Ханты-Мансийский автономный округ - Югра

Администрации Октябрьского района

Управление образования и молодежной политики

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Унъюганская средняя общеобразовательная школа №1»

Согласовано: Утверждено:

Зам. директора по НР Директор школы

Громак Н.М. Черноколпакова Т.З.

«____»_____________2010г. «___»______________2010г.

Проценты на все случаи жизни

Программа краткосрочного курса

по выбору по математике

для учащихся 8-9 классов

Разработчик программы:

Уймина Л. А.

Унъюган

2010

Рекомендовано Методическим советом Муниципального учреждения «Унъюганская средняя общеобразовательная школа №1» Октябрьского района Ханты-Мансийского автономного округа- Югра, Протокол № 1 от 27 августа 2010 г.

Автор:

Уймина Людмила Аркадьевна, математики второй категории МОУ«Унъюганская средняя общеобразовательная школа №1», Октябрьского района, Тюменской области, ХМАО-Югра.

Рецензент:

Никитчук Лариса Григорьевна, учитель математики высшей категории МОУ«Унъюганская средняя общеобразовательная школа №1», Октябрьского района, Тюменской области, ХМАО-Югра.

Уймина Л.А. Программа элективного курса по математике для учащихся 10-11 классов

«Проценты на все случаи жизни». - 2010. - 37с.

Элективный курс содержит программу и дидактические материалы, ориентированные на систематизацию знаний учащихся и развитию их умений решать задачи «на проценты». Материалы пособия будут полезны всем учащимся, ведь жизнедеятельность современного человека часто предлагает ему задачки «на проценты». Рассматриваемые подходы к классификации задач и предлагаемые способы их решения будут полезны также и учащимся, проявляющим интерес к математике, и тем, кто готовится к экзаменам за курс основной и средней (полной) школы.

Эта программа для тех, кто изучает математику, физику, химию, кому завтра предстоят выпускные и вступительные экзамены, кому в повседневной жизни приходится считать.

Рекомендуется преподавателям математики и учащимся 8-9 классов общеобразовательных школ

Ханты-Мансийский автономный округ - Югра

Администрации Октябрьского района

Управление образования и молодежной политики

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Унъюганская средняя общеобразовательная школа №1»

Тип учебного учреждения: Общеобразовательное учреждение

Вид учебного учреждения: Средняя общеобразовательная школа

Класс обучающихся: 8-9 классы

Название программы «Проценты на все случаи жизни»

Название образовательной

области: Математика

Название учебной

дисциплины: Математика

Вид образовательной Образовательная программа элективного

программы: курса

Ступень образования: II ступень

СОДЕРЖАНИЕ

Пояснительная записка…………………………………………………………….5

1. Учебный план…………………………………………………………………….9

2. Учебно-тематический план……………………………………………..............11

3. Содержание программы.……………………………………………………….25

4.Планируемые результаты..………………………………………………………30

5. Аппарат контроля (формы контроля и система оценивания)………………...33

6. Методическое обеспечение учебного процесса…………..…………..............34

7. Организация учебного процесса………………………..……………………...35

8. Используемая литература………………………………………………………37

9. Литература для учителя………………………….………..………………....…38

10. Литература для учащихся……………………………….................................38

11. Приложение 1. Подвижные игры……………………………………………...39

12.Приложение 2. Применение схем в тактике…………………………………..41

Пояснительная записка

Понятие «проценты» вошло в нашу жизнь не только с уроками в средней школе и с проведением сложных научно-исследовательских работ, не только с выпечкой кулинарных изделий и приготовлением лакомств, солений и варений, оно буквально атакует нас в пору утверждения рыночных отношений в экономике, в пору банкротств, кредитов, инфляций, девальваций. Проценты творят чудеса. Зная их, бедный может стать богатым. Обманутый вчера в торговой сделке покупатель сегодня обоснованно требует процент торговой скидки. Вкладчик сбережений учится жить на проценты, грамотно размещая деньги в прибыльное дело.

Поэтому элективный курс «Проценты на все случаи жизни» призван помочь учащимся систематизировать знания и умения по теме проценты, повысить свою математическую и алгоритмическую культуру, достичь уверенных навыков в решении стандартных задач по алгебре, освоить эвристические подходы к решению нестандартных, творческих задач, а также сформировать привычку к поисковой активности, существенную отнюдь не только при занятиях математикой, но и в обыденной жизни.

Элективный курс предназначен для предпрофильной подготовки учащихся 8- 9 классов общеобразовательной школы, является предметно-ориентированным, рассчитанным на 17 часов. Он расширяет и углубляет базовую программу по математике, не нарушая ее целостности. Программа элективного курса применима для различных групп школьников, независимо от выбора их будущей профессии, профиля в старшей школе. В основной школе представление о процентах учащиеся получают, но умением решать задачи экономическо-практического содержания не владеют.

Предлагаемый курс имеет прикладное и общеобразовательное значение. Он способствует развитию логического мышления, сообразительности и наблюдательности, творческих способностей, интереса к предмету, данной теме, и, что особенно важно, формированию умений решать практические задачи в различных сферах деятельности человека. При изучении курса рекомендуется использовать поисково-исследовательскую деятельность учащихся, которая реализуется и на занятиях, и в ходе самостоятельной работы школьников. Предлагаются такие формы занятий как практикум, деловая игра, экскурсия. Проведение занятий может быть организовано в индивидуальной и фронтальной форме, а при работе по проблеме исследования создаются группы. Содержание индивидуальных групповых заданий предлагает выбор учащимися объектов исследования.

В процессе изучения данного курса школьник получит знания и умения, используя которые в практической деятельности и повседневной жизни, он лучше адаптируется в современном мире.

Цель элективного курса - обобщение и систематизация, расширение и углубление знаний по теме проценты, обретение практических навыков решения задач на проценты, повышение качества знаний школьников, развитие способностей учащихся применять знания в реальных жизненных ситуациях.

Задачи:

• сформировать у учащихся умения и навыки по решению задач с процентами по

математике, развить их математические способности;

• активизировать познавательную деятельность школьников;

• способствовать развитию алгоритмического мышления учащихся;

• расширить представления учащихся о сферах применения математики,

• сформировать устойчивый интерес к предмету;

• убедить школьников в практической необходимости владения способами

• выполнения математических действий;

• расширить сферу математических знаний, общекультурный кругозор учащихся;

• повысить качество знаний учащихся по математике.

Требования к уровню подготовленности школьников

Учащиеся должны знать:

-что такое процент;

-основные соотношения на процентные расчеты;

-алгоритм решения задач составлением уравнения;

-формулы начисления «сложных процентов» и простого процентного роста;

-что такое концентрация, процентная концентрация.

Учащиеся должны уметь:

-решать типовые задачи на проценты;

-применять алгоритм решения задач составлением уравнений к решению более сложных

задач;

-использовать формулы начисления «сложных процентов» и простого процентного

роста;

-решать задачи на сплавы, смеси, переливания.

-учащиеся должны уметь использовать приобретенные знания и умения в

практической деятельности и повседневной жизни.

Формы организации обучения

Программа содержит темы творческих работ и список литературы по предложенным темам. В процессе изучения данного курса предполагается использование различных методов активизации познавательной деятельности школьников, а также различных форм организации их самостоятельной работы.

Формы проведения занятий

Элективный курс предусматривает классно-урочную и лекционно-практическую системы обучения. Практическая часть предполагает использование типового школьного оборудования кабинета математики.

Предлагаются такие формы занятий как практикум, деловая игра, экскурсия. Проведение занятий может быть организовано в индивидуальной и фронтальной форме, а при работе по проблеме исследования создаются группы. Содержание индивидуальных групповых заданий предлагает выбор учащимися объектов исследования.

Ханты-Мансийский автономный округ - Югра

Администрации Октябрьского района

Управление образования и молодежной политики

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Унъюганская средняя общеобразовательная школа №1»

Согласовано: Утверждено:

Зам. директора по НР Директор школы

Громак Н.М. Черноколпакова Т.З.

«____»_____________2010. « ___»______________2010г.

Учебный план элективного курса

по математике

для учащихся 8-9 классов

«Проценты на все случаи жизни»

Цель: Обобщение и систематизация, расширение и углубление знаний по теме проценты, обретение практических навыков решения задач на проценты, повышение качества знаний школьников, развитие способностей учащихся применять знания в реальных жизненных ситуациях.

Категория слушателей: учащиеся 8-9 классов.

Срок обучения: 17 часов в год

Режим занятий: 1 час в неделю, начиная с сентября.

№

Тема

Количество часов

1.

Что такое процент

2

2.

Проценты и уравнения

3

3.

Правила начисления «сложных процентов»

4

4.

Процентные расчёты в различных сферах деятельности человека

6

5.

Итоговое занятие, защита проектов

2

Итого

17

Ханты-Мансийский автономный округ - Югра

Администрации Октябрьского района

Управление образования и молодежной политики

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Унъюганская средняя общеобразовательная школа №1»

Согласовано: Утверждено:

Зам. директора по НР Директор школы

Громак Н.М. Черноколпакова Т.З.

«____»_____________2010г. «__»______________2010г.

Учебно- тематический план

элективного курса

по математике

для учащихся 8-9 классов

«Проценты на все случаи жизни»

Цель: Обобщение и систематизация, расширение и углубление знаний по теме проценты, обретение практических навыков решения задач на проценты, повышение качества знаний школьников, развитие способностей учащихся применять знания в реальных жизненных ситуациях.

Категория слушателей: учащиеся 8-9 классов.

Срок обучения: 17 часов в год

Режим занятий: 1 час в неделю, начиная с сентября.

№

Название темы

Кол-во часов

Форма проведения

Форма контроля

лекция

практика

1

Что такое процент

2

1

1

1.1

Понятие процента, основные соотношения на процентные расчёты, нахождение процента от числа, числа по его проценту, составление процентного отношения.

1

Устный опрос

1.2

Сферы применения процентных расчётов.

Решение типовых задач на проценты.

1

Тест

2

Проценты и уравнения

3

1

2

2.1

Алгоритм решения задач методом составления уравнений.

1

Устный опрос

2.2

Решение задач на числах с постепенным обобщением решения.

1

2.3

Решение более сложных задач на процентные расчёты методом составления уравнений.

1

Проверочная работа

3

Правило начисления «сложных процентов»

4

1

3

3.1

Формула начисления «сложных процентов», формула простого процентного роста.

1

3.2

Решение задач на применение формул.

1

Устный опрос

3.3

Решение задач на применение формул.

1

Тест

3.4

Решение задач на применение формул.

1

Практикум по решению задач

4

Процентные расчёты в различных сферах деятельности человека.

6

2

4

4.1

Использование процентных расчётов в жизненных ситуациях, в банковском деле, на производстве, в бизнесе и т.д.

1

4.2

Использование процентных расчётов в жизненных ситуациях, в банковском деле, на производстве, в бизнесе и т.д.

1

4.3

Использование процентных расчётов в жизненных ситуациях, в банковском деле, на производстве, в бизнесе и т.д.

1

4.4

Понятие объёмной (массовой) концентрации, объёмной (массовой) процентной концентрации.

1

Практикум по решению задач

4.5

Решение задач, связанных с понятиями «концентрация», «процентное содержание».

1

4.6

Решение задач, связанных с понятиями «концентрация», «процентное содержание».

1

Практикум по решению задач

5

Итоговое занятие. Защита проекта «Вкладывайте деньги…»

2

1

1

5.1

Отчёт групп о проделанной работе по проблеме исследования.

1

5.2

Защита индивидуальных заданий.

1

ИТОГО:

17

6

11

Содержание программы

Тема 1. Что такое процент(2ч).

Сферы применения процентных расчётов. Понятие процента, основные соотношения на процентные расчёты, нахождение процента от числа, числа по его проценту, составление процентного отношения. Решение типовых задач на проценты.

Тема 2. Проценты и уравнения(3ч).

Алгоритм решения задач методом составления уравнений. Решение задач на числах с постепенным обобщением решения. Решение более сложных задач на процентные расчёты методом составления уравнений.

Тема 3. Правило начисления «сложных процентов»(3ч).

Формула начисления «сложных процентов», формула простого процентного роста. Решение задач на применение формул.

Тема 4. Процентные расчёты в различных сферах деятельности человека(6ч).

Использование процентных расчётов в жизненных ситуациях, в банковском деле, на производстве, в бизнесе и т.д.

Понятие объёмной (массовой) концентрации, объёмной (массовой) процентной концентрации. Решение задач, связанных с понятиями «концентрация», «процентное содержание».

Тема 5. Итоговое занятие. Защита проекта «Вкладывайте деньги…»(2ч).

Отчёт групп о проделанной работе по проблеме исследования. Защита индивидуальных заданий.

Планируемые результаты

По окончанию элективного курса учащиеся должны:

знать:

-что такое процент;

-основные соотношения на процентные расчеты;

-алгоритм решения задач составлением уравнения;

-формулы начисления «сложных процентов» и простого процентного роста;

-что такое концентрация, процентная концентрация.

уметь:

-решать типовые задачи на проценты;

-применять алгоритм решения задач составлением уравнений к решению более сложных

задач;

-использовать формулы начисления «сложных процентов» и простого процентного

роста;

-решать задачи на сплавы, смеси, переливания.

-учащиеся должны уметь использовать приобретенные знания и умения в

практической деятельности и повседневной жизни.

АППАРАТ КОНТРОЛЯ

(ФОРМЫ КОНТРОЛЯ И СИСТЕМА ОЦЕНИВАНИЯ)

Для оценки результатов работы по программе элективного курса «Проценты на все случаи жизни» используются формы контроля, такие как:

1. Устный опрос

2. Тестирование

3. Проверочная работа

4. Практикум по решению задач

5. Отчёт групп по предложенной теме исследования

Методическое обеспечение образовательной программы

Предлагаемый курс имеет прикладное и общеобразовательное значение. Он способствует развитию логического мышления, сообразительности и наблюдательности, творческих способностей, интереса к предмету, данной теме, и, что особенно важно, формированию умений решать практические задачи в различных сферах деятельности человека. При изучении курса рекомендуется использовать поисково-исследовательскую деятельность учащихся, которая реализуется и на занятиях, и в ходе самостоятельной работы школьников.

Предлагаются такие формы занятий как практикум, деловая игра, экскурсия. Проведение занятий может быть организовано в индивидуальной и фронтальной форме, а при работе по проблеме исследования создаются группы. Содержание индивидуальных групповых заданий предлагает выбор учащимися объектов исследования.

В дидактических материалах содержатся задачи на:

1. Процентные вычисления в жизненных ситуациях.

2. Смеси, растворы, сплавы.

3. Разные задачи на проценты.

ОРГАНИЗАЦИЯ УЧЕБНОГО ПРОЦЕССА

Учебники:

«Математика, 5», Виленкин Н.Я. и др., «Мнемозина», 2003, с. 337

«Алгебра, 9», под ред. Теляковского С.А., М: Просвещение, 2001, с.215, 223

«Алгебра и начала анализа, 10-11», под ред. Колмогорова А.Н., М: Просвещение, 2003, с.306,330.

Учебные пособия:

«Учебно-тренировочные материалы для подготовки к ЕГЭ. Математика», Денищева Л.О., Гдазков Ю.А. и др., М: Интеллект- Центр, 2003.

«Математика. Контрольные измерительные материалы единого государственного экзамена в 2009 г.» М: Центр тестирования, 2004.

«Экзаменационные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. ЕГЭ 2009», М: Центр тестирования, 2005.

УСЛОВИЯ РЕАЛИЗАЦИИ ПРОГРАММЫ

(ПЕРЕЧЕНЬ РАЗРАБАТЫВАЕМОГО НАУЧНО - МЕТОДИЧЕСКОГО, ДИДАКТИЧЕСКОГО И МАТЕРИАЛЬНО - ТЕХНИЧЕСКОГО ОСНАЩЕНИЯ)

Методические рекомендации по изучению тем курса

ТЕМА 1.Что такое процент

С целью мотивации учащихся предлагается начать первое занятие с театрализованного представления (приложение). Затем кратко изложить содержание элективного курса. Акцентировать внимание на том, что учащимся предстоит в течение 17 часов изучить проценты более глубоко и широко, чем это было па уроках, указать на практическую направленность курса. Дать краткую характеристику того, что учащиеся узнают, завершив изучение данного курса.

Так как на занятиях по данной теме могут быть учащиеся из разных классов, школ, с разным уровнем подготовки, то начать нужно с повторения основных соотношений на процентные расчёты, с нахождения процента от числа, числа по его проценту, составления процентного отношения и т. д.

Структура занятий:

1) Театрализованное представление.

2) Информация учителя о содержании курса.

3) Повторение, обобщение, систематизация знаний по понятийному аппарату темы.

4) Решение типовых задач.

5) Предложение индивидуальных и групповых заданий для итогового занятия.

Индивидуальные и групповые задания:

1. Собрать материал для подготовки и защиты проекта «Вкладывайте деньги…» по одной из проблем:

1)Вложения в банк (в какой банк вашего населенного пункта, на какой вид вклада выгоднее вкладывать деньги).

2)Вложения в бизнес:

а) малый бизнес по отраслям:

-бытовое обслуживание

-торговля

-общепит и т.д.

б) сетевой маркетинг

3) Вложения в развитие производства: -строительств

-промышленность

-сельское хозяйство

-научно-техническая сфера и т. д.

2. Используя собранный материал, различные источники информации, составлять задачи на проценты и решать их.

ТЕМА 2. Проценты и уравнения.

Решение задач на составление уравнений способствует развитию логического мышления, сообразительности и наблюдательности, умения самостоятельно осуществлять небольшие исследования.

Текстовые задачи осознаннее решаются учащимися, если их решению предпослать ряд задач на числах с постепенным обобщением решения и постановкой качественных вопросов, ответы на которые проверяются расчётами.

Задачи:

1) Букинистический магазин приобрёл книгу стоимостью 100 рублей со скидкой 10 % стоимости, а продал её по номинальной стоимости. Сколько процентов прибыли он получил?

Многие ученики сразу говорят 10 %. Последующая проверка убеждает их в ошибочности такого решения.

После решения задачи предлагается заменить 100 рублей обобщенной ценой а рублей и задать вопрос: «Изменится ли при этом процент прибыли?»

Затем изменить процент скидки и предложить решить задачу уже без подробной записи решения.

2) Купили книгу со скидкой 20 %, а продали по номинальной цене. Какой процент прибыли получил магазин?

При решении полезно узнать у учащихся будет ли этот процент больше 20% или меньше и почему? Этот качественный вопрос поможет учащимся более глубоко осознать зависимости в задачах подобного рода.

Небезынтересно рассмотреть задачи такого содержания:

З) Магазин купил книгу со скидкой 10 % к номиналу, а продал с наценкой 10 % к закупочной цене. Нужно поставить к ней ряд вопросов, ответы на которые можно проверить.

Будет ли продажная цена больше номинала или меньше? На сколько? Какой процент продажная цена составит от номинала?

Полезно предложить такую задачу:

4) Книгу купили со скидкой 10 % к номиналу. Больше или меньше 10 % должна быть наценка к закупочной цене, чтобы книга продавалась по номиналу?

После рассмотрения ряда подобных задач можно предложить более сложные задачи.

5) Букинистический магазин при продаже книги по номиналу запланировал определённый процент прибыли. Продал же книгу со скидкой 10 % с номинальной цены и получил при этом 8 % прибыли. Сколько процентов прибыли первоначально предполагал получить магазин?

Структура занятий:

1) Актуализация знаний школьников по решению задач составлением уравнений.

2) Практикум по решению задач составлением уравнений.

3) Проверочная работа (для составления использовать дидактические материалы).

ТЕМА 3.Правило начисления «сложных процентов».

Для выхода на формулу начисления «сложных процентов» полезны следующие упражнения:

В сберкассу положили 200 рублей, на которые начисляются 3% годовых. Сколько денег будет в конце первого года хранения?

Решение полезно провести на числах и в общем виде:

Начальный капитал

200 рублей

а рублей

Процент прибыли

3 %

р %

Прибыль в рублях

200 * 0,03

Конечный капитал

200+200*0,03 = 200*(1+0,03)

В итоге получилась формула зависимости

, дающая возможность решать три типа задач на денежные расчёты: на нахождение а; р; к. К этой же задаче задать другой вопрос: сколько денег будет в конце второго года хранения?

Отвечая на него, получим

А третьего? А n-го?

В итоге получается формула (1), где а - начальный капитал; р - процент прибыли за один этап времени; n - число этапов,

выражающая правило начисления «сложных процентов». (Когда проценты начисляются на проценты).

Объяснить, что имеем дело со «сложными процентами» в том случае, когда некоторая величина подвержена поэтапному изменению. При этом каждый раз её изменение составляет определённое число процентов от значения, которое эта величина имела на предыдущем этапе.

Полученная формула показывает, что значение величины к растёт (или убывает) как геометрическая прогрессия, первый член которой равен а, а знаменатель прогрессии . Об этом можно говорить, если элективный курс проводится во втором полугодии, так как тема «Прогрессии» изучается во второй половине года. Формула (1) является исходной формулой при решении многих задач на проценты. Кроме формулы сложного процентного роста учащиеся должны знать и применять формулу простого процентного роста: (2), где а, р и п имеют тот же смысл, что и в формуле сложного процентного роста.

Структура занятий:

1) Решение задач, подводящих к получению формулы «сложных процентов».

2) Практикум по решению задач на применение формулы «сложных процентов».

3) Решение задач на применение формулы простого процентного роста.

4) Деловая игра по решению проблемы вложения денег в различные банки, на различные счета.

ТЕМА 4. Процентные расчеты в различных сферах деятельности человека.

При изучении темы предполагаются экскурсии в сберкассы, банки, на предприятия различных отраслей и форм собственности .Во время экскурсий выяснить, как используются процентные расчеты в жизненных ситуациях, в банковском деле, на производстве, в бизнесе. Школьники собирают материал для подготовки и защиты группами своих индивидуальных заданий.

Особый тип задач и присущие этому типу задач методы решения - это задачи на сплавы, смеси и переливания. Приступая к решению задач, связанных с понятиями «концентрация» и «процентное содержание», необходимо объяснить учащимся, что обычно в условиях таких задач речь идёт о составлении сплавов, растворов, смесей из двух или нескольких веществ. Что при решении таких задач принимают следующие основные допущения: все получающиеся сплавы или смеси однородны; при слиянии двух растворов, имеющих объёмы V₁ и V₂ получается смесь, объём которого, равен V = V₁ + V₂, причём это соотношение является именно допущением, поскольку не всегда выполняется в действительности; при слиянии двух растворов не объём, а масса смеси равняется сумме масс составляющих её компонентов. Сумма концентраций С всех компонентов, составляющих смесь, равна 1.

НАПРИМЕР:

Рассматривается смесь трёх компонент А, В, С. Значит

С_А + С_В + С_С = 1,

V_О = V_А + V_В + V_С.

Объёмной концентрацией компоненты А называется отношение объёма чистой компоненты (V_А ) в растворе ко всему объёму смеси (V_О).

V_O = C_A * V_O + C_B * V_O + C_C * V_O (1)

Объёмным процентным содержанием компоненты А называется величина

Р_А = С_А * 100 %,

то есть концентрация этого вещества, выражается в процентах.

Если известно процентное содержание вещества А, то его концентрация находится по формуле .

НАПРИМЕР:

Процентное содержание составляет 70%, то соответствующая концентрация равна 0,7. Таким же образом определяются и массовая концентрация и процентное содержание, а именно, как отношение массы чистого вещества А в сплаве к массе всего сплава.

Для решения таких задач удобно ввести в рассмотрение объём или массу каждой смеси, а также концентрации составляющих их компонент. С помощью концентрации нужно «расщепить» каждую смесь на отдельные компоненты, как это сделано в формуле (1), а затем указанным в условии задачи способом составить новую смесь. При этом легко посчитать, какой объём (масса) каждой компоненты входит в получившуюся смесь, а также полный объём (массу) этой смеси. После этого определяются концентрации компонент в новой смеси.

В большинстве случаев задачи такого характера вызывают затруднения у школьников потому, что они не умеют выразить функциональную зависимость, например, между массой растворимого вещества, массой смеси и концентрацией (крепостью) раствора.

Концентрация - это число, показывающее, сколько процентов от всей смеси составляет растворимое вещество. Если масса смеси т кг, масса растворимого вещества а кг, концентрация р %, то между этими величинами существует следующая зависимость: ; 100*а = т*р.

Пример работы над задачами с понятием концентрации:

Масса смеси Масса растворимого вещества Концентрация

т кг а кг р %

10 1 = 10%

5 2 = 0,4 = 40%

4 0,5 0,5:4 =0,125=12,5%

m_c т_в т_в / m_c = к

После получения этой формулы задачи на растворы будут осознанно решаться учащимися на основе соотношения:

т_в =k*m_c; m_c = т_в:к; .

Иногда в задачах на сплавы необходимо, чтобы учащиеся знали понятие пробы. Этo число, показывающее, сколько граммов чистого драгоценного металла содержится в одном килограмме сплава.

ТЕМА 5. Итоговое занятие .Защита проекта «Вкладывайте деньги…»

Отчет групп о проделанной работе по проблеме исследования. Защита своих индивидуальных заданий.

ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Список литературы для учителя

1. Винокурова Е., Винокуров Н. Экономика в задачах. - М, 1998

2. Денищева Л.О. Единый государственный экзамен: Математика. - М.: Просвещение, 2003

3. Денищева Л.О. Единый государственный экзамен: Математика. - М.: Просвещение, 2004

4. Звавич Л.И., Аверьянов Д.И., Пигарев Б.П., Трушанина Т.Н. Задания для проведения письменного экзамена по математике в 9-м классе. - М.: Просвещение, 1994

5. Корешкова Т.А. Тестовые задания по математике. - М.: Экзамен, 2005

6. Макарычев Ю.Н. Дополнительные главы к школьному учебнику. - М.: Просвещение, 1996

7. Математика: 2600 тестов и проверочных заданий для школьников и поступающих в вузы / П.И. Алтынов, Л.И. Звавич, А.И. Медяник и др. - М.: Дрофа, 1999

8. Петрова И.Н. Проценты на все случаи жизни. - Челябинск, 1996

9. Рельдман Ф.Г., Рудзитис Г.Е. Химия для 9-х классов средних общеобразовательных учебных заведений. - М.: Просвещение, 1994

10. Сборник задач по математике для поступающих в вузы / Под редакцией А.Н. Приленко. - М.: Высшая школа, 1989

11. Симонов А.С. Экономика на уроках математики. - М: Школа-Пресс, 1999

12. Усов Н.А. Повторим математику. - Киев, 1994

13. Цыпкин А.Г., Пинский А.Н. Справочник по методам решения задач по математике для средней школы. - М.: Наука, 1989

14. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач. - М.: Просвещение, 1994

Список литературы для учащихся

15. Денищева Л.О. Единый государственный экзамен: Математика. - М.: Просвещение, 2003

16. Денищева Л.О. Единый государственный экзамен: Математика. - М.: Просвещение, 2004

17. Корешкова Т.А. Тестовые задания по математике. - М.: Экзамен, 2005

18. Петрова И.Н. Проценты на все случаи жизни. - Челябинск, 1996

19. Усов Н.А. Повторим математику. - Киев, 1994

Приложение

Приложение 1

Вводный тест по теме «Проценты»

1. Найдите 25% от 56.

А) 14 Б) 22,04 В) 20 Г) 25

2. Найдите число, если 1% его равен 75.

А) 0,75 Б) 7,5 В) 7500 Г) 750

3. Клубника содержит 6% сахара. Сколько килограммов сахара в 27 кг клубники?

А) 1,82 кг Б) 1,62 кг В) 2,24 кг Г) 2,42 кг

4. Книга стоила 25 р. После повышения цены она стоит 30,25 р. На сколько процентов возросла стоимость книги?

А) на 21% Б) на 20% В) на 24% Г) на 25%

5. Найдите число, 34% которого равны 170.

А) 57,8 Б) 500 В) 56,5 Г) 510

6. На математической олимпиаде 32% участников получили грамоты. Сколько школьников приняло участие в олимпиаде, если наградили 416 человек?

А) 932 Б) 1300 В) 133,1 Г) 1340

7. Надо вспахать участок поля в 500 га. В первый день вспахали 150 га. Сколько процентов составляет вспаханный участок от всего участка?

А) 330% Б) 30% В) 125% Г) 45%

8. Число уменьшили на 20%. На сколько процентов надо увеличить полученное число, чтобы получить данное число?

А) на 20% Б) на 40% В) на 25% Г) на 30%

9. Число 56 составляет 80% от некоторого числа. Найдите среднее арифметическое этих чисел.

А) 63 Б) 44,8 В) 126 Г) 56

10. Сторону квадрата уменьшили на 20%. На сколько процентов уменьшилась его площадь?

А) на 20% Б) на 36% В) на 10% Г) на 40%

Таблица ответов:

№ задания

Ответ

1

А

2

В

3

Б

4

А

5

Б

6

Б

7

Б

8

В

9

А

10

Б

Приложение 2

Проект занятия

Тема: Решение задач на проценты с помощью уравнений

Цель урока: Отработка навыков по решению задач на проценты с помощью уравнений

Ход занятия:

I Актуализация знания

Тест - опрос. Установите истинность (ложность утверждения)

1) Верно ли:

а) 37% = 0,37

б) 290% = 2,9

в) 9% = 0,9

2) Верно ли:

а) 5% от 400 равно 20

б) 20% от 300 равно 6

в) 1% от 1 м равно 10 см

3) Найти число х:

а) 4% его равны 160; х = 400

б) 70% его равны 560; х = 800

в) 17% его равны 68; х = 400

4) Процентное отношение чисел:

а) 150 к 500 равно 30%

б) 7 к 10 равно 700%

в) 137 к 100 равно 137%

Таблица ответов:

1

2

3

4

а

б

в

а

б

в

а

б

в

а

б

в

+

+

-

+

-

+

-

+

+

+

-

+

Условные обозначения:

+ «Истинна»

- «Ложь»

II Решение задач

Задача 1. Одной машинистке на перепечатку рукописи требуется на 12 ч больше, чем другой. Если 25% рукописи перепечатает первая машинистка, а затем к ней присоединится вторая машинистка, то на перепечатку рукописи им понадобиться 35 ч, считая от момента начала работы первой машинистки. За сколько часов могла бы перепечатать рукопись каждая машинистка, работая отдельно?

Решение: Пусть на перепечатку рукописи первой машинистке требуется ч, тогда второй потребуется ч. На перепечатку 25% рукописи первая машинистка затратит ч. Выясним теперь, сколько времени потребуется двум машинисткам на перепечатку оставшихся 75% рукописи. Первая машинистка перепечатывает за один час часть рукописи, вторая - часть рукописи, а вместе за час они перепечатывают часть рукописи. На перепечатку рукописи им потребуется ч, т.е. ч. Отсюда получаем уравнение:

Решив это уравнение, найдем, что оно имеет два корня: и .

Второй корень не соответствует условию задачи.

Ответ: первой машинистке на перепечатку рукописи требуется 60 ч, а второй - 48 ч.

Задача 2. Положив в банк деньги, вкладчик получил через год прибыль в 240 тысяч рублей. Однако он не стал забирать деньги из банка, а, добавив к ним еще 60 тысяч, снова оставил деньги на год. В результате спустя еще год он получил в банке 1 миллион 100 тысяч рублей. Какая сумма была положена в банк первоначально и какой процент прибыли в год давал банк?

Решение: Допустим, что первоначальный вклад составляет тысяч рублей. Тогда процент прибыли за год равен . Сумма вклада, положенного в банк через год, составила тысяч рублей, т.е. тысяч рублей. Этот вклад принес доход, равный тысячам рублей. Всего вкладчик получил 1100 тысяч рублей.

Получаем уравнение:

Решив его, найдем, что это уравнение имеет два корня: , Выполнив расчеты, можно убедиться, что оба корня соответствует условию задачи.

Ответ: задача имеет два решения: вкладчик вложил первоначально 200 тысяч рублей и получил доход 120% в год или вкладчик вложил первоначально 360 тысяч рублей и получил доход в год.

Задача 3. Имелось два слитка меди. Процент содержания меди в первом слитке был на 40 меньше, чем процент содержания меди во втором. После того как оба слитка сплавили, получили слиток, содержащий 36% меди. Найдите процентное содержание меди в первом и во втором слитках, если в первом слитке было 6 кг меди, а во втором - 12 кг.

Решение: Обозначим за массу первого слитка в кг, за массу второго слитка в кг, получим систему уравнений:

В результате получим: х=30, у=20.

Ответ: 30 кг, 20 кг

Задача 4. Для определения оптимального режима снижения цен социологи предложили фирме с 1 января снижать цену на один и тот же товар в двух магазинах двумя способами. В одном магазине - в начале каждого месяца (начиная с февраля) на 10%, в другом - через каждые два месяца, в начале третьего (начиная с марта) на одно и то же число процентов, причем такое, чтобы через полгода (1 июля) цены снова стали одинаковыми. На сколько процентов надо снижать цену товара через каждые два месяца во втором магазине?

Решение: Пусть руб. - стоимость товара, - число процентов. Тогда,

I магазин

Февраль

Март

……………………………………

Июль

II магазин

Март

Май

Июль

По условию задачи через полгода (1 июля) цены снова стали одинаковые, составляем уравнение:

Ответ: на 21%.

III Задачи для самостоятельной работы

Задача 1. В соответствии с договором фирма с целью компенсации потерь от инфляции была обязана в начале каждого квартала повышать сотруднику зарплату на 3%. Однако в связи с финансовыми затруднениями она смогла повышать ему зарплату только раз в полгода (в начале следующего полугодия). На сколько процентов фирма должна повышать зарплату каждые полгода, чтобы 1 января следующего года зарплата сотрудника была равна той зарплате, которую он получил бы при режиме повышения, предусмотренной договором.

Решение: Пусть руб. - зарплата, - процент повышения зарплаты. Тогда,

По плану

I квартал руб.

……………………………

IV квартал руб.

Фактически

I полугодие руб.

II полугодие руб.

По условию задачи зарплата сотрудника была равна той зарплате, которую он получил бы при режиме повышения, предусмотренного договором, составляем уравнение:

Ответ: на 6,09 %.

Задача 2. На заводе было введено рационализаторское предложение. В результате время, необходимое для изготовления рабочими некоторой детали, уменьшилось на 20%. На сколько процентов возросла производительность труда этого рабочего?

Решение: Пусть - производительность труда, а - весь объем работы. Тогда работа будет выполнена за время . В результате роста производительности труда время на изготовление детали стало равно , соответственно производительность , или . Соответственно рост производительности труда составил:

Ответ: 25%

Задача 3. Из жителей города одни говорят только на украинском, другие - только на русском, третьи - на обоих языках. По-украински говорят 85% всех жителей, а по-русски - 75%. Сколько процентов всех жителей этого города говорят на обоих языках?

Решение:

100%-85%=15% - не говорят на украинском;

100%-75%=25% - не говорят на русском;

100%-15%-25%=60% - говорят на обоих языках.

Ответ: 60%

Приложение 3

ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ

Содержание

1. Распродажа

2. Тарифы

3. Штрафы

4. Банковские операции

5. Голосование

I. Распродажа

Задача 1. Зонт стоил 360 р. В ноябре цепа зонта была снижена на 15%, а в декабре - еще на 10%. Какой стала стоимость зонта в декабре?

Решение. Стоимость зонта в ноябре составляла. 85% от 360 р., т.е. 360*0,85 = 306 (р.). Второе снижение цены происходило по отношению к новой цене зонта; теперь следует искать 90% от 306 р., т.е. 306 * 0,9 = 275,4 (р.).

Ответ: 275 р. 40 к.

Дополнительный вопрос. На сколько процентов по отношению к первоначальной цене подешевел зонт?

Решение. Найдем отношение последней цены к исходной и выразим его в процентах. Получим 76,5%. Значит, зонт подешевел на 23,5%.

О т в е т: на 23,5%.

Задача 2. На осенней ярмарке фермер планирует продать не менее одной тонны лука. Ему известно, что при хранении урожая теряется до 15% его массы, а при транспортировке - до 10%. Сколько лука должен собрать фермер, чтобы осуществить свой план?

Решение. Просчитаем худший вариант. Пусть нужно собрать х т лука. Тогда после хранения может остаться 0,85х т и на ярмарку будет доставлено - 0,9 * 0,85х т. Составим уравнение 0,9 * 0,85х = I, откуда

х ≈ 1,3.

О т в е т: не менее 1,3 т.

Задача 3. На сезонной распродаже магазин снизил цены на обувь сначала на 24%, а потом еще на 10%. Сколько рублей можно сэкономить при покупке кроссовок, если до снижения цен они стоили 593 р.?

Решение. В реальной жизни часто вместо точных подсчетов удобно выполнять прикидку. В нашем случае 593 р. - это примерно 600 р.; а

24% -это примерно . Четверть от 600 р. составляет 150 р. Таким образом, после первой уценки иена кроссовок снизилась на 150 р. и составила примерно 450 р. После второй уценки новая цена кроссовок снизилась еще примерно на 45 р. В итоге кроссовки подешевели примерно на 195 р.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 4. Антикварный магазин приобрел старинный предмет за 30 тыс. р. и выставил его на продажу, повысив цену на 60%. Но этот предмет был продан лишь через неделю, когда магазин снизил его новую цену на 20%. Какую прибыль получил магазин при продаже антикварного предмета?

О т в е т: 8,4 тыс. р.

Задача 5. На весенней распродаже в одном магазине шарф стоимостью 350 р. уценили па 40%, а через неделю ещё на 5%. В другом магазине шарф такой же стоимости уценили сразу на 45%. В каком магазине выгоднее купить этот шарф?

О т в е т: выгоднее купить во втором магазине.

Задача 6. Во время распродажи масляные краски для рисования стоимостью 213 р. за коробку продавали на 19% дешевле. Сколько примерно денег сэкономит художественная студия, если она купит партию в 150 коробок?

Ответ: примерно 6 тыс. р.

II. Тарифы

Задача 7. В газете сообщается, что с 10 июня согласно новым тарифам стоимость отправления почтовой открытки составит 3 p. 15 к. вместо 2 p. 75 к. Соответствует ли рост цен на услуги почтовой связи росту цен на товары в этом году, который составляет 14,5%?

Решение. Разность тарифов составляет 0,4 р., а ее отношение к старому тарифу равно 0,14545... . Выразив это отношение в процентах, получим примерно 14.5%.

О т в е т: да, соответствует.

Дополнительный вопрос. Сколько будет стоить отправка заказного письма, если сейчас эта услуга оценивается в 5 р.50 к.?

О т в е т: 6 р. 30 к.

Задача 8. Тарифы для мобильных телефонов зависят от систем оплаты. В 2000 г. тарифы оплаты по системам К и . М были одинаковыми, а и следующие три года последовательно либо увеличивались, либо уменьшались (см. табл.). Сравните тарифы в 2003 г.

Таблица

Тарифы

Годы

2001

2002

2003

По системе К

Увеличен

на 10%

Уменьшен на 3%

Уменьшен на З%

По системе М

Уменьшен на 5%

Увеличен на 3%

Увеличен на 4%

Решение. В 2003 г. тариф по системе К увеличился по сравнению с исходным примерно на 3,5%, а по системе М - на 1,8%. Таким образом,

тариф по системе К стал выше примерно на 1,7%.

Пояснение. Следует обозначить буквой х тарифы М и К. в 2000 г., затем последовательно выразить через х все последующие тарифы.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 9. В начале года тариф на электроэнергию составлял 40 к. за I кВт/ч. В середине года он увеличился на 50%, а в конце года - еще на 50%. Как вы считаете, увеличился ли тариф на 100%, менее чем на 100%, более чем на 100

О т в е т: тариф на электроэнергию увеличился более чем на 100%.

Задача 10. Стоимость проезда в городском автобусе составляла 5 р. В связи с инфляцией она возросла на 200%. Во сколько раз повысилась стоимость проезда в автобусе? Можно ли ответить на поставленные вопрос, не зная стоимости проезда?

О т в е т: 3 раза (пусть учащиеся сделают рисунок).

Задача 11. В этом году тарифы на услуги лодочной станции оказались на 20% ниже, чем в прошлом, году. Можно ли утверждать, что в прошлом году тарифы были на 20% выше, чем в нынешнем году?

О т в е т: нет

Пояснение. Рисунок поможет убедиться, что в прошлом году тарифы по сравнению с нынешним годом были выше на 25%.

III. Штрафы

Задача 12. Занятия ребенка в музыкальной школе родители оплачивают в сбербанке, внося ежемесячно 250 р. Оплата должна производиться до 15-го числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 4% от суммы оплаты занятий за один месяц. Сколько придется заплатить родителям, если они просрочат оплату на неделю?

Решение. Так как 4% от 250 р. составляют 10 р., то за каждый просроченный день сумма оплаты будет увеличиваться на 10 р. Если родители просрочат оплату на один день, то им придется заплатить 250 + 10 = 260 (р.), на неделю - 250 + 10*7=320(р.).

Задача для самостоятельного решения

Задача 13. За несвоевременное выполнение договорных обязательств сотрудник фирмы лишается 25%. месячного оклада, и, кроме того, за каждый просроченный месяц к штрафу прибавляется 5 % месячного оклада. Оклад сотрудника 10 тыс. р. В каком размере он должен заплатить штраф при нарушении сроков на 5 месяцев?

О т в е т: 5 тыс. р.

IV. Банковские операции

Задача 14. Сумма в 1 тыс. руб. уменьшается ежемесячно на 5 %. Через сколько месяцев эта сумма сократится до:

1. 750 руб.

2. 500 руб.

3. 250 руб.

4. 50 руб.

Эта задача на простой процентный рост.

; ; ; ;.

1. (мес.)

2. (мес.)

3. (мес.)

4. (мес.)

Задача 15 Какая сумма будет на счёте через 4 года, если на него положены 2000 руб. под 30 % годовых?

Эта задача на сложный процентный рост.

(руб.)

Задача 16. За хранение денег сбербанк начисляет вкладчику 8% годовых. Вкладчик положил на счёт в банке 5000 р. и решил в течение пяти лет не снимать деньги со счета и не брать процентные начисления. Сколько денег будет на счете вкладчика через год, через два года, через пять лет?

Решение.

Первый способ. Так как 8% от 5000 р. составляют 400 р., то через один год на счете окажется 5000 + 400= 5400 (р.).

В конце второго года банк будет начислять проценты уже на новую сумму. Так как 8% от 5400 составляют 432 р., то через два года на счете окажется 5400 + 432 = 5832 (р.). Вычисляя последовательно, найдем, что через пять лет на счете вкладчика будет 7346 р. 64 к.

Второй способ. Через год начальная сумма вклада увеличится на 8%, значит, новая сумма составит от первоначальной 108%. Таким образом, через год вклад увеличится в = 1,08 раза и составит 5000*1,08 (р.). Еще через год образовавшаяся на счете сумма снова увеличится в 1,08 раза. Таким образом, через два года на счете будет

(5000 *1,08) * 1,08 = 5000 * 1,08² (р.).

Аналогично через три года - 5000 * 1,08³ (р.) и т.д. Теперь видно, что вклад растет в геометрической прогрессии и через пять лет сумма на счете вкладчика составит 5000 + 1,03⁵ (р.), т.е. 7346,64 р.

Ответ: 7346,64 р.

Следует обратить внимание учащихся, что в рассмотренной ситуации начислялись сложные проценты.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 17. Вкладчик открыл счет в банке, внеся 2000 р. на вклад, годовой доход по которому составляет 12%. Какая сумма будет лежать на его счете через год; через два года; через 6 лет?

Ответ: 2240 р.; 2508 р. 80 к.; 3947 р. 65 к.

Задача 18. Банк обещает вкладчикам удвоить их сбережения за пять лет, если они воспользуются вкладом «Накопление» с годовой процентной ставкой 16%. Проверьте, выполнит ли банк свое обязательство.

Ответ: да, вклад увеличится в 1,16⁵ раз, т.е. более чем в два раза.

Задача 19. В прошлом году Антон для оплаты своего обучения воспользовался кредитом сбербанка, взяв сумму 40 тыс. р. с обязательством возвратить кредит (с учетом 20% годовых) через З года. В этом году снижены процентные ставки для кредита на оплату обучения в образовательных учреждениях: с 20% до 19% годовых. Поэтому у Бориса,
последовавшего примеру брата, долг окажется меньше. На сколько?

Ответ: примерно на 1700 р.

V. Голосование

Задача 20. Из 550 учащихся школы в референдуме по вопросу о введении ученического совета участвовали 88% учащихся. На вопрос референдума 75% принявших участие в голосовании ответили «да». Какой процент от числа всех учащихся школы составили те, кто ответил положительно?

Решение. Выразим проценты дробями и вычислим число учащихся, утвердительно ответивших на вопрос референдума: 550 * 0,88 * 0,75 = 363 (чел.). Теперь найдем ответ на вопрос задачи: 363: 550 = 0,66 - это 66%.

Дополнительный вопрос. Можно ли ответить на вопрос задачи, не зная числа учащихся школы?

О т в е т: да.

Задача для самостоятельного решения

Задача 21. Собрание гаражного кооператива считается правомочным, если в нем приняли участие всех его членов, и вопрос считается решенным,

если за него проголосовали не менее 50% присутствовавших. В гаражном кооперативе 240 человек. На собрание пришли 168, а за положительное решение обсуждаемого вопроса проголосовали 86 человек. Какое принято решение?

Ответ: положительное.

VI. При решении задач на смеси, растворы, сплавы следует помнить следующие факты:

1. Под долей вещества в смеси, растворе, сплаве понимается отношение массы (объема) этого вещества к массе (объему) всей смеси.

2. Процентная концентрация вещества в смеси численно равна доле, умноженной на 100%, и, наоборот, доля вещества численно равна одной сотой его процентного содержания.

3. При решении задач на смеси очень удобно пользоваться таблицей, в которой отражены

Описание смеси

Всего смеси (масса или объем)

Доля конкретного вещества в смеси

Масса или объем данного вещества

4. Если в условии задачи указано процентное содержание нескольких веществ, то следует выбрать одно из них и вести расчеты по нему и по всей смеси.

5. Заполнение таблицы следует вести по условию задачи, заполняя строки. Уравнения «искать» в столбцах.

Остановимся на примерах нескольких задач

Задача 22. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5% и 40% соответственно. Сколько нужно взять каждого из этих сортов стали, чтобы получить 140 тонн стали с содержанием никеля в 30%.

Решение: Заполним таблицу по условию задачи, приняв за х(т), у(т) - массу стали I и II сортов соответственно

Описание сплава

Масса сплава (в тоннах)

Доля никеля

Масса никеля (в тоннах)

I сплав

x

0.05

0.05 х

II сплав

у

0.4

0.4 у

Общий сплав

140

0.3 42

Так как последний вид стали получился в результате плавления первого и второго кусков, то

х + у = 140

Так как масса никеля в третьем сплаве сложилась из масс никеля I и II сплавов, то

0.05х + 0.4у = 42

Получили систему уравнений

решив которую получим х = 40, у = 100.

О т в е т: Взяли 40 тонн I сплава и 100 тонн II сплава.

Задача 23. После смешения двух растворов, один из которых содержал 48 грамм, а другой 20 грамм безводного йодистого калия, получили 200 грамм нового раствора. Найти концентрацию каждого из первоначальных растворов, если концентрация первого раствора была на 15% больше концентрации второго.

Решение. Примем за х (г) массу первого раствора, тогда масса второго раствора будет равна (200 - х) граммов.

Таблица примет вид:

Описание

раствора

Масса раствора

(в граммах)

Доля KJ

Масса KJ

(в граммах)

1 раствор

x

48

11 раствор

200-х

20

По условию задачи концентрация первого раствора на 15 % больше концентрации второго раствора, значит -=

Решив уравнение, получим х = 120, тогда доля йодистого калия в I растворе будет равна , а процентная концентрация его составит 40%.

Аналогично, доля йодистого калия во втором растворе будет равна = 0.25 и составит 25%.

О т в е т: 40 % и 25 %.

Задача 24. Сплавлено 40 грамм золота одной пробы и 60 грамм золота другой пробы и получено золото 62 пробы. Какой пробы было золото первого и второго слитков, если при сплаве поровну получается золото

61-й пробы?

Решение. Пусть «чистого» золота в первом слитке было х (г), во втором - у (г).

Составим таблицу:

Описание сплава

Масса сплава

(в граммах)

Масса золота

(в граммах)

Доля золота

1. I сплав

40

х

II сплав

60

у

Общий сплав

100

62

0,62

2. I сплав

40

х

II сплав

40

у

Общий сплав

80

48,8

0,61

Из таблицы видно, что х + у = 62 и х + у=48,8

Решив систему уравнений

х + у = 62

х + у=48,8

получим, что х = 22,4, а у = 39,6.

Откуда доля золота в первом слитке будет равна = 0,56, доля золота во втором слитке = 0,66 и пробы соответственно составят 56 и 66.

О т в е т: 56 и 66.

При решении задач на переливание схема заполняемой таблицы остается прежней, но следует следить за упрощением выражений, по возможности приводя их к лаконичной форме. Особенно это важно, когда речь идет о повторных переливаниях.

Если в задаче говорится о двух сосудах, то иногда полезно составлять параллельно две таблицы, следя за изменением концентрации растворов в каждом из сосудов.

Задача 25. Из сосуда, наполненного чистим глицерином, отлили литр глицерина, а затем долили литр воды. После перемешивания снова отлили литр смеси и долили литр воды. Наконец, опять после перемешивания отлили литр смеси и долили литр воды. В результате этих операций количество воды в сосуде оказалось в семь раз больше по объему оставшегося в нем глицерина. Каков объем сосуда?

Решение. Заметим, что в конечном итоге после всех переливаний доля глицерина в растворе будет равна , т. к. весь раствор состоит из 7 частей воды и 1 части глицерина. Составим таблицу по условию задачи, приняв за х (л) объем сосуда.

Описание раствора

Объем смеси

(в литрах)

Объем глицерина

(в литрах)

Доля глицерина

в 1 литре

Начальный раствор

x

х

1

Отлили литр смеси и долили литр воды

х

х - 1

Отлили литр смеси и долили литр воды

x

Отлили ещё 1 литр смеси и добавили

воды

x

По условию задачи =, откуда

8*(х - 1)³ = х³

2*(х - 1) = х

х = 2

О т в е т: Объём сосуда равен 2 литрам.

Задачу 1 можно решить с помощью схемы.

Решение.

I сплав 0,05 доля II сплав 0,4 доля никеля

х т (140 - х) т

0,05 х никеля 0,4*(140 - х) никеля

0,05х + 56 - 0,4х = 42

0,35х = 14

х = 40

40 тонн взяли первого сплава; 100 тонн взяли второго сплава.

О т в е т: 40 тонн и 100 тонн.

Такие схемы удобно применять при решении тех задач, в которых приходится сплавы (растворы) делить на много частей.

Задача 26. Каждый из двух кусков сплава массой 300 и 600 грамм соответственно с различным процентным содержанием меди разделили на 2 части. Из полученных 4 кусков изготовили 2 слитка массой 200 и 700 грамм соответственно с одинаковым процентным содержанием меди. Найти массу частей, на которые был разделен каждый кусок сплава.

Решение.

I сплав 300 гр. t - доля меди II сплав 600 гр. S - доля меди

х гр (300 - х) гр. (200 - х) гр. 600 - (200 - х) гр.

200 гр. 700 гр.

Доля вещества:

Решим уравнение:

7 tx + 1400 S - 7 Sx = 600 t - 2 tx + 800 S + 2 Sx

9 tx - 9 Sx = 600 t - 600 S

9 x(t-S) = 600(t - S)

x=, x=66

300 - 66= 233 (гр)

200 - 66= 133 (гр)

400 + 66= 466 (гр)

О т в е т: 66; 233; 133; 466.

Многие задачи «на концентрацию» решаются по нижеприведённому алгоритму (задачи 7 и 8).

Задача 27. Один раствор содержит 30% по объёму азотной кислоты, а второй - 55% азотной кислоты. Сколько нужно взять первого и второго раствора, чтобы получить 100 литров 50 - процентного раствора азотной кислоты?

Решение.

I. Условие. В условии указаны 2 раствора и их смесь. Величины, входящие в задачу: объём раствора U_p; концентрация К %; объём кислоты U_k. Формула зависимости: U_k=U_p*K

Раствор

Объём раствора (л)

Концентрация (%)

Объём кислоты (л)

Первый раствор

х

30% = 0,3

х*0,3

Второй раствор

100-х

55% = 0,55

(100-х)*0,55

Смесь

100

50% = 0,5

100*0,5

II. Основание для уравнения:

Объём кислоты смеси равен сумме объёмов кислоты в растворах.

III. Уравнение: 0,3*x + 0,55*(100-x) = 50

IV. Решение уравнения даёт x = 20

Тогда U₁ =20 л; U₂ =80 л

V. Проверка: 0,3*20+0,55*80 = 6 + 44 = 50(л) - кислоты

О т в е т: 20 л; 80 л.

Задача 28. Сплав меди с цинком, содержащий 5 кг цинка, сплавлен с 15 кг цинка. В результате содержание меди в сплаве понизилось по сравнению с первоначальным на 30%. Найти первоначальную массу сплава.

Решение.
I. Условие.

Процессов - два: первоначальный сплав, второй сплав с добавлением 15 кг цинка. Величины: масса сплава т_с кг, масса меди т_м кг, процент содержания меди а %. Формула зависимости

; .

х кг - масса первоначального сплава

(х - 5) кг - масса меди

- процент содержания меди

(х+15) кг - масса сплава после прибавления 15 кг цинка

Масса меди осталась та же.

100% - процентное содержание меди

II. Основание для уравнения:

больше100 % на 30 %

III. Уравнение:

-100 = 30

IV. Решение:

После преобразований:

х² -35*х + 250 = 0; х₁=25, х₂ =10

V. Проверка:

Подставляем значения х во все составленные алгебраические выражения и убеждаемся, что оба значения удовлетворяют условию задачи.

О т в е т: 25 кг или 10 кг.

Задачи для самостоятельного решения

29. Морская вода содержит 8% (по весу) соли. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы содержание соли в последней составило 5%?

30. В сосуде было 20 литров спирта. Часть этого спирта отлили, а сосуд долили водой. Затем отлили столько же литров смеси и опять долили водой. После этого в сосуде оказалось чистого спирта втрое меньше, чем воды. Сколько спирта отлили в первый раз?

31. Имеются 2 раствора соли в воде, первый 40%-ный, второй 60%-ный. Их смешали, добавили 5 кг волы и получили 20%-ный раствор. Если бы вместо 5 кг воды добавили 5 кг 80%-ного раствора, то получился бы 70%-ный раствор. Сколько было 40%-ного и 60%-ного растворов?

32. В двух сплавах медь и цинк относятся как 5:2 и 3:4 (по весу). Сколько нужно взять килограммов первого сплава и сколько второго, чтобы после переплавки получить 28 кг нового сплава с равным содержанием меди и цинка?

33. Из сосуда, содержащего 54 литра чистой кислоты, вылили несколько литров и после этого долили сосуд водой до прежнего объема. Затем из сосуда вылили смеси столько же литров, как и в первый раз. В результате в смеси, оставшейся в сосуде, стало чистой кислоты 24 литра. Сколько кислоты вылили в первый раз?

34. Сосуд емкостью 12 литров наполнен кислотой. Из него выливают некоторое количество кислоты во второй сосуд такой же емкости, и второй сосуд дополняют водой. Теперь смесью из второго сосуда дополняют первый сосуд. Затем из первого сосуда переливают четыре литра во второй, после чего в обоих сосудах чистой кислоты (в растворах) оказывается одинаковое число литров. Сколько кислоты первоначально перелито из первого сосуда во второй?

О т в е т ы к задачам для самостоятельного решения:

29. 18 кг. 30. 10л. 31. 1л; 2л. 32. 7 кг; 21 кг. 33. 18л. 34. 6л.

Разные задачи на проценты.

Среди задач на проценты наиболее интересными являются задачи на смеси и растворы, задачи на банковские проценты; задачи на прибыль, задачи на «усушку» продуктов. «Коварными» порой оказываются небольшие по условию задачи на сравнение каких-то величин в их процентном соотношении.

1. Задачи на сравнение величин в процентном соотношении.

Задача 1. Одно число 3,5, а второе 1,75. На сколько процентов первое число больше второго и второе меньше первого?

Указание: Важно помнить, что за 100% следует принять в каждом из случаев то число, с которым производится сравнение.

Решение. Понятно, что для ответа на первый вопрос за 100% принимается второе число. Тогда первое составит 200%, т. к. больше второго в 2 раза. Значит, первое число больше второго на 100%.

Во втором случае, если за 100% принять первое число, то второе составит от него 50%. т. е. второе число меньше первого на 50%.

О т в е т: на 100% и на 50%.

Задача 2. Производительность труда в январе увеличилась на 10%, а в феврале снизилась на 10%. Как изменилась производительность труда в итоге по сравнению с первоначальной?

Решение. Пусть начальная производительность труда была х, тогда после повышения ее на 10% в январе она составила 110% или 1,1 х.

После снижения в феврале на 10% производительность составит 90% от сформированной в январе и будет равна 0,9*1,1 х = 0,99 х, откуда следует, что она составляет 99% от первоначальной производительности, т. е. уменьшилась по сравнению с ней на 1%.

О т в е т: на 1% уменьшилась производительность труда в итоге.

2. Задачи на «банковские» проценты.

Напомним, что банковские проценты могут быть простыми и сложными.

В первом случае процент начисляется каждый раз на начальную сумму, а во втором - на сформированную к моменту начисления сумму.

Задача 3. Банк начисляет ежегодно 10% к имеющейся на вкладе сумме. Какую сумму будет иметь вкладчик через 3 года, если его начальный взнос составил 3000 рублей?

Решение. Согласно формуле (1) сумма на вкладе через 3 года станет

3000 * 1,1³ = 3993 (pуб)

Примечание. Если бы банк начислял «простые» проценты (формула 2), то сумма на вкладе через 3 гола была бы 3000 + 3000 * 0,1 * 3 = 3900 (руб).

О т в е т: 3993 рублей.

3. Задачи на «усушку»

Рассмотрим 2 задачи.

Задача 4. На склад привезли одну тонну свежих огурцов, влажность которых была 99%. В результате хранении влажность изменилась и стала 98%. Как изменилась масса огурцов?

Задача 5. Свежие грибы содержат 90% влаги, сушеные - 12%. Сколько сушеных грибов получится из 10 кг свежих?

При решении обеих задач важно определиться с величиной, которая не меняется при различном содержании влаги. Нетрудно догадаться, что неизменной в обоих случаях остается масса «сухого» продукта, т. е. продукта, в котором абсолютно отсутствует вода («сухие» огурцы в первом случае и «сухие» грибы - во втором).

Итак, решим сформулированные задачи.

Решение задачи 4. Т. к. влажность завезенных на базу огурцов составляла 99%, значит на «сухой» огурец приходится 1%, или 10 кг от 1 тонны привезенных.

В результате хранения влажность огурцов стала 98%, значит на «сухие» огурцы приходится 2% (или 0,02 от всей массы).

Получаем:

10 кг - 0,02

х кг - 1 (или 100 %),

откуда х = = 500

Итак, масса огурцов стала 500 кг, что составляет 50% от начальной.

О т в е т: Масса огурцов уменьшилась на 50%, или в 2 раза.

Решение задачи 5. В свежих грибах влажность составляет 90%, значит, на «сухой» гриб приходится 10%. Поэтому в 10 кг свежих грибов содержится 10 * 0,1 = 1 кг сухой массы.

1 кг сухой массы в сушеных грибах составляет 88% (так как влажность в сушеных грибах 12%).

Тогда 100% сушеных грибов будет иметь массу или 1 кг. О т в е т: 1кг сушеных грибов получится из 10 кг свежих.

4. Задачи на прибыль.

При решении задач этого класса следует помнить, что под прибылью мы понимаем разность между первоначальной стоимостью товара и новой стоимостью его после «накрутки» или каких-то изменений.

Задача 6. Книжный магазин продал книгу со скидкой 10% с назначенной цены и получил при этом 8% прибыли. Сколько процентов прибыли первоначально полагал получить магазин?

Решение. Пусть S руб - это цена книги, по которой ее закупил магазин;

х % - запланированная магазином прибыль;

S + 0,01х* S = S(1+ 0,01 х) - назначенная магазином цена книги.

Так как книга была продана со скидкой в 10%, то ее цена составляет 0,9* S(1+ 0,01х) руб. Прибыль магазина при продаже книги равна (0,9 *S(1 + 0,01x) - S)pyб. и составляет 8% от S, т.е. 0,08 S. С учетом этого условия составим уравнение:

0,9 * S (1 + 0,01х) - S =0,08S

Решим уравнение, разделив обе части его на S.

1 + 0,01 х = 1,2

х = 20

О т в е т: Запланированная магазином прибыль составляет 20%.

Задача 7. До снижения цен туфли стоили 960 рублей. Когда же цена на эти туфли снизилась, количество покупаемых туфель увеличилось на 20%, поэтому выручка от продажи увеличилась на 10%. На сколько рублей была снижена цена на туфли?

Решение. Искомую величину снижения цены обозначим за х руб. Условие задачи удобно записать в виде таблицы.

Цена (в рублях)

Количество

проданных пар

Выручка (в рублях)

До снижения

960

п

960 п

После снижения

960 - х

1,2 п

(960 - х)*1,2 п

Зная, что выручка после снижения цены увеличилась на 10%, т. е. составляет 1,1 * 960 п, составим уравнение (960 - х) * 1,2 п = 1,1 * 960 п

Решим это уравнение:

(960 - х) * 1,2 п = 1,1 * 960 |:(1,2п)

960 - х = 880

х = 80

О т в е т: Цена туфель снизилась на 80 рублей.

Задача 8. Цена товара была снижена на 50%. Зарплата сначала увеличилась на 20%, а потом новая зарплата увеличилась еще на 25%. На сколько процентов больше можно купить товара после снижения цены и повышения зарплаты?

Решение. Запишем краткое условие задачи в виде таблицы.

Цена (в рублях)

Зарплата (в рублях)

Количество купленного товара

До снижения

Р

N

1,2 N

После снижения

0,5 Р

1,25 *1,2 N

Упростив последнее выражение, получим , что составляет 300% в сравнении с первоначальным количеством проданного товара.

Тогда увеличение реализации товара составляет 200%.

О т в е т: После изменений количество купленного товара увеличилось на 200%.

Задача 9. За первый месяц работы магазина дневная выручка увеличилась на Р процентов, а за второй месяц - еще на (Р + 50) процентов. Определить Р, если известно, что за два месяца дневная выручка возросла в обшей сложности втрое.

Решение. Иногда, а возможно в большинстве случаев, когда проценты выражены не в числовом значении, выгодно, пользуясь определением процента, записать их в виде сотых долей. Заменим Р % на 0,01Р и обозначим 0,01Р = Р₁, тогда 0,01(Р + 50) = Р₁ + 0,5. Обозначив первоначальную ежемесячную выручку за S рублей, выразим выручку в последующие два месяца:

Выручка

I месяц

S + P₁S = S(1+P₁)

II месяц

S(1+P₁)+(P₁+0,5)*S(1+P₁)= S(1+P₁)(1,5+ P₁)

Зная, что выручка в конце второго месяца увеличилась втрое в сравнении с первоначальной, составим уравнение:

S(1+P₁)(1.5+ P₁)=3S |:S

P₁² + 2,5P₁ - 1,5 = 0

2 P₁²+ 5P₁ - 3 = 0

Решив уравнение, получим два корня уравнения P _1,1 = 0,5 и P_1,2 =-3.

Р_1,2 = -3 не удовлетворяет условию задачи. Решением является P₁ =0,5, что составляет 50%.

Действительно, если первоначальная выручка составляла S рублей, в конце

первого месяца она стала 1,5*S рублей. Во втором месяце выручка увеличилась по условию задачи на 50%+ 50%= 100%, т. e. составила 3S руб. Эта проверка убеждает нас в правильности решения.

О т в е т: Р = 50%.

Задача 10. Цена на товар была повышена на 25%. На сколько процентов надо теперь ее снизить, чтобы получить первоначальную цену?

Решение. Краткое условие этой задачи удобно записать в виде схемы.
1,25 S рублей

+ 25 % -х % от 1,25 S

S рублей S рублей

Тогда уравнение может быть составлено следующим образом:

1,25 S - 0,01 х * 1,25 S = S

1,25 S (1 - 0,01 х) = S |:1,25 S0

1 - 0,01 х = 0,2

х = 20

О т в е т: Новую цену следует снизить на 20%.

Задача 11. После снижения цен на 5% стоимость одного метра ткани стала равна 380 рублей. Сколько стоил один метр ткани до снижения цены? Решение. Эту задачу удобно решить, составив пропорцию:

х рублей - 100%

380 рублей - 95%

х =

х = 400.

О т в е т: До снижения цена 1 метра ткани составляла 400 рублей.

Задача 12. Ежемесячный прирост количества выпущенной предприятием продукции составляет 10% по сравнению с предыдущим месяцем. На сколько процентов увеличится выпуск продукции на этом предприятии за три последовательные месяца?

Решение. Обозначив первоначальный выпуск продукции за S, запишем краткое условие задачи:

I месяц

S + 0,1 S = 1,1 S

II месяц

1,1S + 0,01 * 1,1S = 1,1S*1,1 = (1,1)²S

III месяц

(1,1)³S = 1,331S

1,33 S - S = 0,331S, что составляет 33,1 %.

О т в е т: Выпуск продукции увеличился на 33,1%

Задачи для самостоятельного решения

1. Себестоимость продукции повысилась сначала на 10%, а затем понизилась на 20%. На сколько процентов понизилась себестоимость продукции?

2. На сколько процентов увеличится произведение двух чисел, если одно из них увеличилось на 20%, а другое на 40%?

3. Антикварный магазин, купив два предмета за 225 рублей, продал их, получив 40% прибыли. За какую цену был куплен магазином каждый предмет, если при продаже первого предмета было получено 25% прибыли, а второго - 50%?

4. Вкладчик положил на счет 8000 рублей. За один год банк начислил 14% годовых, а за второй банк начислил на новую сумму 18% годовых. Какова сумма вклада через 2 года?

5. В течение года завод трижды уменьшал выпуск продукции на одно и то же число процентов. Найти это число, если известно, что общий процент снижения после трех изменений составил 65.7%.

6. Цена товара снижена на 40%, а зарплата дважды увеличивалась на 20%. На сколько процентов больше можно купить товара после снижения цены и повышения зарплаты?

7. Комиссионный автомагазин продал автомобиль со скидкой 25% с назначенной цены и получил при этом 5% прибыли. Сколько процентов прибыли первоначально полагал получить магазин?

8. Но сколько процентов увеличится сумма, вложенная на 5 лет в банк, начисляющий 20% годовых?

9. Рабочий день уменьшился с 8 часов до 7. часов. На сколько процентов нужно повысить производительность труда, чтобы количество выпускаемой продукции увеличилось на 5%?

10. В одном банке вклад в 125 тысяч рублей за год принес 8750 рублей чистого дохода, а в другом вклад в 108 тысяч рублей - 8640 рублей. В каком банке процентная ставка выше?

11. Рабочий четвертого разряда зарабатывает на 25% больше, чем рабочий третьего разряда. На сколько процентов меньше, чем рабочий четвертого разряда, зарабатывает рабочий третьего разряда?

12. Из 22 кг свежих грибов получается 2,5 кг сухих грибов, содержащих 12% воды. Каков процент воды в свежих грибах?

13. На овощной базе имелся крыжовник, влажность которого составляла 99%. За время хранения его влажность уменьшилась на 1% (стала 98%). На сколько процентов уменьшилась масса хранившегося на базе крыжовника?

14. На первом поле 65% площади засеяно овсом. На втором поле под овсом занято 45% площади. Известно, что на первом и втором полях вместе под овсом занято 53% общей площади. Какую часть всей засеянной площади составляет первое поле?

15. Число 51,2 трижды увеличивали на одно и то же число процентов, а затем трижды уменьшали на то же самое число процентов. В результате получилось число 21,6. На сколько процентов увеличивали, а затем уменьшали это число?

16. Кооператив на изготовляемые им изделия первоначально назначил цену выше государственной на определенное число процентов. Через некоторое время кооператив уценил изделия на то же число процентов, в результате цена изделий стала на 1% меньше государственной. На какое число процентов кооперативная цена первоначально превышала государственную?

17. Брат и сестра нашли вместе 36 белых грибов. Известно, что количество процентов, выражающее, на сколько брат собрал больше, чем сестра, в два раза больше, чем количество процентов, выражающее, на сколько сестра собрала меньше, чем брат. Сколько грибов нашел брат и сколько нашла сестра?

18. Имеется два слитка, представляющие собой сплавы цинка с медью. Масса первого слитка 2 кг, масса второго - 3 кг. Эти два слитка сплавили вместе с 5 кг сплава цинка с медью, в котором цинка было 45%, и получили сплав цинка с медью, в котором цинка стало 50%. Если бы процентное содержание цинка в первом слитке было бы равно процентному содержанию цинка во втором, а процентное содержание цинка во втором такое же, как в первом, то, сплавив эти два слитка с 5 кг сплава в котором содержится 60 % цинка, мы бы получили сплав, в котором цинка содержится 55 %. Найдите процентное содержание цинка в первом и втором слитках.

19. Имеется два разных сплава меди со свинцом. Если взять 1 кг первого сплава и 1 кг второго сплава и переплавить их, то получится сплав с содержанием 65% меди. Известно, что если взять два куска - кусок № 1 и кусок №2 первого и второго сплавов соответственно, имеющих суммарную массу 7 кг,- и переплавить их, то получится сплав с содержанием 60% меди. Какова масса меди, содержащаяся в сплаве, получающемся при совместной переплавке куска первого сплава, равного по массе куску №2, и куска второго сплава, равного по массе куску №1?

20. Имеется два слитка сплавов золота и меди. В первом слитке отношение золота к меди равно 1:2, а во втором 2:3. Если сплавить 1/3 первого слитка с 5/6 второго, то в получившемся слитке окажется столько золота, сколько было бы в первом меди, а если 2/3 первого слитка сплавить с половиной второго, то в получившемся слитке окажется меди на 1 кг больше, чем было золота во втором слитке. Сколько золота в каждом слитке?

21. Имеется три вида сплава. Первый сплав содержит 60% алюминия, 15% меди и 25% магния, второй - 30% меди и 70% магния, третий - 45% алюминия и 55% меди. Из них необходимо приготовить новый сплав, содержащий 20% меди. Какое наименьшее и какое наибольшее процентное содержание алюминия может быть в этом новом сплаве?

22. Две трубы, работая одновременно, подают в бак 100л жидкости в минуту. Имеются два раствора кислоты - сильный и слабый. Если смешать по 10л каждого раствора и 20л воды, то получится 40л 20%-ного раствора. Известно также, что если в течение часа подавать в первоначально пустой бак по первой трубе слабый раствор, а по второй - сильный раствор ,то получится 30%-ный раствор кислоты. Какой концентрации получится кислота, если подавать в первоначально пустой бак по первой трубе сильный раствор, а по второй - слабый?

23. Через 40 мин после выезда из пункта А автомобиль увеличил свою скорость на 20% и прибыл в пункт В. При этом оказалось, что на вторую половину пути он затратил на 6 мин меньше времени, чем на первую половину пути. За какое время автомобиль проехал путь от А до В?

24. В сосуде находится определённое количество смеси воды с кислотой. Чтобы уменьшить концентрацию кислоты на 34 % (было р %, а стало

(р - 34)%), в сосуд надо долить 3 л воды, а чтобы уменьшить её на 17 %, надо долить 1 л воды. Какова концентрация кислоты в сосуде?

25. Имеется три слитка: первый слиток - сплав меди с никелем, второй - никеля с цинком, третий - цинка с медью. Если сплавить первый кусок со вторым, то процент меди в получившемся слитке будет в 2 раза меньше, чем он был в первом слитке. Если сплавить второй слиток с третьим, то процент никеля в получившемся слитке будет в 3 раза меньше, чем он был во втором слитке. Какой процент цинка будет содержать слиток, получающийся при сплаве всех трёх слитков, если во втором слитке было 6% цинка, а в третьем - 11 %?

О т в е т ы к задачам для самостоятельного решения:

1. На 12%. 2. На 68%. 3. 90 руб.; 135 руб. 4. 10761,6 руб. 5. 30%.

6. На 260%. 7. 40%. 8. На 149%. 9. 5%. 10. Во втором. 11. На 20%. 12. 90 %. 13. На 50 %. 14. 2/5. 15. На 50 %. 16. На 10%. 17. 24 и 12. 18. 40% и 65%. 19. 4,9 кг. 20. 1,2 кг; 2,4 кг. 21. От 15% до 40%. 22. 50%. 23. 70 минут. 24. 68%. 25. 7%.