Министерство образования Московской области
Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Московской области

«Московский областной профессиональный колледж»

^{УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ}

^{ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ ПО МАТЕМАТИКЕ (РАЗДЕЛ СТЕРЕОМЕТРИИ)}

2015 год

^{Учебно-методическое пособие предназначено для студентов по специальностям технического профиля и призвано помочь усвоить курс стереометрии. В данном пособии представлен теоретический материал по основным темам стереометрии в конспективной форме.}

Разработчик: Рыбалкина М.В., преподаватель математики ГБПОУ МО «Московский областной профессиональный колледж»

Учебно - методическое пособие рассмотрено и одобрено на заседании предметной (цикловой) комиссии общеобразовательного и социально-гуманитарного циклов

Протокол № _________ от «____» __________20____ г.

Председатель ПЦК ___________М.В. Данилина

^{Краткое изложение теоретических вопросов сопровождается необходимыми простыми рисунками и формулами для вычисления площадей поверхностей и объемов пространственных тел, изучаемых в разделе стереометрии.}

^{Целью пособия является:}

• ^{оказание помощи обучающимся, пропустившим по тем или иным причинам занятия;}

• ^{воспитание навыков самостоятельной и индивидуальной работы;}

• ^{выработка визуального образного мышления;}

• ^{указание путей и возможностей в дальнейшем для решения стереометрических задач.}

^{Пособие окажет помощь учащимся в создании конспекта по предмету в аудиторных и домашних условиях, поможет в изучении нового материала и в повторении, обобщении и систематизации пройденного, а также поможет в подготовке к экзаменам.}

Профильная составляющая отражается в требованиях к подготовке обучающихся в части:

• общей системы знаний: содержательные примеры использования математических идей и методов в профессиональной деятельности;

• умений: различие в уровне требований к сложности применяемых алгоритмов;

• практического использования приобретенных знаний и умений: индивидуального учебного опыта в построении математических моделей, выполнении исследовательских и проектных работ.

^{Учебно-методическое пособие состоит из трех практических заданий, каждое из которых включает в себя краткий конспект с рисунками и систему контролирующих вопросов и заданий. Результаты практических работ необходимо оформить в тетради, а ответы контролирующих заданий сдать преподавателю для контроля.}

^{Особенностью пособия является наглядность изложения теории, направленная на усвоение теоретических знаний по стереометрии и развитие пространственного воображения и индивидуальных интеллектуальных способностей обучающихся.}

^{Практическое задание № 1. ПРИЗМА}

^{ЦЕЛЬ работы: приобретение и закрепление знаний по теме «Призма».}

^{ХОД работы:}

1. ^{Прочитайте текст.}

2. ^{Выполните краткий конспект в тетради, используйте активно рисунки.}

3. ^{Выполните отдельно контролирующие задания.}

^ПРИЗМА

1. ^{Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих и разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников.}

^{Многоугольники ABCDE = A}₁^B₁^C₁^D₁^{E называются основаниями призмы. Многоугольники AA}₁^B₁^B₁^{, BB}₁^C₁^{C, … (параллелограммы) называются боковыми гранями призмы (рис. 1).}

^{Рис. 1}

^{Отрезки AA}₁^{, BB}₁^{, CC}₁^{… называются боковыми рёбрами. Перпендикуляр HH}₁ ^{опущенный из какой-нибудь точки верхнего основания на плоскость нижнего основания, называется высотой призмы.}

2. ^{Призма называется треугольной, четырёхугольной и т.д., когда её основание-треугольник, четырёхугольник и т.д.}

3. ^{Призма называется наклонной, если её боковые рёбра не перпендикулярны к основаниям.}

4. ^{Призма называется прямой, если её боковые рёбра перпендикулярны основаниям.}

5. ^{Призма называется правильной, если она прямая и её основания - правильные многоугольники.}

6. ^{Плоскость, перпендикулярная к боковому ребру призмы, пересекает её грани. Полученный в сечении многоугольник называется перпендикулярным сечением (рис. 2).}

^{Сечения призмы плоскостью}

^{а) перпендикулярное сечение б) диагональное сечение}

^{рис.2 рис.3}

7. ^{Площадь боковой поверхности - это сумма площадей всех боковых граней.}

8. ^{Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы (на длину бокового ребра), т.е.}

^S=P·H

9. ^{Площадь поверхности призмы - это сумма площадей всех граней.}

10. ^{Развертка}

Площадь полной поверхности призмы

вычисляется по формуле:

S_полн = S_бок + 2S_осн.

^{Рис. 4}

11. Объём прямой призмы вычисляется по формуле: V=S_осн · H

где Н-высота призмы; S_осн- площадь основания призмы.

12. ^{Объем наклонной призмы вычисляется по формулам:}

а)V=S_осн · H б)V=S_ · L

где S_- площадь перпендикулярного сечения; L - боковое ребро

Контролирующие задания к теме «Призма»:

1. Изобразите наклонную пятиугольную призму

а) из одной ее вершины проведите высоту;

б) укажите стрелками элементы призмы;

в) постойте все диагональные сечения этой призмы.

2. Какая призма не имеет диагональных сечений?

3. Перечислите свойства правильной призмы.

4. Выпишите формулы объема и полной поверхности.

^{Практическое задание № 2. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД}

^{ЦЕЛЬ работы: приобретение и закрепление знаний по теме «Параллелепипед».}

^{ХОД работы:}

1. ^{Прочитайте текст.}

2. ^{Выполните краткий конспект в тетради, используйте активно рисунки.}

3. ^{Выполните отдельно контролирующие задания.}

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД

1. Параллелепипедом - называется призма, у которой основаниями служат параллелограммы. Параллелепипеды, как и всякие призмы могут быть прямые и наклонные.

2. Из определения следует:

   • у параллелепипеда все шесть граней - параллелограммы;

   • у прямого параллелепипеда четыре боковые грани - прямоугольники, а два основания - параллелограммы;

   • у прямоугольного параллелепипеда все шесть граней - прямоугольники.

3. В любом параллелепипеде:

   • противоположные грани равны и параллельны;

   • диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

4. Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

5. Квадрат длинны диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

d²=a²+b²+c²

где a, b, c -измерения прямоугольного

параллелепипеда; d-диагональ.

6. Развертка

Площадь полной поверхности параллелепипеда

вычисляется по формуле:

S_полн = S_бок + 2S_осн

7. Объем параллелепипеда вычисляется по формуле:

V=S_осн · H

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

V = a · b · c

где a, b, c - измерения прямоугольного параллелепипеда.

Объем куба вычисляется по формуле:

V=a³

где a - ребро куба.

Контролирующие задания к теме «Параллелепипед»:

1. Какие виды параллелепипедов Вы знаете? Разместите их в схему.

2. Какие свойства параллелепипеда следуют из того, что он частный случай призмы?

3. Чем прямой параллелепипед отличается от наклонного?

4. В параллелепипеде проведено диагональное сечение. На какие многогранники разбился параллелепипед?

5. Сколько боковых граней наклонного параллелепипеда могут быть прямоугольниками?

^{Практическое задание № 3. ПИРАМИДА}

^{ЦЕЛЬ работы: приобретение и закрепление знаний по теме «Пирамида».}

^{ХОД работы:}

^{1. Прочитайте текст.}

^{2. Выполните краткий конспект в тетради, используйте активно рисунки.}

^{3. Выполните отдельно контролирующие задания.}

ПИРАМИДА

1. Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника - основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания, - вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания. На рисунке изображена пирамида SABCD, где АВСD - основание, точка S - вершина. Треугольники SAB, SBC, SCD, CDA называются боковыми гранями. Прямые SA, SB SC, SD называются боковыми рёбрами пирамиды. Перпендикуляр SO, опущенный из вершины на основание, называется высотой пирамиды и обозначается Н.

2. Сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагонали, основания, называется диагональным сечением пирамиды.

ASC и BSD диагональные сечения

3. Пирамида называется треугольной, четырёхугольной и т.д., если её основание - треугольник, четырёхугольник и т.д.

4. Пирамида называется правильной, если основание её - правильный многоугольник, а высота её проходит через центр основания.

5. Боковые грани правильной пирамиды - равнобедренные треугольники, равные вежду собой.

6. Высота боковой грани правильной пирамиды называется апофемой пирамиды.

7. Треугольная пирамида называется также тетраэдром. Если все четыре грани тетраэдра - правильные треугольники, то и тетраэдр называется правильным.

8. Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной основанию, то:

   • боковые рёбра и высота разделяется на пропорциональные части;

   • в сечении получатся многоугольник, подобной основанию;

   • площадь сечения и основания относятся как квадраты их расстояний от вершины.

   • объём двух подобных тел относятся как кубы их соответствующих линейных размеров.

9. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему.

S_бок =ph

где p-полупериметр основания; h- апофема.

11. Развертка пирамиды

Площадь полной поверхности вычисляется по формуле:

S_полн=S_бок+S_осн

12. Объём пирамиды вычисляется по формуле:

V=1/3 S_осн ·Н

13. Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной основанию, то получится новый многогранник, который называется усечённой пирамидой.

На рисунке треугольник ABC - нижнее основание, треугольник MNK - верхнее основание.

14. Для усечённой пирамиды площадь полной поверхности вычисляется по формуле:

S_полн=S_бок+S₁+S₂

где S₁-площадь нижнего основания;

S₂-площадь верхнего основания.

16. Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:

где h - высота усеченного конуса.

Контролирующие задания к теме «Пирамида»:

1. Изобразите правильную четырехугольную пирамиду и покажите на ней стрелками основные элементы.

2. Нарисуйте развертку правильной четырехугольной пирамиды. Как найти площадь ее полной поверхности?

3. Перечислите свойства правильной пирамиды.

4. В пирамиде проведено сечение параллельно ее основанию. Как называются полученные части пирамиды?

5. Сколько диагональных сечений имеет шестиугольная пирамида?

ЛИТЕРАТУРА

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. 10-11 кл. (базовый и профильный уровни) М.: Просвещение, 2014.

2. Афанасьева О.Н., Бродский Я.С., Павлов А.Л. Математика для техникумов. - М.: Наука, 2013.

3. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2012.

4. Погорелов А. В. Геометрия. 10-11 кл. - М. Дрофа, 2012.