Ребенку подумать - это далеко не такое простое дело, как кажется с первого взгляда. (В.А.Сухомлинский)

1.Предисловие

Умение правильно (логически) мыслить и рассуждать, делать верные выводы необходимо в любой области человеческой деятельности: науке и технике, юстиции и дипломатии, в военном деле и лингвистике, в математике и просто в повседневной жизни. Ведь человек постоянно совершает какие - то поступки, выполняет действия, которые должны быть направлены во благо себе и окружающим. И все это требует логического мышления. Умению логически мыслить человек учится всю жизнь, как и ходить, разговаривать, писать. Еще в четвертом столетии до нашей эры выдающийся греческий мыслитель Аристотель сформулировал основные правила и законы логики. Позже появилась специальная наука логика. Логическое мышление - это умение выводить следствия из данных предпосылок, умение теоретически предсказать конкретные результаты, обобщать полученные выводы.

Развитие логического мышления вносит свой вклад в эстетическое воспитание учащихся. Восприятие красоты, утонченности математических суждений; четкого, исчерпывающего, лаконичного высказывания мыслей; уверенности в суждениях, формирование умений абстрагироваться от конкретного содержания и сосредоточия на структуре своей мысли, развития интуиции. Овладев знаниями и навыками логического мышления, учащиеся всегда могут понятно высказывать свои мысли, исключая расплывчивость в разговоре, неоднозначность в составлении деловых бумаг, безсистемность в обработке информации.

Д.Пойа сказал: «Что значит владение математикой? Это есть умение решать задачи, причем не только стандартные, но и требующие известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности, изобретательности».

В данном пособии познакомимся с некоторыми приемами, схемами рассуждений, которые помогут находить правильные ответы. Это софизмы и задания на выявление закономерностей, а также задачи, сказки, составленные учащимися нашей школы.

^. 2.ВЫЯВЛЕНИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ

Ах, алгебра? Вот это да!

Но для кого сия задача?

Решает, значит, кто охоч!

В.Михайловский

В.А.Сухомлинский писал: «Интерес к учению появляется только тогда, когда есть вдохновение, рождающееся от успеха к овладению знаниями… Усидчивость я бы назвал вдохновением, помноженным на уверенность ребенка в том, что он достигнет успеха». Усидчивость нужна при решении логических задач.

Логическое мышление требует умения анализировать ситуации, находить особенности, закономерности. В следующих заданиях необходимо внимательно просмотреть задания, установить закономерность и ответить на поставленный вопрос.

Пример 1. Найти закономерность и продолжить ряд:1,7,2,7,3,7..

Решение. На четных местах стоит число 7, а на нечетных натуральный ряд чисел 1,2,3…Следовательно, следующие два числа 4,7.

Задания.

1.Допишите два числа, если числа в последовательности подобраны по определенному правилу:

1

3,6,9,12,15,18…

6

6,9,12,13,16,17…

2

27,27,23,23,19,19…

7

2,5,10,17,26,37…

3

22,19,17,14,12,9…

8

21,18,16,15,12,10…

4

8,9,12,13,16,19…

9

3,6,8,16,18,36…

5

1,2,4,8,16,32…

10

1,2,3,5,6,7,9,20,11…

2

^{2.Вставьте пропущенное число: а) 10,12,14,?,26,42;}

⁹

⁴

¹

⁶

⁶

²

¹

⁹

^?

^{Ответы: 1. 1 .2;2 2. 15;15 3.7;4 4 .20;21 5.64;128 6.20;23 7.50;65 8.9;6 9.38;16 10.17;18. 2. а)18. Указание: г) 4; сумма в каждой строке равна 14}

3.Найти неизвестное слово:

а) 3х-1=215 25-х=4 71

4х+3=63 70-3х=-80 10

кинжал жало ?

б) аул 8-3х=2 баул

тройка 47-х=28 стройка

рафик 8х-3=29 ?

в) ствол 3х-1=8 стол

стишок -3 ?

г) степень х пень

бантик (х-4)(х-5)=0 ?

д)

лира ?

4.Найти неизвестную букву

а) и

?

б) макет камин мак

?

в) 5

кора звено ?

5.Найти неизвестное число:

а) 5х-8=27 49-7х=28 37

8х+1=17 8-3х=5 12

1-5х=-4 9х-1=35 ?

б) герань грань 4х-5=3

батрак барак 28-7х=7

осечка сечка 9х-1=?

в) х²+5ху 16

3х-у² -10

х+у ?

6.Найти неизвестное выражение:

а) профессионально- техническое ПТУ

училище

?

б) 345 3,45*10²

(а³-2а-1)(а+3) ?

в) 3ав⁷ 27а ³в²¹

3а-2в ?

г) начало дня утро

(а-в)(а+в)(а²+в²)+в⁴ ?

д) 3*10²⁹ 4*10¹⁵ 7,5*10¹³

30а⁸вс² 70а⁵вс ?

е) 3а³в 81а¹²в⁴

-5 -1

2ав⁷ ?

-2 1

Ж) 8 14

18а⁵в 24ав⁴ ?

Ответы.№3. а) кино; б)график; в) сок; г) бант; д) мир.

№4.а)г; б)к; в)о.

№5. а) 41; б) 8; в)6.

№6 а) ;б)а⁴+3а³-7а-3; в) 9а²-12ав+4в²; г) а⁴; д) ; е) 8а³в²¹; ж)

7.Заметив закономерность в последовательности чисел, продовжите ее:

а)1*9+2=11 б) 9*9+7=88

12*9+3=111 98*9+6=888

123*9+4=1111 987*9+5=8888

1234*9+5=11111 и т.д.

8. Какая функция лишняя:у=х²+2х-8; у=х³-3х; у=х²+2; у= 12-4х-х² ?

9. Продолжить последовательность: у=х²-2х+3; у=2х²+3х+2; у=3х²-4х+1;

у=4х²+5х; у=5х²-6х-1; у=

10.Какое уравнение следующее в данной последовательности:

а) Х²+х+2=0; Х²+2х+3=0; Х²+3х+4=0; …

б) Х²+х+1=0; Х²+х+2=0; Х²+2х+3=0; Х²+3х+5=0; Х²+5х+8=0; …

11. Какая функция следующая в данной последовательности:

а)у=; у=; у=х²; у=(х+1)²; у=х³; …

б) у=х; у=х+1; у=; у=+1; у=х²; у=…..

в) у=х; у=2х²; у=8х⁴; у=128х⁸; у=…

12.Какая функция пропущена: у=х²; у=(х+1)²+4;

У=х; у=?

13.Какая функция в списке лишняя: у=х; у=х²; у=; у=х³; у=2х?

14. Какое уравнение лишнее: х²+4х+5=0; х²+5х+6=0; х²+6х+7=0; х²+7х+8=0?

15. Вставьте пропущенное число: 100

?

3. Софізми.

Не все у світі просто, але є

Якась закономірність саме в тому,

Що істина раптово постає

Крізь ліс ускладнень, в самому простому.

В.Коротич.

Видатний фізіолог, творець науки про вищу нервову діяльність, лауреат Нобелівської премії в галузі медицини І.П.Павлов зазначав,що «правильно зрозуміла помилка - це шлях до відкриття». Чим можуть послугувати софізми для тих, хто вивчає математику? Розбір софізмів, перш за все, розвиває логічне мислення, допомагає усвідомленому засвоєнню математичного матеріалу, розвиває спостережливість, вдумливість, критичне ставлення до матеріалу, що вивчається. Нарешті, розбір софізмів захопливий. Приємно знайти помилку і відновити істину. Пропонуємо декілька завдань, які можна використати і на уроках, і в позакласній роботі.

1.Довести, що 3=5.

Перший спосіб.

Маємо очевидну рівність: 25-15-10=15-9-6, звідки 5(5-3-2)=3(5-3-2), або 5=3.

Другий спосіб.

6х+15=10х+25. Виносимо спільний множник за дужки, маємо:3(2х+5)=5(2х+5),

Звідки 3=5. Скоротили на 2х+5.

(Помилка : ділення на нуль заборонено)

3. Довести софізм 2*2=5.

Доведення.

Перший спосіб.

Маємо правильну числову рівність 4:4= 5:5. У лівій і правій частині винесемо спільний множник, маємо 4(1:1)= 5(1:1),або 4*1=5*1, звідки 4=5.

(Помилка під час винесення спільного множника).

4. Довести, що будь - яке число дорівнює його половині.

Доведення. Візьмемо два рівних числа а=в. Помножимо їх на а і від добутку віднімемо в². Дістанемо а²-в²=ав-в², або (а-в)(а+в)=в(а-в), звідки а+в=в або а+а=а, оскільки а=в. Отже, 2а=а, а=d.

(Помилка . Ділення на 0, бо за умовою а=в, отже, а-в=0).

5.Розвязування рівняння х-1=2.

Помножимо обидві частини рівняння на вираз (х-5):

(х-1)(х-5)=2(х-5). Розкриємо дужки, зведемо подібні: х²-6х+5=2х-10.

Доданки х та -7 перенесемо в ліву частину рівняння: х²-7х+12=х-3.

Ліву частину рівняння розкладемо на лінійні множники: (х-4)(х-3)=х-3.

Поділимо на х-3: х-4=1, корінь рівняння число 5. Але це не так.

(Помилка. При множенні на х-5 добавили зайвий корінь. Коренем рівняння є число 3, отже, ділили на 0).

6. Переглядаючи науково-популярний журнал, учень натрапив на повідомлення про різні вдосконалення в роботі парової машини, кожне з яких, незалежно від інших, давало значну економію пального. Перше вдосконалення мало дати 40% економії, друге 35%, третє - 25%.

- Ура! - вигукнув учень. - Нарешті винайдено вічний двигун. Прийнявши всі три пропозиції, дістанемо 100% економії пального: 40%+35%+25%=100%. А це означає, що парова машина буде працювати без пального, тобто, стане вічним двигуном. Чи справді це так?

Розв'язання. Нехай машина потребує 100кг пального, тоді 40% - це 40кг економії, пального потрібно 60кг 35% від 60кг - це21кг, маємо 39кг, нарешті 25% від 39кг 0,25*39=9, 75кг економії. Після трьох пропозицій потрібно було б витрачати 39-8,74=29,25кг пального. Тому економія після трьох пропозицій становитиме 70,75кг.

Стародавні задачі.

7. Куди поділася 1копійка?

Дві селянки продавали яблука, кожна по 30 штук. Перша продавала за 1копійку два яблука, а друга за 1 копійку 3 яблука. Перша вторгувала 15коп, а друга 10коп. якось друга селянка не змогла поїхати на базар і попросила першу продати її яблука. Та продавала 5 яблук за 2коп, оскільки вона за 1коп продавала свої 2 яблука, а її сусідка - за 1коп 3 яблука. У першої селянки було 60коп. вона зробила 12 купок по 5 яблук, продавала кожну за 2коп і була здивована, що вторгувала не 25коп, а тільки 24коп. куди поділася 1коп?

7. Де схитрував мудрець?

Один мудрець, щоб переїхати на своєму коні через кордон,який переходити з кіньми заборонялося, застосував у розмові з прикордонником такі міркування:

Кінь може бути рудим. Білий кінь не може бути рудим. Отже, білий кінь не є конем. Прикордонник так був вражений правдоподібністю цього умовиводу, що пропустив хитрого мудреця через кордон. Де схитрував мудрець?

Розв'язання. У першому реченні софізму йдеться про підмножину множини коней, а в останньому про всю множину коней. Таким чином, у міркуваннях допущено помилку, яка й зумовила неправильний висновок.

7. Все числа равны между собой"

Возьмем два произвольных неравных между собой числа а и b и запишем для них очевидное тождество:

а-2ab+b= b-2ab+ а

Слева и справа стоят полные квадраты, т. е. можем записать

(а-b)² = (b-а)². (1)

Извлекая из обеих частей последнего равенства квадратный корень, получим:

a-b = b-a (2)

или 2а = 2b, или окончательно

a=b.

7. "Единица равна двум"

Простым вычитанием легко убедиться в справедливости равенства

1-3 = 4-6.

Добавив к обеим частям этого равенства число , получим новое равенство

1-3 + = 4-6+,

в котором, как нетрудно заметить, правая и левая части представляют собой полные квадраты, т. е.

(1-)=(2-)

Извлекая из правой и левой частей предыдущего равенства квадратный корень, получаем равенство:

1-=2-

откуда следует, что

1=2.

Комментарий.

По определению представляет собой некоторое неотрицательное число, которое, будучи возведено в квадрат, даст х². Ясно, что этому определению удовлетворяют два числа, а именно х и -х. Итак, если число х неотрицательно (х>0), то =х; если же число х отрицательно, т. е. число -х положительно, то = - x. Отсюда заключаем, что (свойство арифметического квадратного корня), что не учитывается в содержании этих софизмов и приводит к ложным выводам.

Но все же самой популярной ошибкой в софизмах является "Деление на 0". "Деление на нуль является одним из наиболее распространенных источников ошибок при проведении преобразований различных выражений и при решении уравнений. "Сокращение" уравнений на общий множитель зачастую приводит либо к потере корней уравнения, либо к приобретению посторонних корней, либо вообще к бессмыслице."

Предупредить ошибки подобного рода поможет рассмотрение софизмов. Например при изучении темы "Преобразования многочленов" в 7кл.

7. "Неравные числа равны."

Возьмем два неравных между собой произвольных числа а и b. Пусть их разность равна с, т. е. а-b = с. Умножив обе части этого равенства на а-b, получим

(а-b)² = = c(a-b),

раскрыв скобки, придем к равенству a²-2ab + b² = = ca-cb,

из которого следует равенство а²- аb - ас = аb -b² -bc.

Вынося общий множитель а слева, и общий множитель b справа за скобки, получим

а(а-b-с) = b(а-b-с). (1)

Разделив последнее равенство на (а-b-с), получаем, что

а=b,

другими словами, два неравных между собой произвольных числа а и b равны.

Разбор софизма: Здесь ошибка совершена при переходе от равенства (1) к равенству а = b. Действительно, согласно условию разность двух произвольных чисел а и b равна с, т. е. а-b = с, откуда а-b-с = 0. Можно записать равенство (1) в виде а-0= b-0. Переход от равенства (1) к равенству а = b осуществляется путем деления обеих частей (1) на равное нулю число а-b-с = 0. Следовательно, здесь мы имеем деление нуля на нуль, которое не имеет смысла, поскольку равенство а0 = b0 выполняется при любых а и b. Поэтому вывод, сделанный в софизме, что числа а и b равны, неверен

12. «Катет равен гипотенузе»

Дано: С =90˚
ВД - биссектриса угла СВА A
СК = КА
ОК перпендикулярна СА
О - точка пересечения прямых СOК и ВД
ОМ перпендикулярна АВ Д К
ОL перпендикулярна ВС
Имеем: LВО = МВО, OO
ВL = ВМ,
ОМ = ОL = СК = КА,AB С B
КОА= ОМА (ОА - общая сторона, КА = ОМ, угол ОКА и угол ОМА - прямые),
ОАК = МОА, ОК = МА = СL, ВА = ВМ + МА, ВС = ВL + LС,
ВМ = ВL, МА = СL, ВА = ВС.
Где ошибка?

13.«Внешний угол треугольника равен внутреннему, не смежному с ним» Рассмотрим четырехугольник ABCD, такой, в котором 14. Через точку, лежащую вне прямой, к этой прямой можно провести два перпендикуляра.
С этой целью возьмем ∆АВС. На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности.
Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной АС в точках Е и D.
Соединим точки Е и D прямыми с точкой В. Угол АЕВ - прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр, угол ВDC также прямой.
Следовательно, ВЕ║АС и ВD║АС.
Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС.
В чем ошибка?
15. Все треугольники равносторонние.
Рассмотрим ∆ABC. Проведем биссектрису угла B и серединный перпендикуляр к стороне AC; точку их пересечения назовем O. Опустим из нее перпендикуляры EO и OF на стороны AB и BC соответственно. Т.к. DO одновременно и высота, и медиана треугольника AOC, то он равнобедренный и AO = OC. Т.к. BO - биссектриса, то, из равенства треугольников EBO и OBF (откуда EB = BF), EO = OF. Следовательно, треугольник AEO равен треугольнику FCO, т.е. AE = FC. Отсюда, т.к. AB = AE + EB и BC = BF + FC, AB = BC. Проведя такое же рассуждение для основания не AC, а, например, AB, получим, что BC = CA. Из этого следует, что все треугольники на свете - равносторонние. В частном случае, если треугольник прямоугольный, то катеты равны гипотенузе. В чем ошибка?
16. «В любой окружности хорда, не проходящая через её центр, равна её диаметру". В окружности проводим диаметр АВ и хорду АС. Через середину D этой хорды и точку В проводим хорду BE. Соединив точки С и Е, получаем ∆ ABD и ∆CDE. Углы ВАС и СЕВ равны как вписанные в одну и ту же окружность, опирающиеся на одну и ту же дугу; углы ADB и CDE равны как вертикальные; стороны AD и CD равны по построению. Отсюда, ∆ABD = ∆CDE (по стороне и двум углам). Но стороны равных треугольников, лежащие против равных углов, сами равны, а потому АВ=СЕ т. е. диаметр окружности оказывается равным некоторой (не проходящей через центр окружности) хорде.

«Так, математика - це моя давня любов, найвірніша моя кохана»,-

писав Даламбер.

Ці слова я можу сказати і про себе. Математика для мене не просто наука, вона трішки схожа на музику, на літературу, мова яких теж складається з символів зі строго зафіксованими значеннями.

Кожен з нас хотів би мислити логічно, але як цього досягти? Кожна людина, яка хоче правильно міркувати,повинна знати форми мислення, його логічний устрій, закони сполучення і зв'язок думок у міркуванні. То ж я працюю над собою, намагаюся поєднати мову і математику.

На уроках математики ми не просто розв'язуємо задачі, але й складаємо казки, задачі, ребуси. Мені подобаються математичні казки, бо вони вимагають знань властивостей геометричних фігур, законів алгебри та арифметики. (Дана Грибаускас, 8-Б клас)

^{4.Сказки, задачи, составленные учениками нашей школы.}

.

Собчук Андрей.

Жило - было уравнение.. Но однажды из него внезапно исчез Х. Части уравнения были очень взволнованы и сразу же отправились на поиски. Оказалось, что Икса похитил царь Минус. В пути друзей ждали преграды в виде ребусов и загадок. Но ради друга они со всеми заданиями успешно справились. И вот ребята оказались в царстве Минуса. Благодаря хорошим знаниям и крепкой дружбе они победили злого царя и вернули Икса. Все встало на свои места. Теперь ученики могут спокойно решать уравнения.

Задания царя Минуса.

У неё есть знаменатель и числитель. Кто она?

1-1/2=?;

Как из 666 сделать 999?

Шестая часть 36?Как 1888 разделить, чтобы получилась единица?

Жило - было уравнение. Оно жило в лесу. Однажды шестиклассник Саша пошел в лес и заблудился. И тут он оказался в сказке! К вечеру он очутился на краю какого - то оврага. Оглянулся - никого. И тут он услышал злорадное хихиканье.

- Что? Попался, голубчик! Сейчас я заставлю тебя решать мои любимые уравнения, а не то -в клетку, как вон того, лентяя.

С уравнениями у Саши действительно было не все в порядке, но тут голова его стала ясной, как никогда. От испуга он все вспомнил. Перед ним стояла Баба Яга и держала уравнение, которое трепетало в ее руке и не могло вырваться нерешенным. А в клетке был. А в клетке был … его одноклассник Женя.

- Решай же, вот оно, уравнение, смотри! Х+35=9.

- Подумаешь, это легко.х=26, - ответил Саша. А вот ты, Баба Яга, реши мое уравнение: х-16=-3.

- Это как же его решать?- задумалась Баба Яга. Где я тебе ответ достану?

- Вот видишь, не можешь. А надо всего лишь к обеим частям уравнения прибавить число, противоположное -16, т.е. 16. Слева получился х, а справа?

- Понятно, 13. Потешил ты меня, Саша. Ложись-ка спать-ночевать, а завтра продолжим.

Наутро Баба Яга разбудила Уравнение и попросила его научить решать, пока Саша спит, но не тут-то было. За ее спиной стоял…Саша.

- Бабушка, тебе сколько лет, а ты ничего не умеешь.

- Сашуль, ну не обижайся, я старенькая, ничего не помню

- Хорошо, тогда слушай.

И Саша начал учить Бабу Ягу решать уравнения…

А вы, ребята, знаете, что значит решить уравнение?

Сколько корней может иметь уравнение?

Как найти неизвестное слагаемое? Уменьшаемое? Множитель? Делимое? Делитель?

И Саша начал задавать уравнения ребятам 6-го класса. Все ребята прекрасно справились с заданиями.

- Молодцы!- похвалил Саша шестиклассников.

Так, благодаря Бабе Яге Саша и сам научился решать уравнения, и друга выручил, и ребятам помог. (Лозинский Владимир, 7-Б класс)

Жило-было уравнение с двумя переменными Х и У . Жили они в учебнике математики для 6 класса. Уравнение было необычным и очень этим гордилось. И что только не происходило с этими переменными. Их умножали и делили, прибавляли и складывали. А однажды их даже потеряли! Как же растерялось уравнение! Ведь оно перестало быть уравнением. Кинулось оно искать своих переменных. А нашло оно их в том же учебнике по математике, на 326-ой странице. Х и У пожалели о своем бегстве и думали, что теперь ребята просто не будут решать уравнений. Но они ошиблись. Ученики 6-Б с удовольствием решали уравнения и находили значения Х и У.(Разуменков Никита, 6-Б класс)

1.У Буратино было 45 воздушных шариков. Он их приготовил на праздник, Сколько осталось шаров у незадачливого Буратино?

2Глаз комнатной мухи состоит из 4500 глазков, что составляет 5/7 числа глазков рабочей пчелы, 5/14 стрекозы и 9/50 числа глазков жука. Определить число глазков в глазу рабочей пчелы, стрекозы и жука.

3У Насти в библиотеке было 350 книг, а у Толика только 3/7 этого количества. Сколько книг было у Толика и Насти вместе? Составила Яна Стрельцова, 6-Б класс

(Лозинский Володя, 6-Б класс)

В одном селе жила семья дробей. Папа 1/8, мама 1/9 и сын 2/3. Как- то раз сын пошел гулять, а по дороге встретил странника. Привел его домой, родители их накормили, а странник сказал:

- 2/3, я выполню любое твое желание, ведь ты меня спас.- Я хочу быть королем мира.

Внезапно его желание осуществилось. Он грозно взглянул на странника и сказал: «Снимай капюшон!» Но как 2/3 удивился , когда под капюшоном увидел злого мага Единицу! Заколдовал маг мальчика, и стал 2/3 бродить по свету. И задумал он убить мага, чтобы чары пропали и вернуться домой. Друзья дроби помогли ему купить волшебный меч. Этим мечом мальчик расправился со злым магом. Чары с него спали, и он целым и невредимым вернулся домой. С тех пор все Дроби стали жить в мире и согласии.

1.У Буратино было 45 воздушных шариков. Он их приготовил на праздник, День шахтера. Стал надувать шары и случайно проткнул 1/5 своиострым носом. Сколько осталось шаров у незадачливого Буратино?

2Глаз комнатной мухи состоит из 4500 глазков, что составляет 5/7 числа глазков рабочей пчелы, 5/14 стрекозы и 9/50 числа глазков жука. Определить число глазков в глазу рабочей пчелы, стрекозы и жука.

3У Насти в библиотеке было 350 книг, а у Толика только 3/7 этого количества. Сколько книг было у Толика и Насти вместе? Составила Яна Стрельцова, 6-Б класс.

1.У Буратино было 45 воздушных шариков. Он их приготовил на праздник, День шахтера. Стал надувать шары и случайно проткнул 1/5 своим острым носом. Сколько осталось шаров у незадачливого Буратино?

2Глаз комнатной мухи состоит из 4500 глазков, что составляет 5/7 числа глазков рабочей пчелы, 5/14 стрекозы и 9/50 числа глазков жука. Определить число глазков в глазу рабочей пчелы, стрекозы и жука.

3У Насти в библиотеке было 350 книг, а у Толика только 3/7 этого количества. Сколько книг было у Толика и Насти вместе? Составила Яна Стрельцова, 6-Б класс.

Жили собі два братики трикутники. Один - Рівносторонній, а другий - Рівнобедрений.

Одного разу Рівнобедрений каже:

- Чуєш, брате, скільки я не дивився, скільки не міркував, але ми хоч і брати, проте зовсім різні. Якісь не схожі.

- Що ти таке вигадуєш? - відповів йому Рівносторонній. - Дивись, у нас і кутів по три, і сторін по три. Чого тобі ще треба?

Але все-таки мучила допитливого брата думка про їх несхожість. І от одного разу він вирішив виміряти свої і братові сторони. Який же він був задоволений, коли побачив: схожі вони тим, що мають рівні сторони. Тільки в нього лише дві сторони рівні, а у брата - всі три!

(Пахомова Настя, 7-А класс)

. Був собі Трикутник. Ну, справжнісінький хвалько! Він завжди вихвалявся перед іншими фігурами.

Одного разу в гості до фігур завітали Ножиці. І перед ними почав вихвалятися Трикутник:

- Бачите, який я мудрий, хитрий і багатий. У мене і сторони, і кути, і бісектриси є, і медіани, і висоти маю.

А Ножиці слухали, міркували і вирішили провчити хвалька. Коли трикутник заснув, вони перетворили його у круг.

- Вихвалявся ти, Трикутник, що все в тебе є. То ж будь Кругом назавжди, щоб не міг хвалитися великою кількістю своїх елементів. Досить з тебе центра, радіуса і діаметра.

Так Трикутник став Кругом.

А який це Круг - вписаний чи описаний - про це в іншій казці.

(Иващенко А,7-В класс)

Було собі місто Чотирикутник, яким правив чудовий цар Ромб. Він був дуже гарним царем. Усі чотирикутники були дуже щасливі.

Ось одного разу дізнався про це місто його величність Трикутник і забажав заволодіти ним. Він попросився до Ромба в гості, а сам підсипав йому зілля, щоб той заснув і трикутник зміг кинути його в темницю. Саме так все і відбулося.

Тоді Трикутник узяв і порізав усі чотирикутники по діагоналях. Задоволений, він гордо ходив по своєму царству. Лише про Трапецію він забув.

Прокинувшись, вони побачила, яке лихо спіткало її місто і вирішила звернутись на допомогу в сусідню країну Восьмикласію.

Жителі цієї країни швидко здогадались, що треба робити. Вони посклеювали трикутники, але не встигли всі посклеювати, бо з'явився його величність Трикутник. Восьмикласники заховались, потім взяли Трикутника в полон. Він зізнався, що хотів знищити сусідню країну і пообіцяв надалі жити в мирі і спокої.(Низельник А., 8-В клас)

Одного сонячного ранку мені дуже пощастило. Я побачив ракету, яка стояла майже поряд зі мною. Підійшов ближче, озирнувся. Нікого.

- А чому б і мені не полетіти в космос, до зірок? - подумав я - і серце часто-часто забилось.

Двері ракети виявились відчиненими, ніби чекали на мене. Я зайшов - і ракета відірвалась від землі.

Летів я, здається недовго. Ми проминули Марс, Юпітер, Венеру і зупинились на якісь незнайомій планеті. Принаймні, я про неї ніколи не чув. Зверху вона мала форму трикутника. Двері відчинилися, і я опинився ніби в казці.

В мене перехопило дух. Я побачив багато геометричних фігур. Виявилось, що це будинки. Десь, ніби з-під землі появився і сам абориген. Він теж був складений з геометричних фігур. А потім з'явився ще один, і ще, і ще. Та всі різні: то трикутники, то квадрати, то просто чотирикутники, та всі якісь плоскі. Я злякався. Та коли ближче познайомився з ними, зрозумів, що вони зовсім не страшні і теж люди, тільки якісь геометричні. Побув я там недовго. Серце якось дивно защеміло. Мені дуже захотілося додому. Ми почали прощатися…

І тут я прокинувся. Нічого незвичайного. Я вдома. Зрозуміло, це ж був тільки сон. А жаль. Ой! Та мені ще ж геометрію вчити!(Гаврилов Е., 8-В класс)

Є в математиці щось таке, що викликає людське захоплення. Математика, як і мистецтво - справа аж ніяк не тільки розуму, але значною мірою також і фантазії. І до сьогодні ще невідомо, у кого було більше фантазії - у великого поета Шекспіра, чи у великого математика Ньютона. Адже найвищий різновид художнього інтелекту завжди переважно математичний.

5. Серьезные и не очень вопросы на логическое мышление.

1. Стоят две овцы- одна головой к северу, другая - к югу. Могут ли они увидеть друг друга, не поворачивая головы?

2. Сидит человек, а вы не можете сесть на его место, даже если он встанет и уйдет. Где он сидит?

3. Кто в средние века носил самую большую шляпу?

4. Какой болезнью никто на земле не болел?

5. Почему покупают новые туфли?

6. Мальчика спросили, сколько у него братьев и сестер. Он ответил: «Столько же братьев, сколько и сестер».тогда спросили сестру, сколько у нее братьев. Она ответила: «Сестер вдвое меньше, чем братьев». Как это могло быть?

7. Разноцветные перчатки. В мешке лежало 10 пар черных и 10 пар коричневых перчаток, все они перепутаны. Какое наименьшее количество перчаток необходимо взять из мешка, не заглядывая в него, чтобы скомплектовать хотя бы одну пару одноцветных перчаток?

8. Сколько стоит рыба? Задание1. Полторы рыбы стоит 1,5грнивны. Сколько гривен стоят 5 рыб?

Задание 2. Одна рыба стоит 1грн. и еще половину рыбы. Сколько стоят 5 рыб?

9. Из трех лимонов два имеют одинаковый вес, - более легкий. Как при помощи взвешивания на чашечных весах определить, какой более легкий?

10. Две бочки. В одной бочке спирт, а в другой - столько же воды. Из первой бочки взяли 1л спирта и перелили в бочку с водой. После этого 1л образовавшейся смеси перелили обратно в первую бочку. Чего больше - воды в первой бочке или спирта во второй?

11. В одной комнате находятся две дочки и две матери. Всего три женщины. Как это может быть?

12. Могут ли на одном мотоцикле с коляской ехать муж и жена, брат и сестра, золовка и сноха?

13. ЗАДАЧА1. Допустим, ваш ежемесячный заработок увеличился на 30%. На сколько процентов возросла ваша покупательная способность?

ЗАДАЧА 2. Пусть ваш ежемесячный заработок неизменен, но цены на товары снижены на 30%. На сколько процентов повысилась ваша покупательная способность в этом случае?

14. У продавца есть мороженое шести сортов. Если он каждый раз продает одновременно две порции разных сортов, то сколько различных пар мороженого он может скомбинировать?

15. Сколько лет Саше? Саша утверждает, что позавчера ему было 10 лет, а в будущем году ему исполнится 13. Возможно ли это?

16. Двое детей. В семье Кравченко двое детей. По крайней мере5 один из них мальчик. Какова вероятность того, что у Кравченко оба ребенка мальчики?

ОТВЕТЫ. 1.Могут, потому что стоят головами друг к другу. 2. У вас на коленях. 3. Тот, кто имел самую большую голову. 4. Морской. 5. Потому что их даром не дают. 6. 4брата и три сестры. 7. 21.

8. 5грн.,10грн. 9. Положить два лимона на чашки весов. 10. Одинаково. 11.бабушка, дочка и внучка. 12. Да, если это муж, жена и сестра мужа. 13. 1. Увеличится на 30%. 2. Увеличится на 43%. 14. 15. 15. Свое заявление Саша делает 1 января, 31 декабря у него был день рождения, и ему исполнилось 11 лет, а 30 (позавчера) было 10, на будущий год исполнится 13, поскольку в этом году ему исполнится 12. 16. Если у Кравченко двое детей и по крайней мере один из них мальчик, то мы имеем три равновозможных случая:

Старший ребенок

Младший ребенок

мальчик

мальчик

мальчик

девочка

девочка

мальчик

Только в одном из них оба ребенка - мальчики, следовательно, вероятность того, что у Кравченко два сына, равна 1/3.

-

6. Литература.

1.Довбыш Р.И., Лиманский В.В.,Оридорога Л.Л., Потемкина Л.Л. Сборник творческих заданий по математике.- Донецк: Каштан,2005

2. Василенко Н.В. Логіка 5-11 класи. Харків: ВГ «Основа»,2011

3. Глюза О.А. Логика в задачах. Пособие для учащихся- Донецк: ДонНУ,2009

4.Глюза О.А. Логіка в задачах./ Глюза О.А.//Математика в школах України.-2010- №11

5.Тягілєва Н.В. Софізми і парадокси./Тягілєва Н.В.//Математика в школах України. Позакласна робота. - 2012 - №4

6. Василенко О.О. Між аксіом і теорем./ Василенко О.О.// математика.Все для вчителя. М.,2011 №3

З логікою на ти.

Посібник для вчителя математики.