- Преподавателю
- Математика
- Практические работы по математике
Практические работы по математике
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Моренко Т.В. |
Дата | 23.10.2015 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
Практическая работа №1
Тема: «Нахождение членов последовательности и прогрессий»
Цель работы: Рассмотреть виды последовательностей. Способы заданий последовательностей. Общий член последовательности. Рассмотреть нахождение членов последовательностей.
Количество часов-2
Материальное обеспечение:
Карточки, учебники, конспекты.
Задания:
-
Вычислите пять первых членов последовательностей:
-
Напишите общий член последовательности:
-
1; ; ; ; …
-
1; 7; 13; 19; …
-
2; 4; 8; 16; …
-
1; 7; 17; 31; …
-
Определите возрастающие или убывающие последовательности:
Порядок выполнения работы:
Последовательности бывают возрастающие, убывающие, монотонными, ограниченные сверху(снизу), постоянными.
Последовательности задаются формулой, выражающий общий член последовательности через n. Иногда указывается правило, с помощью которого можно вычислить n-й член последовательности. Такой способ задания называется рекуррентным.
Если общий член последовательности вместо n подставлять последовательно числа 1; 2; 3; 4; … , то получится числовая последовательность.
Форма предоставление результата:
-
Вычислить 5 первых членов последовательности заданной формулой -подставим вместо n последовательно числа 1; 2; 3; 4; 5; , получим: ; ; ; ; .
-Запишем последовательность: …
-
Последовательность задана рекуррентным соотношение
-Зададим первый член последовательности пусть , полагаем в рекуррентном соотношение n=2, получим
-При n=3; 4; 5 соответственно находим:
-В результате получаем: 2; 7; 22; 67; 202; …
-
Докажите, что последовательность с общим членом , монотонно убывает.
-Для убывающий последовательности выполняется неравенство или
-Запишем (n+1)-ый член последовательности
, тогда , т.к. при любом натуральном n =>данная последовательность убывающая.
Практическая работа 2
Тема: «Нахождение пределов функции»
Цель работы: Научиться вычислять пределы функций, применяя теоремы о пределах; раскрывать неопределенности различных типов.
Количество часов-2
Материальное обеспечение:
Карточки, учебники, конспекты, справочники.
Задание:
Вычислить пределы:
Порядок выполнения работы:
При вычислении пределов функций применяются теоремы о переделах:
-Если существуют пределы функций то существует так де и передел их суммы (разности) равный сумме (разности) пределов этих функций:
-Предел произведения (частного) равен произведению (частному) пределов этих функций:
-Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
-Если n-натуральное число, то предел степени равен степени предела
Первый замечательный предел:
Второй замечательный предел:
Если предел знаменателе равен нулю, то применять теорему о пределе частного нельзя. В этом случае возникает неопределенность . В первом случае предел равен , а во втором нужно разложить числитель и знаменатель дроби на множители и после сокращения применить теорему о пределе частного.
Если , то может получиться неопределенность .В первом случае числитель и знаменатель сокращают на наивысшею степень знаменателя, а во втором случае предел равен 0.
Форма предоставления результата:
-
Вычислить предел:
-Пределы числителя и знаменателя при , равны нулю
-Разложим квадратный трехчлен числителя на множители по формуле
-
Вычислить предел:
-Пределы числителя и знаменателя при равны нулю
-Умножим числитель и знаменатель на сопряженный знаменателю множитель и сократив дробь на x, получим :
-
Вычислите предел:
-При числитель и знаменатель величины бесконечно большие, получается неопределенность
-Разделим числитель и знаменатель на x.
- величины бесконечно малые => их пределы равны нулю.
Практическая работа №3
Тема: "Нахождение производной по определению "
Цель работы: Отработать определение производной функции. Применять правила дифференцирования . Научиться находить производную в заданной точке.
Количество часов 2
Материальное обеспечение: Карточки, таблицы, справочники, учебники, конспекты.
Задания:
-
Найдите
-
Найдите
-
Найдите
Порядок выполнения работы:
Вычисление производной функции производится по общему правилу дифференцирования:
-
Придавая аргументу x приращение и подставляя в выражение функции вместо аргумента x наращенное значение находим наращенное значение функции:
-
Вычитая из наращенного значение функции её первоначальное значение находим приращение функции:
-
Делим приращение функции на приращение аргумента т.е. составляем отношение
-
Находим предел этого отношения при
Этот предел и есть производная от функции
Форма предоставления результата:
-
Найти:
-Находим производную по общему правилу:
-Найдём значение производной при
-
Найти
-Найдем значение производной в точке .
Практическая работа 4
Тема: "Техника дифференцирования "
Цель работы: Разобрать основные правила дифференцирования. Научиться находить производные от функции используя правило дифференцирования .
Количество часов -2
Материальное обеспечение:
Карточки, таблицы, справочники, учебники, конспекты
Задание:
Найдите производные следующих дифференцирований.
Порядок выполнения работы:
Обозначения:C-постоянная, x-аргумент, -функции от x, имеющие производные
Основные правила дифференцирования
-
Производная алгебраической суммы функций:
-
Производная произведения двух функций:
-
Производная произведения трёх функций:
-
Производная произведения постоянной:
-
Производная частного:
Частные случаи:
Форма предоставления результата:
Найти производные следующих функций:
-применив последовательно формулы 1 и 4 получаем:
-используем формулы 2,1 находим:
-используя формулы 5 и 1, получаем:
Практическая работа 5
Тема: "Вычисление производных сложных функций".
Цель работы: Научиться находить производные сложных функций, находить производные в заданной точке.
Количество часов-2
Материальное обеспечение:
Карточки, таблицы, учебники , конспекты лекций.
Задание:
Найти производные следующих функций
Порядок выполнение работы:
Пусть ,а -дифференцируемые функции. Тогда сложная функция есть также дифференцииромая функция, причем или
Это правило распространяется на цепочку из любого конечного числа дифференцируемых функций: производная сложной функции равна произведению производных функций, её составляющих.
сложная функция
Форма предоставления результата:
Найти производные следующих сложные функций .
-полагая ,получаем
-по формуле находим
-введем отрицательный показатель и применим формулу 10:
-пологая ,получим , по формуле находим:
-
,вычислите
-для упрощения нахождения производной предварительно прологарифмируем дробь:
-далее по формулам получим:
-найдём при
Практическая работа 6
Тема: « Геометрическое приложение производной» .
Цель работы: Научиться составлять уравнение касательной к данной кривой в точке касания; находить угловой коэффициент касательной, проведенный к кривой.
Количество часов-2
Материальное обеспечение:
Карточки, таблицы, учебники, конспекты лекций.
Задание:
-
Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к параболе в точке
-
Найдите угол наклонена к оси касательной, проведенной к кривой в точке
-
Составьте уравнение касательной к кривой в точке
Порядок выполнения работы:
-
Значение производной функции при равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к кривой в ёё точке с абсциссой , т.е.
где -угол между касательной к кривой в точке и положительным направлением оси . -
Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид.
-
Направление кривой в каждой точке определяется направление касательной к ней в этой точке, поэтому для нахождения угла наклонной кривой в данной точке надо вычислить угол между касательной, проведенной в этой точке, и осью .
Форма предоставления результата:
-
Найти угол наклона к оси касательной проведенной к кривой в точке
-найдем производную функцию
-найдем значение производной в точке
-тангенс угла наклона касательной в данной точке равен , откуда
-
Под какими углами парабола пересекает ось ?
-Найдем точки пересечения параболы с осью, решив систему
-Парабола пересекает ось в точках A . Найдём угловые коэффициенты касательных к параболе в этих точках
- вычислили углы , образуемые касательными в точках пересечения параболы с осью :
-
Составьте уравнение касательной к кривой в точке
-найдём производную кривой в точке
-найдем координату точки касания:
-поставим в формулу уравнения касательной:
Практическая работа №7
Тема: Исследования функции с помощью производной и построение графиков.
Цель работы: Научиться применять производную к исследованию функции на монотонность, экстремум и с помощью такого исследования строить график данной функции.
Рассмотреть схему исследования функции.
Материальное обеспечение:
Карточки, таблицы, учебники, конспекты лекций.
Задание:
Построить график функции
Порядок выполнение работы
Для того, чтобы исследовать функцию и построить графит, необходимо выполнить следующие пункты:
-
Найти область определения функции
-
Выяснить, является ли функция чётной или нечетной, или общего вида.
-
Найти точки пересечения графика с осями координат (если это не вызывает затруднений)
-
Найти промежутки монотонности функции
-
Найти экстремумы функции
-
Построить график, используя полученные результаты исследования.
Форма предоставления результата:
Исследовать функцию и построить график.
-функция определенна на всей числовой прямой:
-данная функция не является ни четной, ни нечетной:
-найдём точку пересечения графика с осью , пологая , получим точки пересечения графика с осью в данном случае найти затруднительно.
-найдём производную:
-найдём критические точки, для этого ,т.е
-исследуем функцию на монотонность + - +
1 3
график функции возрастает, -убывает
-исследуем функцию на экстремум:
-используя полученные данные строим искомый график.
Практическая работа 8
Тема работы: «Прикладные задачи на экстремум».
Цель работы: научиться находить наибольшее и наименьшее значения функции на некотором промежутке, решать задачи на нахождение наименьших и наибольших значений величин.
Количество часов-2
Материальное обеспечение: Карточки, таблицы, учебники, конспекты лекций.
Задание:
-
Найдите наименьшее и наибольшее значение функции на промежутке
-
Сумма двух положительных чисел равна a. Каковы эти числа, если сумка их кубов является наименьшей?
-
Каким должен быть прямоугольник наибольшей площади который можно согнуть из куска проволки длиной 50 см
Порядок выполнения работы:
Для нахождение наименьшего и наибольшего значений функции, непрерывной в некотором промежутке, необходимо:
-
Найти критические точки, принадлежащие заданному промежутку, и вычислить значения функции в этих точках;
-
Найти значение функции на концах промежутка;
-
Сравнить полученные значения: тогда наименьшее и наибольшее из них являются соответственно наименьшим и наибольшим значениями функции в рассматриваемом промежутке.
Форма предоставление результата:
-
Найти наименьшее и наибольшее значение функции в промежутке
-имеем
-находим критические точки:
-вычисляем значение функции в точке , т.е. , на концах промежутка.
-итак, наименьшее значение функции равно -1 и достигаются ею во внутренней точке промежутка, а наибольшее значение равно 3 и достигается на левом конце промежутка.
-
Из всех прямоугольников данного периметра найти тот , у которого площадь наибольшая.
-пусть периметр прямоугольника равен p.
-обозначим длину одной из сторон прямоугольника через x, тогда длина другой стороны
-обозначим площадь прямоугольника через y, имеем
-исследуем функцию на max и min
-вторая производная отрицательная, следовательно функция имеет max при
-таким образом, из всех прямоугольников данного периметра наибольшую площадь имеет квадрат.
Практическая работа 9
Тема занятия:" Решение физических задач на производную».
Цель работы: Научиться применять производные при решении физических задач.
Количество часов-2
Материальное обеспечение:
Карточки, таблицы, учебники, конспекты лекций.
Задание:
-
Найдите скорость и ускорение в указанные моменты времени для точки, движущиеся прямолинейно, если движение точки задано уравнением:
-
Температура теля T изменится в зависимости от времени t по закону . С какой скоростью нагревается это тело в момент времени?
-
Тело массой 100кг движется по закону . Найдите кинетическую энергию тела через 2секуды после начала движения.
Порядок выполнения работы:
При прямолинейном движении точки скорости в данный момент времени есть производная от пути S по времени t, вычисленная при
Ускорение a в данный момент времени есть производная от скорости ко времени t, вычисленная при
Пусть S выражается в метрах(м), время t в секундах(с), скорость v в(м/с), ускорение a в().
Форма предоставление результата:
-
Точка движется прямолинейно по закону . Найти значение скорости и ускорения в момент времени t=4c
-найдём скорость движения точки в момент времени t:
-вычислим скорость движения точки в момент времени t=4 c:
-найдём ускорение движения точки в момент времени t:
-вычислим ускорение точки в момент времени t=4 c:
-
Тело массой 10кг движется прямолинейно по закону . Найдите кинетическую энергию тела () через 4с послу начала движения.
-найдем скорость движения тела в момент времени t:
-вычислим скорость тела в момент времени t=4с:
-определим кинетическую энергию тела в момент t=4c:
Практическая работа 10
Тема занятия: "Нахождение неопределенных интегралов при помощи свойств интегрирования».
Цель работы: Научиться находить неопределённые интегралы непосредственным интегрированием при помощи свойств интегрирования.
Количество часов-2
Материальное обеспечение:
Карточки, таблицы, учебники, конспекты лекций.
Задание:
Найти следующие интегралы:
Порядок выполнение работы:
Совокупность всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом.
Основные свойства неопределённого интеграла
Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании таблицы интегралов. Могут представиться следующие случаи:
-
Данный интеграл находиться непосредственно по соответствующему табличному интегралу.
-
Данный интеграл после применения свойств 1и2 приводится к одному или нескольким табличным интегралам;
-
Данный интеграл после элементарных тождественных преобразований, над подынтегральной функцией и применяя свойства 1и2 приводится к одному или нескольким табличным интегралам.
Форма предоставления результата:
Найти следующие интегралы:
-
-используем свойство 2 и формулу 2.
Получим:
-
Используя свойства 1 и 2 и, формулы 1 и 2 получим:
- постоянная интегрирования С равна алгебраической сумме трех постоянных интегрирования .
-
-
-разделим почленно на x, получим:
-
-используем формулу 2
Практическая работа 11
Тема занятия:" Интегрирование методом замены переменной».
Цель работы: Научиться вычислять интегралы способом подстановки.
Количество часов-2
Материальное обеспечение:
Карточки, таблицы, учебники, конспекты лекций.
Задание:
Найти интегралы:
Порядок выполнение работы:
В основе интегрирования методом замены переменной ( или способом постановки) лежит свойство инвариантности формул интегрирования, которое заключается в следующем: если , то , где производная дифференцируемая функция от x.
Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видом:
-
, где t-новая переменная, а непрерывно дифференцируемая функция
-
,где t-новая переменная, тогда:
Форма предоставления результата:
-т.к. , то
-полагая , получим:
-
-поэтому, используя подстановку , приходим к табличному интегралу:
-
-воспользовавшись подстановкой , приводим к табличному интегралу
Примечание:
Практическая работа 12
Тема работы:" Интегрирование различными методами».
Цель работы: Научиться находить интегралы различными методами: интегрирование подстановкой и по частям.
Количество часов-2
Материальное обеспечение:
Карточки, таблицы, учебники, конспекты лекций.
Задание:
Найти интегралы
Порядок выполнение работы:
-
Первые два интеграла решаются методом замены переменной ( этот случай рассматривался в практической работе № 35).
-
Следующие интегралы решаются методом интегрирования по частям.
Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле: где непрерывно дифференцируемые функции от x.
Интегрируя обе части равенства , получим
С помощью этой формулы вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла , если последний окажется проще исходного.
Форма предоставления результата:
Вычислить интеграл методом интегрирования по частям:
-полагая
-найдём
-следовательно:
-пусть
-тогда
-на основании формулы находим