Краткий справочник по математике для учащихся 10-11 классов

1. Формулы сокращённого умножения

а) Квадрат суммы:

б) Квадрат разности:

Вообще, квадрат алгебраической суммы нескольких слагаемых равен сумме квадратов этих слагаемых плюс сумма удвоенных попарных произведений этих слагаемых (с учётом правила знаков).

в) Куб суммы:

г) Куб разности:

д) Разность квадратов:

е) Сумма кубов:

ж) Разность кубов:

з) Разность квадратов:

2. Свойства степеней:

1. а^maⁿ=a^m+n

2. 

3. (a^m)ⁿ=a^mn

3. Свойства радикалов:

4.Линейные и квадратные уравнения

Уравнение вида ax + b=0, где х - переменная, a(a≠0) и b - любые числа, называется линейным.

Если:

1) a ≠ 0, уравнение ax + b=0 имеет единственное решение ;

2) а = 0, в этом случае уравнение имеет вид 0*x + b=0,

при b = 0 решением уравнения является любое число х;

при b ≠ 0 уравнение решений не имеет.

Уравнение вида ax² + bx + c = 0, где х - переменная, а, b, с - некоторые числа, причем a ≠ 0, называется квадратным.

В уравнении ax² + bx + c = 0 коэффициент а называют первым коэффициентом, b - вторым коэффициентом, с - свободным членом.

Формула корней квадратного уравнения имеет вид:

x_1,2=(-b±√b²-4ac)/(2a).

Выражение D =b² - 4ас называется дискриминантом квадратного уравнения.

Если D = 0, то существует только одно значение переменной, удовлетворяющее уравнению ax² + bx + c = 0. Однако условились говорить, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных действительных корня, а само число -b/2a называют корнем кратности два.

Если D<0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Если D>0, то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.

5.Решение неравенств методом интервалов

Метод интервалов является основным методом решения неравенств. Он позволяет свести решение неравенства f(x)=> (<'≤'≥) к решению уравнения f(x)=. Метод заключается в следующем.

1. Находится ОДЗ неравенства.

2. Неравенство приводится к виду f(x)=> (<'≤'≥) (т.е. правая часть переносится в влево) и упрощается.

3. Решается уравнение f(x)=.

4. На числовой оси изображается: а) ОДЗ; б) непосторонние корни уравнения f(x)= (попавшие в ОДЗ). Они наносятся в виде полых кружков, если исходное неравенство строгое, и закрашенных, если оно не строгое.

5. Все точки, отмеченные на ОДЗ и ограничивающие его, разбивают это множество на так называемые интервалы знакопостоянства. На каждом таком интервале определяется знак функции f(x). Ответ записывается в виде объединения отдельных множеств, на которых f(x) имеет соответствующий знак. Точки, отмеченные закрашенными кружками, в ответ входят в ответ отмеченных пустыми - нет (подумайте, почему). Точки ОДЗ, являющиеся граничными, включаются (или не включаются) в ответ после дополнительной проверки.

6. Основные методы решения рациональных

уравнений с модулями

При решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, используется определение модуля:

Пусть х и у - действительные числа. Приведем (в виде формул) свойства модуля.

1) 3)

4) k = 2,4,…, в частности,

5) k = 2,4,…, в частности,

6) 7)

Основные методы решения уравнений с модулями

1. Попробовать "избавиться" от знака модуля, используя определение модуля.

2. Возвести уравнение (т.е. обе его части) в квадрат. Затем воспользоваться свойством 5.

3. Сделать постановку.

4. Самым универсальным методом решения уравнений, содержащих несколько знаков модулей, является следующий. Выражения, стоящие под знаками абсолютных величин, приравниваются к нулю. Корни полученных уравнений разбивают ОДЗ исходного уравнения на интервалы. На каждом таком интервале, используя определение модуля, удается освободиться от модулей.

7. Рациональные неравенства с модулями

Неравенства с модулями (как и все другие) можно решать методом интервалов. На этом пути, в частности, приходится решать уравнения с модулями. Однако, как правило, проще освободиться от модулей в самих неравенствах,а далее, если требуется, применять метод интервалов.

Обсудим, как это можно сделать.

1. Неравенства вида | f (x) > g (х) (≥, <, ≤) рекомендуем решать одним из двух способов, которые рассмотрены ниже.

1а. Из определения модуля следует, что изучаемые неравенства равносильны совокупности либо системе следующих неравенств:

| f (х)| > g (х)

(*)

| f (х)| < g (х) - g (х) < f (х) < g (х)

Если неравенства, находящиеся слева от знаков " ", являются нестрогими то и в правой части эквивалентностей все неравенства следует заменить соответствующими нестрогими ("направленными" в ту же сторону).

В частном случае, когда g (х) a = const,

1b. В ряде случаев (например, если g (х) -абсолютная величина), рассматриваемые неравенства удобнее всего решать возведением в квадрат.

Как решить неравенство

| f (x)| > g (x), если g (x) ≥ 0

1

Почленно возвести в квадрат

| f (x)|² > (g (x))²

( f (x))² > (g (x))²

2

Перенести (g (х))² в левую часть

( f (x))² - (g (x))²> 0

3

4

Воспользоваться формулой

Применить метод интервалов

( f (x) - g (x)) ( f (x) + g (x)) > 0

...

Освобождение от модулей на подмножествах ОДЗ. Неравенство может содержать несколько модулей | f_i(x)|. Самым универсальным методом освобождения от них является следующий. Функции, стоящие под знаками модулей, приравниваются к нулю. Корни этих вспомогательных уравнений разбивают ОДЗ неравенства на интервалы. На каждом таком интервале определяем знаки функций f_i и освобождаемся от модулей, используя определение: | f_i(x)| = ± f_i(x), в зависимости от знаков. Объединив решения, найденные на всех подмножествах ОДЗ, получаем окончательный ответ.

8. Иррациональные неравенства

Неравенства, в которых неизвестная содержится под знаком корня, называется иррациональным

При решении иррациональных неравенств используется следующее утверждение:

Если обе части неравенства на некотором множестве Х принимают только неотрицательные значения, то, возведя обе части неравенства в квадрат (или в любую четную степень) и сохранив знак исходного неравенства, получим неравенство, равносильное данному (на множестве X). Возведение обеих частей неравенства в одну и ту же нечетную степень (с сохранением знака неравенства) всегда является равносильным преобразованием неравенства.

Рассмотрим неравенство вида

(1)

Ясно, что решение этого неравенства является в то же время решением неравенства f(x) ≥0 и решением неравенства g(x) >0 (из неравенства (1) следует, что g (х) > 0). Значит, неравенство (1) равносильно системе неравенств

Так как при выполнении условий, задаваемых первыми двумя неравенствами этой системы, обе части третьего неравенства системы определены и принимают только неотрицательные значения, то их возведение в квадрат есть равносильное преобразование неравенства. Выполнив это преобразование, придем к системе

Неравенстворавносильно системе неравенств

Рассмотрим теперь неравенство вида

(2)

Как и выше, заключаем, что f(x) ≥0 , но в отличие от предыдущего случая здесь g (х) может принимать как неотрицательные, так и отрицательные значения. Поэтому заданное неравенство (2) рассмотрим в каждом из следующих случаев:

g (х) < 0 и g (х) ≥ 0. Получим совокупность систем

В первой из этих систем можно опустить последнее неравенство - оно вытекает из первых двух неравенств системы. Во второй системе можно выполнить возведение в квадрат обеих частей последнего неравенства.

В итоге приходим к следующему результату: неравенство равносильно совокупности двух систем

9. Тригонометрические функции

Знаки Sin  Знаки Cos 

Таблица значений тригонометрических функций

α

0

2

sin α

0

1

0

-1

0

cos α

1

0

-1

0

1

tgα

0

1

Не существует

0

Не существует

0

ctg α

Не существует

1

0

Не существует

0

Не существует

Основные тригонометрические тождества

Sin²α+cos²α=1,

tgα = , cosα≠0

Ctgα=, sinα≠0

tgα∙ctgα = l,

cosα≠0, sinα≠0

Secα=1/cosα, cos α≠0

Cosecα=1/sinα, sin α≠0

tg²α+1=1/cos²α=sec²α, (cosα≠0)

ctg²α+1=1/sin²α=cosec²α, (sin α≠0)

Выражения одной функции через другую

Sinα=±√(1-cos²α)

Cosα=±√l - sin²α

tgα=1/ctgα, cosα≠0, sinα≠0

Ctgα=1/tgα, cosα≠0, sinα≠0

Формулы отрицательного аргумента

Формулы приведения

Функция α

Аргумент α

π/2α

π α

3π/2α

2π α

sin α

cos α

sin α

-cos α

sin α

cos α

sin α

-cosα

sin α

cos α

tg α

ctg α

tg α

ctg α

tg α

ctg α

tg α

ctg α

tg α

ctg α

Формулы суммы двух аргументов

sin (α β)=sin α cos βcos α sin β,

cos (α β)=cos α cos β sin α sin β

tg (α+β)=

ctg (α+β)=

tg (α-β)=

ctg (α-β)=

Формулы двойного и тройного угла

Формулы преобразования

суммы тригонометрических функций

в произведения и произведения в суммы

sinα+sinβ=2

cosα+cosβ=2

sinα-sinβ=2

cosα-cosβ=-2

tg α+ tg β=

ctg α+ ctg β=

tg α- tg β=

ctg α-ctg β=

sinαsinβ=

cosαcosβ=

sinαcosβ=

Формулы половинного угла

10. Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называется такая последовательность, у которой каждый ее член, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же (определенным для данной последовательности) числом d, называемым разностью прогрессии.

Формула n-го члена a_n = a₁ + (n - 1) d.

Формула суммы n первых членов

11. Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется такая последовательность, у которой каждый ее член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же (определенное для данной последовательности) число q, называемое знаменателем прогрессии. Предполагается, что q ≠ 0.

Если число членов прогрессии конечно, то она называется конечной геометрической прогрессией; в противном случае она называется бесконечной геометрической прогрессией.

Формула n-го члена a_n= a₁q ^{n -1}.

Формула суммы n первых членов.

12. Понятие производной

Производной функции y= f (x) в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю

Таблица производных

№ п/п

Х - аргумент

u- дифференцируемая

функция аргумента

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

13. Показательная функция

Показательной функцией называется функция вида:

y=a^x, где а - заданное число, a>0, а.

графики функций y=2^x и y=(1/2)^x

14. Логарифмы и их свойства

a-основание

с -показатель степени

Определение:

Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени с, в которую надо возвести а, чтобы получить b.

, (где b>0; a>0; a≠1)

Основное логарифмическое тождество:

Свойства логарифмов

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. log_a 1=0

Формула перехода от одного основания к другому:

Логарифмическая функция

Логарифмической функцией называют функцию вида

где

15. Показательные уравнения

Определение: Показательными называют уравнения, содержащие неизвестную величину в показателе степени (основание степени не содержит неизвестной величины.

Рассмотрим «простейшее» показательное уравнение вида

, а>0.

Если b0, то это уравнение решений не имеет.

Если b>0 и а1, то f(x)=log_ab.

Если а = 1, то при b 1 данное уравнение не имеет решений.

при b =1 решением является любое число из области определения.

16. Логарифмические уравнения

Определение: Логарифмическим уравнением называют уравнение, содержащее неизвестную величину под знаком логарифма.

log_ax=b; x>0; a>0; a≠1. x=a^b

Для успешного решения логарифмических уравнений и неравенств необходимо уверенное владение формулами для логарифмов и свойствами логарифмической функции.

Использование формул логарифма произведения, частного и других без дополнительных оговорок может привести как к приобретению посторонних решений, так и к потере корней.

Поэтому необходимо внимательно следить за равносильностью совершаемых преобразований. Так, к примеру, в формуле log_аху=log_ах+log_ау

ОДЗ: xy>0

x>0

y>0

Запишем равносильное преобразование:

1)log_axy=log_a|x|+log_a|y|, xy>0

2)log_ax/y=log_a|x|-log_a|y|, xy>0

3)log_ax^2p=2p log_a|x|, x≠0

17. Логарифмические неравенства

При решении логарифмических неравенств, так же как и при решении показательных неравенств, нужно четко представлять себе, что логарифмическая и показательная функции с основанием, большим единицы, монотонно возрастают, и монотонно убывают с основанием, меньшим единицы, но положительным.

Неравенство

при а > 1 равносильно системе неравенств

log_ax₁<log_ax₂

x₁<x₂

а при 0 < а < 1 - системе неравенств

log_ax₁>log_ax₂

x₁2

Неравенство

равносильно совокупности двух систем неравенств (переменное основание)

18. Первообразная

Функцию, от которой берут производную называется первообразной.

Таблица первообразных.

Функция f (x)

Первообразная F (x)

0

С

1

х

х

sin x

- cos x

cos x

sin x

- сtgx

tgx

e^x

e^x

a^x

19. Неопределенный интеграл

Совокупность всех первообразных функций f (x) называется неопределенным интегралом данной функции и обозначается , при этом f(x) - подинтегральная функция , f(x)dx -подинтегральное выражение.

Таблица основных интегралов

1. ;

9. ;

2. ,

а  - 1;

10. ,

а > 0;

3. ;

11. ;

4. ,

а  - 1, а > 0;

12. ,

а > 0;

5. ;

13. ;

6. ;

14. ,

а > 0;

7. ;

15. ,

b  0;

8. ;

16. .