Мультимедийный учебно-методический комплект по математике по теме «Производная»

Департамент образования г. Москвы

ГБПОУ Колледж автомобильного транспорта № 9

Мультимедийный учебно-методический комплект по математике по теме «Производная»

(блочная система)

Выполнила: Чердакли Л.Н.

2015 г.

Пояснительная записка.

В различных теоретических и практических исследованиях часто приходится применять понятие «Производная функции».

Дидактический материал по теме «Производная» позволяет студентам наиболее полно изучить эту тему, помогает применять полученные знания при решении практических задач.

В дидактическом материале представлены теоретические материалы по теме «Производная функция», рассмотрено применение производной при исследовании функций и решении уравнений, предложены задания для самостоятельного изучения и закрепления новых знаний и умений. Это пособие поможет подготовиться к ЕГЭ по математике.

Дидактический материал представлен в 2-х разделах: теоретический и практический. Это позволяет быстро и легко изучить теоретический материал и отработать его на практике. Главная задача заключается в том, чтобы объяснение было доступно каждому студенту независимо от его успеваемости. Теория написана доступным языком даже для тех, кто плохо усваивает учебный материал. Практические задачи подобраны так, чтобы начать с самых простейших и закончить сложными задачами.

Весь материал разделен на блоки. В первом блоке рассмотрен краткий теоретический материал, способствующий эффективному развитию навыков и умений. Во втором блоке рассмотрено решение типовых примеров, решение упражнений с применением карточек-инструкций, рассмотрено применение производной в технике. В третьем блоке предложены задания для самостоятельной работы (тренажер, тесты, индивидуальные задания, решение задач практического содержания).

Данные материалы способствуют развитию моторной и смысловой памяти, умению анализировать, сравнивать, отбирать ключевые задания по теме и методы их решения, способствуют становлению информационной компетенции (работа со справочником, дополнительной литературой).

Блок I.Производная функции.

1. Актуализация знаний.

производная

определение

формулы

правила

- производная суммы

- производная произведения

- производная частного

- физический смысл

-геометрический смысл

производная сложной функции

2. Определение производной.

Производная функции

Физический смысл

Геометрический смысл

3.Уравнение касательной к графику функции ) в точке

y =) +

4.Применение производной к исследованию функций.

Достаточный и необходимый признак возрастания (убывания) функции: при f ′(х) 0 функция возрастает; при f ′(х) 0 функция убывает.

Необходимые условия экстремума функции: если в точке х_о f ′(х_о) = 0.

Достаточные условия экстремума функции: если функция непрерывна в точке х_о и в этой точке производная меняет знак, то точка х_о - экстремум функции.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке, надо найти значения в критических точках и на концах отрезка, выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Блок 2.Производная и ее применение.

Таблица 1

Производные элементарных функций

Примеры

f(x)=5; f ′(x)=0.

f(x)=5x+6; f ′(x)=5.

f(x)=f ′(x)=.

(

f(x)=2f ′(x)=2

(cos x)′= - sin x

f(x)=3f ′(x)= - 3

(tg x)′ =

f(x)=7tg x; f ′(x)= .

(ctg x)′ =

f(x) = 4ctg x; f ′(x) = .

Правила дифференцирования

С - постоянная; u, v - функции

(Cu)′ = C(u)′

f(х) = 5х²; f ′(х) = (5x²)′ = 5(x²)′ = 5·2x = 10x.

(u + v)′ = u′ + v′

f(х) = 3 +5х; f ′(х) = (3 + 5x)′=

3′ + 5(x)′= 0 + 5·1 = 5

(u·v)′ = u′·v + u·v′

f(x) = х²(3х-2); f ′(х) = (х²)′·(3х - 2) + х²(3х - 2)′ = 2х(3х - 2) +х²·3 = 6х² - 4х + 3х² = 9х² - 4х

(

f(x)=(

= .

сложная функция.

(

f(х) = (х²+2х - 1)⁴;

f ′(х) = 4(х²+2х - 1)³·(х² + 2х - 1)′ =

4(х² + 2х - 1)·(2х + 2).

Геометрический смысл производной

Уравнение касательной к графику функции f(х) в точке х_о:

у = f(х_о) + f ′(х_о)·(х - х_о)

Составить уравнение касательной к параболе f(х) = х² - 4х в точке с абсциссой х_о = 1.

f ′(х) = 2х - 4

f(х_о) = 1² - 4·1 = - 3

f ′(х_о) = 2·1 - 4 = - 2

(1; - 3) - точка касания

k = f ′(х) = - 2 - угловой коэффициент касательной

у = - 3 + (-2)(х - 1) = - 2х - 1

Уравнение касательной:

у = - 2х - 1

Производная второго порядка

у′′ = (у′(t))′

у = х³; у′ = 3х²; у′′(х) = (3х²)′ = 6х

Механический смысл производной

Закон движения - S(t)

Скорость - V(t) = S′ (t)

Ускорение - а(t) = V ′(t) = S′′(t)

Точка движется прямолинейно по закону S(t) = 3t² - 5. Найти скорость точки через 2 секунды (путь - метры, время - секунды).

V(t) = (3t² - 5)′ = 6t

V(2) = 6·2 = 12 м/с

Применение производной при решении упражнений.

1.Найти производную функцию f(х)=5х⁹.

Воспользуемся формулой (Сu)′= сu′, получим f ′(х) = (5х⁹)′= 5(х⁹)′

Используем формулу (хⁿ)′ =nx^n-1

f ′(x) = 5(x⁹)′ = 5·9·x^9-1 = 45x⁸

Ответ: f ′(х) = 45х⁸.

2.Вычислить значение производной функции f(х) = при х = 1.

Решение:

Полагая u = 3x² - x + 7; v = 2x + 5, имеем f(х) = .

Применяем формулу производной частного: f ′(х) =

Вычисляем отдельно производные функций u и v

(u)′ = (3x² - x + 7)′ = 6x - 1

(v)′ = (2x + 5)′ = 2

Подставляем найденные выражения в последнюю дробь:

f ′(х) = =

Найдем значение производной при х = 1:

f ′(1) = = .

Ответ:

3.Найти точки экстремума функции f(х) =

Решение:

Для нахождения точек экстремума функции необходимо найти производную f ′(х), найти значения х, в которых она равна нулю.

f ′(х) = ′ =

х₁ = 0 х₂ = 4

х₁ и х₂ - точки экстремума.

f ′(х) + +

f(х) 0 4 х

Рисунок 1

При переходе через точку х = 0 производная меняет знак с плюс на минус, а у функции возрастание переходит в убывание, значит точка х = 0 - точка максимум. При переходе через точку х = 4 производная меняет знак с минуса на плюс, а у функции убывание переходит в возрастание, значит точка х = 4 - точка минимум.

Ответ:

4.Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(х) = на отрезке [ - 1;2].

Решение:

Функция достигает своего наибольшего или наименьшего значения на отрезке, либо в точках экстремума, либо на концах этого отрезка.

Найдем значение функции на концах отрезка [ - 1; 2].

f(- 1) =

f(2) =

Найдем производную данной функции и приравняем ее к нулю:

f ′(х) =

2

х = 1

Точка х = 1

Вычислим значение данной функции в этой точке.

f(1) =

Наибольшее значение: 5,5.

Наименьшее значение:

Ответ: 5,5;

5.Кривая задана уравнением у = . Определить угол наклона касательных к положительному направлению оси ОХ, проведенных к кривой в точках с абсциссами х = - 2 и х = 0.

Решение:

Найдем производную: у′ = 2х+5

Обозначив угол наклона касательной в точке с абсциссой х = - 2 через а в точке с абсциссой х = 0 через , получим:

Ответ: 45⁰; 79⁰.

6.Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой у = в точке С(-2;-8).

Решение:

у ′ = k

Найдем производную функции у =

у′ = (

у′ (-2) = 3(-2)² = 12

k = 12

Ответ: k = 12.

Карточки - инструкции для решения заданий по теме

«Производная и ее применение».

I.Приращение аргумента и приращение функции.

Вычислить приращение функции f(х) = 2х² + 1 в произвольной точке.

Таблица 2

№

План вычисления приращения

Применение плана

1

Фиксируем произвольное значение аргумента х_о и находим значение функции f(х_о)

х = х_о

f(х_о) = 2х_о² + 1

2

Задаем аргументу приращение Δх и находим значение функции f(х_о + Δх)

х = х_о + Δх

f(х_о + Δх) = 2(х_о + Δх)² + 1 =

2(х_о² +2х_о·Δх + Δх²) + 1 =

2х_о² + 4х_о·Δх + 2Δх² + 1

3

Находим приращение функции

Δf = f(х_о + Δх) - f(х_о)

Δf = 2х_о² + 4х_о·Δх + 2Δх² + 1 - 2х_о² - 1 = 4х_о·Δх + 2Δх²

Используя план вычисления приращения функции, решите задания трех уровней сложности.

Уровень А:

1.f(х) = 3х - 8; 2. f(х) = 2 - х²; 3. f(х) = х³ + 4.

Уровень В:

1. f(х) = ; 2. f(х) = 3. f(х) = .

Уровень С:

1. f(х) = 2. f(х) = 1 - f(х) = tg 3x.

2.Производная функции.

Вычислить производную функции f(х) = 9х² - х + 2 в точке х_о = 2.

Таблица 3

№

План вычисления производной функции

Применение плана

1

Фиксируем точку и даем приращение

х + Δх

2

Вычисляем приращение функции Δf = f(х_о + Δх) - f(х)

Δf = 9(х + Δх)² - (х + Δх) + 2 - (9х² - х + 2) = 9х² + 18хΔх + 9Δх² - х - Δх + 2 - 9х² + х - 2 = 18хΔх + 9Δх² - Δх

3

Находим отношение приращения функции к приращению аргумента

=

= 18х + 9Δx - 1

4

Находим производную

f ′(х) =

f ′(х) = =

= 18х - 1

5

Находим f(х_о)

F(2) = 18·2 - 1 = 35

Используя план вычисления производной функции в точке, решите задания 3-х уровней сложности.

Уровень А:

1. f(х) =2х + 3 в точке х = 2; 2. f(х) = 3х² - 2 в точке х = 3;

Уровень В:

1. f(х) = в точке х = 2. f(х) = в точке х = 4.

Уровень С:

1. f(х) = в точке х = - 2; 2. f(х) = в точке х = .

3.Уравнение касательной к графику функции f(х) в точке х_о.

Написать уравнение касательной к графику функции f(х) = х² - 4х в точке с абсциссой х_о = 1.

Таблица 4

№

План составления уравнения касательной к кривой в точке

Применение плана

1

Вычисляем значение функции f(х) в точке х = х_о

х_о = 1 f(х_о) = 1² - 4·1 = - 3

2

Находим производную функции

f ′(х) = 2х - 4

3

Вычисляем значение производной в точке х_о, т.е. угловой коэффициент касательной.

f ′(х_о) = f ′(1) = 2·1- 4 = - 2

4

Подставляем числа в уравнение касательной у = f(х_о) + f ′(х_о)(х - х_о)

у = - 3 + (- 2)(х - 1)

у = - 3 - 2х + 2

у = - 2х - 1

Используя формулу уравнения касательной решить примеры 3-х уровней.

Уровень А:

1. f(х) = х³ - 2х в точке х_о = 2; 2. f(х) = х² + 3х в точке х_о = 3.

Уровень В:

1.f(х) = в точке х_о = .

Уровень С:

1.f(х) = в точке х_о = 2.

4.Общая схема исследования функции и построения графика.

Исследовать функцию f(х) = 3х⁴ - 4х³ + 1 и построить график.

Таблица 5

№

План исследования

Применение плана

1

Область определения D(f)

D(f) = R

2

Исследовать на четность(нечетность)

f(-х) = 3(-х)⁴ - 4(-х)³ + 1 = 3х⁴ + 4х³ +1

функция ни четная ни нечетная

3

Находим нули функции

3х⁴ - 4х³ + 1 = 0

(х - 1)²·(3х² + 2х + 1) = 0

х - 1 = 0

х = 1

4

Находим производную и критические точки

f ′(х_о) = 12х³ - 12х²

12х²(х - 1) = 0

х = 0 х - 1 = 0

х = 1

5

Находим промежутки монотонности, точки экстремумы и экстремумы функции

f ′(х) _ _ min

f(х) 0 1 х

f ′(-1)<0; f ′(0,5)<0; f ′(2)>0

х = 1- точка экстремум

min f(1) = 0

6

Находим предел функции

7

Строим эскиз графика функции

у

1

0 1 х

Используя план исследовать и построить графики функций 3-х уровней.

Уровень А:

1.f(х) = х² - 3х + 2; 2. f(х) = - 2х² + 3х + 2

Уровень В:

1. f(х) = 3х - х³; 2. f(х) = х³ - 3х² + 4

Уровень С:

1. f(х) = х² + 2. f(х) = 2х² - х⁴ - 1.

5.Наибольшее и наименьшее значение функций.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х³ - 2х² - 3 на промежутке .

Таблица 6

№

План нахождения и на промежутке

Применение плана

1

Находим производную функции

у′ = 3х² - 4х

2

Находим критические точки у′ = 0

3х² - 4х = 0

х(3х - 4) = 0

х = 0 3х - 4 = 0

3х = 4

х =

3

Выбираем точки, лежащие внутри промежутка

0;

4

Находим значения функции в критических точках и на концах промежутка

у(0) = - 3

у() = (³ - 2(² - 3 = - 4

у(2) = 2³ - 2·2² - 3 = - 3

5

Выбираем наибольшее и наименьшее

max у(х) = у(0) = у(2) = - 3

min у(х) = у(

Используя план нахождения наименьшего и наибольшего значений функции решить примеры 3-х уровней сложности.

Уровень А:

1.у = 2х² - х - 6 на промежутке ;

2.у = 3х² - х³ на промежутке

Уровень В:

1.у = х⁴ - 2х² - 3 на промежутке ;

2.у = 3х⁵ - 5х³ на промежутке ;

Уровень С:

1.у = 2 на промежутке ;

2. у = х + на промежутке .

Применение производной в технике.

1.Расход горючего легкового автомобиля (литр на 100 км) в зависимости от скорости х км/ч при движении на четвертой передачи приблизительно описывается функцией f(х) = 0,0017х² - 0,18х + 10,2. При какой скорости расход горючего будет наименьший. Найдите этот расход.

Решение:

Исследуем расход горючего с помощью производной:

f ′(х) =0,0034х - 0,18

f ′(х) = 0

0,0034х - 0,18 = 0

0,0034х = 0,18

х

Найдем расход горючего, для этого определим знак второй производной в критической точке.

f ′′(х) = (0,0034х - 0,18)′ = 0,0034 , следовательно расход горючего при скорости 53 км/ч будет наименьшим.

f(53) = 5,43 л.

Ответ: 5,43 л.

2.Автомобиль приближается к населенному пункту со скоростью 72 км/ч. Висит дорожный знак «Ограничение скорости» 36 км/ч. За 7 секунд водитель, увидев знак, нажал на тормозную педаль. С разрешаемой ли скоростью автомобиль въехал в населенный пункт, если тормозной путь определяется формулой S = 20t - t².

Решение:

S′ = (20t - t²)′ = 20 - 2t

S′(7) = 20 - 2·7 = 6 м/с.

6м/с = 21,6 км/ч.

Ответ: да.

3.Маховик за время t поворачивается на угол (t - сек.; - радианы). Определите угловую скорость в конце 3 секунды. Найдите момент, когда прекратится вращение.

Решение:

(8t - 0,5t²)′ = 8 - 0,5·2t = 8 - t

′(t) = = 8 - t

(3) = 8 - 3 = 5 рад/с.

Вращение прекратится в момент, когда

8 - t = 0

t = 8 с.

Ответ: 8 секунд.

Блок 3. Задания для самостоятельной работы.

Тренажер.

Найти производную:

f(x) = 4х³ + 6х + 3;

f(x) = 7х² - 56х + 8;

f(x) =

f(x) =

f(x) = 2х·

f(x) =

f(x) =

Найти угловые коэффициенты касательных к графикам функций в точке с заданными абсциссами:

f(x) = 3х - х² х₀ = - 2;

f(x) = = 1.

Найти экстремумы:

f(x) = 7

f(x) =

f(x) =.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданных отрезках:

f(x) = х + х;

f(x) = х⁴ - 2х²+3 х.

Тестовые задания по теме «Производная».

1.Найти значение производной функции, если f(х) =3+5х⁴ - 10х¹⁰

1)20х³ - 10х⁹ 3)3+5х³ - 10х⁹

2)3+5х⁴ +5 4)20х³ - 100х⁹

2.Найти производную функции у =

1)36 3)36х+18

2)9 4)9(4х+2)⁶

3.Через точку графика функции с абсциссой х₀ проведена касательная. Найти угловой коэффициент касательной к оси абсцисс, если у = 3х²+5х - 15 х₀=

1) 6 2) 11 3) 7 4) 4

4.На рисунке изображен график производной функции f ′(х), заданной на отрезке . Укажите число промежутков возрастания.

у

f ′(x)

х

а b

Рисунок 2

1)3 2)1 3)2 4)4

Лабораторная работа.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Дан график функции f(х):

у

х

- 6 -1 0 1 4 6

Рисунок 3

1.Укажите критические точки функции.

2.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезках:

а) б) в)

3.Укажите какой-либо отрезок, на котором наименьшее значение функции принимается на его конце.

4.Укажите какой-либо отрезок, на котором наибольшее значение функции принимается в критической точке.

Индивидуальная работа.

Таблица 7

Вариант 1

1.Найти производную функций:

у = 5х²;

у = .

2.Вычислить значение производной функции у = в точке х₀ = 1.

3.Найти производную функций:

у =

у = .

4.Найти точки экстремума и значения функций в этих точках:

у =

у = .

Вариант 2

1.Найти производную функций:

у = 3х²;

у = .

2.Вычислить значение производной функции у = в точке х₀ = 2.

3.Найти производную функций:

у =

у = .

4.Найти точки экстремума и значения функций в этих точках:

у =

у =.

Список используемой литературы.

1. Башмаков М.И. Математика: учебник для начального и среднего профессионального образования - М.: Академия,2010.

2. Богомолов Н.В. Математика. - М.: Дрофа, 2013.

3. Богомолов Н.В. Сборник задач по математике. - М.: Дрофа, 2013.

4. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., и др. Алгебра и начало анализа (10-11) - М.: Высшая школа, 2011.

5. Гусев В.А., Григорьева С.Г., Иволгина С.В. Математика: учебник для начального и среднего профессионального образования - М.: Академия,2011.