среднего арифметического этих чисел. Равенство существует при условии, если только все n чисел равны между собой. Докажем это неравенство методом математической индукции.

Пример 1. а) Доказать, что если положительные числа х₁,х₂,…х_n таковы, что х₁х₂…х_n =1, то х₁+х₂+…+х_n ≥n.

б) Доказать, что для любого натурального числа n≥2 справедливо неравенство

≥ , где все числа а₁,а₂,…а_n положительны.

Доказательство: а) Проверим выполнение утверждения для n=2. пусть произведение двух положительных чисел х₁,х₂ равно 1. поскольку ≥ ≥, получаем, что х₁+х₂ ≥2, что и требовалось установить.

Предположим, что утверждение выполняется для n=к, т.е. предположим, что если х₁х₂…х_к =1, где все множители - положительные числа х₁ +х₂ +…+х_к≥ ≥к. Докажем, что тогда из равенства х₁х₂…х_к х_к+1=1следует неравенство х₁ +х₂+ +…+х_к +х_к+1 ≥к+1.

Если х₁ =х₂ =…=х_к =х_к+1=1, то х₁ +х₂ +…+х_к +х_к+1=к+1; можно записать и так х₁ +х₂ +…+х_к +х_к+1 ≥к+1. Значит в этом тривиальном случае утверждение выполняется. Если в произведении х₁х₂…х_к х_к+1 не все множители равны 1, то найдется хотя бы одна пара чисел таких, что одно больше 1, а другое меньше 1; обозначим эти числа соответственно х_к и х_к+1, а их произведение обозначим Х_к.

Имеем х₁х₂…х_к-1 х_к х_к+1=1, т.е. х₁х₂… х_к-1, Х_к =1. поскольку произведение к положительных чисел равно 1, то и по индукционному предположению их сумма не меньше к: х₁+ х₂+… +х_к-1 +Х_к≥к.

Докажем, что Х_к< х_к +х_к+1-1.

В самом деле, Х_к- (х_к +х_к+1-1)=1+ х_к х_к+1- х_к -х_к+1=( х_к-1)( х_к+1-1). Выше мы отметили, что х_к>1, а х_к+1<1. значит, ( х_к-1)( х_к+1-1)<0, а потому Х_к< х_к +х_к+1-1.

А теперь рассмотрим интересующую нас сумму х₁+ х₂+… +х_к-1. Имеем: (х₁+ +х₂+… +х_к-1)+( х_к +х_к+1)> (х₁+ х₂+… +х_к-1)+ Х_к+1.

По принципу математической индукции утверждение доказано для любого натурального числа n≥2.

б) Введем обозначение: А=. Справедливо равенство

=1. но тогда, согласно утверждению, доказанному в пункте а), выполняется неравенство ≥n, т.е. ≥А, что и требовалось доказать.

Приведем еще две полезные формы записи неравенства Коши:

х₁+х₂+…+х_n≥n

и (х₁+х₂+…+х_n)ⁿ≥nⁿ х₁х₂x₃…х_n - в первой записи нет дроби, во второй - ни дроби, ни радикала. Если ими не пользоваться, то выкладки всегда будут более громоздкими.

2. Доказательство неравенств путем определения знака разности их частей

Этот метод исследования неравенств по другому называют «Доказательство неравенств с помощью определения». Определение сравнения двух действительных чисел было приведено выше. По определению считается, что A>B, если (A-B) - положительное число. Поэтому для доказательства неравенства f(a, b…k) > g(a, b…k) на заданном множестве значений a, b…k - достаточно составить разность f(a, b…k) и убедится в том, что она положительна при заданных значениях a, b…k. Именно этим способом доказано выше неравенство Коши и некоторые свойства неравенств.

Пример 2. Доказать, что если ab>0, то ≥2.

Доказательство: имеем - 2= ^. Так как ab>0, то ²≥0, причем знак равенства имеет место лишь при a=b. Итак, разность - 2 неотрицательна, неравенство доказано.

Пример 3. Докажем, что любых положительных чисел a и b справедливо неравенство 4(a³+b³)≥(a+b)³

Доказательство: рассмотрим выражение А=4(a³+b³) - (a+b)³.

Сначала преобразуем его:

А=4(a+b)(а²-ab+b²)-(a+b)(а²+2ab+b²)=(a+b)(4а²-4ab+4b²-а²-2ab-b²)= =(a+b)(3а²-6ab+3b²)=3(a+b) (a-b)². Так как a>0, b>0, то А≥0, т.е. доказана справедливость неравенства.

4(a³+b³)≥(a+b)³.

Пример 4. Докажите, что для любых действительных чисел a,b,c,d,e справедливо неравенство

а²+b²+c²+d²+e²≥ a(b+c+d+e).

Доказательство. Составим и преобразуем разность а²+b²+c²+d²+e²- -a(b+c+d+e)=(-b)² +(-с)²+(-d)²+(-e)². Очевидно, что эта разность принимает лишь неотрицательные значения, что доказывает исходное неравенство. Кроме того, очевидно, что оно выполняется в варианте равенства тогда и только тогда, когда = b=c=d=e.

Пример 5. Докажите, что если n≥3, n N, то справедливо неравенство ≥.

Доказательство: перейдем к доказательству равносильного данному неравенства n⁴> ( n+1)³ и проанализируем разность n⁴- ( n+1)³ . Очевидно, что n⁴- ( n+1)³ = n⁴ - n³- 3n²- 3n-1= n³ (n-3)+ 2n²(n-3)+3n(n-3)+6(n-3)+17, а значит, при n≥3, n⁴-( n+1)³>0 как сумма четырех неотрицательных и одного положительного слагаемого.

3. Доказательство неравенств с помощью использования ранее доказанных и очевидных неравенств

Пример 6. Докажем, что для любых положительных чисел x справедливо неравенство х+ ≥2.

Доказательство: рассмотрим неравенство ≥1 и левой части которого записано среднее арифметическое положительных чисел х и , а в правой - их среднее геометрическое. Следовательно, неравенство≥1 справедливо на основании неравенства Коши. Но тогда на основании полученного утверждения справедливо неравенство ≥1.

Этот метод еще носит название метод синтеза. Суть этого метода заключается в синтезировании неравенства, которое требует обосновать из опорных (базисных) неравенств «законными» средствами, проистекающими из свойств числовых неравенств и методов их установления.

Опорными неравенствами являются, например, такие:

1) ≥ , где x≥0, y≥0 (неравенство Коши);

2) x+≥2, где x>0

3) -1 ≤ sin ≤1;

4) -1 ≤ cos ≤1;

5) а²≥0

6) ≥2, где ab>0.

7) (a-c)²+(b+d)²≥0, a,b,c,d - действительные числа

8) /2<tg /2, 0<<π/2

9) sin /2< /2, 0<<π/2

Пример 7. Доказать, что для любых а, b, с R выполняется неравенство

а² + b² + с² ≥ аb + bс + са.

Для доказательства мы применим неравенство Коши: умножим левую часть неравенства на 2 и перегруппируем слагаемые:

2(а² + b² + с²) = (а² + b²) + (b² + с²) + (с² + а²),

и применим неравенство Коши к каждой сумме в правой части.

Имеем:

а² + b² ≥ 2= 2≥2аb,

так что

2(а² + b² + с²) ≥ 2аb + 2bс + 2са,

что и требовалось доказать.

Пример 8. Доказать, что ()ⁿ>n!,где nN, n>1.

Доказательство. Возьмем в качестве опорных следующие неравенства Коши:

≥; ≥;

≥; …;≥; ≥.

Перемножим эти неравенства, получим:

()ⁿ ≥==²=n!

Итак, ()ⁿ≥n!. Так как по условию n≠1, то первое и последнее из опорных неравенств Коши могут быть только строгими. Но тогда и после перемножения опорных неравенств полученное неравенство должно быть строгим. Таким образом, ()²>n!, что и требовалось доказать.

4. Метод оценивания

При решении многих задач, в частности, при рассмотрении различных функций особую роль играет оценка значения выражения сверху или снизу, т. е. указание верхней или нижней границы выражения. Никаких универсальных способов для нахождения такой оценки не существует, так что поиск нужной оценки является чисто эвристической, можно сказать, творческой работой. Оценка часто необходима не только для доказательства «готового», заданного неравенства, но и для сравнения числовых выражений, когда истинное неравенство требуется установить самостоятельно.

Пример 9. Докажите, что для любых действительных чисел a,b,c,d таким, что a²+b²=1, c²+d²=1, выполняется неравенство |ac-bd| ≤1.

Доказательство методом усиления.

Применим свойство модуля и неравенство Коши:

|ac-bd|≤|ac|-|bd| = ≤, что и обосновывает исследуемое неравенство.

Решение методом оценивания.

Учитывая, что a²+b²=1, c²+d²=1, заключаем:

1=(a²+b²)(c²+d²)=a²c²+a²d²+b²c²+b²d²=(ac)²-2abcd+(bd)²+(ad)²+2adbc+(bc)²=(ac- - bd)²+(ad-bc)²≥(ac-bd)², т.к. (ad-bc)² при

любых действительных a,b,c,d принимает только значение из полученных соотношений следует, что |ac-bd|≤1.

5. Доказательство неравенств методом от противного

Суть этого метода заключается в следующем. Пусть нужно доказать истинность неравенства f(x;y;z)>g(x;y;z).

Предполагают противное, т.е. что хотя бы для одного набора переменных справедливо неравенство f(x;y;z)≤g(x;y;z).

Используя свойства неравенств, выполняют преобразования последнего неравенства. Если в результате этих преобразований получается ложное неравенство, то это означает, что предположения о справедливости неравенства неверно, а поэтому верно исходное неравенство.

Пример 10. Доказать, что если a≥0,b≥0,c≥0,d≥0, то ≥

Доказательство. Предположением противное, т.е. что для некоторого набора значений a,b,c,d справедливо неравенство<.

Возведем обе его части в квадрат. Решая неравенство, получим ab+bc+ad+cd<ab+2+cd , а из него<.

Но это противоречит неравенству Коши, составленному для неотрицательных чисел bc и ad. Значит, наше предположение неверно, т.е. для любых неотрицательных значений a,b,c,d справедливо неравенство<.

Пример 11. Докажите, что для любых действительных чисел a,b,c справедливо неравенство .

Доказательство: очевидно, что данное неравенство достаточно установить для любых действительных чисел a,b,c будем иметь следующие соотношения:

=≥≥, что является обоснованием исходного неравенства.

Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа a,b,c, для которых выполняется неравенство , но тогда выполняется неравенство

, тогда и неравенство

>, а значит и неравенство a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc- 3a²+3b²+3c²>0 или -( 2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc) >0, т.е. -(a-b)²+(d-c)²+(b-c)²>0, что невозможно ни при каких действительных a,b,c. Сделанное выше предположение опровергнуто, что и доказывает неполное неравенство.

6. Доказательство неравенств методом математической индукции

При доказательстве неравенств часто прибегают к методу математической индукции. Доказательство при помощи метода математической индукции того, что некоторое утверждение, в которое входят натуральные числа n верно, состоит из доказательства двух шагов:

Шаг 1. Утверждение верно при n=1.

Шаг 2. Из справедливости утверждения для какого - либо произвольного натурального n=к следует его справедливость для следующего натурального n=к+1. Если обе эти теоремы доказаны, то на основании принципа (аксиомы) математической индукции заключаем, что утверждение верно для любого натурального n. Если надо доказать утверждение не для всех натуральных n, а лишь начиная с некоторого натурального m>1, то доказательство проводится так:

1. Доказывается, что утверждение верно при n=m;

2. Доказывается, что из справедливости утверждения при n=к, где к≥ m, вытекает, что оно верно и при n=к+1.

Пример 12. Доказать, что для любых действительных чисел справедливо неравенство ||≤.

Доказательство. При n=2 неравенство принимает вид ≤. Это верно неравенство оно доказано ранее. Предположим, что неравенство верно n=к (к≥2), т.е. ||≤|, и докажем, что тогда оно верно и при n=к+1, т.е. докажем, что ||≤. В самом деле, пусть =А_к, тогда ||==|А_к+а_к+1|≤|А_к|+|а_к+1|= =||≤. По принципу математической индукции неравенство верно для любых действительных .

7. Метод использования тождеств

Пример 13. Докажите, что для любых действительных чисел a и b справедливо неравенство a²+ab+b² ≥ 0.

Доказательство. Воспользуемся очевидным тождеством a²+ab+b² = =(а+, которое, учитывая, что для любых a, b R (а+≥0, немедленно приводит к требуемому результату.

Для следующего неравенства используем замечательное тождество, тождество Лагранжа:

(х( (а₁х₁+a₂х₂+…+а_nx_n)²=(x₁a₂--x₂a₁)²+(x₁a₃-x₃a₁)²+…+(x₁a_n-x_na₁)²+(x₂a₃-x₃a₂)²+…+(x₂a_n-x_na₂)²+…+= ???? =(x_n-1a_n-x_na_n-1)².

Для обоснования этого тождества достаточно составить разность между его левой и правой частями, раскрыть скобки и привести подобные.

8. Метод ведения новых переменных (метод подстановки)

Пример 14.Докажите, что для любых положительных чисел a,b,c справедливо неравенство .

Доказательство. Рассмотрим неравенство А+В+С ≥, где А,В и С - любые действительные неотрицательные числа, и положим: А=; В= и С=, где a,b,c - произвольные положительные действительные числа, в результате получим требуемое неравенство . Пример 15. Докажите, что для любых положительных чисел a,b,c справедливо неравенство ≥3.

Доказательство. Обозначим b+c=2x, c+a=2y, a+b=2z, причем очевидно, что при любых положительных чисел a,b,c числа x,y,z будут тоже положительны, а вот обратное неверно, поэтому, найдя a,b,c из системы

т.е. получив:

можно будет переписать исследуемое неравенство в следующем виде:

≥3,

однако не будет никакой гарантии, что оно справедливо при любых положительных x,y,z, даже если справедливо исследуемое неравенство. Однако если нам повезет и неравенство истинно, то это будет гарантировать справедливость и неравенства, но

=(+(-3) ≥ 2+2+2-3=3, что обосновывает исследуемое неравенство.

Заметим, что именно неравенство Коши, примененное к положительным числам , дало соотношение .

9. Метод интерпретации или моделей

Рассмотрим неравенства, доказательство которых можно получить, используя хорошо известные неравенства треугольника. Вспомним, что для любых трех точек A,B,C справедливо соотношение (А, С)≤ (А, В)+ (В, С), где символом (M, N) обозначено расстояние от точки М до точки N.

Пример 16: Докажите, что для любых действительных чисел а,

b и c справедливо неравенство

Доказательство. Рассмотрим в прямоугольной системе координат ХОУ точки O(0; 0), В(2а; 2b) и А(а + c; b) и запишем для них неравенство треугольника ОB≤ОА + АВ.

Более тонким средством (нежели неравенство треугольника) для получения замечательных неравенств служит теорема косинусов. Продемонстрируем ее «работу» при решении конкретных задач.

Пример 17. Докажите, что для любого действительного числа

справедливо неравенство .

Доказательство. Рассмотрим два случая: а) х ≤0; б) х > 0.

а) Если х ≤0, то 9 + х² - 3х 9; 16 + х² - 4х 16, а значит, .

б) Если х > 0, то обратимся к геометрической модели:

рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с катетами АС = 3; СВ = 4 и биссектрису CD его прямого угла С, причем обозначим CD = х. Используя теорему косинусов, получаем:

AD= =;

ВD= =. Остается воспользоваться неравенствами треугольника

AD + DB ≥ АВ и учесть, что

АВ = = 5 (ABC - египетский).

10. Функционально - графические методы доказательства неравенств

Это метод доказательства неравенств с помощью введения вспомогательных функций, с целью использования их свойств монотонности, т.е. возрастания или убывания, а также знание точек максимума, или минимума функции. Это позволяет сравнивать значение функции в различных точках области определения или на определенном промежутке.

Пример 18. Доказать, что при 0<x<0,5 справедливо неравенство 2x+>5.

Доказательство. Рассмотрим функцию y=f(x), где f(x)=2x+ исследуем функцию на монотонность, для этого найдем её производную

(x)= (2x+=(2x+x^-2=2-2x^-3=.

Заметим, что (x)<0 при 0<x<1, значит, в частности, функция убывает на полуинтервале (0;0,5]. Поэтому для любого х из интервала (0;0,5) справедливо неравенство f(x)> f(0,5). Но f(0,5)=5, значит на полуинтервале (0;0,5) выполняется неравенство f(x)>5, что и требовалось доказать.

11. Метод уменьшения числа переменных в неравенстве и понижения степени неравенства

При доказательстве неравенства из примера 33 был продемонстрирован способ уменьшения числа переменных, рассмотрение следующих двух примеров обогатит наши знания еще одним достижением того же.

Пример 19. Докажите, что для любых положительных а, b, с справедливо неравенство

а³ + b³ +с3 - а²b - аb² - а²с - ас² - b²с - bс² + 3аbс≥0.

Доказательство. Разделим правую и левую части неравенства на с³ (с > 0, а значит, и с³ > 0) и введем новые переменные:=u, = v. В результате получим новое неравенство

и³ + v³ + 1-u²v - uv² - u² - u - v² - v + 3uv≥0; u, v > 0, доказательство, которого равносильно доказательству исходного неравенства. Перепишем его левую часть в следующем виде:

(u + v)³ - 3uv(u + v) + 1 - uv(u + v) - (u + v)² +

+ 2uv - (u + v) + 3uv ≥0

и введем новые переменные: x= и + v и у = u • v, причем x> 0, y > 0 и

х² ≥ 4у. Теперь получили неравенство вида

y · (5 - 4х) + (x³ - х² - x + 1)≥0, где x> 0, 0< у≤,

чье обоснование позволит сделать вывод и о справедливости исходного неравенства. Существенными достижениями в результате сделанных преобразований явились следующие: уменьшилось число переменных, а степень относительно переменного у оказалась равна единице. Преобразовав полученное неравенство к виду

(5 - 4х)· у + (х³ -х² -х + 1)≥0

и введя в рассмотрение следующую вспомогательную функцию (считая х произвольным фиксированным положительным числом) f(у) = (5- 4х) ·у + (х³ - -х² - х + 1) с областью определения R, можем заключить, что при любом фиксированном значении х графиком этой функции будет прямая.

Следовательно, ее наименьшее значение на отрезке [0; ] достигается на одном из его концов. Однако легко найти f(0) = (х - 1 )²(х + 1) и f() = (х-2)², а значит, убедиться, что и f(0)≥0, и f()≥0, что и доказывает истинность исходного неравенства.

IV. «Доказательство неравенств» в школьном курсе математики

На базовом уровне задачи на доказательства неравенств встречаются в учебнике Ю.Н. Макарычева «Алгебра 8 кл.» в теме «Числовые неравенства и их свойства»

Изложение материала начинается с определения понятий меньше и больше. Введенное определение является опорным при доказательстве свойств числовых неравенств и при выполнении упражнений на доказательства неравенств. Доказательства неравенств проводятся при помощи сравнения с нулем разности их левой и правой частей.

Затем рассматриваются неравенства, доказанные с использованием основных свойств, доказанных сразу, а так же, что очень важно, рассматриваются задачи на оценивание значений выражений. В дальнейшем приобретенные навыки доказательства неравенств находят применение при рассмотрении общих свойств функций.

В профильной школе, в учебнике А.Г. Мордковича, П.В. Семенова тема «Доказательство неравенств» затрагивается в 10 кл. при изучении темы «Множество действительных чисел» при рассмотрении числовых неравенств.

В качестве основного способа сравнения действительных чисел используется определение: «Говорят, что действительное число а больше (меньше) действительного числа b, если их разность (a-b)- положительное (отрицательное) число».

Пишут: a>b (a<b).

Далее речь идет о положительных, отрицательных числах, строгих и нестрогих неравенствах.

Приводятся основные свойства числовых неравенств, свойство транзитивности доказывается. Говорится об основанных идеях доказательства неравенств.

Первая идея - составить разность левой и правой части неравенства и вычислить, какое число получится положительное или отрицательное. Вторая идея - для доказательства нового свойства использовать уже известные свойства.

В качестве примеров доказываются некоторые неравенства, которые являются опорными для доказательства других неравенств:

1. Пусть a и b положительные числа и a>b. Доказать, что 1/а < 1/b

2. Пусть a положительное число. Доказать, что а+1/а ≥2.

Особое внимание обращается на неравенство Коши: «Пусть a и b - неотрицательные числа. Доказать, что (a+b)/2 ≥».

Кроме того, дается геометрическое истолкование неравенства Коши: в прямоугольном треугольнике, длина медианы, проведенная к гипотенузе (т.е. (a+b)/2), не меньше длины высоты, проведенной к гипотенузе (т.е. )

Далее с помощью свойств числовых неравенств сравниваются действительные числа по величине, оцениваются результаты.

Доказательство неравенств с помощью производной основывается на теореме об условии постоянства функции. Теорема приводится без доказательства, а затем рассматривается решение примеров. Дидактического материала на эту тему дано достаточно.

В учебнике А.Г. Мордковича, П.В. Семенова «Алгебра и начало анализа» 11 кл. профильный уровень тема раскрывается исчерпывающим, доступным образом. Показано, как доказываются неравенства с помощью определения. Для доказательства неравенства f(a, b…k) > g(a, b…k) на заданном множестве значений a,b…k достаточно составить разность f(a, b…k) - g(a, b…k) и убедится, что она положительна при заданных значениях a,b…k.

Далее рассматривается синтетический метод доказательства неравенств. Суть этого метода заключается в том, что с помощью ряда преобразований доказываемое неравенство выводят из некоторых известных (опорных) неравенств. В качестве опорных могут использоваться, например, такие неравенства:

а) а² ≥ 0;

б) (a+b)/2 ≥, a≥0, b≥0

в) (a/b +b/a) ≥ 2, где ab >0

г) |sin x| ≤ 1, |cos x| ≤ 1.

Далее раскрывается доказательство неравенств методом от противного. Здесь снова красной нитью проходит противоречия с неравенством Коши, используются, что квадрат любого действительного числа положителен, тригонометрические преобразования и основные тригонометрические неравенства.

Математическая индукция рассматривалась учениками в 10 кл. в 11 кл. идет ее применение к доказательству неравенств, причем используются неравенства доказанные в 10 классе.

Функционально - графические методы доказательства неравенств так же рассматриваются на примерах. Опора идет на хорошо отработанные в 10 классе знания тригонометрических функций их свойств, преобразование тригонометрических выражений, применение производной к исследованию функций.

Тема рассматривается на конкретных примерах. Дидактический материал дан достаточно широко, как всегда задачи разного уровня, требующие творческого подхода.

V. Заключение

В данной работе были рассмотрены методы доказательств числовых неравенств, такие как:

1.Неравенство Коши.

2. Доказательство неравенств путем определения знака разности их частей.

3. Доказательство неравенств с помощью использования ранее доказанных и очевидных неравенств.

4.Метод оценивания.

5. Доказательство неравенств методом от противного.

6.Доказательство неравенств методом математической индукции.

7. Метод использования тождеств.

8. Метод ведения новых переменных (метод подстановки).

9. Метод интерпретации или моделей.

10. Функционально - графические методы доказательства неравенств.

11. Метод уменьшения числа переменных в неравенстве и понижения степени неравенства.

В курсе математики линия неравенств тесно связана с другими основными линиями: развитием понятия числа и операциями над числами, тождественными преобразованиями выражений с переменной, с функциями и др., поэтому требуется разработка методики использования неравенств при раскрытии этих вопросов. Такой подход позволит осознанно изучить тему «Неравенства» и предоставить в распоряжение учащихся приёмы изучения ряда вопросов, так, как аппарат неравенств может быть применён:

- к решению прикладных задач;

- к исследованию свойств функций и др.

Доказательства неравенств рассматривается на базовом уровне в начале изучения темы «Неравенство». В дальнейшем неравенства можно доказывать на занятиях математических кружков, факультативов, т.е. во внеклассной работе по предмету.

На страницах учебников, по которым изучается базовый курс математики, из классических неравенств встречаются только соотношения между средне арифметическим и средне геометрическим двух неотрицательных действительных чисел (неравенство Коши).

Задачи, решение которых весьма затруднительно без применения классических неравенств, - частые гости на математических олимпиадах школьников. Решение задач такого типа обычно представляют собой последовательность достаточно простых рассуждений. Но вот логика и идеи всей цепочки этих элементарных звеньев - рассуждений выходят за рамки методов и приемов школьного курса. Поэтому данную тему можно включить в программу элективного курса. Актуальность темы «Доказательство неравенств» бесспорна, так как неравенства играют фундаментальную роль в большинстве разделов современной математики, без них не может обойтись ни физика, ни астрономия, ни химия. Теория вероятности, математическая статистика, финансовая математика, экономика - все эти взаимопроникающие и обобщающие друг друга науки и в формулировках основных своих законов, и в методах их получения, и в приложениях, постоянно используют неравенства.

Рассматриваемая тема: «Доказательство числовых неравенств и их использование при решении прикладных задач» направлена на устранение существующей в школьном курсе математики резкой диспропорции между решением неравенств и доказательством неравенств, и, что особенно важно, доказательство неравенств - один из важнейших видов математической деятельности, тогда как решение неравенств - «привилегия» именно школьной математики, весьма далеко - за исключением, пожалуй, простейших случаев - отстоящих от математики как науки.

Понятно, что доказательство неравенств как задача сложнее, чем усвоение алгоритмов решения простых неравенств - доказательство обычно основано на эвристике, а не на алгоритмах. Поэтому в основной школе принято рассматривать лишь неравенство Коши между средними арифметическим и геометрическим и следствие о сумме взаимно обратных чисел. Но в профильном курсе ознакомление учащихся с самой задачей доказательства неравенств и с применяемыми методами рассуждений представляется в настоящее время совершено необходимым. Это позволяет учащимся при решении задач перейти с уровня формально - оперативных умений, на более высокий уровень, позволяющий строить логические цели рассуждения; делать выводы о выборе решения, анализировать и оценивать полученные результаты.

В ходе работы были решены все поставленные задачи и получены следующие результаты:

1. Обоснована необходимость и возможность специального изучения в курсе математики методов доказательств числовых неравенств и использование их при решении прикладных задач.

2. Рассмотрена методика обучения учащихся решению прикладных задач с помощью неравенств. Сформулированы требования к серии задач, направленных на овладением методов их решения.

3. Подтверждена доступность и эффективность методики обучения этому методу.

VI. Список использованных источников.

1. Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2ч. Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/ Мордкович А.Г., Денищева Л.О., Звавич Л.И., Корешкова Т.Н. и др; Под ред. Мордковича А.Г. - М.: Мнемозина, 2007 - 336 с.

2. Алгебра и начала анализа. 11 класс. В 2ч. Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/ Мордкович А.Г., Денищева Л.О., Звавич Л.И., Корешкова Т.Н. и др; Под ред. Мордковича А.Г. - М.: Мнемозина, 2007 - 264 с.

3. Алгебра: Учеб. для 8 кл. сред. шк./ Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.В.; Под ред. Теляковского С.А. - М.: Просвещение, 2006. - 272 с.

4. Азевич А.И. Система подготовки к единому государственному экзамену. Журнал «Математика в школе» - М.,2003. № 4. - С. 32 - 36.

5. Бабинская И.Л. Задачи математических олимпиад. - М.: Наука, 1975. - 154 с.

6. Беккенбах Э., Беллман Р. Введение в неравенства. - М.: Мир, 1965. - 223 с.

7. Блох А. Ш., Трухан Т.Л.. Неравенства . - Минск.: Народная асвета, 1972. - 215 с.

8. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. М.:Наука,1986. - 320 с.

9. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8 - 9 классов. М.: Просвещение, 1992. - 271с.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе VII - VIII классы. Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1982. - 240 с.

11. Гомонов С.А. Замечательные неравенства: способ получения и примеры применения. 10 - 11 классы. Элективные курсы. Учебное пособие для профильных классов общеобразовательных учреждений. М.: Дрофа, 2005. - 254с.

12. Гомонов С.А. Замечательные неравенства: способ получения и примеры применения. 10 - 11 классы. Элективные курсы. Методические рекомендации. М.: Дрофа, 2006. - 159 с.

13. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика. Справочные материалы. М.: Просвещение, 1990. - 416 с.

14. Дорофеев Г.В., Кузнецов Л.В., Седова Е.А. Алгебра и начала анализа. 10 класс. Учебник. М.: Просвещение, 2007. - 357 с.

15. ЕГЭ. Математика. Типовые тестовые задания/ Корешкова Т.А., Глазков Ю.А., Мирошин В.В., Шевелева Н.В. - М.: Экзамен, 2008. - 78 с.

16. Кипнис И.М. Сборник прикладных задач на неравенства: Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1964. - 179 с.

17. Коровин П.П. Неравенства. - М.: Наука, 1966. - 215 с.

18. Математика в понятиях, определениях и терминах. Ч. 1. Пособие для учителей. Мантуров О.В., Солнцев Ю.К., Сорокин Ю.И., Федин Н.Г. Под редакцией Собонина М.В. В двух частях. М.: Просвещение, 1978. - 320 с.

19. Математика в понятиях, определениях и терминах. Ч. 2. Пособие для учителей. Мантуров О.В., Солнцев Ю.К., Сорокин Ю.И., Федин Н.Г. Под редакцией Собонина М.В. В двух частях. М.: Просвещение, 1978. - 351 с.

20. Математика. ЕГЭ: Сборник заданий и методических рекомендаций/ Глазков Ю.А., Варшавский И.К., Гаиашвили М.Я. М.: Экзамен, 2008. - 381 с.

21. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2 частях. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) М.: Мнемозина, 2007 - 424 с.

22. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начало анализа. 11 класс. В 2 частях. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) М.: Мнемозина, 2007 - 287 с.

23. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра и начала анализа. 10 класс. Учебник. М.: Просвещение, 2007. - 432 с.

24. Сивашинский И.Х. Неравенства в задачах. М.: Наука, 1967 - 275 с.

25. Сборник задач по математики для поступающих в вузы/ Егерев В.К., Зайцев В.В., Кордемский Б.А., Маслова Т.Н. и др.; Под редакцией Сканави М.И. М.: Оникс 21 век, Мир и Образование, 2004. - 608 с.

26. Петров В.А., Элементы финансовой математики на уроке. - М., 2002. - № 8. - 38 - 42.

27. Фадеев Д.К., Ляшенко Н.Н., Никулин М.С., Соколовский И.Ф. Задачи по алгебре для 6 - 8 классов. М.: Просвещение, 1988. - 192 с.

28. Фоминых Ю.В. Доказательство неравенств. Журнал «Математика в школе» - М., 1998. - № 6. - 44 - 46.

29. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научится решать задачи. М.: Просвещение, 1989. -208 с.

30. Шарыгин И.Ф., Голубь В.И. Факультативный курс по математики 11 класс. Решение задач. М.: Просвещение, 1991. - 384 с.

Приложение

Учитель: Брызгалова И.Н. Школа: МОУ СОШ с.Фёдоровка Фёдоровского района, Саратовской области.

Предмет: математика.

Учебный план - 5 часов в неделю ( из них 3 ч. - алгебра, 2 ч. - геометрия).

Класс: 8.

Класс сформирован из учащихся соседних школ, в которых не было постоянного учителя математики. Знания детей слабые, поэтому проводится много дополнительных занятий.

Тема урока: Итоговое повторение темы «Неравенства. Решение прикладных задач». (2-х часовой - урок).

Тип урока: урок повторения. Обобщения и систематизации знаний.

Класс сформирован из учащихся двух соседних школ, в которых не было постоянного учителя математики. В результате чего у детей слабые знания по предмету.

Цели урока:

дидактическая: повторить сравнение чисел и выражений, определение и свойства числовых неравенств, закрепить навыки доказательства неравенств; повторить свойства равносильности, которые используются при решении неравенств, и закрепить их значение при решении неравенств. Научить применять полученные знания при решении заданий повышенного уровня сложности ( повторить способы решения задач с помощью неравенств ), стимулировать учащихся к овладению рациональными приёмами и методами решения;

развивающая: развивать логическое мышление, память, познавательный интерес, продолжать формирование математической речи и графической культуры, вырабатывать умение анализировать и сравнивать;

воспитательная: приучать к эстетическому оформлению записи в тетради, умению выслушивать других и умению общаться, прививать аккуратность и трудолюбие.

Ход урока:

На доске тема урока: Итоговое повторение темы: «Неравенства. Решение прикладных задач».

Эпиграф к уроку (на доске):

«Твой ум ведёт тебя в обход,

Ища проторенных тропинок.

Но ты вступи с ним в поединок:

Дать радость может только взлёт».

( Фирдоуси ).

I .Организационный момент.

Обстановка у нас не привычная,

Но работаем как обычно,

Приложим все старания

И получим новые знания.

Проверим, всё ли на партах в порядке,

Готовы ль к работе ручки, тетрадки…

Я - ваш учитель, вы улыбнитесь.

Здравствуйте, мои дорогие, садитесь.

- На доске записана тема урока.

- Ребята, как вы думаете, чем мы сегодня будем заниматься на уроке?

- Как вы считаете, пригодиться ли вам эта тема?

- Где, по вашему мнению, тема «Неравенство» может вам пригодиться?

- Как вы считаете, хорошо ли вы её знаете?

- Сегодня на уроке мы с вами повторим основные свойства неравенств, постараемся закрепить навыки доказательства неравенств и прорешаем интересные прикладные задачи, которые могут встретиться на итоговой аттестации. Поэтому, прошу вас тетрадочки сохранить.

Презентация (итоговое повторение темы «Неравенства. Решение прикладных задач»).

Ни костяшек ни ручек, ни мела -

Устный счёт. Мы творим это дело

Только силой ума и души!

Числа сходятся где -то во тьме,

И глаза начинают светиться!

И кругом только умные лица.

Устный сёт! Мы считаем в уме.

III Устная работа

1. Решите неравенство

а) 5x<20

б) 8x>-16

в) -4x1

2. Назвать промежутки

1а) x

8

5б) x

10

1

-1в) x

Г) x

3. При каких значениях переменной имеет смысл выражение

а) б) в)

III Математический диктант.

Диктант выполняется под копирку.

Два ученика выполняют задание на развороте доски для проверки правильности выполнения диктанта.

(Проведённые повторение, устная работа и диктант позволят устранить пробелы в знаниях учащихся, ещё раз напомнить решение неравенств).

Математический диктант

1. Запиши числовой промежуток, служащий решением неравенства.

x_≥7 (x5)

2. Решите неравенство

4(x+1)4x+1 (2x+12(x-1))

3. Решите систему неравенств

6x>x+8 3x>x-2

2x+7<0 2x+8<0

4. Является ли число 9(-5) решением системы

2x>2 3x<6

x>3 x<3

-x<4 -2x>2

5. Решите неравенство

5<2x+1<9 (5<3x-1<8)

( Взаимопроверка)

- Чтоб избежать нам в математике

Обидных неудач,

Решим мы с вами серию

логических задач.

Задача. Одно из натуральных чисел на 4 меньше другого. Причем квадрат меньшего из чисел не больше, чем удвоенное второе число. Найдите меньшее число из данных чисел.

1. Что надо сделать, чтобы ответить на вопрос задачи? (Построить ее математическую модель.)
   х₂ ≤ 2(х + 4).

2. Что представляет математическая модель этой задачи? (Неравенство).

3. Что такое неравенство?

4. Какие виды неравенств вы знаете? (Линейные неравенства, квадратные неравенства, рациональные неравенства, неравенства, содержащие знак модуля).

5. Что называется решением неравенства? (Значение переменной х, которое обращает неравенство f(x) >0 в верное числовое неравенство, называют решением неравенства).

6. Что значит решить неравенство? (Решить неравенство, значит найти все его решения или доказать, что их нет).

7. Какие правила используют при решении неравенств? (Правила равносильных преобразований).

8. К какому виду относится данное неравенство? (Квадратное)

9. Какие методы решения квадратных неравенств вы знаете? Решите полученное неравенство.

Самостоятельная работа.

(Текстовые задачи традиционно вызывают затруднения у школьников, многим из которых не удается правильно составить уравнение или неравенство по условию задачи. Учителю математики в такой ситуации почти невозможно организовать самостоятельную работу школьников, постоянно нуждающихся в указаниях и подсказках. Поэтому на уроках я предлагаю таким ученикам карточки с задачами, которые сопровождаются указаниями, следуя которым даже слабый ученик сможет получить правильный ответ, а для сильных учеников предусмотрены дополнительные вопросы ).

Задача. Сплав олова и меди, масса которого 16 кг, содержит 55% олова. Сколько килограммов олова нужно добавить, чтобы повысить содержание олова в сплаве до 60%?

Решение.

Обозначив искомую массу олова буквой х, выразите:

а) сколько килограммов олова было в сплаве сначала;

б) сколько килограммов олова стало в сплаве после добавления;

в) массу полученного сплава;

г) отношение массы олова к массе полученного сплава.

Запишите уравнение, решите его и ответьте на вопрос задачи.

Дополнительные вопросы.

1. Какова масса меди, содержащейся в сплаве?

2. Сколько килограммов меди следовало бы добавить в первоначальный сплав, чтобы содержание меди составило 50%?

(Задачи на уроке предлагаются по нарастающему уровню сложности).

Дифференцированное решение задач ( из предложенных задач выбрать одну и решить самостоятельно) - проверка индивидуальная в виде собеседования на месте ученика.

Задача 1. Две трубы, действуя вместе в течение одного часа, наполняют водой 3/8 бассейна. Если сначала первая труба наполнит одну восьмую часть бассейна, а затем вторая при выключенной первой доведет объем до 3/8 бассейна, то на это потребуется 2,5 часа, если первую трубу включить на час, а вторую - на полчаса, то они наполнят бассейн более чем на четверть. За какое время наполняет бассейн каждая труба?

Ход решения.

1. Составление математической модели.

х л/час - производительность первой трубы;

у л/час - производительность второй трубы;

V л - объем бассейна.

Тогда условие задачи можно записать следующим образом

t = V/x, T = V/y.

Тогда систему можно переписать так

Математическая модель готова.

2. Работа с математической моделью.

1) Из второго уравнения имеем t = 20 - 2T.

2) Подставляем в первое уравнение, получаем уравнение относительно T

3T² - 34 T + 80 = 0.

Корни данного уравнения: T = 8 или T = 10/3.

3) Тогда решениями данной системы первых двух уравнений являются

Последнему неравенству системы удовлетворяет лишь первое решение.

3. Ответ на вопрос задачи.

Первая труба заполнит бассейн за 4 часа, а вторая - за 8 часов.

Ответ: 4 часа, 8 часов.

Задача 2. Из города А в 9 часов утра выехал велосипедист и двигался с постоянной скоростью 12 км/ч. Спустя 2 часа вслед за ним из А выехал мотоциклист, который при начальной скорости 22 км/ч двигался равнозамедленно, так, что за час его скорость уменьшается на 2 км/ч. Автомобилист, едущий им навстречу в город А с постоянной скоростью 50 км/ч, сначала встретил мотоциклиста, а потом велосипедиста. Успеет ли автомобилист к 19 часам этого дня прибыть в город А?

Ход решения.

1. Составление математической модели.

По условию задачи автомобилист встретит сначала мотоциклиста, а затем велосипедист. Следовательно, мотоциклист некоторый участок пути пройдет впереди велосипедиста. Именно на этом участке пути произойдут их встречи с автомобилистом. Найдем этот участок.

Пусть х ч - время, отсчитываемое от 9 часов утра, тогда

12х км - путь пройденный велосипедистом,

км - путь пройденный мотоциклистом.

Приравнивая эти два пути, найдем соответствующие значения х, при которых мотоциклист и велосипедист обгонят друг друга.

12 х =

2. Работа с математической моделью

12 х =

t2 - 14t + 48 = 0,
t1 = 6, t2 = 8.

3. Ответ на вопрос задачи.

Следовательно, мотоциклист обгонит велосипедиста в 15 часов дня на расстоянии 72 км от города А, а затем велосипедист обгонит мотоциклиста в 17 часов на расстоянии 96 км от города А. Итак, автомобилист, двигающийся со скоростью50 км/ч, ранее 17 часов был на расстоянии менее 96 км от города А, следовательно, он успеет к 19 часам прибыть в город А.

Ответ. Успеет.

Задача 3. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 18 км, в 8 часов выходит пешеход, в 11 часов выезжает велосипедист. Известно, что пешеход прибыл в пункт В не позже, чем в 12 часов 30 минут, а велосипедист прибыл в пункт В не позже пешехода. Считая скорости пешехода и велосипедиста постоянными, определить скорость велосипедиста, если она не более, чем на 8 км/ч превышает скорость пешехода.

Ход решения.

1. Составление математической модели.

Необычность условий этой задачи состоит в том, что на их основе нельзя составить ни одного уравнения, а решение сводится к рассмотрению системы неравенств.

х км/ч - скорость велосипедиста,

а км/ч - разность скоростей велосипедиста и пешехода,

(х - а) км/ч - скорость пешехода. Тогда получим

2. Работа с математической моделью.

Из второго неравенства, учитывая первое, получим

х ≥ а + 4.

Рассмотрим третье неравенство.

Корни квадратного трехчлена х2 - ах - 6а

есть х1,2 =

Применяя метод интервалов с учетом первого неравенства, получим

a < x <

Объединяя результаты, имеем, что значение х должно удовлетворять следующему неравенству

а + 4 ≤ х ≤

Чтобы существовали такие значения х, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

а + 4 ≤ х ≤

или

а + 8 ≤ ,

откуда а ≥ 8.

Учитывая, что по условию а ≤ 8, получим, что а = 8. При этом последнее неравенство для х дает

откуда х = 12.

3. Ответ на вопрос задачи.

Скорость велосипедиста 12 км/ч.

Ответ: 12 км/ч

Задача 4. На реке, скорость течения которой равна 4 км/ч, в направлении её течения расположены пристани А, В, С, причем расстояние от А до В вдвое меньше, чем расстояние от В до С. От пристани В в один и тот же момент по направлению к пристани С отправлены плот (плывущий относительно берегов со скоростью течения реки) и катер. Дойдя до пристани С, катер разворачивается и движется по направлению к пристани А. Найти все значения собственной скорости катера (т. е. скорости катера в стоячей воде), при которых катер приходит в пункт А не раньше, чем плот приходит в пункт С.

Ход решения:

1. Составление математической модели.

Пусть х км/ч - скорость катера в стоячей воде,

у км - расстояние от пристани А до пристани В.

ч - время движения катера из В в С,

- время движения катера из В в С и обратно из С в А против течения.

По условию

2. Работа с математической моделью.

Применим метод интервалов, учитывая, что x > 4.

Получим, что 4 < x ≤ 12.

3. Ответ на вопрос задачи.

Собственная скорость движения катера в стоячей воде должна быть в интервале (4; 12] км/ч.

Ответ: (4; 12] км/ч.

Физкультминутка:

- Встаньте. Улыбнитесь. Повернитесь к соседу по парте. Передайте своему товарищу мысленно и через рукопожатие положительные эмоции, поделитесь капелькой теплоты. Добра.

Я хочу, чтоб добро к тебе пришло

Как свет весенний, как тепло костра:

Пусть для тебя источником добра

Не станет то, что для другого зло.

Садитесь.

- Не нужно нам владеть клинком,

Не ищем славы громкой.

Тот побеждает, кто знаком

С искусством мыслить тонко.

(Г. Уордсворт)

Мы продолжаем наш урок и к вашему вниманию -

Задача Дидоны

(Задача Дидоны, или классическая изопериметрическая задача, формулируется следующим образом: среди замкнутых плоских кривых, имеющих заданную длину, найти кривую, охватывающую максимальную площадь).

Эту задачу связывают с именем Дидоны - основательницы города Карфаген и его первой царицы. Согласно легенде, финикийская царевна Дидона (Элисса), спасаясь от преследований своего брата, царя Тира, отправилась на запад вдоль берегов Средиземного моря искать себе прибежище. Ей приглянулось место на побережье нынешнего Тунисского залива. Дидона вступила в переговоры с местным предводителем Ярбом о продаже земли. Запросила она совсем немного - столько, сколько можно окружить бычьей шкурой. Дидоне удалось уговорить Ярба. Сделка состоялась, и тогда хитроумная Дидона изрезала шкуру быка, которую ей предоставили местные жители, на узкие полоски, связала их и окружила территорию, на которой основала крепость, а вблизи от нее - город Карфаген.

Если учесть, что Дидона выбирала участок, примыкающий к берегу моря, то задачу, стоящую перед Дидоной, можно сформулировать так: какой формы должна быть кривая длины , чтобы площадь фигуры, ограниченная этой кривой и заданной линией , была наибольшей. В предположении, что - прямая линия, решением задачи является полуокружность длины .

Решение частного случая задачи Дидоны, когда требуется определить, какой из прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь, было известно еще математикам Древней Греции. Более того, эта геометрическая задача считается самой древней задачей на экстремум. Решение этой задачи приведено в VI книге "Начал" Евклида, где доказывается, что если рассмотреть прямоугольник и квадрат одного и того же периметра, то площадь квадрата будет больше площади прямоугольника.

Решение задачи Дидоны для прямоугольников и некоторых других частных случаев этой задачи легко получить с помощью неравенства Коши, которое устанавливает, что среднее арифметическое неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического:

Равенство достигается только при .

Пример № 1(задача Дидоны для прямоугольников). Найдем длины сторон прямоугольника с периметром , имеющего наибольшую площадь.

Обозначим длины сторон прямоугольника через и , а его площадь - через . Тогда математическая модель задачи примет вид:

при ограничениях:

Воспользуемся неравенством Коши при :

(1)

Поскольку , то из (1) следует:

(2)

Неравенство (2) обращается в равенство при . Таким образом, прямоугольником наибольшей площади, имеющим заданный периметр , является квадрат, длина стороны которого равна .

(Остальные задачи Дидоны: №2, №3, №4, которые у вас на партах в виде раздаточного материала, мы рассмотрим на дополнительных занятиях.)

Пример № 2(обратная задача Дидоны для прямоугольников). Найдем длины сторон прямоугольника с площадью , имеющего наименьший периметр.

Используем обозначения, введенные в примере 1. Тогда математическая модель задачи примет вид:

при ограничениях:

Из неравенства (1) вытекает, что

Следовательно, . Это неравенство обращается в равенство при . Таким образом, прямоугольником наименьшего периметра, имеющим заданную площадь , является квадрат, длина стороны которого равна .

Пример № 3 (задача Дидоны для параллелепипедов). Площадь поверхности параллелепипеда равна . Определим, при каких длинах сторон его объем будет максимальным.

Обозначим длины сторон параллелепипеда через , и , а его объем - через . Тогда математическая модель задачи примет вид:

при ограничениях:

(3)

Воспользуемся неравенством Коши при для чисел , и :

(4)

Неравенство (4) обращается в равенство при , откуда следует: . Из (3) имеем: . При этом максимальный объем

Таким образом, параллелепипед максимального объема с площадью поверхности имеет форму куба со стороной . Аналогично можно показать, что параллелепипед объема c минимальной площадью поверхности имеет форму куба.

Пример № 4(задача Дидоны для треугольников). Найдем длины сторон треугольника с периметром , имеющего наибольшую площадь.

Обозначим длины сторон треугольника через , и . Площадь треугольника вычислим по формуле Герона. Математическая модель задачи примет вид

(5)

при ограничениях:

(6)

Воспользуемся неравенством Коши при для чисел , , :

Отсюда следует

(7)

Из (5) получим

Неравенство (13) обращается в равенство при , т. е. при условии . Из (6) получим:

Таким образом, треугольником с периметром , имеющим наибольшую площадь, является равносторонний треугольник со стороной .

На следующем этапе нашего урока мы продолжим решать задачи, опираясь на методы доказательств неравенств.

- Давайте внимательно прочитаем условие задачи и вспомним методику работы с задачами такого типа.

Задача №1.

Требуется огородить забором длины 2а земельный участок, имеющий форму прямоугольника. Какой наибольший по площади участок может быть огорожен забором длины 2а?

(У доски решает ученик вместе с классом)

Методика работы с задачей.

I. Этап. Анализ условия. По условию известна длина забора 2а, которым надо огородить земельный участок, имеющий форму прямоугольника. Неизвестно, какой наибольший по площади участок может быть огорожен забором данной длины.

- Что же мы с вами будем находить? ( надо найти площадь S= ху участка прямоугольной формы и выяснить, при каких значениях х и у значение S - наибольшее).

II.Этап. Моделирование.

Пусть х и у - соответственно длина и ширина прямоугольника ABCD; S= ху - его площадь.

Согласно условию

2х+ 2у= 2а; х+у= а.

Теперь наша задача с вами выяснить, при каких значениях х, у произведение ху будет наибольшим, если х+ у= а, где а- данное число.

III. Этап. Решение задачи внутри полученной математической модели:

у= а - х; S= х(а - х).

Установить, при каких значениях х и а -х S принимает наибольшее значение.

На данном этапе выделим два уровня рассуждений:

- наглядный;

- доказательный ( строгий).

Наглядный уровень.

1). Допустим, что имеем не переменные х и у, а конкретное число 8 ( чётное); его можно представить в виде суммы двух чисел: 1+7; 2+6; 3+5; 4+4.

2). В каждом из случаев найдём произведение: 7, 12, 15, 16.

3) Вывод: произведение наибольшее, если числа равны.

Аналогично рассуждение проводят, если число нечётное.

Доказательный ( строгий) уровень.

Дано: х+ у= а.

Доказать, что произведение ху будет наибольшим тогда и только тогда, когда х = у = .

(Для доказательства достаточно показать, что любое произведение x _n, y _n, меньше xy при x= y)

Доказательство.

1. Возьмём любые значения переменной х_n , у _n, х _n = + в; тогда

У_n = а - ( ) =- в.

2. Найдём произведение

Х_nу_n = (+ в)(- в) =- в².

3. Найдём произведение

xу = при x= y =

4.Первый вывод: - b < , т.е. x _n y _n < x y.

5. Второй вывод: так как х _n, y _n произвольные значения, то S = xy наибольшее тогда, когда x = y.

6. Окончательный вывод: произведение двух чисел будет наибольшим только тогда, когда х = у.

-Какие вопросы по решению задачи?

Физкультминутка.

Задача №2 - это ваше Д/з( учитель разбирает с учениками условие задачи и указывает на что необходимо обратить внимание при решении).

На территории города три поликлиники, которые расположены так, что образуют вершины некоторого треугольника. Для наиболее целесообразного прикрепления жителей к той или иной поликлинике требуется разбить всю территорию города на три района так, чтобы всем домам, расположенных в пределах одного итого же района, соответствовала одна и та же ближайшая к ним поликлиника.

Самостоятельная работа.

Задача. Две реки имеют одинаковую длину L ( км). Скорости течения рек V ₁ и V ₂ различны: V ₁ > V ₂ . Докажите, что вторая река выгоднее для эксплуатации пароходами. ( Товарные перевозки на реках примерно одинаковы, а скорость движения парохода V (км/ч).

Решение.

I этап. Анализ условия. По условию известны скорости течения рек, длина рек, скорости движения парохода. Итак, мы располагаем всеми необходимыми данными для доказательства того, что вторая река выгоднее для эксплуатации пароходами.

II этап. Моделирование.

1. Найдём время, за которое пароход проходит первую реку в том и в другом направлениях:

t ₁ + t ₂ = + = .

2. Найдём время, за которое пароход проходит вторую реку в том и другом направлениях:

t^/₁ + t^/₂ = + = .

3. Доказать: < при >.

III этап. Решение задачи внутри полученной математической модели. Нужно доказать справедливость неравенства < при > .

Доказательство. Сравним выражения

и .

Так как числители равны, то нужно сравнить только знаменатели.

2. по условию , значит, , следовательно, > .

Вывод: из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше, т.е.

> или .

IV этап. Осмысление полученного результата.

Вторая река ( при указанных условиях) действительно выгоднее для эксплуатации пароходами.

(Проверка с места, с объяснениями).

Доска бела от мела,

Рука устала, затекла спина,

Мы друг на друга смотрим очумело,

И всё-таки задача решена!

Додумались! Добились! «Раскололи»!

Намаялись, однако же, смогли!

Забыли о кино и о футболе

Звонку не рады - до чего дошли!

Подведение итогов.

1. Чем мы с вами сегодня занимались на уроке?

2. Какие вопросы повторили?

3. Какие задания были выполнены на уроке?

4. Какой вывод можно сделать по сегодняшнему уроку?

Рефлексия: заполнение карточек- заготовок с вопросами:

- Я хорошо понял….

- Я не всё понял……

- я не понял…..

5.Комментирование оценок.

Урок окончен. Спасибо за урок. До свидания.

56