Преподавателю
Математика
Поисково-исследовательская работа Дудина Ивана Геометрия Лобачевского

Поисково-исследовательская работа Дудина Ивана Геометрия Лобачевского

Раздел	Математика
Класс	7 класс
Тип	Конспекты
Автор	Беда О.В.
Дата	09.02.2016
Формат	doc
Изображения	Есть

Поделитесь с коллегами:

Поисково-исследовательская работа «Геометрия Лобачевского»

Цели: 1. Познакомиться с геометрией Лобачевского.

2. Провести эксперимент «Иллюзии зрения».

3. Выяснить отличия геометрии Евклида от геометрии Лобачевского.

4. Рассмотреть мифы о геометрии Лобачевского.

5. Узнать существуют ли, кроме геометрии Лобачевского еще неевклидовы геометрии, кто их автор и особенности.

6. Найти применение неевклидовых геометрий.

В этом учебном году я начал изучение интереснейшей науки - геометрии.

Пространство вокруг все, что нас окружает,

Уметь чтоб легко описать без труда,

Учитель нам в школе один помогает,

Без этой науки совсем никуда!

Ее геометрией древние греки

Назвали в далекие древние годы,

Они измеряли и земли, и реки,

Ища в их течениях тихие броды…

Первые уроки показали, что мы уже многое изучали на уроках математики. Все аксиомы и теоремы были на столько очевидны, что даже было непонятно, а что же в них доказывать и обосновывать. Новым было то, что свойства геометрических фигур были доказаны еще две тысячи лет тому назад в знаменитом труде под названием «Начала», которые создал великий древнегреческий математик Евклид, живший в 3 веке до нашей эры. А мы изучали, изучаем и применяем в жизни Евклидову геометрию.

…«Начала» Евклида - отчета начало,

Основой всех знаний считается в ней,

Две тысячи лет с той поры миновало,

Собой геометрия стала сложней,

Она развивалась как все в этом мире,

И знаний глубоких все больше несла,

Законы в ней, формулы люди открыли,

О ней написав аксиом без числа…

Но каково же было мое удивление, когда при изучении темы «Параллельные прямые», я узнал, что существует еще геометрия Лобачевского и другие неевклидовы геометрии. И мне стало интересно, а в чем же их особенности и отличия от такой привычной, знакомой и очевидной геометрии Евклида. Первый вопрос который возник передо мной - это почему возникла геометрия Лобачевского?

И провел эксперимент «Иллюзии зрения», в котором приняло участие 29 человек и нужно было ответить на 3 вопроса:

Видите ли вы движение на картинке?
Буквы стоят параллельно т.е. прямо или нет?
Что вы видите на рисунке окружности разного диаметра или спираль?

Правильные ответы: движенья нет, буквы параллельны, а на третьем рисунке окружности.

Есть движение ответило - 65,5% участников эксперимента, буквы не параллельны - 89%, на рисунке видят спираль вместо окружностей - 92%.

Поэтому был сделан вывод: в геометрии истинность каждого утверждения необходимо доказывать, нельзя полагаться только на наблюдения.

Положительный момент: благодаря зрительным искажениям существует живопись.

Все! Перечеркнуты "Начала".

Довольно мысль на них скучала,

Хоть прав почти во всем Евклид,

Но быть не вечно постоянству:

И плоскость свернута в пространство,

И мир иной имеет вид...

ВЫВОД: Заменив V постулат евклидовой геометрии на аксиому, Лобачевский пришел к выводу, что можно построить другую геометрию, отличную от евклидовой.

В основе всей геометрии греческого математика Евклида лежало несколько простых первоначальных утверждений (аксиом), которые принимались за истинные без доказательств. Из аксиом путем доказательств выводились более сложные утверждения, из тех выводились еще более сложные.

Особый интерес математиков всегда вызывала пятая аксиома о параллельных прямых. В отличие от остальных аксиом элементарной геометрии, аксиома параллельных не обладает свойством непосредственной очевидности. Поэтому на всем протяжении истории геометрии имели место попытки доказать аксиому параллельных, то есть вывести ее из остальных аксиом геометрии.

Евклидова аксиома о параллельных:

через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, лежащая с данной прямой в одной плоскости и не пересекающая её.

Аксиома Лобачевского о параллельных:

через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.

ВЫВОД: Геометрия Лобачевского отличается от евклидовой лишь в одной аксиоме - пятой. Но главное различие кроется в понимании самой природы пространства.

Нельзя сказать, что неевклидова геометрия единственно правильная. На данный момент к ней нет никаких претензий. Но, может быть, через много лет она устареет - или это произойдет быстрее? Так или иначе, но наука никогда не будет стоять на месте.

Как показали исследования, геометрия Лобачевского (в то числе и 5-ый постулат) совершенно верна, если ее рассматривать не на плоскости, а на поверхности гиперболического параболоида (вогнутой поверхности, напоминающей седло).

Любая теория современной науки считается единственно верной, пока не создана следующая. Это своеобразная аксиома развития науки.

Был мудрым Евклид, но его параллели,

Как будто бы вечные сваи легли.

И мысли его, что как стрелы летели,

Всегда оставались в пределах Земли.

А там, во вселенной, другие законы,

Там точками служат иные тела.

И там параллельных лучей миллионы

Природа сквозь Марс, может быть, провела.

О геометрии Лобачевского существует 5 мифов, которые хотелось бы развеять.

Миф первый. Геометрия Лобачевского не имеет ничего общего с Евклидовой.

На самом деле геометрия Лобачевского не слишком сильно отличается от привычной нам Евклидовой. Дело в том, что из пяти постулатов Евклида четыре первых Лобачевский оставил без изменения. То есть он согласен с Евклидом в том, что между двумя любыми точками можно провести прямую, что ее всегда можно продолжить до бесконечности, что из любого центра можно провести окружность с любым радиусом, и что все прямые углы равны между собой. Не согласился Лобачевский только с пятым, наиболее сомнительным с его точки зрения постулатом Евклида. Звучит его формулировка чрезвычайно мудрено, но если переводить ее на понятный простому человеку язык, то получается, что, по мнению Евклида, две непараллельные прямые обязательно пересекутся. Лобачевский сумел доказать, что это иначе.

Миф второй. В теории Лобачевского параллельные прямые пересекаются

Это не так. На самом деле пятый постулат Лобачевского звучит так: "На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит более чем одна прямая, не пересекающая данную". Иными словами, для одной прямой можно провести как минимум две прямые через одну точку, которые не будут ее пересекать. То есть в этом постулате Лобачевского речи о параллельных прямых вообще не идет! Говорится лишь о существовании нескольких непересекающихся прямых на одной плоскости. Таким образом, предположение о пересечении параллельных прямых родилось из-за незнания сути теории великого российского математика.

Миф третий. Геометрия Лобачевского - единственная неевклидова геометрия

Неевклидовы геометрии - это целый пласт теорий в математике, где основой является отличный от Евклидова пятый постулат. Лобачевский, в отличие от Евклида, к примеру, описывает гиперболическое пространство. Существует еще теория, описывающая сферическое пространство - это геометрия Римана. Вот в ней-то как раз параллельные прямые пересекаются. Классический тому пример из школьной программы - меридианы на глобусе. Если посмотреть на лекало глобуса, то окажется, что все меридианы параллельны. Меж тем, стоит нанести лекало на сферу, как мы видим, что все ранее параллельные меридианы сходятся в двух точках - у полюсов. Вместе теории Евклида, Лобачевского и Римана называют "три великих геометрии".

Модель Клейна

В 1882г немецкий математик Феликс Христиан Клейн создал модель плоскости Лобачевского под названием бутылка Клейна.

Интересный факт: название, по-видимому, происходит от неправильного перевода немецкого слова Fläche (поверхность), которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche (бутылка).

В отличие от обыкновенной бутылки у этого объекта нет «края», где бы поверхность резко заканчивалась. В отличие от воздушного шара можно пройти путь изнутри наружу, не пересекая поверхность (то есть на самом деле у этого объекта нет «внутри» и нет «снаружи»).

Миф четвертый. Геометрия Лобачевского не применима в реальной жизни

Напротив, современная наука приходит к пониманию, что Евклидова геометрия - лишь частный случай геометрии Лобачевского, и что в реальный мир точнее описывается именно формулами русского ученого. Сильнейшим толчком к дальнейшему развитию геометрии Лобачевского стала теория относительности Альберта Эйнштейна, которая показала, что само пространство нашей Вселенной не является линейным, а представляет собой гиперболическую сферу. Между тем, сам Лобачевский, несмотря на то, что всю жизнь работал над развитием своей теории, называл ее "воображаемой геометрией". Развитие естествознания (главным образом физики и астрономии) показало, что евклидова геометрия описывает структуру окружающего нас пространства лишь с определённой степенью точности и не пригодна для описания свойств пространства, связанных с перемещениями тел со скоростями, близкими к скорости света. Астрономам после признания достижений Лобачевского пришлось пересчитывать все расстояния между звездами - и ошибки достигали 1/6.

Миф пятый. Лобачевский первым создал неевклидову геометрию

Это не совсем так. Параллельно с ним и независимо от него к подобным выводам пришли венгерский математик Янош Бойяи и знаменитый немецкий ученый Карл Фридрих Гаусс. Однако труды Яноша не были замечены широкой публикой, а Карл Гаусс и вовсе предпочел не издаваться. Поэтому именно наш ученый считается первопроходцем в этой теории. Однако существует несколько парадоксальная точка зрения, что первым неевклидову геометрию придумал сам Евклид. Дело в том, что он самокритично считал свой пятый постулат не очевидным, поэтому большую часть из своих теорем он доказал, не прибегая к нему.

Карла Гаусса (1777-1855) принято считать одним из величайших математиков всех времен. Он первым подошел к проблеме с современной точки зрения, согласно которой геометрию, отрицающую пятый постулат, надлежит развивать ради нее самой, не ожидая, что при этом возникнет какое-то противоречие. Письма Гаусса к друзьям говорят о том, что к 1816 он преодолел традиционный предрассудок относительно неизбежности противоречия и развил «антиевклидову» геометрию, удовлетворяющую гипотезе Саккери об остром угле. Но, опасаясь насмешек, он воздерживался от публикации этих идей и тем самым позволил разделить честь открытия гиперболической геометрии (примерно в 1825) венгру Я.Бойяи (1802-1860) и русскому Н.И.Лобачевскому (1793-1856). Бойяи опубликовал свою работу до того, как услышал о Лобачевском, а последний, судя по всему, так никогда и не узнал об исследованиях Бойяи.

Вывод:

Несмотря на все кажущиеся странности, геометрия Лобачевского является настоящей геометрией нашего мира, и Евклидова является только её составной частью. Но в пределах ежедневных измерений Евклидова геометрия дает ничтожно малые ошибки, и мы пользуемся именно ею.

Меня зовут Дудин Иван, я ученик 7 класса. Представляю вам поисково-исследовательскую работу «Геометрия Лобачевского»

Цели: 1. Познакомиться с геометрией Лобачевского.

2. Провести эксперимент «Иллюзии зрения».

3. Выяснить отличия геометрии Евклида от геометрии Лобачевского.

4. Рассмотреть мифы о геометрии Лобачевского.

5. Узнать существуют ли, кроме геометрии Лобачевского еще неевклидовы геометрии, кто их автор и особенности.

6. Найти применение неевклидовых геометрий.

В этом учебном году я начал изучение интереснейшей науки - геометрии.

Пространство вокруг все, что нас окружает,

Уметь чтоб легко описать без труда,

Учитель нам в школе один помогает,

Без этой науки совсем никуда!

Ее геометрией древние греки

Назвали в далекие древние годы,

Они измеряли и земли, и реки,

Ища в их течениях тихие броды…

…«Начала» Евклида - отчета начало,

Основой всех знаний считается в ней,

Две тысячи лет с той поры миновало,

Собой геометрия стала сложней,

Она развивалась как все в этом мире,

И знаний глубоких все больше несла,

Законы в ней, формулы люди открыли,

О ней написав аксиом без числа…

И провел эксперимент «Иллюзии зрения», в котором приняло участие 29 человек и нужно было ответить на 3 вопроса:

Видите ли вы движение на картинке?
Буквы стоят параллельно т.е. прямо или нет?
Что вы видите на рисунке окружности разного диаметра или спираль?

Правильные ответы: движенья нет, буквы параллельны, а на третьем рисунке окружности.

Положительный момент: благодаря зрительным искажениям существует живопись.

Все! Перечеркнуты "Начала".

Довольно мысль на них скучала,

Хоть прав почти во всем Евклид,

Но быть не вечно постоянству:

И плоскость свернута в пространство,

И мир иной имеет вид...

Заменив V постулат евклидовой геометрии на аксиому, Лобачевский пришел к выводу, что можно построить другую геометрию, отличную от евклидовой.

Евклидова аксиома о параллельных:

Аксиома Лобачевского о параллельных:

Геометрия Лобачевского отличается от евклидовой лишь в одной аксиоме - пятой. Но главное различие кроется в понимании самой природы пространства.

Был мудрым Евклид, но его параллели,

Как будто бы вечные сваи легли.

И мысли его, что как стрелы летели,

Всегда оставались в пределах Земли.

А там, во вселенной, другие законы,

Там точками служат иные тела.

И там параллельных лучей миллионы

Природа сквозь Марс, может быть, провела.

О геометрии Лобачевского существует 5 мифов, которые хотелось бы развеять.

Миф первый. Геометрия Лобачевского не имеет ничего общего с Евклидовой.

Миф второй. В теории Лобачевского параллельные прямые пересекаются

Миф третий. Геометрия Лобачевского - единственная неевклидова геометрия

Миф четвертый. Геометрия Лобачевского не применима в реальной жизни

Миф пятый. Лобачевский первым создал неевклидову геометрию

Вывод:

Приложение

ЕВКЛИД III век до н. э.

Поисково-исследовательская работа Дудина Ивана Геометрия Лобачевского Евклид (365 г.д.э. - 300 г.д.э). О жизни Евклида известно очень мало. Предположительная дата рождения - 365г. до нашей эры. Некоторые биографические данные дошли до наших дней со страниц арабской рукописи XII века: "Евклид, сын Наукрата, известный под именем Геометра, ученый старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира". Из жизни ученого достоверно известно, что он был учеником Платона, имя Евклида упоминается в письме Архимеда к философу Досифею. Известно также, что Евклид был моложе учеников Платона (427-347 до н. э.), но старше Архимеда (ок. 287-212 до н. э.), так как, с одной стороны, был платоником и хорошо знал философию Платона, а с другой стороны - его имя упоминается в первом из двух писем Архимеда к Досифею "О шаре и цилиндре". С именем Евклида связывают становление
александрийской математики как науки.

Египетский правитель Птолемей I привлекал в Египет ученых и поэтов. Для этого был создан храм муз - Мусейон. Тут были и комнаты для занятий, и зоологический сад, и астрономическая башня. Ну и конечно знаменитая Александрийская библиотека. Приглашенный вместе с многими другими учеными Евклид основал в Александрии, египетской столице, математическую школу.
Для учеников этой школы Евклид создал свой фундаментальный труд по геометрии под общим названием "Начала". Работа была написана около 325 года до нашей эры и состояла из тринадцати книг. В них были изложены основы стереометрии, планометрии,алгебры, теории чисел. Евклид описал и методы определения объемов, площадей. "Начала" пользовались огромной популярностью, книги многократно на протяжении многоих лет переиздавались, до XX века труды Евклида считались основным учебником по геометрии и для школ, и для университетов. Ученому принадлежат также и многие другие труды. Это и "Оптика", и "Явления", и "Катоптрика", и "Данные". Евклидом был написан трактат "Сечения канона", составлен сборник задач по делению площадей фигур, названный "О делениях".

Предполагается, что Евклид скончался в Александрии в 300 году до нашей эры.

Главная работа Евклида - "Начала" (лат. Elementa) - содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел (например, алгоритм Евклида); состоит из 13-ти книг, к которым присоединяют две книги о пяти правильных многогранниках, иногда приписываемых Гипсиклу Александрийскому. В "Началах" он подвёл итог предшествующему развитию греческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики. На протяжении более двух тысячелетий евклидовы "Начала" оставались основным трудом по элементарной математике.

Из других математических сочинений Евклида надо отметить "О делении фигур", сохранившееся в арабском переводе, четыре книги "Конические сечения", материал которых вошёл в одноимённое произведение Аполлония Пергского, а также "Поризмы", представление о которых можно получить из "Математического собрания" Паппа Александрийского.

В трудах Евклида дано систематическое изложение т. н. евклидовой геометрии, система аксиом которой опирается на следующие основные понятия: точка, прямая, плоскость, движение и следующие отношения: "точка лежит на прямой на плоскости", "точка лежит между двумя другими". В современном изложении систему аксиом евклидовой геометрии разбивают на следующие пять групп.

I. Аксиомы сочетания. 1) Через каждые две точки можно провести прямую и притом только одну. 2) На каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Существуют хотя бы три точки, не лежащие на одной прямой. 3) Через каждые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну. 4) На каждой плоскости есть по крайней мере три точки и существуют хотя бы четыре точки, не лежащие в одной плоскости. 5) Если две точки данной прямой лежат на данной плоскости, то и сама прямая лежит на этой плоскости. 6) Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют ещё одну общую точку (и, следовательно, общую прямую).

II. Аксиомы порядка. 1) Если точка В лежит между А и С, то все три лежат на одной прямой. 2) Для каждых точек А, В существует такая точка С, что В лежит между А и С. 3) Из трёх точек прямой только одна лежит между двумя другими. 4) Если прямая пересекает одну сторону треугольника, то она пересекает ещё другую его сторону или проходит через вершину (отрезок AB определяется как множество точек, лежащих между А и В; соответственно определяются стороны треугольника).

III. Аксиомы движения. 1) Движение ставит в соответствие точкам точки, прямым прямые, плоскостям плоскости, сохраняя принадлежность точек прямым и плоскостям. 2) Два последовательных движения дают опять движение, и для всякого движения есть обратное. 3) Если даны точки А, A' и полуплоскости a, a', ограниченные продолженными полупрямыми а, а', которые исходят из точек А, A', то существует движение, и притом единственное, переводящее А, а, a в A', a', a' (полупрямая и полуплоскость легко определяются на основе понятий сочетания и порядка).

IV. Аксиомы непрерывности. 1) Аксиома Архимеда: всякий отрезок можно перекрыть любым отрезком, откладывая его на первом достаточное число раз (откладывание отрезка осуществляется движением). 2) Аксиома Кантора: если дана последовательность отрезков, вложенных один в другой, то все они имеют хотя бы одну общую точку.

V. Аксиома параллельности Евклида. Через точку А вне прямой а в плоскости, проходящей через А и а, можно провести лишь одну прямую, не пересекающую а.

Возникновение евклидовой геометрии тесно связано с наглядными представлениями об окружающем нас мире (прямые линии - натянутые нити, лучи света и т. п.). Длительный процесс углубления наших представлений привёл к более абстрактному пониманию геометрии. Открытие Н. И. Лобачевским геометрии, отличной от евклидовой, показало, что наши представления о пространстве не являются априорными. Иными словами, евклидова геометрия не может претендовать на роль единственной геометрии, описывающей свойства окружающего нас пространства. Развитие естествознания (главным образом физики и астрономии) показало, что евклидова геометрия описывает структуру окружающего нас пространства лишь с определённой степенью точности и не пригодна для описания свойств пространства, связанных с перемещениями тел со скоростями, близкими к световой. Т. о., евклидова геометрия может рассматриваться как первое приближение для описания структуры реального физического пространства.

Евклид - автор ряда работ по астрономии, оптике, музыке и др. Арабские авторы приписывают Евклиду и различные трактаты по механике, в том числе сочинения о весах и об определении удельного веса.

Биография: Лобачевский Николай Иванович

Род деятельности : Учёный, Математик

Страна: Россия

Категория: Наука

Знак зодиака: Скорпион

Дата рождения: 1 Декабря 1792г.

Дата cмерти: 24 Февраля 1856г.

Биография добавлена: 1 Апреля 2014г.

Николай Иванович Лобачевский (20 ноября (1 декабря) 1792 , Нижний Новгород - 12 (24) февраля 1856, Казань), великий русский математик, создатель геометрии Лобачевского, деятель университетского образования и народного просвещения. Известный английский математик Уильям Клиффорд назвал Лобачевского «Коперником геометрии».

Н. И. Лобачевский родился в Нижнем Новгороде. Его родителями были Иван Максимович Лобачевский (чиновник в геодезическом департаменте) и Прасковья Александровна Лобачевская. В 1800 году после смерти отца мать вместе с семьёй переехала в Казань.

Жить - значит чувствовать, наслаждаться жизнью, чувствовать непременно новое, которое бы напоминало, что мы живём… Будем же дорожить жизнью, пока она не теряет своего достоинства. Пусть примеры в истории, истинное понятие о чести, любовь к отечеству, пробуждения в юных летах, дадут заранее…благородное направление страстям.
(из статьи «О важнейших предметах воспитания» 5 июля 1828)

Лобачевский Николай Иванович

Там Лобачевский окончил гимназию (1802-1807), а затем (1807-1811) и только что основанный Казанский Императорский университет, которому отдал 40 лет жизни.

Большое влияние во время обучения в университете на Лобачевского оказал Мартин Фёдорович Бартельс - друг и учитель великого немецкого математика Карла Фридриха Гаусса. Он взял шефство над бедным, но одарённым студентом.

На старшем курсе в характеристику Лобачевского включили «мечтательное о себе самомнение, упорство, неповиновение», а также «возмутительные поступки» и даже «признаки безбожия».Над ним нависла угроза отчисления, но заступничество Бартельса и других преподавателей помогло отвести опасность.

По окончании университета Лобачевский получил степень магистра по физике и математике с отличием (1811) и был оставлен при университете. В 1814 году стал адъюнктом, спустя 2 года - экстраординарным, и в 1822 году - ординарным профессором. Студенты высоко ценили лекции Лобачевского.

Круг его обязанностей был обширен - чтение лекций по математике, астрономии и физике, комплектация и приведение в порядок библиотеки и музея и т. д. В списке служебных обязанностей есть даже «наблюдение за благонадёжностью» всех учащихся Казани.

В 1819 году в Казань приехал ревизор (М. Л. Магницкий), который дал крайне отрицательное заключение о состоянии дел в университете. Магницкого назначили попечителем; он уволил 9 профессоров, ввёл строгую цензуру лекций и казарменный режим. Бартельс уехал в Дерпт, а Лобачевского назначили деканом физико-математического факультета.

В эти годы он пишет учебники по геометрии и алгебре; первый из них был осуждён за использование метрической системы мер, а второй вообще не был напечатан.

В 1826 г. Магницкий был смещён с должности попечителя за злоупотребления. Назначается новый попечитель (М. Н. Мусин-Пушкин). Лобачевский избирается ректором университета.

Он с головой погружается в хозяйственные дела - реорганизация штата, строительство механических мастерских, лабораторий и обсерватории, поддержание библиотеки и минералогической коллекции, участвует в издании «Казанского Вестника» и т. п.

Многое он делает собственными руками. Читает научно-популярные лекции по физике для населения. И одновременно он неустанно развивает и шлифует дело своей жизни - неевклидову геометрию.

В 1832 году Лобачевский женился на Варваре Алексеевне Моисеевой. У них родилось семеро детей.
1834: вместо «Казанского вестника» начинается издание «Учёных записок Казанского университета».

Лобачевский был ректором Казанского университета в период с 1827 по 1846 годы, пережив эпидемию холеры (1830) и сильнейший пожар (1842), уничтоживший половину Казани.

Благодаря энергии и умелым действиям ректора жертвы и потери в обоих случаях были минимальны. Усилиями Лобачевского Казанский университет становится первоклассным, авторитетным и хорошо оснащённым учебным заведением, одним из лучших в России.

20 ноября 1845 года Лобачевский был в шестой раз утвержден в должности ректора на новое четырёхлетие. Несмотря на это, в 1846 году Министерство грубо отстраняет Лобачевского от должности ректора и профессорской кафедры (официально - по причине ухудшения здоровья).

Формально он получил даже повышение - был назначен помощником попечителя, однако жалованья ему за эту работу не назначили.

Вскоре Лобачевский разорён, имение его жены было продано за долги. В 1852 году умирает старший сын Лобачевского. Здоровье его самого подорвано, слабеет зрение. Главный труд учёного, «Пангеометрия» записывают под диктовку ученики слепого учёного в 1855 году.

Похоронен на Арском кладбище в Казани.

В 1892 году в России и в других странах широко отметили 100-летний юбилей Лобачевского. Была учреждена международная премия (Медаль Лобачевского, 1895), в Казани открыт памятник учёному (1896).

200-летие Лобачевского отмечалось в 1992 году. Банком России была выпущена памятная монета в серии «Выдающиеся личности России».

В честь Лобачевского назван кратер на Луне. Его имя носят также улицы в Москве и Казани, научная библиотека Казанского университета. 20 марта 1956 г. вышел указ президиума Верховного Совета СССР о присвоении Горьковскому (Нижегородскому) университету имени Н. И. Лобачевского.

Сохранились студенческие записи лекций Лобачевского (от 1817 года), где им делалась попытка доказать пятый постулат Евклида, но в рукописи учебника «Геометрия» (1823) он уже отказался от этой попытки.

В «Обозрениях преподавания чистой математики» за 1822/23 и 1824/25 Лобачевский указал на «до сих пор непобедимую» трудность проблемы параллелизма и на необходимость принимать в геометрии в качестве исходных понятия, непосредственно приобретаемые из природы.

7 февраля 1826 года Лобачевский представил для напечатания в Записках физико-математического отделения сочинение: «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных» (на французском языке). Но издание не осуществилось.

Рукопись и отзывы не сохранились, однако само сочинение было включено Лобачевским в его труд «О началах геометрии» (1829-1830), напечатанный в журнале «Казанский вестник». Это сочинение стало первой в мировой литературе серьёзной публикацией по неевклидовой геометрии, или геометрии Лобачевского.

Лобачевский считает аксиому параллельности Евклида произвольным ограничением. С его точки зрения, это требование слишком жёсткое, ограничивающее возможности теории, описывающей свойства пространства.

В качестве альтернативы предлагает другую аксиому: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит более чем одна прямая, не пересекающая данную.

Разработанная Лобачевским новая геометрия не включает в себя евклидову геометрию, однако евклидова геометрия может быть из неё получена предельным переходом (при стремлении кривизны пространства к нулю). В самой геометрии Лобачевского кривизна отрицательна.

Однако научные идеи Лобачевского не были поняты современниками. Его труд «О началах геометрии», представленный в 1832 году советом университета в Академию наук, получил у М. В. Остроградского отрицательную оценку. Среди коллег его почти никто не поддерживает, растут непонимание и невежественные насмешки.

Венцом травли стал издевательский анонимный пасквиль, появившийся в журнале Ф.Булгарина «Сын отечества» в 1834 году:

Как можно подумать, чтобы г. Лобачевский, ординарный профессор математики, написал с какой-нибудь серьёзной целью книгу, которая немного бы принесла чести и последнему школьному учителю? Если не учёность, то по крайней мере здравый смысл должен иметь каждый учитель, а в новой геометрии нередко недостает и сего последнего.

Но Лобачевский не сдаётся. В 1835-1838 он публикует в «Учёных записках» статьи о «воображаемой геометрии», а затем выходит наиболее полная из его работ «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных».

Не найдя понимания на родине, он пытается найти единомышленников за рубежом. В 1840 году Лобачевский печатает на немецком языке «Геометрические исследования по теории параллельных», где содержится чёткое изложение его основных идей. Один экземпляр получает Гаусс, «король математиков» той поры.

Как много позже выяснилось, Гаусс и сам тайком развивал неевклидову геометрию, однако так и не решился опубликовать что-либо на эту тему.

Ознакомившись с результатами Лобачевского, он выразил свою симпатию к идеям русского учёного косвенно: рекомендовал избрать Лобачевского иностранным членом-корреспондентом Гёттингенского королевского общества. Восторженные отзывы о Лобачевском Гаусс доверил только своим дневникам и самым близким друзьям.

Это избрание состоялось в 1842 году. Однако положения Лобачевского оно не укрепило. Ему осталось работать в родном университете ещё четыре года.

Лобачевский не был единственным исследователем в этой новой области математики. Венгерский математик Янош Бойяи независимо от Лобачевского в 1832 году опубликовал своё описание неевклидовой геометрии. Но и его работы остались неоценёнными современниками.
Юбилейная медаль 1895 года

Лобачевский умер непризнанным. Спустя несколько десятилетий ситуация в науке коренным образом изменилась. Большую роль в признании трудов Лобачевского сыграли исследования Э. Бельтрами (1868), Ф. Клейна (1871), А. Пуанкаре (1883) и др.

Появление модели Клейна доказало, что геометрия Лобачевского так же непротиворечива, как и евклидова. Осознание того, что у евклидовой геометрии имеется полноценная альтернатива, произвело огромное впечатление на научный мир и придало импульс другим новаторским идеям в математике и физике.

Лобачевский получил ряд ценных результатов и в других разделах математики: так, в алгебре он разработал новый метод приближённого решения уравнений, в математическом анализе получил ряд тонких теорем о тригонометрических рядах, уточнил понятие непрерывной функции и др.

В разные годы он опубликовал несколько блестящих статей по математическому анализу, алгебре и теории вероятностей, а также по механике, физике и астрономии.

Ученики

А. Ф. Попов

В 1956 году был опубликован художественно-биографический роман «Лобачевский», автор: Иван Петрович Заботин.

В 1950-е годы американский сатирик, певец и математик Том Лерер написал сатиричекую песню, посвященную Лобачевскому, пользовавшуюся популярностью в интеллектуальных кругах в США.

В этой песне он представляет Лобачевского как своего учителя, который научил его плагиату. Стоит отметить, что Лобачевский попал в эту песню в основном потому, что его фамилия была близка по своему звучанию к герою пародируемой Лерером песни - Станиславскому.

В фантастическом романе Пола Андерсона «Операция "Хаос"» призрак Лобачевского был призван героями для помощи в измерении, подчиняющемся законам неевклидовой геометрии.

Труды

Н. И. Лобачевский. Полное собрание сочинений в пяти томах. М.: ГИТТЛ.

Том 1, 1946 год.
*Геометрические исследования по теории параллельных линий.
*О началах геометрии.

Том 2, 1949 год.
*Геометрия. Новые начала геометрии с полной теорией параллельных.

Том 3, 1951 год.
*Воображаемая геометрия.
*Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам.
*Пангеометрия.

Тома 4-5, 1951 год.
*Работы в других областях, письма.

Н. И. Лобачевский. Геометрические исследования по теории параллельных линий, Перевод, комментарии, вступительные статьи и примечания профессора В. Ф. Кагана. М.-Л.: изд-во Академии Наук СССР, 1945, 176 с, djvu.

Н. И. Лобачевский. Геометрические исследования по теории параллельных линий. 1941, pdf.

Н. И. Лобачевский. О началах геометрии.(1 часть). Воображаемая геометрия. (1 часть). Новые начала геометрии с полной теорией параллельных (Вступление).

Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию её идей. М.: Гостехиздат, 1956.

Лобачевский Николай Иванович цитаты

Поисково-исследовательская работа Дудина Ивана Геометрия Лобачевского Жить - значит чувствовать, наслаждаться жизнью, чувствовать непрестанно новое, которое бы напоминало, что мы живем. Поисково-исследовательская работа Дудина Ивана Геометрия Лобачевского

Поисково-исследовательская работа Дудина Ивана Геометрия Лобачевского Ученый должен идти по непроторенным путям, несмотря на препятствия.

Поисково-исследовательская работа Дудина Ивана Геометрия Лобачевского ...Разум, без сомнения, принадлежит исключительно человеку; разум это значит известные начала суждения, в которых как бы отпечатались первые действующие причины вселенной и которые соглашают, таким образом, все наши заключения с явлениями в природе, где противоречия существовать не могут. Поисково-исследовательская работа Дудина Ивана Геометрия Лобачевского

Поисково-исследовательская работа Дудина Ивана Геометрия Лобачевского Первые понятия, с которых начинается какая-нибудь наука, должны быть ясны и приведены к самому меньшему числу. Тогда только они могут служить прочным и достаточным основанием учения. Поисково-исследовательская работа Дудина Ивана Геометрия Лобачевского

Поисково-исследовательская работа Дудина Ивана Геометрия Лобачевского ...Гением быть нельзя, кто не родился. В этом-то искусство воспитателей: открыть гений, обогатить его знанием. Поисково-исследовательская работа Дудина Ивана Геометрия Лобачевского

Все цитаты Лобачевский Николай Иванович

Поисково-исследовательская работа Дудина Ивана Геометрия Лобачевского Лобачевский Николай Иванович (1792-1856), математик, создатель неевклидовой геометрии.

Родился 1 декабря 1792 г. в Нижнем Новгороде. Отец умер, когда мальчику исполнилось семь лет, и мать вместе с тремя сыновьями переехала в Казань.

Лобачевский окончил Казанский университет. В 1814 г. он приступил к чтению лекций по теории чисел, а в 1827 г., уже будучи профессором, был избран в ректоры и занимал эту должность в течение 19 лет.

Громкая слава Лобачевского основана на его геометрических изысканиях. К 1826 г. он определил разработанную им систему как «воображаемую геометрию» в отличие от «употребительной», евклидовой.

Открытие Лобачевского было впервые сжато изложено в феврале 1826 г. на заседании отделения физико-математических наук и затем представлено в статье «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» («Учёные записки Казанского университета», 1835 г.).

Европейские учёные узнали о работах Лобачевского лишь в 1840 г., и уже в 1842 г. он был избран членом-корреспондентом Гёттингенского научного общества.

Лобачевскому принадлежит также ряд работ по математическому анализу. Он дал общее определение функциональной зависимости. В алгебре известен его метод приближённого решения уравнений любой степени; учёный первым в России опубликовал курс высшей алгебры.

В Казанском университете Лобачевский читал лекции по астрономии и проводил астрономические наблюдения. Благодаря его энтузиазму при университете была построена новая обсерватория, одна из лучших по тому времени. Она начала работать в 1838 г., на год раньше Пулковской (ныне Главная астрономическая обсерватория РАН, близ Петербурга).

Скончался 24 февраля 1856 г. в Казани.

В 1883-1886 гг. Казанский университет издал «Полное собрание сочинений по геометрии Лобачевского». В 1893 г. в честь столетия со дня рождения Лобачевского ему воздвигли памятник в Казани на собранные по международной подписке средства. В 1895 г. Казанское физико-математическое общество учредило премию имени Лобачевского за выдающиеся работы в области геометрии. Эту награду поныне присуждает Российская академия наук.

Биография

В начале XX века Клейн принял активное участие в реформе школьного образования, автор и инициатор ряда исследований состояния дел с преподаванием математики в разных странах.

Сайт: Википедия

Феликс Клейн родился в Дюссельдорфе, в семье чиновника. Образование получил в Боннском университете (1865-1868), где был учеником Плюккера.

1868: Плюккер умер. Клейн, к этому времени его ассистент, совершает поездку по Германии, знакомится с Клебшем и другими крупными математиками. Особенное влияние на него оказал Софус Ли.

1870: в самое неудачное время (назревает франко-прусская война) вместе с Ли приезжает в Париж, где знакомится с Дарбу и Жорданом. После начала войны возвращается в Германию, где чуть не становится жертвой спутника войны - эпидемии тифа.

1872: профессор Эрлангенского университета, по рекомендации Клебша. Публикует знаменитую «Эрлангенскую программу» и сразу приобретает общеевропейскую известность.

1875: профессор Высшей технической школы в Мюнхене. Женится на Анне Гегель, внучке знаменитого философа.

1876: совместно с Адольфом Майером становится главным редактором журнала «Mathematische Annalen».

1880: переходит в Лейпцигский университет.

1882-1884: серьёзная болезнь по причине переутомления. Клейн переориентирует свою гигантскую энергию на педагогическую и общественную работу.

1888: профессор Гёттингенского университета. Ведёт яркие, глубокие и содержательные факультативные курсы по самым разнообразным предметам, от теории чисел до технической механики. Слушатели его курсов приезжали со всех концов мира.

Клейн способствовал созданию при Гёттингенском университете системы научно-исследовательских институтов для прикладных исследований в самых разных технических областях. Участвовал в издании полного собрания сочинений Гаусса и первой Математической энциклопедии. Представлял Гёттингенский университет в парламенте. Надо отметить, что с началом Первой мировой войны Клейн не участвовал в многочисленных тогда шовинистических акциях.

1924: широко отмечается 75-летие Клейна. В следующем году те же газеты опубликовали его некролог.

Научная деятельность

К середине XIX века геометрия разделилась на множество плохо согласованных разделов: евклидова, сферическая, гиперболическая, проективная, аффинная, риманова, многомерная, комплексная и т. д.; на рубеже веков к ним добавились ещё псевдоевклидова геометрия и топология.

Клейну принадлежит идея алгебраической классификации различных отраслей геометрии в соответствии с теми классами преобразований, которые для этой геометрии несущественны. Более точно выражаясь, один раздел геометрии отличается от другого тем, что им соответствуют разные группы преобразований пространства, а объектами изучения выступают инварианты таких преобразований.

Например, классическая евклидова геометрия изучает свойства фигур и тел, сохраняющиеся при движениях без деформации; ей соответствует группа, содержащая вращения, переносы и их сочетания. Проективная геометрия может изучать конические сечения, но не имеет дела с кругами или углами, потому что круги и углы не сохраняются при проективных преобразованиях. Топология исследует инварианты произвольных непрерывных преобразований (кстати, Клейн отметил это ещё до того, как родилась топология). Изучая алгебраические свойства групп преобразований, мы можем открыть новые глубокие свойства соответствующей геометрии, а также проще доказать старые. Пример: медиана есть аффинный инвариант; если в равностороннем треугольнике медианы пересекаются в одной точке, то и в любом другом это будет верно, потому что любой треугольник можно аффинным преобразованием перевести в равносторонний и обратно.

Клейн высказал все эти идеи в выступлении 1872 года «Vergleichende Betrachtungen tiber neuere geometrische Forschungen» («Сравнительное рассмотрение новых геометрических исследований») [1], получившем название «Эрлангенской программы». Оно привлекло внимание математиков всей Европы тем, что не только давало новое представление и предмете геометрии, но и намечало ясную перспективу дальнейших исследований. На новом уровне повторилось открытие Декарта: алгебраизация геометрии позволила получить результаты, для старых инструментов крайне затруднительные или вовсе недостижимые. Влияние «Эрлангенской программы» на дальнейшее развитие геометрии было исключительно велико.

В последующие 3 года Клейн опубликовал более 20 работ по неевклидовой геометрии, теории групп Ли, теории многогранников и эллиптическим функциям. Одним из важнейших его достижений стало первое доказательство н

епротиворечивости геометрии Лобачевского; для этого он построил её интерпретацию в евклидовом пространстве (см. модель Клейна).

Клейн напечатал ряд работ о решении уравнений 5-й, 6-й и 7-й степеней, об интегрировании дифференциальных уравнений, об абелевых функциях, о неэвклидовой геометрии. Его труды печатались главным образом в «Mathematische Annalen», редактором которых он с 1875 года был вместе с Адольфом Майером. Позже он исследовал автоморфные функции, теорию волчка.

Лекции Клейна пользовались большой популярностью, многие из них были неоднократно переизданы и переведены на множество языков. Он также опубликовал несколько монографий по анализу, сводящих воедино достгнутые на тот момент результаты.

Ещё при жизни Клейна вышел трёхтомник его Собрания сочинений.

Биография Гаусса Карла Фридриха

Гаусс Карл Фридрих (Carl-Friedrich Gauss) (23.04.1777 - 23.02.1855) - знаменитый немецкий математик.

Родился 23 апреля 1777 года в Брауншвейге и с раннего возраста обнаружил выдающиеся математические способности.

Рассказывают, что, будучи трех лет, Гаусс решал числовые задачи и любил чертить геометрические фигуры. Юный вычислитель был представлен герцогу Карлу Вильгельму Фердинанду Брауншвейгскому и нашел в нем покровителя, принявшего живое участие в его воспитании.

В 1784 г. Гаусс поступил в начальную школу в Брауншвейге, а в 1789 году - в коллегию того же города. В 1794 году Гаусс поступил в гёттингенский университет, где занимался под руководством профессора Кестнера.

В 1795 г. Гаусс отправился в Гельмштатд, где пользовался советами известного математика Пфаффа. Там же написана им докторская диссертация; в которой дано новое доказательство теоремы, что всякое алгебраическое уравнение имеет корень.

Возвратясь в Брауашвейг, Гаусс начинает публиковать многочисленный ряд мемуаров, которые в короткое время дали молодому математику европейскую известность.

Еще не достигнув 25-ти лет, Гаусс выступил с знаменитым трактатом по теории чисел: "Disquisitiones arithmeticae" (1801). По богатству материала, ряду прекрасных открытий, разнообразию и остроумию доказательств это сочинение до сих пор считается основным при изучении теории чисел. Между прочим, укажем на прекрасную теорию двучленных уравнений в этом сочинении, показывающую, между прочим, что можно при помощи циркуля и линейки вписать в круг правильный семнадцатиугольник. Продолжая занятия теорию чисел, а также и другими отраслями анализа, Гаусс публикует ряд солидных работ по астрономии.

В 1807 году Гаусс получает приглашение в с. петербургскую академию наук, но, по настоянию Ольберса, отказывается в 9 июня этого года назначается директором обсерватории Гётгингена и профессором университета того же города. В этих двух должностях Гаусс оставался до конца своей долгой и трудовой жизни. С этого времени Гаусс посвящает большую часть своего времени астрономическим работам, продолжая впрочем заниматься также различными частями анализа.

Из астрономических работе выдающеюся является "Theoria motus corporum coelestium" - мемуар, заключающий массу ценных замечаний для вычисления элементов планетных и кометных орбит. Из приемов, предложенных Гауссом для удобства астрономических выкладок, мы укажем на введение и употребление логарифмов сумм и разностей.

Трактуя вопросы теоретической астрономии и небесной механики в ряде замечательных работ, Гаусс не забывает и практической астрономии, причем его работы имели целью развить способы получать из наблюдений вероятнейшие результаты; с этою целью Гаусс развивает особенный способ, известный под названием способа наименьших квадратов.

Из чисто математических работ укажем на следующие: "Summatio quarundam serieriam singularium" (1808-1810); "О гипергеометрическом ряде" (1811-1813 гг.); "Об определении наибольшего эллипса, вписанного в данный четырехугольник" (1810 г.); "О протяжении эллипсоидов" (1838 г.); "Новый способ приближенного вычисления интегралов"(1814 г.); "Определение притяжения на точку планеты, масса которой распределена по орбите" (1818 г.) (эта работа имеет связь с теорией вековых возмущений); "Мемуары по теории биквадратичных вычетов, в которых впервые введено в теорию чисел понятие о целых комплексных числах вида a+bi"; "Disquisitiones generales circa superficies curvas" (1827), с теоремою о неизменяемости кривизны при изгибании поверхности без складок и разрыва; "Об изображении одной поверхности на другой с подобием в бесконечно малых частях" (1828 г.).

С прибытием в Геттинген Вебера, Гаусс заинтересовался земным магнетизмом. Первый мемуар Гаусса по теории магнетизма был "Intensitas vis magneticae terrestris ad mensuram absolutam revocata" (1833). Работая вместе с Вебером, Гаусс изобрел новый прибор для наблюдения земного магнетизма и его изменений.

Замечательно, что в 1833 г. геттингенская магнитная обсерватория была соединена с городом Нейбургом проволокой, по которой подавались сигналы при помощи гальванического тока, по телеграфной системе Гаусса.

С 1821 г. Гаусс принимал участие в датской и ганноверской триангуляции, причем увеличил точность результатов важными усовершенствованиями. Между прочим, им изобретен инструмент назыв. гелиотропом.

В 1838 г. им была построена в Геттингене образцовая магнитная обсерватория и основано общество под названием: "Magnetisches Verein", издававшее в 1836-1839 гг. журнал "Resultate der Beobachtungen des Magnetischen Vereins".

В 1838 и 1839 гг. помещены в этом журнале два важных мемуара Г. : "Allgemeine Theorie der Erdmagnetismus" и "Allgemeine Lehrsatze in Beziebung auf die im verkehrten Verhaltnisse des Quadrats der Entfernung virkenden Anziehungs und "Abstossungskrafte". Инструменты и методы наблюдения геттингенской обсерватории получили всемирное распространение.

Из работ по физике укажем еще на "Dioptrische Untersuchungen" (1840).

Под конец своей плодотворной деятельности Г. занимался геодезией и издал по этому предмету два мемуара под заглавием: "Untersuchungen uber Gegeastande der hоhеrеn Geodasie" (1846-1847).

В Гауссу мы видим человека с универсальными математическими способностями; им затрагивались почти все главные отрасли чистой и прикладной математики, причем всюду девизом автора было: раnса sed matura (немного, но зрело); он оставил неопубликованными много работ, считая их не достаточно обработанными.

Гаусс всегда стремился к оригинальности; затрагивая уже ранее разрабатывавшийся вопрос, казалось, что ученый не знаком с предшествовавшими работами, так оригинальны приемы и формы, которые Гаусс придавал изложению. К сожалению, эта оригинальность методы при излишней лаконичности изложения делает многие места сочинений Гаусса весьма трудными для читателя.

Замечательная способность Гаусса к числовым выкладкам обнаружилась во многих его работах, о чем свидетельствуют посмертные рукописи, как, например, таблица превращения в десятичные обыкновенных дробей со знаменателем меньшим 997. Большого труда стоили автору также таблицы для счета классов квадратичных форм и разложения на множителей чисел вида: а2+1, а2+4, а2+9,... а2+81.

Карл Фридрих Гаусс 23 февраля 1855 года.

В 1868-1871 гг. королевское ученое общество в Гёттингене издало под редакцией Шеринга полное собрание сочинений, в семи томах.

В 1880 г. Гауссу поставлена в Брауншвейге бронзовая статуя. Ср. Winnecke, "G. Ein Umris seines Lebens u. Wirkens" (1877); Hanselmann, "Gr. Zwolf Kapitel aus seinem Leben" (1878). Его переписка: с Шумахером издана в 1860-1862 гг., с Гумбольдтом - в 1877 г. и с Бесселем - в 1880 г. Д. Граве.

загрузить