Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №9»

г. Ульяновска

Элективный курс по математике для учащихся 9 класса по теме:

«Прогрессии и их практическое применение»

подготовила

учитель математики

высшей квалификационной категории

Овечкина Елена Викторовна

г. Ульяновск

2012

Содержание:

1. Аннотация

2. Пояснительная записка

3. Программное содержание курса

4. Методическое содержание программы

4.1. Методы и формы обучения

4.2. Описание основных форм организации

учебных занятий

5. Организация проведения аттестации учащихся

6. Учебно-тематическое планирование

7. Занятие 1

8. Занятие 2,3

9. Занятие 4

10. Занятие 5,6,7

11. Домашняя контрольная работа

12. Историческая справка

13. Литература

Аннотация

Элективный курс «Прогрессии и их практическое применение» включает в себя как старые, так и новые для учащихся средней школы знания, не содержащиеся в базовых курсах математики.

В первой части рассматриваются понятия, связанные с арифметической и геометрической прогрессией, учащиеся знакомятся с таблицей Штифеля, характеристическими свойствами прогрессий, выводятся правила записи чистой смешанной арифметической дроби в виде обыкновенных дробей.

Во второй части дается представление о решении нестандартных задач на прогрессии, текстовых практико-ориентированных задач, связанных с экономикой, физикой, химией; уравнений.

Материалы могут быть использованы в работе учителями математики для учащихся 9 классов в целях предпрофильной подготовки.

Пояснительная записка

Все более повышающие требования к математическому образованию не оставляют сомнений в необходимости профилизации в старших классах. Далеко не все обладают склонностями и способностями к глубокому усвоению математики, физики и родственных дисциплин. Незачем насильно заталкивать знания, которые человек не принимает или, приняв, сразу же отторгает. Сейчас наконец-то признанно, что все школьники разные и ничего страшного в том, что они просто не хотят, а иногда и не могут обучаться одинаково.

Профильное обучение - как средство дифференциации и индивидуализации обучения, позволяет за счет изменений в структуре, содержании и организации образовательного процесса более полно учитывать интересы, склонности и способности учащихся, создает условия для обучения старшеклассников в соответствии с их профессиональными интересами

Цель данного курса - удовлетворить индивидуальный запрос на образовательные услуги, дать возможность учащимся уточнить готовность и способность осваивать выбранный предмет на повышенном уровне в экономическом, физико-математическом классах.

В школьной программе по математике одной из тем, которая я считаю, удерживается чисто традиционно, является «Прогрессия». Хотя их практическое значение велико, а особую теоретическую ценность для математического анализа имеет понятие бесконечное - убывающей геометрической прогрессии, изучая и работая с К.И.М. по Е.Г.Э., убеждаешься, что и там есть много задач на прогрессии.

Данный элективный курс призван решать следующие цели задачи:

• развивать математические способности

• предоставить возможность пополнения знаний по теме «Прогрессии»

• формировать логическое мышление

Курс учит поиску нетрадиционных решений, самостоятельной работе, самопроверке и требует от учащегося активности, настойчивости, целеустремленности, внимания, способности аргументировано отстаивать свои взгляды. Он способствует развитию творческих способностей, формирует пониманию красоты и изящества математических рассуждений. Предлагаемый курс является развитием системы ранее приобретенных программных знаний и расширяет базовый курс по математике, создает целостное представление о теме, дает учащимся возможность познакомиться с интересами, нестандартными вопросами алгебры, проверить способности к математике.

Программа курса рассчитана на 8 часов. Из них 1 час - на определение успеваемости освоения материала. И содержит 4 блока. Освоение материала предусмотрено от простого к сложному, от теории к практике.

Содержание курса реализуется по следующим признакам:

• последовательность и систематичность изучения материала;

• научность и доступность изложения;

• соединения теоретических и практических занятий;

На 1 блок отводится 1 час. Он систематизирует ранее полученные знания о прогрессиях. Причем теория дается в сравнительной таблице, которая помогает в запоминании формул.

Кроме этого дается обширная историческая справка о прогрессиях, учащиеся знакомятся с таблицей Штифеля, с правилами перевода чистой и смешанной периодических дробей в обыкновенную дробь.

Цель 2 и 3 блоков - показать практическую значимость применения прогрессий при решении текстовых задач и уравнений, на них отводится по 2 и 1 час соответственно.

4 блок посвящен решению нестандартных задач на прогрессии, комбинированных задач на арифметические и геометрические прогрессии. На него отводится 3 часа.

Задания к каждому блоку носят дифференцированный характер, что позволяет ученику любого уровня включится в учебно-познавательный процесс и активно проявить себя.

Содержание курса должно способствовать выбору профессии для профильного обучения в старших классах. И направлено на формирование следующих умений и способностей:

• к применению прогрессий при доказательстве тождеств, решению задач и уравнений

• к умению анализировать, обобщать и выражать полученные знания в виде научных сообщений и проектов

• к развитию логического мышления

Критериями успешности занятий по данному курсу являются:

• степень развития интереса к избранному профилю

• степень проявления знаний и способностей в усвоении предметов физико-математического цикла на новом уровне

• знания учащимся базового уровня

• умение применять полученные знания в нестандартных ситуациях

Формой итогового контроля является домашняя контрольная работа (дифференцированная).

Предлагаемый предметный курс по выбору позволит понять учащимся важность темы в математическом образовании, расширить свой кругозор, применить полученные знания не только в математике, но и в других науках, а главное в самоопределении, в выборе профиля обучения и уточнения готовности и способности учащегося осваивать выбранный курс на повышенном уровне.

Программное содержание курса

Тема 1. Прогрессии. (1 час)

Арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия, формулы n-ого члена и суммы n-первых членов, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, таблица Штифеля, характеристические свойства арифметической и геометрической прогрессий, применение бесконечно убывающей геометрической прогрессии к чистым и смешанным периодическим дробям.

Тема 2. Решение текстовых задач. (2 часа)

В данном разделе решаются практические задачи на применение арифметической, геометрической и бесконечно - убывающей геометрической прогрессий. Задачи на переливание, движение, экономические, геометрические.

Тема 3. Решение уравнений.(1 час)

В данном разделе решаются уравнения с использованием прогрессий, которые не предусмотрены программой общеобразовательной школы.

Тема 4. Решение нестандартных задач.(3 часа)

Здесь представлены комбинированные задачи на арифметическую и геометрическую прогрессию, олимпиадные задачи и др.

Методическое содержание программы

Программа подготовлена для предпрофильной подготовки учащихся 9 классов.

Целью данного курса являются:

• Пополнение знаний учащихся по теме «Прогрессии»;

• Удовлетворение индивидуального запроса на образовательные услуги;

• Развитие логического мышления;

• Развитие творческих способностей учащегося на основе самостоятельного приобретения знаний с помощью умения работать с печатной и электронной литературой;

• Уточнение готовности и способности освоения выбранного предмета на повышенном уровне в физико-математическом классе;

В результате изучения данного курса ученик должен

знать:

определения арифметической и геометрической прогрессий, формулы n-ых членов, суммы n-первых членов арифметической и геометрической прогрессий, характеристические свойства прогрессий, бесконечно-убывающую геометрическую прогрессию и ее сумму, таблицу Штифеля, историческую справку о прогрессиях.

понимать:

определение прогрессий, характеристические свойства прогрессий, геометрический смысл бесконечно-убывающей прогрессии, значимость прогрессий при решении уравнений, задач.

уметь:

• записывать формулы:

n-ых членов арифметической и геометрической прогрессий;

суммы n-первых членов арифметической и геометрической прогрессий;

характеристические свойства прогрессий;

• использовать данные формулы при решении уравнений, задач;

применять:

• полученные знания для своего дальнейшего профессионального определения;

• полученные знания для развития логического мышления;

• полученные знания для практического их использования;

Методы и формы обучения

Ведущее место в обучении курса «Прогрессии» отводится методам поискового и исследовательского характера, стимулирующим познавательную активность учащегося.

Предусмотрено использование таких методов и форм обучения, которые давали бы учащимся представления об условиях и процессах будущей профессиональной деятельности в соответствии с выбранным профилем обучения.

Очень важно, чтобы учащиеся были включены в практическую деятельность, соответствующую профилю обучения, а также обеспечивалось формирование развитие у них общеучебных, интеллектуальных и организационных способностей и навыков. Всем этим требованиям соответствует предложенное учебно-тематическое планирование данного элективного курса.

Описание основных форм организации учебных занятий

Учебное занятие по элективному курсу «Прогрессии» соответствуют заявленному содержанию, целям курса и применяемым методам обучения. Предусмотрены варианты как коллективных, так и индивидуально-групповых форм обучения. Также сделаны акценты на такие формы и методы организации учебного процесса, которые отвечали бы образовательным потребностям учащегося. Особое внимание в данном курсе уделяется поисковой и исследовательской деятельности.

Организация проведения аттестации учащихся

Итоговая аттестация по результатам изучения курса «Прогрессии» предусмотрена с учетом портфолио ученика, т.е. совокупности самостоятельно выполненных работ. Итоговая оценка предполагается накопительной, то есть результаты выполнения всех предложенных заданий оцениваются в баллах, которые суммируются по окончании курса. В этом случае конкретные рамки по количеству баллов для получения той или иной оценки заранее не задаются, а оценка определяется по завершении изучения курса в зависимости от актуального уровня подготовки учащихся, его участия в проведении занятий.

Учебно - тематическое планирование

№

Содер-жание

ч

Форма прове-дения занятия

Организа-ция самостоя-тельной деятель-ности

Нагляд-ность

Образова-тельный продукт

Формы контро-ля

Лите-рату-ра

При-меча-ние

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

Арифме-тическая, геометри-ческая прогрес-сии, бесконечно убывающая геом. прогрессия. Таблица Штифеля

1

Лекция, беседа

Знакомство с программой курса, записи в рабочих тетрадях

Серия рисунков

Конспект

Контроль за ведением записей в тетради

[1]
[2]
[4]
[5]

2

Решение текстовых задач

2

Комбини-рованный урок

Записи в рабочих тетрадях

Карточки с текстом задач

Алгоритм решения задач

Контроль за ведением записей в тетради

[6]
[3]
[7]
[10]

Урок-практикум

Записи в рабочих тетрадях, работа в парах

Карточки с текстом задач

Конспект

Взаимо-контроль за решением задач

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

3

Решение уравнений

1

Урок-практикум

Работа с карточками

Карточки с уравнения-ми (дифф.)

Конспект

Контроль учителя за ведением записей, наблюде-ние активнос-ти на занятиях

[1]
[6]
[5]
[9]

4

Решение нестан-дартных задач на

прогрессии

3

Беседа, урок-практикум

Записи в рабочих тетрадях, выступление учителя

Тексты нестандарт-ных задач

Конспект

Наблюде-ние активнос-ти на занятиях

[5]
[1]
[11]
[9]
[6]

Урок-практикум

Решение задач, выступление учителя

Тексты нестандарт-ных задач

Конспект

Ответы на вопросы учителя

Урок-практикум

Решение задач

Тексты нестандарт-ных задач

Конспект

Наблюде-ние активнос-ти на занятиях

5

Итоговое занятие

1

Комбини-рованный урок

Работа с конспектами

Разбор домашней контрольной работы

Историческая справка

Внешний, взаимо-контроль за выполнен-ной домашней контроль-ной работой

[1]
[8]

Занятие 1.

Арифметическая и геометрическая прогрессия

 Определение.

Арифметической прогрессией называется последовательность (a _n), заданная рекуррентно следующим образом:

a₁₌ a; n  N a_n+1 a_n + d, d, a  R,

т.е. первый член прогрессии задан, а каждый член, начиная со второго, отличается от предыдущего на одно и тоже число d, называемое разностью арифметической прогрессии.

Свойства арифметической прогрессии.

1. Формула n-го члена

a_n  a₁ + d (n-1).

2. Формула суммы n первых членов

S_n=

3. Характеристическое свойство (т.е. критерий того, что последовательность является арифметической прогрессией, или необходимое и достаточное условие)

n  2 a_n 

или 2a _n a_n-1 + a_n+1

т.е. каждый член, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и последующего членов.

4. a_n a_m+d (n-m). (Арифметическая прогрессия получится, если начать рассматривать последовательность с любого члена, не обязательно с первого!).

5. a_n  , nk.

4. a_n + a_m  a_k + a_l, если n + m  k + l.

4. Рассмотрим последовательность, составленную из сумм членов прогрессии, взятых по m, т. е.

s₁  a₁ +…+ a_m,

s₂  a_m+1 +…+ a_2m, …,

s_n a _{(n-1) m+1} +…+ a_nm.

Выясним, что за последовательность получилась. Каждое слагаемое в сумме s_iотличается от соответствующего слагаемого в сумме s_i-1 на md, тогда

s_i=s_i-1+mdm=s_i-1+md²

(слагаемых тоже m).

Таким образом, последовательность (s_n) из сумм «m-ок» членов исходной прогрессии является также арифметической прогрессией с разностью m²d.

 Определение.

Геометрической прогрессией называется последовательность (b _n), заданная рекуррентно следующим образом:

b₁₌ b; n  N b_n+1 b_n q, q, b  R,

т.е. первый член прогрессии задан, а каждый член, начиная со второго, отличается от предыдущего умножением на одно и тоже число q («в одно и то же число раз»), называемое знаменателем геометрической прогрессии.

Свойства геометрической прогрессии.

1. Формула n-го члена

b_n  b₁q^n-1

2. Формула суммы n первых членов ( если q  1, т. е. прогрессия не постоянная)

S_n

3. Характеристическое свойство (т.е. критерий того, что последовательность является геометрической прогрессией, или необходимое и достаточное условие)

n  2 b_n , или

b_n²= b_n-1b_n+1

т.е. каждый член, начиная со второго, по модулю является средним геометрическим предыдущего и последующего членов.

4. b_n b_mq^n-m). (Геометрическая прогрессия получится, если начать рассматривать последовательность с любого члена, не обязательно с первого!).

5. b_n² b_n-k b_n+k, nk.

6. b_n b_m = b_k b_l, если n+m = k+l.

7. Рассмотрим последовательность, составленную из сумм членов прогрессии, взятых по т., т.е.

S₁ = b₁ + … + b_m, s₂ =

= b_m+1 + … + b_2m, …,

s_n = b_{(n-1) m+1} + … + b_nm.

Выясним, что за последовательность получилась. Каждое слагаемое в сумме s₁ отличается от соответствующего слагаемого в сумме s_i-1 умножением на

q^m, тогда s_i = s_i-1q^m (количество слагаемых в обеих суммах одинаково, множитель q^m выносится за скобки).

Таким образом, последовательность (s_n) из сумм «m-ок» членов исходной прогрессии является также геометрической прогрессией со знаменателем q^m.

• Пример

1. Сумма 8-го и 15-го членов арифметической прогрессии равна 48. Найти сумму

22-х первых членов прогрессии.

Пусть (a_n)- данная арифметическая прогрессия. Можно решать задачу по - разному.

Во-первых, всегда есть в запасе способ, который заключается в записи условия через a₁=a и разность прогрессии d, с последующим нахождением a и d, или же их нужные комбинации. Продемонстрируем.

По условию a₈+a₁₅=a₁+7d+a+14d=2a+21d=48.

S₂₂=. Задача решена.

Во-вторых, мы можем использовать менее тривиальные свойства. В данном случае, подойдёт «a_n+a_m=a_k+a_l, если n+m=k+l»

Дано: a₈+a₁₅=48. Найти: S₂₂=Но 8+15=1+22, т.е.

2. Девятый член арифметической прогрессии равен 20. найти сумму первых 17 членов прогрессии.

Аналогично, 1+17=18=9+9

S₁₇=40

3. Сумма первых 10 членов арифметической прогрессии равна 100, сумма первых 30 членов той же прогрессии равна 900. Найти сумму первых 40 членов прогрессии.

Если решать «честно», то получится так:

S₁₀=;

S₃₀=

S₄₀=

Если вспомнить, что суммы десятков членов прогрессии - тоже арифметическая прогрессия (например, (x_n)), и нам даны её первый член x₁=100 и сумма трёх первых членов x₁+x₂+x₃=900, то можно действовать с «более крупными блоками»:

S₃=

x₁=100; D=200.

S₄=

Применение геометрической прогрессии к десятичным периодическим дробям

Рассмотрим два примера чистых периодических дробей (чистых», то есть таких, у которых период начинается сразу после запятой):

1) 0,888… и 2) 0,232323…

Дроби эти представляют собой суммы:

Слагаемое этих сумм - члены бесконечно убывающих геометрических прогрессий, у которых знаменатели прогрессии:

у первой у второй суммы эти равны:

у первой у второй

Из этих примеров видно: чистая периодическая дробь равна такой обыкновенной дроби, у которой числитель есть число, составленное из цифр периода, а знаменатель - число, изображаемое цифрой 9, повторенной столько раз, сколько цифр в периоде.

Рассмотрим теперь два примера смешанных периодических дробей (т.е. таких, у которых период начинается не сразу после запятой).

3) 0, 28888… и 4) 0, 3545454…

Дроби эти можно представить в виде сумм:

+ и

Слагаемые этих сумм, начиная со второго, есть члены бесконечных убывающих геометрических прогрессий. В третьей сумме знаменателем служит дробь , а в четвертой сумме - дробь . Поэтому эти суммы равны:

3)

4)

Из этих примеров видно, что смешанная периодическая дробь равна такой обыкновенной дроби, у которой числитель есть число, стоящее до второго периода, без числа, стоящего до первого периода, а знаменатель есть число, изображаемой цифрой 9, повторенной столько раз, сколько цифр периоде, со столькими нулями на конце, сколько цифр между запятой и периодом.

Занятия 2,3

Решение текстовых задач.

Рассмотрим задачи, которые решаются с помощью прогрессий.

• Арифметическая прогрессия

А1.В целях получения большей прибыли компания по добыче нефти планирует каждый день добывать на 10 тонн нефти больше, чем в предыдущий, за сколько дней компания добудет 21900 тонн нефти, если в первый день она добыла 1000 тонн нефти?

Решение

a₁=100т, d=10т, s_n=21900т, найдём n.

S_n=, 21900=

n²+199n-4380=0, D=239², n₁=20, n₂0

Ответ: за 20 дней

А2. В силу ежемесячного роста цен на товары предприятие планирует увеличивать заработную плату рабочего на 100р. в месяц. За сколько месяцев рабочий получит 16500 тыс. рублей, если в первый месяц он получил 1200р.?

Решение

16500=, n²+23n-330=0, n₁=10, n₂=-33 - не является решением

Ответ: через 10 месяцев

А3. Сотовая компания увеличивает зону своего покрытия на 500 км² ежемесячно. Вводя новые технологии компания планирует увеличивать эту цифру на 50 км² каждый месяц. Через сколько месяцев зона вещания мобильной компании увеличится на 8250 км² после введения новых технологий?

Решение

8250=, n²+19n-330=0, n₁=11, n₂=-30 - не является решением.

Ответ: через 11 месяцев

А4. Из пункта А выехал велосипедист, который в первый час проехал 10 км, а в каждый следующий час проезжал на 1 км больше, чем в предыдущий. Одновременно вслед за ним из пункта В, находившегося от А на расстоянии 7.5 км, выехал второй велосипедист, который в первый час проехал на 1.5 км больше, чем в предыдущий. Определить, через сколько часов второй велосипедист догонит первого?

Решение

a₁=10

d=1

a_n=10

S₁=

b₁=10, b_n=10+1.5

S₂=

n²-n-30=0

n₁=6, n₂=-5- не является решением задачи.

Ответ: через 6 часов второй велосипедист догонит первого.

А5. Чтобы заасфальтировать участок длиной 117 м используют 2 катка. Первый каток установили в одном конце участка, второй - в противоположном. Работать они начали одновременно. За первую минуту первый каток прошел 1м, за каждую последующую - на 0.5 м больше, чем за предшествующую. Второй каток в каждую минуту проходил 6м. Через сколько минут оба катка встретятся?

Решение

Путь первого катка S₁ представляет сумму арифметической прогрессии с a₁=1м, d=0.5м.

S₁=, а путь второго S₂=6n

+6n=117

n²+27n-468=0, n₁=12; n₂=-39- не является решением.

Ответ: через 12 минут.

В1. Вдоль дороги лежало нечетное число камней на расстоянии 10 м друг от друга. Эти камни нужно было собрать в том месте, где находился средний камень. Человек перенес их последовательно по одному, начав с одного из крайних камней. Перенеся все камни, он проделал путь в 3 км. Сколько было камней?

Решение

Всего камней 2n-1, 3000-30=2970

Уберем 2 крайних камня, (n-1)+(n-1)

Тогда всего камней

Ответ: 25 камней

• Геометрическая прогрессия.

В2. Два товарища поспорили о том, что река должна покрыться льдом не раньше 20 декабря. Они условились, что если река покроется ледяным покровом раньше, то первый из товарищей платит, а если позже, то получает за первый день 1руб., а за каждый последующий день в полтора раза больше. Река покрылась льдом 12 декабря. Сколько первый товарищ должен заплатить?

Решение

1день-1руб., 2день-руб., 3день-руб. Получается геометрическая прогрессия с b₁=1 и q=. Соответствие дней и членов геометрической прогрессии:

12 декабря- 1руб.= b₁

13 декабря- b₂

………………………………………

19 декабря- b₈. Получилось 8 членов.

S₈=

Ответ: 50 рублей

В3. Магазин радиотоваров продал в первый рабочий день месяца 105 телевизоров. Каждый следующий рабочий день ежедневная продажа возрастала на 10 телевизоров, и месячный план - 4000 телевизоров - был выполнен досрочно, причем за целое число рабочих дней. После этого ежедневно продавалось на 13 телевизоров меньше, чем в день выполнения месячного плана. На сколько процентов был перевыполнен месячный план продажи телевизоров, если в месяце 26 рабочих дней?

Решение

Пусть n- номер рабочего дня, когда был выполнен месячный план. Количество телевизоров, проданных в первый, второй и т.д. дни составляют арифметическую прогрессию, причем a₁=105 и d=10. Имеем

n²+20n-800=0, n₁=20, n₂=-40- посторонний корень. Это значит, что сверхплановая продажа телевизоров проводилась в течение 26-20=6 дней. В день выполнения месячного плана было продано 105+10(20-1) телевизоров, а в каждый следующий день продавалось 295-13=282 телевизора. Значит, всего сверх плана продано 6телевизора, что составляет 

Ответ: на 42,3

В4. Кулинария, перейдя на изготовление нового торта «Лакомка», продала в первый день месяца 100 тортов. Каждый следующий рабочий день продажа возрастала на 5 тортов, пока не был досрочно, причем в целое число рабочих дней, выполнен месячный план продажи тортов, составляющий 3150 штук. После этого продавалось на 11 тортов меньше, чем в день выполнения месячного плана. На сколько процентов был перевыполнен месячный план, если в месяце 24 рабочих дня?

Решение

Пусть n- номер рабочего дня, в который был выполнен месячный план. Первый день-100 тортов, 2 день-100+5 тортов, 3 день-100+5+5 тортов и т.д.

Получилась арифметическая прогрессия с a₁=100, d=5. найдём номер дня, когда был выполнен план, пользуясь формулой S_n:

S_n=получим

n²+39n-1260=0, n₁=21, n₂=-60- не является решением. Значит, план был выполнен за 21 день. Найдём, сколько тортов было продано в 21 день: a₂₁=100+5

Значит, в остальные дни продавали 200-11=189 тортов. Всего 24 дня, план выполнен за 21 день, осталось 3 дня. За 3 дня сверх плана продали 189=567 тортов. Найдем, сколько процентов это составило от плана:

Ответ: 18

В5. Часовая и минутная стрелки совпадают в полночь. Через сколько минут впервые вновь совпадут стрелки?

Решение

Минутная стрелка (делений)

Часовая стрелка (делений)

60

5

12

1

5

получим бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем . Найдём сумму:

Ответ: 1ч 5мин.

С1. В сосуде, объем которого равен V₀ литров, содержится р - ный раствор соли. Из сосуда выливается а л смеси и доливается а л воды, после чего раствор перемешивается. Эта процедура повторяется n-раз. Спрашивается, по какому закону меняется концентрация соли в сосуде, то есть какова будет концентрация соли после n процедур?

Решение

Очевидно, что первоначальное количество соли в растворе равно

После того, как отлили a л смеси, в растворе осталось соли, а её концентрация после добавления a л воды стала равной C₁=. После того, как отлили ещё a л смеси (но уже с концентрацией C₁), в растворе остались соли. , а её концентрация после добавления a л воды стала равной.

Нет надобности ещё раз проделывать ту же процедуру, чтобы убедиться, что концентрация соли в растворе после n переливаний определяется формулой: представляющей собой убывающую геометрическую прогрессию. Множитель являющийся знаменателем этой прогрессии, показывает, во сколько раз убывает концентрация после очередного переливания.

С2. Сколько литров чистого спирта останется в сосуде, если из 50 л 80-ого его раствора 20 раз отливать по 1 л раствора, каждый раз добавляя 1 л воды?

Решение

Учитывая рассуждение в предыдущей задаче, имеем

С3. Из полного бака, содержащего 729 л чистой кислоты, отлили а л и долили бак водой. После полного перемешивания (до получения однородного раствора) из бака опять отлили а л раствора, снова долили бак водой, тщательно перемешали. После того, как такая операция была проведена 6 раз, жидкость в баке содержала 64 л чистой кислоты. Определить величину а.

Решение

После того, как из бака в первый раз отлили a л чистой кислоты и долили его водой, в баке осталось (729-a) л чистой кислоты. Ясно, что в одном литре раствора теперь содержится л чистой кислоты. При втором выливании из бака удаляется кислоты л и баке осталось лишь кислоты. Следовательно, после второго доливания бака водой в одном литре раствора будет л кислоты. Поэтому третье выливание уменьшит количество кислоты в баке ещё на л, т.е. кислоты в баке после третьей операции останется л (1), а после шестой операции количество кислоты в баке должно равнятьсял. Итак, Если учесть, что 2⁶=64 и 3⁶=729, то a=243л

Ответ: 243 л

С4. В сосуде имелось 1250 л 80 раствора кислоты. Из него 3 раза отливали некоторое количество раствора, добавляя такое же количество воды. В результате в сосуде осталось 125 л чистой кислоты. Какое количество раствора брали из сосуда каждый раз?

РешениеКонцентрация кислоты в растворе после n -переливаний определяется формулой С_n=-убывающая геометрическая прогрессия, где p-раствор первоначальный, V₀-первоначальный объем, а - число переливаний, тогда

125=, а=625

Ответ по 625л.

Занятие 4

Решение уравнений

Рассмотрим уравнения, решаемые с помощью прогрессий

 A1. (x+1)+(x+4)+…+ (x+28)=155

Решение

a_n=a₁+d (n-1), d=3

x+28=(x+1)+3 (n-1)

x+28-x-1+3=3n

30=3n

n=10

155=

155=(2x+29)5

2x+29=31

2x=2

x=1

Ответ: x=1

 A2. 1+7+13+…+x=280

Решение:

a₁=1 d=6

x=1+6 (n-1)=1+6n-6=6n-5

280=

280=

560=

560=3n²-2n

3n²-2n-560=0

D=82²

n_1,2=

280=

280= (1+x)7

7x=273

x=39

Ответ: x=39

 A3. 1+x+x²+…+x¹⁰⁹=0

Решение:

b₁=1 q=x

b_n=x¹⁰⁹ b_n=b₁q^n-1

x¹⁰⁹=1x^n-1

n-1=109

n=110

S_n=

x¹¹⁰-1=0 , x1

x¹¹⁰=1

x=-1

Ответ: x=-1

 A4.

Решение:

Т.к. , то левая часть уравнения - сумма арифметической прогрессии

d=

n-1=x-2

n=x-2+1

n=x-1

6=x-1

x=7

Ответ: x=7

 A5. 2x+1+x²-x³+x⁴-x⁵+…=, x 1

Решение:

X²-x³+x⁴-x⁵+…-сумма бесконечно - убывающей геометрической прогрессии b₁=x², q=x

G=-x

X²-x³+x⁴-x⁵+…=

2x+1+

x1, 18x²+5x-7=0

D=529

X_1,2=

Ответ:

 B1. 1+2x+4x²+…+(2x)ⁿ+…=3.4 - 1.2x, где x 0.5

Решение:

1+2x+4x²+…+(2x)ⁿ+…- сумма бесконечно - убывающей геометрической прогрессии b₁=1. q=2x, q 1

1-3.4+6.8x+1.2x-2.4x²=0, x

-2.4x²+8x-2.4=0

3x²-10x+3=0

D=64

x_1,2=

Ответ: x=

.B2. 1+3+5+…+ (1+2x) + (3.5+5+6.5+…+

Решение:

S₁= S₁=

n₁=x+1

n₂=x+1

(1+x+3.5+0.75x) (x+1)=105

(4.5+1.75x) (1+x)=105

1.75x²+6.25x+4.5=105

7x²+25x+18=420

7x²+25x-402=0

x=6

Ответ: x=6

 B3. (x²+x+1) + (x²+2x+3) + (x²+3x+5)+…+ (x²+20x+39)=4500

Решение: слагаемые, стоящие в левой части уравнения - члены арифметической прогрессии a₁=x²+x+1 и d=x+2

n=20, x=10, x=-20.5

 C1. Числа x₁; x₂; x₃; x₄ - образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию. Найти a и b, если

x₁; x₂- корни уравнения x²-3x+a=0,

x₃; x₄- корни уравнения x²-12x+b=0

Решение:

x₁ + x₂ = 3

x₁ x₂ = a

x₃ + x₄ = 12

x₃ x₄ = b

x₄ = x₁q³

x₂ = x₁q

x₃ = x₁ q²

x₁ =

при q=2 x₁=

x₂=2 a=2

x₃=4 b=32

x₄=8

при q=-2 x₁=

x₂=6 a=-18

x₃=-12 b=-288

x₄=24

C2. 1+a+a²+a³+…+a^x = (1+a)(1+a²)(1+a⁴)(1+a⁸)

Решение: левая часть уравнения представляет сумму х+1 членов геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, а q=a. Левая часть уравнения имеет вид

(1+a)(1+a²)(1+a⁴)(1+a⁸)=

a1

Если же a=1, то уравнение принимает вид

x+1=

x=15

Ответ: x=15

Занятие 5, 6, 7

Решение нестандартных задач на прогрессии

 1) Доказать, что если числа образуют арифметическую прогрессию, то этим же свойством обладают числа с², а²,b².

Решение bс+2аb+b²+с²+2ас+сb = 2ас+2а²+2bс+2bа; b²+c²=2а²,а²= , -характеристическое свойство, следовательно с²,а²_,b²-арифметическая прогрессия.

 2) Доказать, что во всякой арифметической прогрессии а_1,а₂,а_3,…. S=а₁²-а₂²+а₃²-а₄²+….+а_2к-1²-а_2к²=

Доказательство а₁²-а₂²=(а₁-а₂)(а₁+а₂)=-d(а₁+а₂)

а₃²-а₄²=(а₃-а₄)(а₃+а₄)=-d(а₃+а₄)

а _2к-1²-а_2к²=(а_2к-1-а_2к)(а_2к-1+а_2к)=-d(а_2к-1+а_2к)

Складывая эти равенства получим  S=-d(а₁+а₂+……+а_2к-1+а_2к)=-d но

а_2к=а₁+d(2к-1), -d= следовательно S=.

 3)Доказать, что в геометрической прогрессии, состоящей из четного числа членов, отношение суммы членов стоящих на четных местах, к сумме членов стоящих на нечетных местах равно знаменателю прогрессии.

Доказательство S_чет.=b₁q+b₁q³+……..+b₁q^2к-1=b₁q(1+q²+……..+q^2к-2)

S_нечет.= b₁+b₁q²+……..+b₁q^2к-2=b₁(1+q²+……..+q^2к-2_),

4) Три числа, сумма которых равна составляют арифметическую прогрессию. Если к третьему числу прибавить первое, то числа составят геометрическую прогрессию. Найдите эти числа.

Решение а, а + d, а+2d-арифметическая прогрессия, тогда геометрическая прогрессия имеет вид  а, а + d, 2а+2d. Имеем ,, а=

Ответ

5)Сумма трех чисел, образующих геометрическую прогрессию, равна 26.Если к этим числам прибавить соответственно 1;6;3, то получим три числа, образующие арифметическую прогрессию. Найдите эти числа.

Решение а_1,а₂,а_3, а₁+а₂+а₃=26.

 а₁+1,а₂+6_,а₃+3, а₂+6=

а₁=18,а₃=2 или а₁=2,а₃=18. Ответ2,6,18 или 18,6,2.

6) Доказать, что числа , … образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию и найти её сумму.

Решение:

Докажем, что  1,

q= 1, S=

7) Найти сумму:

Решение:

Представим каждую дробь в виде разности: ; ; ; . Ответ: S=1

8) Найти сумму всех несократимых дробей со знаменателем 3, заключённую между положительными целыми числами a и b, (a  b)

Решение:

Пусть а =и b=, тогда все дроби со знаменателем 3 имеют вид: a= (1), ясно, что дроби вида a=являются сократимыми и могут быть записаны в виде: a, a+1, a+2, …b (2). Их следует исключить из рассматриваемых чисел. Поэтому подсчитаем сначала сумму всех дробей вида (1) и отнимем от них сумму всех дробей вида (2). Дроби вида (1) представляют собой арифметическую прогрессию, в которой первый член равен a=, а последний и d=. Найдём число членов этой прогрессии b=a+ Значит сумма дробей вида (1): . Последовательность чисел вида (2) также является арифметической прогрессией с первым членом а и последним b и d=1, n=b-a+1, а сумма равна: . Таким образом: S=. Ответ: b²-a²

9)Найти такую арифметическую прогрессию, чтобы сумма n-первых ее членов равнялась (n+1) раз взятой половине n-ого члена.

Решение или (n-1)(a-d)=0, откуда а = d. В самом деле а+2а+……+nа = а( 1+2+3+……+n)=

10) Cколько одинаковых членов находится в двух арифметических прогрессиях 

5,8,1,…..и 3,7,11…..,если в каждой из них n=100?

Решениепусть члены (а_n) соответственно равны членам (а_m) ,т.е 5+(n-1) ,n=m+ (1) Чтобы n принимало только целые положительные значения, должно равняться k (целому положительному числу),т.е m=3k.Но тогда из равенства (1) следует, что n=4k-1. По условию 1n100, следовательно k=1,2,3,…,25.Значит, общих членов в рассматриваемой прогрессии будет 2511,23,35,…,299.

11)Найти сумму:1+2х+3х²+4х³+…..+(n-1)xⁿ

Решение :пусть данная сумма будет S_n. Умножая каждое слагаемое этой суммы на х и вычитая полученную сумму из S_n ,получим: S_n-xS_n=1+x+x²+…..+(n+1)xⁿ⁺¹,откуда при х1, S_n=или S_n=

Если х=1, то S_n=

12)Найти углы α, β, γ первой четверти, если известно, что они составляют арифметическую прогрессию с разностью а их тангенсы составляют геометрическую прогрессию.

Решение: из условия Учитывая свойства геометрической прогрессии, имеем: tg²

tg^{2 ,} tg^2.

tg^4, учитывая, что 0tg

Ответ:

13)Показать, что если треугольник имеет угол в 120⁰ и стороны его образуют арифметическую прогрессию, то эти стороны пропорциональны числам : 3,5,7.

Решение: сторона, лежащая против угла в 120⁰, наибольшая. Поэтому если стороны, заключающие угол в 120⁰, равны а и а+d, (гдеd0), то (а+2d)²=(a+d)² +a²+a(a+d),

3d²+ad-2a²=0, d= таким образом стороны треугольника равны : т.е относятся как 3:5:7.

14) Доказать, что если S₁,S_2,S_3,……,S_n-суммы n-членов n-геометрических прогрессий, у которых первые члены равны 1,а знаменатели соответственно равны 1,2,3,….,n,то S₁+S₂+2S₃+3S₄+……+(n-1)S_n=1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+……+nⁿ.

Решение:S₁=n, S₂=, S_{3=, ………..,} S_n=

S₁+S₂+2S₃+3S₄+……..+(n-1)S_n=n+(2ⁿ-1)+(3ⁿ-1)+……..+(nⁿ-1)=n+2ⁿ+3ⁿ+…….+nⁿ-(n-1)=1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+…….+nⁿ.

15)Доказать, что если положительные различные числа а, b, c являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии, то имеет место равенство:aⁿ+cⁿ2bⁿ, для

Решение: пусть abc, b²=ac (1) ,имеем: (aⁿ-cⁿ)²0, или a²ⁿ-2aⁿcⁿ+c²ⁿ0 (2).

Прибавив к обеим частям неравенства (2) по 4aⁿcⁿ, получим: (aⁿ+cⁿ)4aⁿcⁿ,

aⁿ+cⁿ2, учитывая (1), получим aⁿ+cⁿ2bⁿ

16)Доказать, что нет такого треугольника, у которого и углы, и стороны составляли бы одновременно арифметические прогрессии с отличными от нуля разностями.

Решение: М.О.П. пусть имеется такой треугольник, у которого стороны равны a,a+d,a+2d, a углы , гдеТогда, согласно теореме синусов, имеем:,откуда на основании свойства ряда равных отношений имеем:, или ,

cos, что противоречит предположению.

17) Доказать, что число вида:(10ⁿ+10^n-1+………+10+1)(10ⁿ⁺⁵+5)+1 есть точный квадрат.

Решение: выражение 10ⁿ+10^n-1+……..+10+1 есть сумма n+1 членов геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, а знаменатель равен 10. Поэтому это выражение равно Следовательно, исследуемое число можно переписать в виде или Остается заметить, что число целое (т. к сумма цифр числа 10ⁿ⁺²+2 равна3)

Домашняя контрольная работа

 1) Благодаря выпуску новых поездов министерство путей сообщения планирует ежемесячно перевозить на 100 пассажиров больше, чем предыдущем месяце по одному из маршрутов. За сколько месяцев по этому маршруту проедут 12600 пассажиров, если в первом месяце их было 500?

Ответ: 12 мес.

(Было замечено, что при спуске воды из бассейна каждые следующие 100 литров воды вытекает на 5с дольше предыдущих. Сколько литров воды было в бассейне, если вся вода вытекла за50 секунд? Ответ:1000л)

 2) Решите уравнение:

1+4+7+…….+х=117(Ответ:х=14)

( +х+х²+……+х¹⁰⁰=о, Ответ: нет решения.)

 3) Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 21, а сумма их квадратов равна 189.Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии. Ответ: х₁=3,q=2 или х₁=12,q=.

(Найдите три числа, образующие геометрическую прогрессию, если известно, что их произведение равно 64, а их среднее арифметическое

Ответ: 2,4,8 или 8,4,2)

 4) Доказать, что если числа a,b,c составляют арифметическую прогрессию, то

3(a²+b²+c²)=6(a-b)²+(a+b+c)²

(Доказать, что если числа a,b,c составляют арифметическую прогрессию, то между ними существует соотношение:a²+8bc=(2c+a)².

 5) Доказать, что куб любого числа n есть сумма n-членов арифметической прогрессии, в которой а₁=1, d=2(n-1) (a₁=n, d=2n)

 6) Найдите сумму:1+11+111+…….+1111….1,если последнее слагаемое есть n-значное число. Ответ:

(Найдите сумму: 1+22+32²+42³+…….+1002⁹⁹. Ответ:992¹⁰⁰+1)

Задания.

1

2

3

4

5

6

Баллы.

1

1

2

3

4

5

Критерии оценок:

14-16 б - «5»;

12-13 б - «4»;

10-11 б - «3».

Историческая справка

Понятие числовой последовательности возникло и развивалось задолго до создания учения о функции. Прогрессии - частные виды числовых последовательностей - встречаются в памятниках 2 тысячелетия до н.э. Греческих математиков интересовала связь прогрессий с так называемыми многоугольными числами, вычислениями площадей, объемов, красивыми числовыми соотношениями типа

11² 11³

1+32² 3+52³

1+3+53² 7+9+113³

1+3+5+74² 13+15+17+194³

В папирусе Ахилеса содержится задача, в которой нужно найти сумму n - членов геометрической прогрессии, зная ее первый член и знаменатель. Из одной клинописной таблички можно заключить, что наблюдая луну от новолуния до полнолуния, вавилоняне пришли к выводу впервые 5 дней после новолуния рост освещения лунного диска совершается по закону геометрической прогрессии со знаменателем 2.

Суммированием геометрической, арифметической прогрессий и составлением соответствующих, не всегда отвечающих практическим нуждам задач занимались многие любители математики на протяжении древних и средних веков.

В древнерусском юридическом сборнике «Русская правда» содержатся выкладки о приплоде от скота, пчел за известный промежуток времени, о количестве зерна, собранного с определенного участка и т. д. В некоторых из них вычисляется сумма геометрической прогрессии со знаменателем 2.

Эти задачи, по-видимому, не имели хозяйственного или юридического значения, а как и в других странах являлись результатом развития интереса любителей математики к математическому содержанию подобных задач.

Однако впервые задачи на прогрессии возникли из наблюдений над явлениями природы и из исследования общественно-экономических явлений, к которым применены законы арифметической и геометрической прогрессий.

Уже в 5 веке до н. э. греки знали следующие прогрессии и их суммы

1. 1+2+3+…+ nn (n+1)/2

2. 2+4+6+…+2nn (n+1)

3. 1+3+6+…+ (2n+1)(n+1)² и другие.

В « Псалмите» («исчисление песчинок») Архимед впервые сопоставляет прогрессии

1 2 3 4 5

10 10² 10³ 10⁴ 10⁵ и указывает на связь между ними 10³10⁵10³⁺⁵10⁸

У греков теория геометрической прогрессии связана с так называемой непрерывной геометрической пропорцией a  b  b  c , в которой числа a,b,c образуют геометрическую прогрессию со знаменателем

Прогрессии рассматривались как продолжение пропорций, вот почему эпитеты арифметическая и геометрическая были перенесены от пропорций на прогрессии.

Такой взгляд на прогрессии сохранился и у многих математиков 17 века и даже 18 века. Именно так следует объяснить тот факт, что символ , встречающийся у Барроу, а затем и у других английских ученых того времени для обозначения непрерывной геометрической пропорции стал обозначать в английских и французских учебниках 18 века геометрическую прогрессию. По аналогии знаком  стали обозначать арифметическую прогрессию.

Для решения некоторых задач из геометрии и механики Архимед вывел формулу суммы квадратов натуральных чисел, хотя ею пользовались и до него 

1²+2²+…+n²1/6n (n+1)(2n+1) (1)

Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым. Так Ариабхатта (5 век) знал формулы для общего члена, суммы арифметической прогрессии и др., Магавира (9 век ) пользуется формулой (1) и другими более сложными конечными рядами. Однако правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречаются в « Книге абака» (1202г) Леонардо Пизанского.

В «Науке о числах» (1484 год) Н. Шюке, как и Архимед сопоставляет арифметическую прогрессию с геометрической и дает общее правило для суммирования любой бесконечно-убывающей геометрической прогрессии. Формула суммы бесконечно-убывающей геометрической прогрессии была известна Ферма и другими математиками 17 века. Слово «прогрессия» латинского происхождения (progressio), встречается впервые у римского автора Боэция(5-6 век).

Первоначально под прогрессией понимали всякую числовую последовательность, построенную по закону, позволяющему неограниченно продолжать ее в одном направлении. В конце средних веков и в начале нового времени этот термин перестает быть обще употребляемым. В 17 веке Грегори употребляет вместо прогрессий термин «ряд», а другой видный английский математик Валлис, применяет для бесконечных рядов термин «бесконечные прогрессии».

В настоящее время мы рассматриваем прогрессии как частные случаи числовых последовательностей.

На связь между прогрессиями первым, по - видимому, обратил внимание великий Архимед. В печати же эти мысли отчетливо прозвучали лишь в 1544г., когда вышла книга немецкого математика Михаила Штифеля «Общая арифметика». Штифель составил такую таблицу:

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 4 8 16 32 64 128 256

В верхней строке написана арифметическая прогрессия с разностью 1. В нижней- геометрическая со знаменателем 2. Расположены они так, что нулю арифметической прогрессии соответствует 1 геометрической, это очень важный факт. А теперь представьте себе, что вы не умеете умножать и делить, но вам понадобилось умножить, например, на 128.

В таблице над написано-1,а над 128 написано 7.Сложим эти числа. Получится 6. Под шестеркой читаем 64. Это и есть искомое произведение. Другой пример. Разделим 32 на 8. Поступим аналогично:325, 83, 5-3=2, 24, значит, 32:8=4.

Если вспомнить тождества aⁿa^m=a^n+mи aⁿ:a^m=a^n-m, а нижнюю строчку таблицы переписать так:

2^-4, 2^-3, 2^-2, 2^-1, 2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵, 2⁶, 2⁷, 2⁸, то нетрудно сообразить, в чем тут дело. Разумеется, при этом надо договориться, что а⁰=1,а а^-n=.

Теперь можно сказать, что если показатели степени составляют арифметическую прогрессию, то сами степени составляют геометрическую прогрессию. Заметим еще, что с помощью таблицы можно возводить в степень и извлекать корни. Сколько будет, например, 4³? Против 4 читаем 2, умножаем 2 на 3, против 6 читаем 64, значит, 4³=64. А чему равен ? Делим 8 на 4,против 2 читаем 4, значит, Теперь задумаемся вот над чем. Складывать и вычитать гораздо легче, чем умножать и делить, не говоря уже о том, насколько легче делить, чем извлекать корни. И если бы между числами нижней строки не было таких больших разрывов, то таблицы прогрессий можно было бы использовать для облегчения вычислений. Как улучшить таблицу Штифеля?

«Уплотнить» верхнюю строчку несложно, это арифметическая прогрессия, поэтому будем вставлять между ее членами их среднее арифметическое. Например, между 1 и 2 вставим , между 1 и вставим (1+):2=, между и 2 вставим (:2= и т.д. Процесс этот можно продолжать сколько угодно, будет получаться арифметическая прогрессия со все меньшей и меньшей разностью и со все большим и большим числом членов. Но как быть с геометрической прогрессией? Выпишем часть верхней строки таблицы со сделанными «вставками»:

1 2

Что вставить между 2 и 4=2² под числом ? Естественно среднее геометрическое этих чисел, т.е.. А между 2 и ? Наверное, Вспомнив определение a=, мы можем написать так:

1 2

2¹=2,00 22,38 2 2 2²=4,00.

Десятичные дроби нижней строки получены в результате вычислений с точностью до второго знака после запятой соответствующих корней и степеней. Теперь расстояния между соседними числами стали меньше, и, продолжая эту работу, мы сможем уменьшить их, скажем, до 0,01 и даже еще меньше. Мы на правильном пути. Именно этот путь привел в начале 17века швейцарского математика И. Бюрги и шотландца Д. Непера к созданию таблиц логарифмов, о которых вы узнаете в старших классах.

Вот куда ведут прогрессии - недаром само слово progressio означает «движение вперед».

Используемая литература

1. Макаров Ю. Н., Миндюк Н.Г. Алгебра.

Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класса.- М.: Просвещение,1997. .

2. Мордкович А.Г.Алгебра: Учебник для 9 классов общеобразовательных

учреждений.-М.: Мнемозина ,2010.

3. Лаппо Л.Д., Попов М.А. ЕГЭ 2004. Математика. Типовые тестовые задания:Учебно-практическое пособие  М.:Экзамен, 2004.

4. Мухаметзянова Ф.С. Содержание и технологии предпрофильной подготовки и профильного обучения. Часть 4. Методические рекомендации по математике под редакцией Т.Ф. Есенковой В.В. Зарубиной-Ульяновск:УИПК ПРО., 2005.

5. Родионов Е.М., Синякова С.Л. Математика. Часть 2. М.: Ориентир при МГТУ им. Баумана, 2004.

6. Терёшин Н.А., Терёшина Т.Н. Сборник задач и примеров по алгебре 7-9 класс.-М.: Аквариум, 1997.

7. Апанасов П.Г, Апанасов Н.П. Сборник математических задач с

практическим содержанием.-М.: Просвещение,1987.

3. Глейзер Г.И. История математики в школе. Пособие для учителя.-М.:

Просвещение,1982.

3. Горнштейн Л.И., Мерзляк А.Г. Решение задач по математике из

сборника задач под редакцией Сканави-К.: Техника,1992.

3. Петровская В.А. Коллекция нестандартных задач на прогрессии //

Математика в школе.-1992, №2.-с.37.

3. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры: книга для учащихся

7-9 классов средней школы.-М.: Просвещение,1990.