МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ САМАРСКОЙ ОБЛАСТИ

государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Сызранский политехнический техникум»

Методические указания для студентов

по выполнению практических занятий

ПД.01 МАТЕМАТИКА

«общеобразовательный цикл»

основной профессиональной образовательной программы

по специальностям технического профиля

Сызрань, 2014

ОДОБРЕНО

УТВЕРЖДЕНО

предметной (цикловой) комиссией

Методическим советом

математических и общих естественнонаучных дисциплин

ГБОУ СПО «СПТ»

Протокол № ______

Протокол № ______

от «___» _____________2014 г.

от «___» _____________2014 г.

Заместитель директора по учебной

Председатель: _____ Ю.Е.Кветкина

работе:____________Е.В.Вернер

Составитель: Разиева Т.С., преподаватель математики ГБОУ СПО «СПТ»

Методические указания для выполнения практических занятий) являются частью основной профессиональной образовательной программы ГБОУ СПО «СПТ» по специальностям технического профиля в соответствии с требованиями ФГОС СПО третьего поколения.

Методические указания по выполнению практических занятий адресованы студентам очной формы обучения.

Методические указания включают в себя учебную цель, перечень образовательных результатов, заявленных во ФГОС СПО третьего поколения, задачи, обеспеченность занятия, краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме, вопросы для закрепления теоретического материала, задания для практических занятий студентов и инструкцию по ее выполнению, методику анализа полученных результатов, порядок и образец отчета о проделанной работе.

СОДЕРЖАНИЕ

Название практических занятий

стр.

1

Построение графиков функций

7

2

Преобразование алгебраических выражений

10

3

Преобразование графиков тригонометрических функций

13

4

Преобразование тригонометрических выражений

16

5

Решение тригонометрических уравнений

19

6

Решение практических задач с применением вероятностных

методов

21

7

Вычисление пределов функции в точке и на бесконечности

26

8

Вычисление производной по формулам дифференцирования

29

9

Построение графиков функций

31

10

Вычисление интегралов

34

11

Вычисление площади поверхности многогранников

37

12

Вычисление объёма многогранников и тел вращения

40

Введение

УВАЖАЕМЫЙ СТУДЕНТ!

Методические указания по дисциплине ПД.01 МАТЕМАТИКА для выполнения практических занятий созданы Вам в помощь для работы на занятиях, подготовки к практическим занятиям, правильного составления отчетов.

Приступая к выполнению практического задания, Вы должны внимательно прочитать цель и задачи занятия, ознакомиться с требованиями к уровню Вашей подготовки в соответствии с федеральными государственными стандартами третьего поколения (ФГОС-3), краткими теоретическими и учебно-методическими материалами по теме практического задания, ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

В результате освоения дисциплины ПД.01 МАТЕМАТИКА Вы должны:

знать/понимать:

• значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;

• значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии;

• универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности;

• вероятностный характер различных процессов окружающего мира;

уметь:

• выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений;

• находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах;

• выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

• решать рациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения, сводящиеся к линейным и квадратным, а также аналогичные неравенства и системы;

• использовать графический метод решения уравнений и неравенств;

• изображать на координатной плоскости решения уравнений, неравенств и систем с двумя неизвестными;

• составлять и решать уравнения и неравенства, связывающие неизвестные величины в текстовых (в том числе прикладных) задачах.

• вычислять значение функции по заданному значению аргумента при различных способах задания функции;

• определять основные свойства числовых функций, иллюстрировать их на графиках;

• строить графики изученных функций, иллюстрировать по графику свойства элементарных функций;

• использовать понятие функции для описания и анализа зависимостей величин;

• распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями;

• описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении;

• анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве;

• изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач;

• строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды;

• решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

• использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

• проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;

• находить производные элементарных функций;

• использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков;

• применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения;

• вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла;

• решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул;

• вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов.

В процессе выполнения внеаудиторной самостоятельной работы у Вас должны быть сформированы общие компетенции (ОК):

ОК 1. Понимать сущность и общественную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовать собственную деятельность, выбирать типовые методы решения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентировать в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

Все задания к практическому занятию Вы должны выполнять в соответствии с инструкцией, анализировать полученные в ходе занятия результаты по приведенной методике.

Отчет о практическом занятии Вы должны выполнить по приведенному алгоритму, опираясь на образец.

Наличие положительной оценки по практическим занятиям необходимо для получения зачета по дисциплине или допуска к экзамену, поэтому в случае отсутствия на уроке по любой причине или получения неудовлетворительной оценки за практическое занятие Вы должны найти время для его выполнения или пересдачи.

Внимание! Если в процессе подготовки к практическим занятиям или при решении задач у Вас возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается, необходимо обратиться к преподавателю для получения разъяснений или указаний в дни проведения дополнительных занятий.

Время проведения дополнительных занятий можно узнать у преподавателя или посмотреть на двери его кабинета.

Желаем Вам успехов!!!

РАЗДЕЛ 1. АЛГЕБРА

Тема 1.2 Числовые функции

Практическое занятие № 1. Построение графиков функций

Учебная цель:

Применять на практике основополагающие понятия по теме «Функции и их свойства».

Учебные задачи:

1. Повторить основные понятия по теме «Функция».

2. Повторить свойства функции.

3. Применять свойства функции к построению графиков функций.

Обеспеченность занятия:

1. Тетрадь для практических занятий

2. Раздаточные материалы (инструкционные карты)

3. Ручка.

4. Карандаш простой.

5. Чертежные принадлежности: (линейка).

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия

Числовой функцией называется такое соответствие между числовым множеством Х и множеством R действительных чисел, при котором каждому числу из множества Х сопоставляется единственное число из множества R. Множество Х называют областью определения функции. Функции обозначают буквами f, g, h и др. Если f - функция, заданная на множестве Х, то действительное число у, соответствующее числу х их множества Х, часто обозначают f(x) и пишут у = f(x).

Переменную х при этом называют аргументом. Множество чисел вида f(x) называют областью значений функции.

Основные свойства функции:

1. Четность и нечетность. Функция y=f(x) называется четной, если для любых значений х из области определения f(-x)=f(x), и называется нечетной, если f(-x)=-f(x). В противном случае функция y=f(x) называется функцией общего вида.

2. Монотонность. Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке Х из области определения, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.

3. Ограниченность. Функция y=f(x) называется ограниченной на некотором промежутке Х из области определения, если существует число М>0, такое, что для любого .

4. Периодичность. Функция y=f(x) называется периодической с периодом Т>0, если для любых значений х из области определения f(x+T)=f(x-T)=f(x).

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Сформулируйте определение числовой функции.

2. Что называют областью определения функции?

3. Что называют графиком функции?

4. Перечислите способы задания функции.

5. Какую функцию называют возрастающей (убывающей)?

6. Какую функцию называют четной (нечетной)?

7. Какое число называют наименьшим (наибольшим) значением функции?

8. Какая функция называется ограниченной?

Задания для практического занятия:

I вариант

II вариант

1. Найти область определения функции:

1) ;

2) .

1) ;

2) .

2. Установить четность или нечетность функции

3. Построить график функции:

1)

2)

1)

2) .

Инструкция по выполнению практического занятия

При выполнении заданий рассмотрите примеры:

Пример 1. Найти область определения функции

5. 

6. 

7. 

8. ).

9. 2)

10. 

11. 

12. ).

13. 3)

14. 

15. 

16. 

Пример 2. Установить четность или нечетность функции.

Порядок выполнения отчёта по практической работе:

1. Выполнить задания 1-3.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала (устно).

3. Оформить отчёт по практической работе.

Образец отчёта по практической работе:

Раздел.

Тема.

Учебная цель.

Название практической работы.

Решение заданий практической работы.

Ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.

Тема 1.3 Степени и корни. Степенные функции

Практическое занятие № 2. Преобразование алгебраических выражений

Учебная цель:

Формирование навыков выполнять преобразования алгебраических выражений.

Учебные задачи:

1. Повторить свойства степени с натуральным показателем и целым показателем.

2. Выработать навык работы со степенями с рациональным показателем.

3. Учить рассуждать и логически мыслить.

Обеспеченность занятия:

1. Тетрадь для практических занятий

2. Раздаточные материалы (инструкционные карты)

3. Ручка.

4. Карандаш простой.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия

Степень с натуральным показателем

Определение Степенью числа а с натуральным показателем n(n>1)

называется произведение n сомножителей, каждый из которых равен а.

Пример 1. Вычислить: .

15³21²

(3 5) ³

(3 7) ²

₃3

5³3²

7 ²

₃5

5³7²

3 5 15.

35²3⁴

(5

7) ² 3⁴

5²7 ²3⁴

3⁴

5²7²

Степень с целым показателем

Определение: Если a≠0, то a⁰=1. Выражение 0⁰ не имеет смысла.

Определение: Если a≠0, и n- натуральное, то .

Выражение 0^-n не имеет смысла

Пример 1. Вычислить: .

.

Пример 2. Упростите:

Степень с рациональным показателем

Определение. Если a>0 и x- рациональное число, представленное дробью ,

где m - целое, и n≥2 - натуральное число, то: ;

если и , то a^x 0.

Например:

,

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Что называют степенью с натуральным показателем?

2. Что называют степенью с целым показателем?

3. Что называют степенью с рациональным показателем?

4. Свойства степени?

5. Чему равно выражение 0⁰?

6. Какой вид имеет рациональное число?

7. В виде обыкновенной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби можно представить рациональное или иррациональное число?

8. В виде бесконечной десятичной непериодической дроби какое число можно представить?

9. Все свойства степени с натуральным показателем верны и для степени любым рациональным показателем, но с каким основанием?

10. Какая ошибка в записи свойств степени?

    

    

    

    

    

11. Найди ошибку в записи =

12. Согласны ли вы с этим решением ==?

Задания для практического занятия:

I вариант

II вариант

1. Представьте выражение в виде степени с рациональным показателем:

а) ; б) ; в) ;

а) ; б) ; в) ;

2. Представьте выражение в виде корня из числа или выражения

а) ; б) ; в)

а) ; б) ; в) ;

3.Вычислите:

а) ; б)

в) ; г) ;

а) ; б)

в) ; г) ;

4. Упростите выражения

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

4. Выполните действия:

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

Инструкция по выполнению практического занятия

1. Познакомиться с конспектами лекций и краткой теоретической справкой.

2. Ответить устно на контрольные вопросы.

3. Используя конспекты лекций и краткие теоретические и учебно-методические материалы, решить практические задания.

Порядок выполнения отчёта по практической работе:

1. Выполнить задания 1-3.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала (устно).

3. Оформить отчёт по практической работе.

Образец отчёта по практической работе:

Тема.

Учебная цель.

Название практической работы.

Решение заданий практической работы.

Ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.

Тема 1.5 Тригонометрические функции

Практическое занятие № 3. Преобразование графиков тригонометрических функций

Учебная цель:

На конкретных примерах научиться преобразовывать графики тригонометрических функций.

Учебные задачи:

1. Выработать навык построения графика с помощью таблицы первой четверти и ранее изученных свойств тр. функций.

2. Сформировать понимание геометрического преобразования графиков.

3. Учить рассуждать и логически мыслить,

Обеспеченность занятия:

1. Тетрадь для практических занятий

2. Раздаточные материалы (инструкционные карты)

3. Ручка.

4. Карандаш простой.

5. Чертежные принадлежности: (линейка).

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия

Пример1.

Построить график функции

Решение:

Искомый график получается из графика функции в результате параллельного переноса вдоль оси абсцисс в отрицательном направлении на единиц.

Пример2.

Построить график функции

Решение:

В начале график функции перенесем параллельно вдоль оси абсцисс на единиц в отрицательном направлении. Затем последний график перенесем параллельно вдоль оси ординат на 1 единицу вверх.

Пример 3.

Построить график функции

Решение:

Первый шаг - параллельный перенос графика функции вдоль оси абсцисс на единиц в отрицательном направлении. Получим график Затем симметрия относительно оси абсцисс. Получим график Теперь растянем последний график от оси абсцисс в два раза ( увеличим расстояние от каждой точки графика до оси абсцисс в два раза).

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Как называется график функции y=sin x. Какими свойствами обладает эта функция?

2. Как называется график функции y= cos x. Какими свойствами обладает эта функция?

3. Как называется график функции y= tg x. Какими свойствами обладает эта функция?

4. Как называется график функции y= ctg x. Какими свойствами обладает эта функция?

5. Перечислите основные преобразования графиком функций.

Задания для практического занятия:

Постройте графики функций:

Инструкция по выполнению практического занятия

1. Познакомиться с конспектами лекций и краткой теоретической справкой

2. Ответить устно на контрольные вопросы.

3. Используя конспекты лекций, решить практические задания.

Порядок выполнения отчёта по практической работе:

1. Выполнить задания 1-3.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала (устно).

3. Оформить отчёт по практической работе.

Образец отчёта по практической работе:

Тема.

Учебная цель.

Название практической работы.

Решение заданий практической работы.

Ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.

Тема 1.6 Преобразование тригонометрических выражений

Практическое занятие № 4. Преобразование тригонометрических выражений

Учебная цель:

На конкретных примерах научиться преобразовывать тригонометрические выражения.

Учебные задачи:

1. Развивать умение использовать формулы тригонометрии для преобразования выражений.

2. Вычислять значения тригонометрических выражений, используя формулы и таблицу.

3. Учить рассуждать и логически мыслить,

4. Учить самостоятельно мыслить.

Обеспеченность занятия:

1. Тетрадь для практических занятий

2. Раздаточные материалы (инструкционные карты)

3. Ручка.

4. Карандаш простой.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия

Значения тригонометрических функций некоторых углов

0

sin

0

1

0

-1

cos

1

0

-1

0

tg

0

1

-

0

-

ctg

-

1

0

-

0

Основное тригонометрическое тождество и следствия из него:

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Какие функции называются тригонометрическими?

2. Дайте определение функции синус; косинус; тангенс; котангенс.

3. При каких углах не определен тангенс? котангенс?

4. Назовите значения тригонометрических функций углов 30, 45, 60.

5. Какие значения может принимать синус? косинус? тангенс? котангенс?

6. Определите знаки тригонометрических функций в зависимости от того, в какой четверти находится аргумент.

7. Назовите основные тригонометрические тождества.

Задания для практического занятия:

1 вариант

2 вариант

1. Вычислите:

а)

б)

а)

б)

2. Найдите значение выражения:

а)

б)

а)

б)

3. Упростите выражение:

а)

б)

а)б)

2. Найдите значение

, если

, если

, если

, если

Инструкция по выполнению практического занятия

1. Познакомиться с конспектами лекций и краткой теоретической справкой

2. Ответить устно на контрольные вопросы.

3. Используя конспекты лекций, решить практические задания.

Порядок выполнения отчёта по практической работе:

1. Выполнить задания 1-3.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала (устно).

3. Оформить отчёт по практической работе.

Образец отчёта по практической работе:

Тема.

Учебная цель.

Название практической работы.

Решение заданий практической работы.

Ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.

Тема 1.7. Тригонометрические уравнения

Практическое занятие № 5. Решение тригонометрических уравнений

Учебная цель:

Формирование навыков решения тригонометрических уравнений.

Учебные задачи:

1. Научить различать различные виды тригонометрических уравнений, подбирать нужный алгоритм решения тригонометрического уравнения.

2. Учить рассуждать и логически мыслить.

Обеспеченность занятия:

1. Тетрадь для практических занятий

2. Раздаточные материалы (инструкционные карты)

3. Ручка.

4. Карандаш простой.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия

При |а| > 1 уравнения sin x = a и cos x = a корней не имеют!

Если правая часть уравнения - отрицательное число, то следует воспользоваться свойствами соответствующих обратных тригонометрических функций, тогда:

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Назовите общее решение простейших тригонометрических уравнений.

2. При каком значении а уравнения sin x = a и cos x = a не имеют корней?

Задания для практического занятия:

1 вариант

2 вариант

1.Решите тригонометрические уравнения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) .

2.Решить уравнение, сделав подстановку

1) ;

2) ;

1) ;

2) .

3.Решить уравнение методом разложения на множители

1) ;

2) ;

1) ;

2) .

4.Решите уравнение, упростив левую часть:

1) ;

2) ;

1) ;

2) ;

Инструкция по выполнению практического занятия

1. Познакомиться с конспектами лекций и краткой теоретической справкой

2. Ответить устно на контрольные вопросы.

3. Используя конспекты лекций, решить практические задания.

Порядок выполнения отчёта по практической работе:

1. Выполнить задания 1-3.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала (устно).

3. Оформить отчёт по практической работе.

Образец отчёта по практической работе:

Тема.

Учебная цель.

Название практической работы.

Решение заданий практической работы.

Ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.

Тема 2.3 Элементы математической статистики

Практическое занятие № 6. Решение практических задач с применением вероятностных методов

Учебная цель:

Научиться решать практические задачи с применение вероятностных методов.

Учебные задачи:

1. Проверить навык вычисления вероятности.

2. Научить решать задачи с практическим содержанием.

3. Выработать навык применения формулы Бернулли и формулы Байеса.

4. Учить рассуждать и логически мыслить,

Обеспеченность занятия:

1. Тетрадь для практических занятий

2. Раздаточные материалы (инструкционные карты)

3. Ручка.

4. Карандаш простой.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия

Пусть событие может наступить при условии появления одного из несовместных событий , , …, , которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности , , …, события . В поставленных условиях вероятность события можно найти по формуле:

формулу называют формулой полной вероятности;

события , , …, называют гипотезами.

Формула Байеса( Бейеса)

Пусть H₁,H₂,...,H_n - полная группа событий и А - некоторое событие. Тогда по формуле для условной вероятности

(1)

Здесь P(H_k /A) - условная вероятность события (гипотезы) H_k или вероятность того, что H_k реализуется при условии, что событие А произошло.

По теореме умножения вероятностей числитель формулы (1) можно представить в виде

P = P= P(A /H_k) P(H_k)

Для представления знаменателя формулы (1) можно использовать формулу полной вероятности P(A)

Теперь из (1) можно получить формулу, называемую формулой Байеса:

По формуле Байеса исчисляется вероятность реализации гипотезы H_k при условии, что событие А произошло. Формулу Байеса еще называют формулой вероятности гипотез. Вероятность P(H_k) называют априорной вероятностью гипотезы H_k, а вероятность P(H_k /A) - апостериорной вероятностью.

Теорема. Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании, деленному на полную вероятность этого события.

Формула Бернулли

Схема Бернулли - это когда производится n однотипных независимых опытов, в каждом из которых может появиться интересующее нас событие A, причем известна вероятность этого события P(A) = p. Требуется определить вероятность того, что при проведении n испытаний событие A появится ровно k раз.

Теорема Бернулли: Вероятность наступления ровно k успехов в n независимых повторениях одного и того же испытания находится по формуле:

где p - вероятность «успеха», q = 1- p - вероятность «неудачи» в отдельном опыте.

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Что называют полной группой события?

2. Дайте определение независимого события.

3. Дайте определение условной вероятности.

4. Дайте определение совместных событий.

5. Дайте определение несовместных событий.

6. Сформулируйте правило умножения вероятностей.

7. Сформулируйте правило умножения вероятностей.

8. Что называется факториалом числа n?

9. Сформулируйте теорему умножения событий.

10. Сформулируйте теорему сложения событий.

11. Формула условной вероятности.

12. Формула полной вероятности.

Задания для практического занятия:

1.Из урны, в которой находится N белых и M черных шаров, вынимают наудачу R шара. Какова вероятность того, что R шаров окажутся черными.

Вариант

N

М

1)

12

7

2

2)

11

6

2

3)

10

5

3

4)

9

4

1

5)

8

3

2

6)

7

5

2

7)

6

4

2

8)

9

7

3

9)

10

5

2

10)

12

6

3

2. В ящике находится М деталей (разложены в случайном порядке). Из них стандартных деталей N. Рабочий берет наудачу три детали. Найти вероятность того, что, по крайней мере, одна из взятых деталей окажется стандартной (событие А).

Вариант

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

М

20

21

22

13

16

18

20

12

11

9

N

4

3

6

8

7

4

6

4

5

4

3. Из 10 лотерейных билетов два выигрыш. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов один выигрышный.

4. В НИИ работает 120 человек, из них 70 знают английский язык, 80 - немецкий, 50 - оба языка. Найти вероятность того, что выбранный наудачу сотрудник не знает ни одного иностранного языка.

5. Решить задачу по формуле Байеса. Из 10 учеников, которые пришли на экзамен по математике, трое подготовились отлично, четверо - хорошо, двое - удовлетворительно, один - не подготовился. В билетах 20 вопросов. Отлично подготовившиеся ученики могут ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовившиеся - на 16, удовлетворительно - на 10 и не подготовившиеся - на 5 вопросов. Каждый ученик получает наугад 3 вопроса из 20. Приглашенный первым ученик ответил на все 3 вопроса. Найти вероятность того, что он отличник.

6. Решить задачу по формуле Бернулли. Вероятность приема радиосигнала при каждой передаче равна 0,8. Найти вероятность того, что при пятикратной передаче сигнал будет принят ровно 4 раза.

7. Баскетболист забрасывает мяч в корзину с вероятностью попадания Р =0,4. Что вероятнее: ожидать попадание трех мячей при четырех бросках или попадание четырех мячей при шести бросках?

8. На остановке останавливаются 5 маршрутов автобусов, 3 маршрута троллейбусов и 2 маршрута трамваев. В нужном направлении следует 1 автобус, 2 трамвая и 2 троллейбуса. Найти вероятность того, что первым появится нужный транспорт.

7. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 3, либо 5, либо тому и другому одновременно.

Инструкция по выполнению практического занятия

Познакомьтесь с конспектами лекций и краткой теоретической справкой. При решении практических заданий, рассмотрите примеры.

Пример 1. На контроль поступают детали с двух станков. Производительность станков не одинакова. На первом станке изготовляют всех деталей, на втором - . Вероятность брака на первом станке на втором - . Найти вероятность того, что поступившая на контроль деталь бракованная.

Решение. Событие - поступившая на контроль деталь бракованная.

и - события означающие, что деталь сделана соответственно на первом и втором станке.

Тогда по условию задачи:

.

Искомая вероятность:

.

Пример 2. В условиях задачи 1, проверенная деталь оказалась бракованной. Определить вероятность того, что она была изготовлена на первом станке.

Решение. Искомая вероятность -вероятность, что деталь изготовлена на первом станке, при условии что уже известно, что деталь бракованная.

По формуле Бейеса:

.

Из примера 1: ; ; .

Искомая вероятность:

.

Пример 3. Монета бросается 10 раз. Какова вероятность двукратного появления герба?

Решение. Число опытов n=10, m= 2. Событие А - «успех» - выпадение герба. Тогда .

Ответ: 0,04395.

Порядок выполнения отчёта по практической работе:

1. Решите задачи.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала (устно).

3. Оформить отчёт по практической работе.

Образец отчёта по практической работе:

Тема.

Учебная цель.

Название практической работы.

Решение заданий практической работы.

Ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.

Тема 3.1 Производная

Практическое занятие № 7. Вычисление пределов функции в точке и на бесконечности

Учебная цель:

На конкретных примерах научиться вычислять пределы функции в точке и на бесконечности.

Учебные задачи:

1. Закрепить умение вычислять пределы непрерывной функции.

2. Научиться раскрывать неопределенности.

3. Учить рассуждать и логически мыслить.

Обеспеченность занятия:

1. Тетрадь для практических занятий

2. Раздаточные материалы (инструкционные карты)

3. Ручка.

4. Карандаш простой.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия

Типы неопределенностей и методы их раскрытия

Часто при вычислении пределов какой-либо функции, непосредственное применение теорем о пределах не приводит к желаемой цели. Так, например, нельзя применять теорему о пределе дроби, если ее знаменатель стремится к нулю. Поэтому часто прежде, чем применять эти теоремы, необходимо тождественно преобразовать функцию, предел которой мы ищем. Рассмотрим некоторые приемы раскрытия неопределенностей.

I. Неопределенность вида

Пример 1. Вычислить предел

Решение: При подстановке вместо переменной х числа 5 видим, что получается неопределенность вида . Для ее раскрытия нужно разложить знаменатель на множители: х² -25 = (х-5)*(х+5), получили общий множитель (х-5), на который можно сократить дробь. Заданный предел примет вид: . Подставив х=5, получим результат: ===

Пример 2. Вычислить предел

Решение: При подстановке вместо переменной х числа 3 видим, что получается неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель х-3. В результате получим новый предел, знаменатель которого при подстановке вместо переменной х числа 3 не равен нулю. Этот предел легко вычисляется по теоремам. Таким образом, неопределенность будет раскрыта.

Пример 3. Вычислить предел

Решение: При подстановке вместо переменной х числа 0 видим, что получается неопределенность вида . Для ее раскрытия воспользуемся первым замечательным пределом и его следствием . После чего предел легко вычисляется по теоремам. Таким образом, неопределенность будет раскрыта.

I I. Неопределенность вида

Пример 4. Вычислить предел

Решение: При подстановке вместо переменной х бесконечности () видим, что получается неопределенность вида . Для ее раскрытия нужно числитель и знаменатель разделить на наивысшую степень, в данном случае на х. Получим:

==, т.к. величины являются бесконечно малыми и их пределы равны 0.

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Дать определение предела переменной величины.

2. Перечислить свойства пределов.

3. Дать определение б.м. и б.б. величин.

4. Даны величины: ; ; ;. Предел каких величин равен 0 при а?

Задания для практического занятия:

1 вариант

2 вариант

Вычислите пределы:

1) ;

2) ;

3)

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9)

10)

1) ;

2) ;

3)

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8)

9)

10)

Инструкция по выполнению практического занятия

1. Познакомиться с конспектами лекций и примерами в краткой теоретической справке

2. Ответить устно на контрольные вопросы.

3. Используя конспекты лекций и примеры, решить практические задания.

Порядок выполнения отчёта по практической работе:

1. Выполнить задания 1-3.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала (устно).

3. Оформить отчёт по практической работе.

Образец отчёта по практической работе:

Тема.

Учебная цель.

Название практической работы.

Решение заданий практической работы.

Ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.

Тема 3.1 Производная

Практическое занятие № 8. Вычисление производной по формулам дифференцирования

Учебная цель:

На конкретных примерах научиться находить производные различных функций.

Учебные задачи:

1. Закрепить умение вычислять производной функции.

2. Учить рассуждать и логически мыслить.

Обеспеченность занятия:

1. Тетрадь для практических занятий

2. Раздаточные материалы (инструкционные карты)

3. Ручка.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия

Таблица производных основных элементарных функций:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Дать определение производной.

2. Записать формулы дифференцирования.

3. Чему равна производная постоянной?

Задания для практического занятия:

1 вариант

2 вариант

1.Найдите производную:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

2.Вычислить производную функции, используя правила дифференцирования

1) ;

2) ;

3) ;

1) ;

2) ;

3) .

3.Решите уравнения f' (х) = 0.

f' (х) = + - х² - 3х;

f' (х) = + х³- - 2х

Инструкция по выполнению практического занятия

1. Познакомиться с конспектами лекций и краткой теоретической справкой

2. Ответить устно на контрольные вопросы.

3. Используя конспекты лекций, решить практические задания.

Порядок выполнения отчёта по практической работе:

1. Выполнить задания.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала (устно).

3. Оформить отчёт по практической работе.

Образец отчёта по практической работе:

Тема.

Учебная цель.

Название практической работы.

Решение заданий практической работы.

Ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.

Тема 3.1 Производная

Практическое занятие № 9. Построение графиков функций

Учебная цель:

Научиться применять производную при исследовании функций.

Учебные задачи:

1. Научиться применять производную для исследований функций на монотонность и экстремумы.

2. Научиться строить графики функций.

3. Учить рассуждать и логически мыслить.

Обеспеченность занятия:

1. Тетрадь для практических занятий

2. Раздаточные материалы (инструкционные карты)

3. Ручка.

4. Карандаш простой.

5. Чертежные принадлежности: (линейка).

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия

Общая схема исследования функций с помощью производной

1. Нахождение области определения функции.

2. Проверка того, является ли функция четной, нечетной, периодической или эта функция - функция общего вида.

3. Определение точек пересечения с осями координат.

4. Нахождение критических точек (точек, в которых производная равна нулю или не существует).

5. Определение промежутков возрастания и убывания функции

(промежутков, на которых производная положительна или отрицательна).

5. Определение экстремумов функции.

6. Исследование функции на выпуклость, вогнутость, определение точек перегиба (исследование проводится по второй производной функции).

9. Уточнение графика функции по точкам (произвести окончательное уточнение графика, в особенности на участках, где информация о нем недостаточна).

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Что такое интервалы монотонности?

2. Что такое max и min для функции?

3. Вспомнить алгоритм исследования функции на экстремумы.

Задания для практического занятия:

1 вариант

2 вариант

Исследовать и построить график функции:

1) ;

2) ;

1) ;

2) .

Инструкция по выполнению практического занятия

Для решения практических заданий рассмотрите пример.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график:

Решение:

1. .

2. Функция нечетная, т.к. . Следовательно, она симметрична относительно начала координат.

3. Точки пересечения графика с осью ОХ:;

Точки пересечения графика с осью ОY:.

4. Исследуем функцию на монотонность и точки экстремума:

,

Функция возрастает на; функция убывает на .

- точка максимума, - точка минимума.

x

-1

1

+

0

-

0

+

возраст.

2

убывает

-2

возраст.

макс.

мин.

5. Исследуем функцию на вогнутость, выпуклость и точки перегиба:

Функция вогнута на, выпукла на .

- точка перегиба.

6. Построим график функции:

.

Порядок выполнения отчёта по практической работе:

1. Выполнить задания.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала (устно).

3. Оформить отчёт по практической работе.

Образец отчёта по практической работе:

Тема.

Учебная цель.

Название практической работы.

Решение заданий практической работы.

Ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.

Тема 3.2. Первообразная и интеграл

Практическое занятие № 10. Вычисление интегралов

Учебная цель:

Сформировать навыки простейшего интегрирования с помощью таблицы интегралов.

Учебные задачи:

1. Закрепить умение находить неопределенные интегралы для элементарных функций.

2. Учить рассуждать и логически мыслить.

Обеспеченность занятия:

1. Тетрадь для практических занятий

2. Раздаточные материалы (инструкционные карты)

3. Ручка.

4. Карандаш простой.

5. Чертежные принадлежности: (линейка).

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия

Таблица интегралов

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

Действие вычисления неопределенного интеграла данной функции называется интегрированием данной функции.

Очевидно, что действие интегрирования обратно по отношению дифференцированию.

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Что такое неопределенный интеграл?

2. Как проверить результаты интегрирования?

3. Сколько первообразных может быть у одной функции? Как называется это свойство?

Задания для практического занятия:

1 вариант

2 вариант

1.Вычислить неопределенный интеграл:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

2.Вычислите интеграл

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Инструкция по выполнению практического занятия

Для решения практических заданий рассмотрите пример.

Пример 1. Пользуясь таблицей основных интегралов и свойствами неопределенного интеграла, найти интегралы.

Решение.

Порядок выполнения отчёта по практической работе:

1. Выполнить задания.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала (устно).

3. Оформить отчёт по практической работе.

Образец отчёта по практической работе:

Тема.

Учебная цель.

Название практической работы.

Решение заданий практической работы.

Ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.

Тема 4.3 Многогранники

Практическое занятие № 11. Вычисление площади поверхности многогранников.

Учебная цель:

Сформировать навыки вычисления площади поверхности многогранников

Учебные задачи:

1. Отработать умения вычисления площади поверхности; начертательные навыки при изображении геометрического тела и его развёртки.

2. Развивать умения систематизировать и анализировать информацию, делать выводы, умение понимать и использовать математические средства наглядности для решения прикладных задач.

Обеспеченность занятия:

1. Тетрадь для практических занятий

2. Раздаточные материалы (инструкционные карты)

3. Ручка.

4. Карандаш простой.

5. Чертежные принадлежности: (линейка).

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия

Формулы для вычисления площади поверхности правильных многогранников.

S_тетр.= 4.= a²

S_окт.= 8.=2a²

S _икос.= 20.= 5a²

S_гекс.=6а²

S_дод.= 12.Pr= 6Pr.

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Что такое многогранники?

2. Виды многогранников.

3. Что такое призма и пирамида?

4. Какие виды правильных многогранников вы знаете?

Задания для практического занятия:

Задача 1. Дана правильная четырехугольная пирамида со стороной основания 2 см и высотой боковой грани 6 см. Найдите площадь

боковой поверхности пирамиды.

По данным развертки

1. Сделать чертеж многогранника

2. Сделать модель многогранника

3. Найти полную поверхность

РАЗВЕРТКА

ЧЕРТЕЖ

ПОЛНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ

?

РАЗВЕРТКА

ЧЕРТЕЖ

ПОЛНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ

6

5

?

Задача 2. Вычислите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, если ее высота 9см, а апофема равна 18см.

Задача 3. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания относятся как 7:24, а площадь диагонального сечения равна 50 кв. см. Вычислите площадь боковой поверхности.

Задача 4

Сколько примерно листов железа размером 2х0,8 м (шифера размером 1,5х1) (черепицы, размером 0,4х0,4) необходимо для покрытия крыши? Чему равны затраты на его приобретение?

Инструкция по выполнению практического занятия

1. Ответить устно на контрольные вопросы и решить практические задания.

Порядок выполнения отчёта по практической работе:

1. Выполнить задания .

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала (устно).

3. Оформить отчёт по практической работе.

Образец отчёта по практической работе:

Тема.

Учебная цель.

Название практической работы.

Решение заданий практической работы.

Ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.

Тема 4.5 Объёмы многогранников и тел вращения

Практическое занятие № 12. Вычисление объёма многогранников и тел вращения

Учебная цель:

Научиться применять на практике формулы для вычисления различных объемов.

Учебные задачи:

1. Закрепить умение находить объемы многогранников и круглых тел.

2. Развивать умения систематизировать и анализировать информацию, делать выводы, умение понимать и использовать математические средства наглядности для решения прикладных задач.

Обеспеченность занятия:

1. Тетрадь для практических занятий

2. Раздаточные материалы (инструкционные карты)

3. Ручка.

4. Карандаш простой.

5. Чертежные принадлежности: (линейка).

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Что такое объем и какими свойствами он обладает?

2. Чему равен объем цилиндра, конуса, шара?

3. Как найти объем призмы, пирамиды, прямоугольного параллелепипеда, куба?

Задания для практического занятия:

Вариант 1

Вариант 2

Решить задачу:

1) Определить объем прямоугольного параллелепипеда по 3-м его измерениям:

а = 8, в =1,3, с =6

а = 18, в =0,1, с =2

2) Ребро свинцового куба равно А см. Вычислить массу свинцового куба, если _св=11400 кг/см³.

А = 16

А = 24

3) Боковая поверхность правильной треугольной пирамиды 18 дм. Найти объем этой пирамиды, если высота боковой грани 4 дм.

3) Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды 1,8 м, высота 4,5 м. Найти объем.

4) Образующая конуса а см, составляет с плоскостью основания угол b. Определить объем конуса, если:

а = 3, b=45

а = 4, b=30

Инструкция по выполнению практического занятия

1. Познакомиться с конспектами лекций и краткой теоретической справкой

2. Ответить устно на контрольные вопросы.

3. Используя конспекты лекций, решить практические задания.

Порядок выполнения отчёта по практической работе:

1. Выполнить задания.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала (устно).

3. Оформить отчёт по практической работе.

Образец отчёта по практической работе:

Тема.

Учебная цель.

Название практической работы.

Решение заданий практической работы.

Ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.