Применение метода рационализации при решении неравенств (задание №15 ЕГЭ)

Метод рационализации.

Введение

Решение неравенств - важный раздел в математике. Успешное изучение математики невозможно без умения решать разнообразные неравенства. Нередко в заданиях типа №15 требуется решить неравенство, которое достаточно сложно поддается обычному методу интервалов: корни соответствующих уравнений не всегда очевидны, а вычисление значений функции в промежуточных точках может оказаться довольно трудоемким процессом, поэтому я решила рассмотреть один из способов сведения неравенств к неравенствам для рациональных функций, которые решаются, как правило, существенно проще. Речь пройдет о методе рационализации. В школьной программе он не изучается, но его применение значительно облегчает решение заданий ЕГЭ третьей части (№15), в частности логарифмических и показательных неравенств.

Цель моего выступления:

Изучение теоретического обоснования метода рационализации и применения его при решении неравенств.

Задачи:

1. Изучить теоретическую часть, которая позволяет заменять сложные выражения на более простые;

2. Рассмотреть примеры применения метода рационализации при решении логарифмических и показательных неравенств;

3. Найти примеры логарифмических неравенств, которые могут быть решены методом рационализации.

Актуальность выбранной темы заключается в том, что данный метод позволяет успешно решать логарифмические и показательные неравенства третьей части ЕГЭ по математике.

Теоретическое обоснование метода

Часто, при решении логарифмических неравенств, встречаются задачи с переменным основанием логарифма. Так, неравенство вида

является стандартным школьным неравенством. Как правило, для его решения применяется переход к равносильной совокупности систем:

Недостатком данного метода является необходимость решения семи неравенств, не считая двух систем и одной совокупности. Уже при данных квадратичных функциях решение совокупности может потребовать много времени. Можно предложить альтернативный, менее трудоемкий метод решения этого стандартного неравенства. Это метод рационализации неравенств, известный в математической литературе под названием декомпозиции.

Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x), при котором неравенство G(x)0 равносильно неравенству F(x)₀ в области определения выражения F(x).

Алгоритм метода рационализации

1. Выписать условия, задающие ОДЗ и решить их.

2. Привести исходное неравенство к виду второй колонки таблицы.

3. Провести преобразования всех множителей (упростить, привести к общему знаменателю и т.д.)

4. Решить полученное неравенство, например, методом интервалов.

5. Записать ответ исходного неравенства, учитывая ОДЗ.

Где f

f, g - функции от х, h, p - функции или число, V - один из знаков