Квадрат теңдеулерге есептер шығару

"Описание материала: Күні: Класс: 8Ә Пәні: алгебра Тақырып: Бақылау жұмысы "Мақсаты: ""Білімділік: Квадрат теңдеулер тақырыбы бойынша берілген формулаларды дұрыс қолданып есеп шығару дағдыларын тексеру. Дамытушылық: Өзіндік ойлау, шығармашылықпен жұмыс істеу қабілеттерін дамыту "Тәрбиешілік: жауапкершілік, белсенділік, білімге талпыну қасиеттерін бойында тереңдету Сабақтың түрі: Бақылау жұмысы Сабақтың жоспары: 1. Ұйымдастыру кезеңі: түгендеу, сабаққа ынталандыру 2. Бақылау жұмысының мәтінін таратып беру. Үйге тапсырма беру: формулалрды қайталап келу
Раздел Математика
Класс -
Тип Конспекты
Автор
Дата
Формат doc
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя


Жоспары

Кіріспе бөлім..................................................

  • Мақсаты

  • Қысқаша тарихи мәлімет

Негізгі бөлім...................................................

  • Комплекс сан ұғымы

  • Комплекс сандарға қолданылатын амалдар


  • Комплекс сандардың геометриялық мағынасы және тригонометриялық түрі


  • Муавр формуласы

Қорытынды.................................................


Пайдаланылған әдебиеттер......................






























КОМПЛЕКС САНДАР.

Мақсаты: Комплекс сандар қолданбалы математикада орасан зор орын алады, соның ішінде ауыспалы токты есептегенде.Бұл ғылыми жобада комплекс сандарына түрлі амалдар қолдануды үйренеміз. Муавр теоремасын қолданып,комплекс сандардың дәрежесін есептейміз,және де ауыспалы токтың жай есептеріне көз жүгіртеміз.


Қысқаша тарихи мәлімет


Комплекс сан ұғымы тұңғыш рет ХҮІ ғасырда итальяндықтар Дж.Кардано және Р.Бомбелли қарастырған дискриминантты теріс квадрат теңдеулердің, әсіресе кубтық теңдеулердің ,шешімдеріне байланысты шыққан ұғым. 1572 жылы шыққан «Алгебра»

атты кітабында Р.Бомбелли комплекс сандарға арифметикалық операциялар қолданған.

Алғашқы кезде комплекс сандардың іс жүзінде нақты түрде түсінігі (интерпретациясы),болмағандықтан ондай түбірлерді «мүмкін емес», «жорамал» деп санап , ондай түбірлері бар теңдеулерді «түбірі жоқ» теңдеулер қатарына қосатын болған.

Комплекс сандардың жан-жақты қолданылуы тек ХҮІІІ ғасырда басталды. Міне осы кезде комплекс сандардың интегралдық есептеуде механикада және геометрияда қолданулары комплекс аргументті функцияларды қарауға әкеп соқты. Осы мәселелер жайындағы зерттеулерде туған жері Швейцария болса да, отыз жылдан аса Петербург академиясында жұмыс істеп , өзін «орыс ғалымымын» деп атап өткен Леонард Эйлер (1707-1783) мен француз математигі және философы Даланбердің (1717-1783) үлесі көп.

Комплекс сандарға жазықтықтағы нүкте не вектор деп геометриялық түсінікті 1797 жылы даниялық жер өлшеуші К. Вессель (1745-1818) берген ,бірақ тек атақты неміс математигі Карл Фридрих Гаусстың (1777-1855) комплекс сандарды арифметикаға , алгебраға, геометрия және математикалық анализге қолданған еңбектерінен кейін ғана көпшілік комплекс сандардың геометриялық мағынасын қолданып , оны толық пайдалана бастайды. Математикаға «комплекс сан » терминін кіргізген де, жоғарғы алгебраның негізгі теоремасының толық дәлелдеуін тұңғыш рет (1799 ) ұсынған да К.Гаусс.



Нақты сандар жиынында түбірі болмайтын квадрат теңдеуді шешуден бастаймыз, яғни х2+1=0 теңдеуін бір амалын тауып шешуіміз қажет. Демек, квадраты -1 -ге тең жаңа бір сан ұғымын енгізуіміз керек. Ол сан i арқылы белгіленеді, және оны ЖОРАМАЛ БІРЛІК САН деп атайды. Сонымен, х2+1=0, х2= -1 теңдеуінің х1=i, x2= -і түбірлері табылады деп есептейтін боламыз. Бұдан былай Квадрат теңдеулерге есептер шығарудеп қарастырып, бұған жаңа ұғым береміз:

Анықтама: Егер а және b нақты сандар болса, онда a+bi өрнегін комплекс (жорамал) сан деп атаймыз.

Мұнда, а-комплекс санның нақты бөлігі, b-жорамал бөлік деп аталады.



Анықтама 1: комплекс сан деп Квадрат теңдеулерге есептер шығару өрнегі аталады. Мұндағы а,b-нақты сандар; i- жорамал бірлік.

Егер а=0 болса, онда Квадрат теңдеулерге есептер шығару саны таза жорамал сан деп аталады;

Егер в=0 болса, онда Квадрат теңдеулерге есептер шығарусаны нақты сан деп саналады.

Анықтама 2: Квадрат теңдеулерге есептер шығаруКвадрат теңдеулерге есептер шығару комплекс сандары тек a=c, b=d болған жағдайда ғана өзара тең деп аталады.

Комплекс сандар жиыны С әрпімен белгіленеді;


Комплекс сандарға қолданылатын амалдар.

Анықтама 3: Квадрат теңдеулерге есептер шығаруКвадрат теңдеулерге есептер шығару комплекс сандарының қосындысы деп Квадрат теңдеулерге есептер шығару комплекс саны аталады, яғни

Квадрат теңдеулерге есептер шығару(1)

1 Мысал: Квадрат теңдеулерге есептер шығару,Квадрат теңдеулерге есептер шығару комплекс сандарының қосындысын табу керек.

Δ Квадрат теңдеулерге есептер шығару

Комплекс сандарының қосындысының келесі қасиеттері бар:

  1. Коммутативтік:Квадрат теңдеулерге есептер шығару немесе Квадрат теңдеулерге есептер шығару

  2. Ассоциативтік:Квадрат теңдеулерге есептер шығарунемесе Квадрат теңдеулерге есептер шығару

Анықтама 4: Квадрат теңдеулерге есептер шығаруКвадрат теңдеулерге есептер шығару комплекс сандарының көбейтіндісі деп Квадрат теңдеулерге есептер шығару санын атайды, яғни

Квадрат теңдеулерге есептер шығару(2)

2 Мысал: Квадрат теңдеулерге есептер шығаруКвадрат теңдеулерге есептер шығару комплекс сандарының көбейтіндісін табу керек.

Δ Квадрат теңдеулерге есептер шығару

Комплекс сандарының көбейтіндісінің келесі қасиеттері бар:

  1. Коммутативтік: Квадрат теңдеулерге есептер шығарунемесе Квадрат теңдеулерге есептер шығару

  2. Ассоциативтік:Квадрат теңдеулерге есептер шығарунемесеКвадрат теңдеулерге есептер шығару

  3. Дистрибутивтік:Квадрат теңдеулерге есептер шығарунемесе Квадрат теңдеулерге есептер шығару

Анықтама 5: Квадрат теңдеулерге есептер шығаруКвадрат теңдеулерге есептер шығару комплекс сандарының айырмасы деп Квадрат теңдеулерге есептер шығару немесе Квадрат теңдеулерге есептер шығару (3) теңдігін қанағаттандыратын Квадрат теңдеулерге есептер шығару комплекс саны аталады.

Комплекс сандарының айырмасының бар болуын және жалғыздығын көрсетейік. (3) формуладан:

Квадрат теңдеулерге есептер шығару

  1. анықтаманы ескере отырып, келесі теңдеулер жүйесіне келеміз:

Квадрат теңдеулерге есептер шығару=> Квадрат теңдеулерге есептер шығару

Яғни, Квадрат теңдеулерге есептер шығару (4)

Осыдан айырманын бар болуымен жалғыздығы шығады.

Квадрат теңдеулерге есептер шығару cандарының z айырмасы Квадрат теңдеулерге есептер шығарудеп белгіленеді.

  1. формуланы келесі түрде жазуға болады:

Квадрат теңдеулерге есептер шығару(5)

3 Мысал: Квадрат теңдеулерге есептер шығаруКвадрат теңдеулерге есептер шығару сандарының айырмасын табу керек.

Δ Квадрат теңдеулерге есептер шығару

4 Мысал: Квадрат теңдеулерге есептер шығару теңдеуін шешу керек.

Δ көбейтіндіні орындап Квадрат теңдеулерге есептер шығарутеңдігіне келеміз, осыдан Квадрат теңдеулерге есептер шығару

2 анықтама бойынша

Квадрат теңдеулерге есептер шығару

жүйесіне келеміз. Оның шешімі: x=-1, y=4. ▲

Квадрат теңдеулерге есептер шығарукомплекс саны берілген болсын. Онда -z деп белгіленген және Квадрат теңдеулерге есептер шығаруға тең болатын сан Квадрат теңдеулерге есептер шығару санына қарама-қарсы деп аталады.

Сонымен, Квадрат теңдеулерге есептер шығару комплекс санын Квадрат теңдеулерге есептер шығару санынан алу үшін Квадрат теңдеулерге есептер шығару -ні қарама-қарсы - Квадрат теңдеулерге есептер шығару санына қосу керек.

Анықтама 6: Квадрат теңдеулерге есептер шығаруКвадрат теңдеулерге есептер шығару комплекс сандарының бөліндісі деп Квадрат теңдеулерге есептер шығару немесе Квадрат теңдеулерге есептер шығару (6) теңдігін қанағаттандыратын Квадрат теңдеулерге есептер шығару санын атайды.

Комплекс сандарының бөліндісінің бар болуының және жалғыздығын көрсетейік: (6) формуладан Квадрат теңдеулерге есептер шығарутеңдігіне келеміз.

2 анықтама бойынша

Квадрат теңдеулерге есептер шығару

жүйесіне келеміз. Жүйені шешіп х және у үшін жалғыз мәндерін табамыз:

Квадрат теңдеулерге есептер шығаруКвадрат теңдеулерге есептер шығару

Шыққан өрнектің мағынасы бар, себебі, Квадрат теңдеулерге есептер шығару-ден Квадрат теңдеулерге есептер шығару екені шығады.

Сонымен,

Квадрат теңдеулерге есептер шығару(7)

Осыдан Квадрат теңдеулерге есептер шығару комплекс сандарының бөліндісінің бар болуы және жалғыздығы шығады, бірақ, мұнда Квадрат теңдеулерге есептер шығару болу керек.

Квадрат теңдеулерге есептер шығару және Квадрат теңдеулерге есептер шығару комплекс сандарының бөліндісі

Квадрат теңдеулерге есептер шығару

деп белгіленеді.

5 Мысал: Квадрат теңдеулерге есептер шығаруКвадрат теңдеулерге есептер шығару комплекс сандарының z бөліндісін табу керек.

Δ Квадрат теңдеулерге есептер шығару. Айталық, Квадрат теңдеулерге есептер шығару болсын. Онда

Квадрат теңдеулерге есептер шығару

немесе Квадрат теңдеулерге есептер шығару

Осыдан келесі жүйеге келеміз

Квадрат теңдеулерге есептер шығару

Шыққан жүйені шешіп x=0,8; y=-1,4 екенін табамыз, яғни

Квадрат теңдеулерге есептер шығару

Егер Квадрат теңдеулерге есептер шығару болса, онда Квадрат теңдеулерге есептер шығару саны z санына түйіндес деп аталады.

6 Мысал: Квадрат теңдеулерге есептер шығару болса, онда Квадрат теңдеулерге есептер шығару болады.

Квадрат теңдеулерге есептер шығару

екенің ескере кетейік.

Енді Квадрат теңдеулерге есептер шығару бөлшегі үшін Квадрат теңдеулерге есептер шығаруқасиеті орындалатынын көрсетейік. Мұндағы, Квадрат теңдеулерге есептер шығару-комплекс сандар, Квадрат теңдеулерге есептер шығару кез келген комплекс сан.

Айталық, Квадрат теңдеулерге есептер шығару болсын.

(7) формула бойынша Квадрат теңдеулерге есептер шығару. Сонда Квадрат теңдеулерге есептер шығару=>

Квадрат теңдеулерге есептер шығару

Квадрат теңдеулерге есептер шығару

кез келген Квадрат теңдеулерге есептер шығару үшін.

Осы қасиеті бойынша практикалық есептеулерде, екі комплекс санның бөліндісін табу үшін алымы мен бөлімін бірдей бөліміне түйіндес санға көбейту керек.

7 Мысал: Квадрат теңдеулерге есептер шығару есептеу керек.

Δ Квадрат теңдеулерге есептер шығару

Квадрат теңдеулерге есептер шығару саны Квадрат теңдеулерге есептер шығару деп белгіленеді де, z санына кері деп аталады.

Квадрат теңдеулерге есептер шығаруекенің көрсетуге болады. Сонымен, z1 комплекс саның z2 комплекс санына бөлу үшін z1-ді z2 санының кері Квадрат теңдеулерге есептер шығару санына көбейту керек.

8 Мысал: Квадрат теңдеулерге есептер шығару санына кері санын табу керек.

Δ Квадрат теңдеулерге есептер шығару

Кез келген m және n бүтін сандары үшін келесі теңдіктер орындалатының көрсетуге болады:

Квадрат теңдеулерге есептер шығару.

9 Мысал: есептеу керек:

а) і3, і4, і5, і-1, і-2, і-3, і-4, і-5; б) z-3, егер z=1-і болса.

Δ а) i3=i2 i=-i;

i4=i2 i2=(-1 )(-1)=1

Квадрат теңдеулерге есептер шығару

б) Квадрат теңдеулерге есептер шығару



Комплекс сандардың геометриялық мағынасы және тригонометриялық түрі.

Квадрат теңдеулерге есептер шығару

Комплекс сандарды координат жазықтығының көмегімен жазықтықтың нүктелері ретінде өрнектеуге болады. Ox - осінің бойына комплекс санның нақты бөлігін (a=a+0∙i), ал Oy осінің бойына оның жорамал бөлігін орналастырсақ (bi=0+bi) жазықтықта әрбір комплекс сан z(a,b) нүктесі түрінде анықталады. Квадрат теңдеулерге есептер шығару тік бұрышты

Квадрат теңдеулерге есептер шығаруïzïКвадрат теңдеулерге есептер шығару r=ïzï=Квадрат теңдеулерге есептер шығару.

Квадрат теңдеулерге есептер шығару

z=a+bi=r(cosφ+isinφ)- комплекс санның тригонометриялық түрі.

Квадрат теңдеулерге есептер шығару=r - комплекс санның модулі Квадрат теңдеулерге есептер шығару.

Квадрат теңдеулерге есептер шығару-комплекс санның аргументі.

Тригонометриялық түрдегі комплекс сандарға амалдар қолдану өте жеңіл.

Айталық,

z1=r1(cosφ1+isinφ1),

z2=r2(cosφ2+isinφ2) болсын.

Онда Квадрат теңдеулерге есептер шығару

Квадрат теңдеулерге есептер шығаруКвадрат теңдеулерге есептер шығару

Егер Квадрат теңдеулерге есептер шығаруболса, онда

Квадрат теңдеулерге есептер шығару

Муавр формуласы Квадрат теңдеулерге есептер шығару


Комплекс сандардың геометриялық мағынасы және тригонометриялық түрі.

Айталық, а=r(cosКвадрат теңдеулерге есептер шығару+isinКвадрат теңдеулерге есептер шығару) комплекс саны берілсін. Онда жоғарыда қарастырылған көбейту амалының негізінде n- натурал саны үшін

Квадрат теңдеулерге есептер шығару

яғни комплекс санды дәрежелегенде оның модулі сол дәрежеге шығарылады, ал аргументі сол дәреже көрсеткішіне көбейтіледі.

Квадрат теңдеулерге есептер шығару

теңдігін пайдаланып , Муавр формуласын бүтін теріс сандар үшін де пайдалануға болады.

a=a+bi комплекс санын оң бүтін n дәрежеге шығару үшін Ньютонның биномын пайдаланған орынды, тек

Квадрат теңдеулерге есептер шығару

ескерсек жеткілікті.Квадрат теңдеулерге есептер шығару

Муавр формуласының дербес түрін қарастырайық.

Квадрат теңдеулерге есептер шығаруcos nКвадрат теңдеулерге есептер шығаруКвадрат теңдеулерге есептер шығару

Теңдіктің оң жақ бөлігіне Ньютонның биномды формуласын қолданайық.

Квадрат теңдеулерге есептер шығару

Мұндағы Квадрат теңдеулерге есептер шығару

теңдігінің сол және оң жақ бөліктерін салыстырсақ,

Квадрат теңдеулерге есептер шығару

теңдіктерін аламыз.

Сонымен, Квадрат теңдеулерге есептер шығару, мұндағы

Квадрат теңдеулерге есептер шығару

ға әртүрлі мәндер беру арқылы түбірдің әртүрлі мәндерін аламыз.

Қортынды. Комплекс сандардан n - ші дәрежелі түбірді әрқашан табуға болады және оның әртүрлі n мәні болады.

Айнымалы ток

Айнымалы қырманның қатарынның көрінісінде үш элемент бар:
1. Өткінші кедергі ,әлуеттің айырымы кедергіге ылғи фаза қырмасы арқылы өтеді.
2. Индуктивты катушка, бұл жерде потенциалдар айрымы 90° токқа акеліп соғады
3. Кешіктірілген кедергі, бұнда потенциалдардың айырымы токты 90° қа тежейді

Бұл элементтердің тізбектей жалғануы ( 1 сурет), бірдей ток өтеді, I ,потенциалдар айырымы мынадай жорамалмен беріледі :

Квадрат теңдеулерге есептер шығару

Квадрат теңдеулерге есептер шығару

Квадрат теңдеулерге есептер шығару

Бұл жерде Квадрат теңдеулерге есептер шығару кедергі,Квадрат теңдеулерге есептер шығару индуктивты кедергі, ал Квадрат теңдеулерге есептер шығару кішіктірілген кедергі ,барлығы Оммен есептеледі .

Квадрат теңдеулерге есептер шығару

V

Квадрат теңдеулерге есептер шығару

Квадрат теңдеулерге есептер шығару

Квадрат теңдеулерге есептер шығару

1 сурет

Кернеу мен жабық токтың формуласы мынадай

Квадрат теңдеулерге есептер шығару

мұндағы Квадрат теңдеулерге есептер шығару импенданс қатары және кешіктірілген кедергі мен индуктивті қатардағы кедергі.

Қорытынды:

ХІХ ғасырдың аяғында жиындар теориясының дамуына байланысты комплекс сан Квадрат теңдеулерге есептер шығару екі нақты сан Квадрат теңдеулерге есептер шығару пен Квадрат теңдеулерге есептер шығару-тің реттелген жұбы Квадрат теңдеулерге есептер шығару түрінде қаралуы комплекс сандардың геометриялық кекінінен ешбір кем емес екендігі де кейінгі кезде пайда болып отыр.

Кейінгі жүз жыл ішінде комплекс сандар және комплекс аргументті функциялар теориясы одан әрі дамып ,бұл теория картографияда ,электр және электротехникада , гидромеханикада ,аэромеханикада, сандар теориясында, және басқа да көптеген жаратылыс тану мен техника саласында қолданылады.

Пайдаланылған әдебиеттер

  1. Ғали Ұзақов аналитикалық функциялар теориясы,Алматы «Мектеп» 1986

  2. Бисадзе А. В. Основы теории аналитических функций комплекснего,

Москва «Наука»,1970

  1. Жәутіков О.А. Комплекс сандар және олардың практикалық маңызы, «Мектеп » баспасы,Алматы 1975

  2. Привалов И.И. Комплекс айнымалы функциялардың теориясына кіріспе, «Мектеп » баспасы,Алматы 1975

4,8 / 5 (15)
загрузить
© 2010-2018