Математика в историческом развитии (методические рекомендации по организации и проведении факультативного курса по истории математики в 11 классе)

Чупахин Александр Валентинович - учитель математики МБОУ «Курасовская средняя общеобразовательная школа Ивнянского района Белгородской области

Математика в историческом развитии

(методические рекомендации по организации и проведении факультативного курса по истории математики в 11 классе)

№ п/п

Тема занятия

Кол-во часов

11 класс

Алгебра (8 часов)

1.

Площадь криволинейной трапеции

1 ч.

2.

Исчисление бесконечно малых

1 ч.

3.

Дифференциальное и интегральное исчисление в трудах ученых XVIII-XIX вв.

1 ч.

4.

Дифференциальные уравнения

1 ч.

5.

Показательная и логарифмическая функции

1 ч.

6.

Ряды

1 ч.

7.

Применение определителей к решению систем уравнений

1 ч.

8.

Метод Крамера и метод Гаусса

1 ч.

Геометрия (4 часа)

1.

Многогранники

1 ч.

2.

Объемы многогранников

1 ч.

3.

Тела вращения

1 ч.

4.

Объемы тел вращения

1 ч.

11 класс

Алгебра и начала математического анализа

Тема 1. Площадь криволинейной трапеции

Занятие № 1

I

На данном комбинированном тематическом занятии целесообразно использовать следующие методы работы:

сообщение ученика «История возникновения определённого интеграла»;

нахождение площади криволинейной трапеции (использовать компьютер);

решение задач.

II

На занятии по данной теме необходимо обратить внимание на предпосылки возникновения понятия интеграла, рассказать о криволинейной трапеции.

Рассматривая вопрос «об определенном интеграле», необходимо коснуться происхождения термина «интеграл», истории обозначений интеграла, рассказать об интегральной (римановой) сумме.

III

Учащимся можно предложить выполнить несколько примеров на нахождение площади криволинейной трапеции

Тема 2. Исчисление бесконечно малых

Занятие № 2

I

Данное занятие предлагается посвятить сообщениям учащихся.

Используется парно - групповая работа: каждое сообщение готовят 2-3 человека, объединенные в одну группу. В каждой группе - «сильные» ученики и «слабые».

II

На занятии по данной теме следует рассмотреть и проанализировать следующие выступления учащихся:

1. «Интеграционные методы Архимеда».

В этом сообщении обратить внимание на рассмотрение следующих вопросов:

а) Метод исчерпывания для вычисления площади сектора параболы, примененный в «Квадратуре параболы» Архимеда.

б) Методы соответствующего разложения и суммирования бесконечно малых с помощью (хотя и молчаливого), но строгого предельного перехода.

в) Архимед и его понятие интегральных сумм, верхних V_nи нижних .

г) Интегралы, определенные Архимедом: , ,

,

д)Зачатки дифференциальных методов в трудах Архимеда.

Здесь необходимо рассказать об оригинальном методе нахождения касательной к спирали, названном именем Архимеда и изложенном в его сочинении «О спирали», где впервые встречается идея бесконечно малого «характеристического» треугольника (XVII в.), явившегося для Лейбница одним из отправных пунктов при создании дифференциального исчисления;

познакомить с методом решения задач на экстремумы;

коснуться знаменитого сочинения Архимеда «О шаре и цилиндре», где исследуется возможность геометрического решения кубического уравнения, ныне записываемого в виде x² (a - x) = bc².

В заключении сообщения следует сделать вывод по интеграционным методам Архимеда.

2. «Возрождение и развитие интеграционных методов Архимеда одним из первых видных ученых XVII в. Иоганном Кеплером, открывшим законы движения планет».

В этом сообщении необходимо рассмотреть следующие вопросы:

а) Первые два закона Кеплера, опубликованные в 1609 г. в важнейшем его труде «Новая астрономия»:

) Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится солнце.

) Радиус - вектор, проведенный от Солнца к планете, в равные промежутки времени описывает равные площади.

б) О «Новой стереометрии винных бочек» Кеплера (1615 г.)

3. «Геометрия неделимых» Кавальери»

а) Понятие «все линии» Кавальери, эквивалентность его современному обозначению:

, где a - длина инциденты, т.е. расстояние между двумя крайними прямыми, параллельными регуле.

б) сущность принципа определения отношений «сумм всех неделимых»: площади плоских фигур или объемы тел относятся между собой как суммы всех соответствующих неделимых.

в) Результаты Кавальери, соответствующие вычислению определенных интегралов типа

(*) для m = 1, 2, … , 9 (m - натуральное).

В качестве комментария следует отметить, что независимо от Кавальери результат (*) нашли Валлис и Декарт.

4. «Дж. Валлис, П. Ферма и Б. Паскаль, их вклад (XVII в.) в создание интегрального и дифференциального исчисления».

а) Дж. Валлис, П.Ферма, Б.Паскаль - последователи Кавальери.

б) Методы Валлиса, изложенные в его «Арифметике бесконечных» (1655 г.)

в) Логарифмический метод (метод деления) Ферма.

г) Обобщение результатов Ферма Е. Торричелли.

д) Более четкое определение интеграла в трудах Б. Паскаля.

е) Разбор теоремы из «Трактата о синусе четверти круга» (1658 г.) Паскаля.

1. Формулировка: сумма синусов какой-нибудь дуги (BF) четверти круга (см. рис.) равна отрезку основания (AO) между крайними синусами, умноженному на радиус (AB).

2. Пояснение доказательства

а) дуга BF делится на равные части, отмеченные точками, из которых проводятся синусы DI. Точки пересечения касательных к дуге окружности в точках D обозначены точками E, из последних опускаются затем перпендикуляры ER.

б) Предварительно Паскаль доказывает, что DI EE = RRAB.

в) Из подобных прямоугольных треугольников DIA и EKE (EEK = DAI) следует: (*)

г) Ввиду того, что AB = AD получается равенство (*).

«Я утверждаю, - пишет после этого Паскаль, - что сумма синусов DI, само собой разумеется, каждого умноженного на одну из равных дуг DD , равна прямой AO, умноженной на радиус AB».

д) Заменяя каждую касательную EE дугой DD, Паскаль получает в левой части равенство (*) «сумму синусов», а в правой - произведение AB на сумму отрезков RR, т.е. на AO.

5. «О глубокой геометрии» Лейбница.

а) Мемуар Лейбница «О глубокой геометрии и анализе неделимых, а также бесконечных» - первая печатная работа по интегральному исчислению.

б) Установление Лейбницем связи между дифференциальным и интегральным исчислением.

в) Об установлении чисто геометрически взаимоотношения между произведением касательных и квадратурой.

г) О «характеристическом» треугольнике Лейбница.

д) Приход Лейбница, исходя из понятия определенного интеграла к понятию функции F(x) первообразной (или примитивной) для данной функции f(x) так, что

F^/ (x) = f(x) или

d F(x) = f(x) dx.

В конце сообщения сделать вывод.

6. «Метод флюксий» Ньютона.

Здесь необходимо рассказать о решении двух основных проблем, сформулированных Ньютоном в «Методе флюксий»:

1) По данному соотношению между флюэнтами определить соотношение между флюксиями.

2) По данному уравнению, содержащему флюксии, найти соотношение между флюэнтами.

В сообщении необходимо также рассказать о задаче определения функции F (называемой первообразной), зная ее производную F^/ = f, приводящей к понятию неопределенного интеграла;

раскрыть понятие неопределенного интеграла функции f(x), познакомить с обозначениями;

рассказать о возникновении у Ньютона из геометрии понятия первообразной функции и неопределенного интеграла как задачи квадратуры кривой;

о раскрытии прихода Ньютона к понятию первообразной или неопределенного интеграла, исходя из понятия производной; познакомить с получением формулы Ньютона - Лейбница, содержание которой по существу восходит к И. Барроу:

с основной формулой интегрального исчисления:

В заключение сообщения следует сделать вывод.

7. «Г.Ф. Лопиталь и его «Анализ бесконечно малых».

В сообщении следует остановиться на кратких биографических данных о Лопитале и познакомить с «Анализом бесконечно малых»:

а) Предыстория написания работы.

б) Структура первого печатного курса дифференциального исчисления («Анализ бесконечно малых»).

в) Достоинства книги Лопиталя.

г) Оценка работы с современной точки зрения.

д) Историческое значение первой в мире книги по дифференциальному исчислению.

Тема 3. Дифференциальное и интегральное исчисление в трудах ученых XVIII-XIX вв.

Занятие № 3

I

На данном занятии целесообразно использовать следующие методы работы: сообщения учителя, работа по изучению работ Эйлера, выступления учащихся.

На этом занятии рекомендуется использовать групповую форму работы.

II

На занятии по данной теме следует обратить внимание на выступление учителя «Читайте, читайте Эйлера: это наш общий учитель…» (П.С.Лаплас), где необходимо раскрыть биографию Эйлера и обстоятельство, побудившее Эйлера составить полный курс математического анализа, состоящего из следующих книг:

1. «Введение в анализ бесконечных», 2 тома, 1748,

2. «Дифференциальное исчисление», 1 том, 1755,

3. «Интегральное исчисление», 3 тома, 1768 - 1769.

На данном занятии необходимо уяснить, почему академик Н.Н. Лузин назвал Эйлера - «первым анналистом в мире» (сообщение ученика);

познакомиться с учением Эйлера о бесконечно малых, по возможности, используя его работу «Дифференциальное исчисление». Здесь обратить внимание на достоинство Эйлерова анализа: строгая система изложения, введение в него новых формул, примеров и другого конкретного материала, например, открытие правил раскрытия некоторых неопределенностей, в том числе и ; на введение Эйлером в «Дифференциальное исчислении» ныне всеми употребляемых математических обозначений:

e, i, , , sin, cos, tg и др.;

коснуться того, что главное внимание уделяет Эйлер понятию производной.

Знакомясь с «Интегральным исчислением» Эйлера, следует сделать разбор выдержки на первой странице книги Эйлера «Интегральное исчисление» (Т.1):

Определение.

Интегральное исчисление есть метод, посредством которого по данному соотношению между дифференциалами, количеств находят соотношению между своими количествами, а действие, с помощью которого это достигается, называется интегрированием.

Следствие 1.

Значит, в то время как дифференциальное исчисление учит находить соотношение между дифференциальными по данному соотношению между переменными количествами, интегральное исчисление дает метод решения обратной задачи.

Следствие 2.

В анализе постоянно попарно противопоставляются друг другу два действия, как например вычитание противопоставляется сложению, деле- ние - умножению, извлечение корня - возведению в степень. Подобным же образом интегральное исчисление противопоставляется дифференциальному исчислению.

Следствие 3.

Если предложено некоторое соотношение между переменными количествами X и Y, то дифференциальное исчисление дает метод разыскания отношения дифференциалов dy : dx ; если же, наоборот, по этому отношению дифференциалов требуется определить соотношение самих количеств X и Y, то эта задача относится к интегральному исчислению.

Уместно будет разобрать простейший пример, который следует за следствием в «Интегральном исчислении»:

Так как дифференциалы следующих функций от x

x² , xⁿ, суть

2 xdx, nx^n-1dx, - , то пользуясь знаком интегрирования, получим:

, , .

Сделать вывод о применении этого знака.

На занятии необходимо коснуться того, что понятие первообразной, т.е. неопределенного интеграла - исходное у Эйлера, как и у Ньютона, в отличие от Лейбница.

Определенный интеграл для Эйлера - частный случай неопределенного, одна из первообразных.

Можно остановиться на вычислении Эйлером определенных интегралов (например, ) и открытии ряда новых важнейших интегралов (например, бета - функцию: и гамма - функцию: ).

«Академик М.В. Остроградский и ученый П.C. Лаплас об Эйлере» - очередное выступление одного из учащихся, где необходимо коснуться биографических данных Остроградского и Лапласа.

В рассмотрении вопроса «Выдающиеся результаты в области математического анализа других крупнейших математиков XVIII-XIX вв.» возможны следующие сообщения учащихся:

1. «Ж.Л. Лагранж - крупнейший математик XVIII в.»

Здесь необходимо раскрыть биографические данные Лагранжа, рассказать об оценке Лагранжем остаточного члена ряда Тейлора, предварительно вспомнив, что такое ряд Тейлора, а также привести формулу конечных приращений Лагранжа, познакомить учащихся с теорией условных экстремумов.

Необходимо выделить, что благодаря Лагранжу, вариационное исчисление - самостоятельная ветвь математического анализа.

Учащимся интересно будет познакомиться с «Теорией аналитических функций» (1797 г.) Лагранжа и его классическим трудом «Аналитическая механика» (1788 г.), построенной методами математического анализа, изложенной как дедуктивная наука.

2. «Построение Коши курса анализа на более стройных логических началах».

В этом сообщении необходимо отметить, что работы Коши основаны на систематическом использовании понятия предела, в них впервые были изложены современные определения понятий предела, производной, непрерывной функции и их основные свойства; одно из важнейших понятий анализа О. Коши - определенный интеграл, рассматриваемый как предел интегральной суммы. Коши пользовался символом , предложенным Фурье. В качестве комментария следует отметить, что именно благодаря Коши это символ вошел в общее употребление и сохранился поныне.

3. «Важнейшие результаты Больцано (еще до Коши) из области обоснований анализа». В этом сообщении раскрыть смысл строгого определения непрерывности функций, критерия сходимости последовательностей;

рассказать об открытии Больцано еще в 20-х годах XIX в. - о построении непрерывной функции, не имеющей конечной производной;

сделать пояснение, что однако долгое время считали, что Вейерштрасс впервые в 1875 г. открыл, что не всякая непрерывная функция имеет производную, т.е. что не всякая непрерывная кривая имеет всюду касательную.

4. «Развитие теории интегралов Б. Риманом».

Здесь необходимо сообщить, что Риман впервые определил необходимые и достаточные условия интегрируемости ограниченной функции; ему принадлежит общее определение интеграла (определенного), поэтому интегральную сумму и называют «римановой», хотя по существу это понятие восходит к Архимеду, а в современной форме для случая непрерывной функции им пользовался Коши.

5. «О внесении большого вклада в развитие математического анализа в XIX в. М.В. Остроградским и П.Л. Чебышевым».

Предлагается следующий план данного сообщения:

а) Краткие биографические справки о М.В. Остроградском и П.Л. Чебышеве.

б) Важнейшие результаты в области интегрального исчисления М.В. Остроградского:

1) формула, сводящая вычисление тройного (и, вообще, n-кратного) интеграла к вычислению двойного (n-1)-кратного интеграла;

2) общий прием интеграции рациональных функций;

3) формула преобразования переменных в многомерных интегралах и др.

в) Пафнутий Львович Чебышев и шесть его больших мемуаров интегрирования алгебраических функций:

1). Знаменитая теорема об интегрировании биномиальных дифференциалов (в мемуаре «Об интегрировании иррациональных дифференциалов» (1853г.);

2). О «полиномах Чебышева»;

3). О «конструктивной теории функций», выросшей из учения Чебышева о наилучшем приближении функций определенного типа (например, многочленов степени n).

В конце занятия необходимо сделать вывод, что глубокие исследования, предпринятые в области анализа связаны с развитием теории функций, теории множеств и других отраслей современной математики.

Тема 4. Дифференциальные уравнения

Занятие № 4

I

В начале занятие - вступительная часть учителя «О создании учения о дифференциальных уравнениях». Далее - разбор некоторых задач, приводящих к понятию об обыкновенном дифференциальном уравнении, решение этих задач; сообщения учащихся и комментарии к ним.

II

На занятии по данной теме целесообразно разобрать некоторые задачи, приводящие к понятию об обыкновенном дифференциальном уравнении.

1. Пусть требуется определить функцию y = F(x), первообразную для данной функции f(x).

а) исходим из уравнения (1) или d y= f(x) d x (2)

б) Эти равносильные между собой уравнения, в которые входит первая производная (или дифференциал) искомой функции, представляют собой дифференциальные уравнения первого порядка.

в) Решить, иными словами, интегрировать такие уравнения - значит найти первообразную.

г) Общее решение представляется так:

(3) y = , где с - произвольная константа.

д) Дифференциальное уравнение (2) или (1) имеет бесконечное множество решений в зависимости от значений, придаваемых с.

е) Каждое отдельное решение, получаемое из общего при каком-либо определенном значении константы с, называют частным решением.

ж) Общий вид дифференциального уравнения первого порядка таков:

(4) Ф (x, y, y^/) = 0 .

Это соотношение связывает искомую функцию y, независимую переменную x и первую производную y^/ от искомой функции. Заданная в (4) непрерывная функция 3-х аргументов Ф может не содержать x и y, но всегда содержит y^/ .

з) Уравнение (1) - есть частный случай дифференциального уравнения (4), где y^/ или явно определена как функция от x.

и) Аналогично Ф (x, y, y^/, y^//) = 0 (5) представляет собой общий вид дифференциального уравнения второго порядка.

к) Ф (x, y, y^/, …, yⁿ) = 0 (6) - есть дифференциальное уравнение n-го порядка.

л) Дифференциальные уравнения (4), (5), (6), в которых речь идет об одном независимом переменном x, называются обыкновенными.

По решению этой задачи сделать вывод.

2. Закон свободного падения тел, открытый Галилеем.

В начале учащимся предлагается вспомнить, кто такой Галилей, затем - разбор задачи:

Пусть под действием земного притяжения материальная точка P падает по вертикальной прямой, которую мы примем за ось OY системы координат с началом O на поверхности Земли. Для нахождения закона движения точки P мы должны выразить ее ординату Y как функцию от времени t. Зная, что ускорение вообще равно и что в данном случае ускорение силы тяжести g = 981 см/с² и направлено вниз, получаем (1).

а) Это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Его легко решить, т.е. интегрировать, а именно:

, (2)

(3)

б) В общем решении (3) дифференциального уравнения (1) содержатся две произвольные константы: c₁ иc_{2 .}

в)Полагая, что в (2) и (3) t = 0, получим:

c_{1 = =} ,

c₂ = (y)_t=0 = y_0.

г) Итак, c_{1 -} есть начальная скорость точки P, а c₂- начальное ее положение.

Общее решение (3) дифференциального уравнения (1) можно теперь представить так:

y = - + y_0, где y₀и - являются начальными условиями, позволяющими найти частное решение (1).

3. Поставленная Ньютоном в «Методе флюксий» вторая основная задача - «по данному уравнению, содержащему флюксии, найти соотношение между флюэнтами» (см. тема 2) - есть общая задача интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.

Здесь в качестве комментария следует отметить, что Ньютон решает эту задачу с помощью степенных рядов, хотя она могла бы быть решена в квадратурах, т.е. при помощи операции взятия неопределенного интеграла.

4. Пример решения задачи (из современной физики), приводящей к обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка: «Скорость радиоактивного распада вещества прямо пропорциональна массе m и выражается формулой

(1) , где k - коэффициент пропорциональности, определяют опытным путём для каждого вида радиоактивного вещества, а знак «- » означает, что скорость распада отрицательна, т. к. масса вещества убывает».

а) Дифференциальное уравнение (1) можно переписать в следующем виде:

(1^/).

б) Интегрирование даёт: ln m = - kt + lnC (3).

в) Потенцируя (3), получим общее решение дифференциального уравнения (1):

m = Ce^-kt (4).

г) Это и есть закон убывания массы радиоактивного вещества с течением времени.

д) Определим физический смысл константы С. Полагая в (4) t = 0, получим C = m_o, т.е. m_o представляет массу в начальный момент времени («первоначальную массу»).

е) Закон радиоактивного распада выражается, т.о. формулой:

m = m_o e^-kt.

В сообщении учащегоя «Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка» следует раскрытсь историю «обратных задач на касательные», коснуться письма Лейбница, в котором употребил термин «дифференциальное уравнение» и разобрать задачу на выяснение геометрического смысла дифференциального уравнения первого порядка:

а) Пусть дано уравнение

(1) y^/ = f(x, y) и пусть

(2) y = - есть его решение.

б) Последнее уравнение изображает какую-то кривую, которую принято называть интегральной кривой уравнения (1). Каждой точке (x, y) плоскости, в которой определена функция f (x, y), дифференциальное уравнение (1) ставит в соответствие направление касательной к кривой (2).

в) Совокупность всех направлений, определяемую уравнением (1), называют полем направлений.

г) с этой точки зрения решение дифференциального уравнения состоит в нахождении кривой по заданному ее направлению в каждой точке. Таких кривых не одна, а так называемое «семейство»:

(2^/) y = (x, С), зависящее только от одного параметра С.

д) Чтобы выделить одно (частное решение) из интегральных кривых семейства (общего решения) (2^/), необходимо задать соответствующие начальные условия: потребовать, например, чтобы кривая проходила через определенную точку (x_0, y₀).

В сообщении «Уравнения с разделяющимися переменными» необходимо рассказать о первых систематических попытках классификации дифференциальных уравнений и о решении определенных их типов с помощью квадратур братьями Яковом и Иоганном Бернулли, дать историко-биографическую справку о братьях Бернулли.

В сообщении необходимо заметить, что уравнения с разделяющимися переменными принадлежат к простейшим видам уравнений, интегрируемых в квадратурах. Уравнения с разделяющимися переменными - это уравнения вида:

(1) M dx + N dy = 0, где каждая из функций M, N зависит только от x, или только от y.

Переменные могут быть в таком случае разделены, а уравнение (1) написано в виде:

f₁ (x) dx = f₂ (y) dy, и решение сводится к квадратурам.

Необходимо сделать комментарий о работе Лейбница и его сотрудников над приведением дифференциальных уравнений к уравнениям с разделяющимися переменными, в частности, рассказать о достижении Лейбницем цели сперва в отношении однородных уравнений, а затем и линейных; раскрыть алгоритм решения однородных уравнений:

1) Функция f(x, y) называется однородной функцией измерения n, если при любом t, имеем:

f (tx, ty) = tⁿ f (x, y) .

2) В частности, многочлен, все члены которого имеют степень n, есть однородная функция измерения n.

3) Дифференциальное уравнение M dx + N dy = 0 называется однородным, если M и N являются однородными функциями одинакового измерения (или что то же, y^/ = f (x, y) однородно, если f (x, y) есть однородная функция нулевого измерения, так как при n = 0 f(tx, ty) = f (x, y)).

4) Для того, чтобы решить это уравнение, Лейбниц воспользовался подстановкой y = ux и свел его таким образом к новому уравнению с разделяющимися переменными.

Здесь целесообразно разобрать такой пример:

а) Пусть дано дифференциальное уравнение y^| = = 0 (*)

б) Применим подстановку y = ux:

u + x + = 0

+ =0

в) Разделим переменные:

+ = 0

г) Интегрируя, получаем:

ln (2u² +2u +1) + ln |x| = ln С

x² (2u²+ 2u+1) =С²

x² +2xy +2y² +С

д) Вывод. Общее решение уравнения (*) представляет собой семейство обыкновенных эллипсов. Через каждую точку плоскости, исключая начало координат, проходит единственная интегральная кривая.

III

В качестве домашнего задания учащимся можно предложить такое задание:

Решить дифференциальные уравнения и найти частные решения (частные интегралы), удовлетворяющие данным условиям:

e^x(1+e^y)dx +e^y(1+e^x)dy =0;

y=0 при x=0

- уравнение с разделяющимися переменными).

Тема 5. Показательная, логарифмическая и степенная функция

Занятие № 5

I

На данном семинарском занятии целесообразно использовать следующие формы и методы работы: сообщения учащихся, групповое изучение работы Эйлера «Ведение в анализ бесконечных» (Т. I гл. VI - VII).

II

На занятии по данной теме рекомендуется рассмотреть следующие вопросы:

1. Понятие степени.

Здесь необходимо раскрыть следующие моменты:

а) Возникновение понятия степени.

б) Применение в III в. Диофантом сокращенного обозначения неизвестного и его степени, введение им своих терминов для названия степеней и особых символов для их обозначения.

в) Замена в отдельных случаях корней из чисел дробными показателями степени в XIV в. французским епископом Н.Оремом (или Орезмом, 1323-1382), введение им символических обозначений степени с дробными показателями.

г) Открытие дробных показателей бухгалтером из Брюгге, а впоследствии военным инженером С. Стевиным (1548-1620).

д) Применение знака «» для обозначения неизвестной Стевиным и Жираром (1595-1632).

2. Нулевой показатель.

Здесь уместно рассказать об использовании степени с нулевым показателем самаркандским ученым ал-Каши (в начале XV в.), а также о применении нулевого и отрицательного показателей Н. Шюке в работе «Наука о числах в трех книгах» (1484 г.).

3. О записях степени разными учеными.

а) запись ААА вместо современной записи А³ у М. Штифеля (ок. 1486-1567).

б) Использование символической записи в «Полной арифметике» (1544 г.) Ф. Виета: для первой степени - N (число), для второй степени - Q (квадрат), для третьей степени - C (куб), для четвертой степени - QQ.

в) Обозначение степени «Курсе математики» французским математиком Эригоном (a2, a3, a4 вместо a², a³, a⁴).

г) Запись степени англичанином Оутредом в 1631г. (A_q и A_cвместо ныне принятого A² и A³, Aqc - вместо A⁵).

д) Современные обозначения степени, введенные Декартом в своей «Геометрии» (за исключением второй степени, которую он записывал как произведение двух множителей).

(В качестве комментария следует отметить, что такую же запись сохранил и Гаусс, считая, по - видимому, что записи АА и А²равнозначны по своей сложности написания).

е) Завершение введения современного изображения степени англичанами Дж. Валлисом и И. Ньютоном. Рассмотрение ими вопроса о целесообразности употребления отрицательных и дробных показателей.

4. О значении понятий нулевой, дробной и отрицательной степени (сообщение ученика).

5. Изучение работы Л. Эйлера «Ведение в анализ бесконечных» (Т. I гл. VI-VII) - описание Эйлером «показательных и логарифмических количеств».

«Показательные количества разнообразны, смотря по тому, будет ли переменным количеством один только показатель или, кроме того, еще и само возвышаемое количество; к первому роду относится a^z , ко второму y^z, даже и сам показатель может быть показательным количеством, как в выражениях ,,,. Мы не будем останавливаться на дальнейшем подразделении этих количеств, так как природа их может быть понята достаточно ясно, если мы разберем первый вид a^z».

Необходимо обратить внимание на то, что замечательным достижением Эйлера в этой области было открытие связи между показательной и тригонометрическими функциями. Он установил: = cos x + sin x, откуда при x =

= cos + sin

или = - 1, а

= 1.

6. О значении показательной функции (сообщение ученика).

При рассмотрении вопроса «Логарифмическая функция» необходимо рассмотреть следующие моменты:

1). Предыстория логарифмов.

Здесь необходимо объяснить, для чего были придуманы логарифмы;

Раскрыть условия создания логарифмов (почву для развития логарифмов):

а) Действия над степенями одного и того же основания у древнегреческого ученого Диофанта (в зачаточной форме).

б) Введение дробных показателей французским ученым Орезмом (XIV в.).

в) Введение нулевого и отрицательного показателя французским ученым Шюке (XV в.).

г) Принятие a⁰ =1 при a0 узбекским ученым XVI в. ал-Каши.

д) Введение названия «Exponenten» (показатель) и принятие за единицу а⁰ (независимо от ал-Каши) немецким ученым Штифелем (XVI в.).

е) Составление таблицы процентных расчетов Стевиным.

ж) Установление единой математической символики и завершение развития десятичных дробей.

2). Кто изобрел логарифмы.

а) Идея логарифма, т.е. идея выражать числа в виде степени одного и того же основания М.Штифеля.

В качестве комментария следует отметить, что предвосхищение этой идеи можно видеть у Архимеда.

б) Шотландский любитель математики Джон Непер (1550-1617) и его изобретение логарифмов, название их и таблицы логарифмов.

в) Первые таблицы логарифмов любителя математики - часовщика и мастера астрономических приборов, швейцарца И. Бюрги (1552-1632), работавшего вычислителем с астрономом И.Кеплером.

г) Две замечательные системы логарифмов: с иррациональным основанием e - натуральные и системы логарифмов с основанием 10 - десятичные логарифмы.

д) Десятичные таблицы Генри Бриггса (1561-1630) - профессора геометрии Оксфордского университета.

е) О знаке логарифма «log».

ж) Некоторые натуральные логарифмы Райта, «Новые логарифмы» Дж. Спейделя.

з) Дополнение трудов Непера и Бриггса голландским математиком Андрианом Влакком (1628 г.)

и) Об издании в 1703 г. первых таблиц на русском языке благодаря педагогам Андрею Фархварсону, Стефану Гвину и Леонтию Магницкому.

к) О логарифмической линейке, сконструированной на основе таблицы логарифмов Оутредом.

Тема 6. Ряды

Занятие № 6

I

На данном занятии - семинаре целесообразно использовать следующие методы работы: сообщение учителя (вступительная часть), сообщения учащихся, изучение работы Эйлера «Ведение в анализ бесконечных» (гл. VII «О выражении показательных и логарифмических количеств при помощи рядов»).

II

На занятии по данной теме с сообщением «Понятие ряда, его история. Арифметический, геометрический и гармонический ряды» выступает учитель.

Сообщение «Учение о рядах» желательно разбить на несколько частей и каждую часть поручить отдельному учащемуся.

1. «Появление логарифмического ряда. Роль в этом Н. Меркатора».

2. «Открытие замечательной связи, существующей между логарифмами и площадью гиперболы фламандским математиком Г. Санкт-Винцентом».

3. «О новом способе вычисления логарифмов с желанной точностью Н. Меркатором (основанного на результаты Санкт - Винцента) с помощью ряда.

ln (1+x) = x -

4. О представлении числа в виде бесконечного произведения рациональных чисел Валлисом».

5. «Разложение в ряд ln 2 Вильяма Броункера».

6. «Разложение функций в степенные ряды».

а) О получении Ньютоном формулы бинома для натурального показателя.

б) О биномиальном ряде, связанном с именем Ньютона

(1 + x)^m = 1 + m x + x²+ … + xⁿ + …, при этом m - любое, отличное от нуля вещественное число.

в) Об одном из способов разложения в ряды, применявшемся Ньютоном - об обращении ряда (например, получение показательного ряда из логарифмического:

(1) 1+ y = e^x = 1 + +

г) Ряд Тейлора

f(x) = f(x₀) + (x-x₀) + (x-x₀)² + … + (x-x₀)ⁿ + …

7. «Учение Эйлера о степенных и других бесконечных рядах».

В этом сообщении необходимо выделить следующие моменты:

1) Эйлер не только определил суммы большого числа бесконечных рядов, но и получил, важнейшие результаты в теории рядов, открыв так называемую «формулу суммирования Эйлера-Маклорена» и преобразование рядов, носящее его имя, и ввел новые типы рядов, например, тригонометрические.

2) Он широко применил ряды к исследованию свойств функции, а также к вопросам алгебры и теории чисел.

3) Для разложения рациональных функций Эйлер, как и Ньютон, делил числитель на знаменатель или применял метод неопределенных коэффициентов.

4) Он широко пользовался биномом Ньютона и рядом Тейлора для представления бесконечными рядами иррациональных, тригонометрических и других функций.

5) Эйлер занимался также рядами с комплексными членами.

Следует отметить, что, исходя из показательного ряда (1) и вводя степень с мнимым показателем x = i y, он получил:

(*) e^yi = (1 -

6) Сравнивая ряд (*) с разложением в ряд синуса и косинуса

sin x = x -

cos x = 1- ,

Эйлер и пришел к знаменитым своим формулам:

e^yi = cos y +i sin y

Заменяя здесь y на -y , имеем:

e^-yi = cos y - i sin y

Почленное сложение и вычитание этих двух соотношений дают:

cos y = , sin y =

При изучении работы Эйлера «Ведение в анализ бесконечных» (Т. I) следует обратить внимание на то, что в главе VI вводятся экспоненциальная функция и логарифмы, а в главе VII экспоненциальная функция и логарифмическая раскладываются в ряды.

Пусть w есть малое число. Тогда, имеем a^w = 1 + kw, поэтому a^hw = (1 + kw)^h, и если устремить h к бесконечности, а w, напротив, устремить к нулю, то путем применения биномиального ряда получаем экспоненциальный ряд, расположенный по возрастающим степеням kZ, где Z =wh.

Теперь положим a^hw = (1 + kw)^h =1+ х.

Тогда будем иметь log (1+x) = hw, где log обозначает при основании a. С другой стороны, мы получаем kw = ( -1, откуда

log (1+x) = hw + .

Если теперь развернуть последнее выражение в биномиальный ряд и устремить h к бесконечности, то получим ряд log (1+x) = .

Здесь обратить внимание школьников на то, что для выяснения, что собой представляет k, подставим 1+x = a и выберем в качестве основания a , так что log_a становится единицей;

Тогда находим, что k =

Если в частности, выбрать k = 1, то в качестве основания имеем l, и ряд становится рядом для натуральных логарифмов.

В сообщении «Число e» остановиться на вычислении числа e с любой степенью точности с помощью ряда

(*) e = 1+ ,

раскрыть в этом роль Л.Эйлера, познакомить учащихся с замечательным свойством графика функции y = e^x (график пересекает ось Oy под углом 45), рассмотреть вопрос «Число e - иррационально», где уместно использовать следующий план ответа:

1) О доказательстве Эйлером формулы e^xi = cos x + i sin x и высказывании предположения о том, что числа e и - трансцендентны.

2) О доказательстве И. Ламбертом иррациональности чисел и e.

3) О доказательстве трансцендентности числа e Эрмитом (1873 г.).

В заключительной части сообщения необходимо познакомиться с ролью чисел e и в математическом анализе.

III

В качестве домашнего задания учащимся можно предложить составить программу вычисления числа e, используя ряд (*) на компьютере.

Тема 7. Применения определителей к решению систем уравнений

Занятие № 7

I

На данном комбинированном тематическом занятии целесообразно использовать следующие методы работы: сообщения учащихся «О возникновении теории определителей (XVII в.)», «Развитие теории определителей», «О разработке теории матриц»;

лекционное изложение учителем темы «Определитель»;

решение систем уравнений с применением определителей.

II

На занятии по данной теме учащиеся знакомятся с определителями:

Для системы двух уравнений с двумя неизвестными

(*) a₁₁x₁ + a₁₂x₂ = a_13,

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ = a₂₃

выражение, состоящее из разности произведений для системы (*) a₁₁a₂₂ - a₂₁a₁₂ называют определителем или детерминантом второго порядка.

Символическая запись в виде матрицы (в данном случае в виде квадратной матрицы): = a₁₁a₂₂ - a₂₁a₁₂

Значение такой матрицы находят крестообразным умножением элементов и последующим вычитанием одного произведения из другого:

a₁₁ a₁₂

a₂₁ a₂₂

При вычитании со знаком «плюс» берут произведение со стрелкой, направленной вправо.

Учащимся следует пояснить, что решение приведенной системы посредством определителей выразится так:

x = , y = ,где

x_{1 =} = a₁₃a₂₂ - a₂₃a₁₂

(**)

x₂ = = a₁₁a₂₃ - a₂₁a₁₃

В качестве комментария следует сказать, что при решении системы из n уравнений применяют определители n-го порядка.

После лекционного изложения материала учителем с сообщениями выступают учащиеся:

1. «О возникновении теории определителей (XVII в.)».

2. «Развитие теории определителей».

В этом сообщении весьма желательно обратить внимание на следующие моменты:

1). Итальянский математик Дж. Кардано и его книга «О великом искусстве»(1545 г.) о механическом правиле решения систем двух линейных уравнений.

2). Об использовании древнекитайского метода фан-чен для изложения своеобразного учения об определителях японским математиком Секи Кова Шинсуке в одной из рукописей 1683 г.

3). Об употреблении индексов в виде 2c, 3c в латинском издании «Геометрии» Декарта (1649 г.), опубликованной нидерландским математиком Ф. ван Скоотеном.

4). Об употреблении индексов в виде C₁, C₂в работах Ньютона.

5). О введении Лейбницем в 1693 г. не только индексов, которые пишет ниже строки, но и двойных индексов.

6). О заложении теории определителей швейцарским математиком Г. Крамером - другом и учеником И. Бернулли. «Правила Крамера».

7). О вкладе в развитие теории определителей французского математика А. Вандермонда (1735-1796).

8). Представление Лапласом определителя в виде суммы произведений миноров и адъюнкт (алгебраическое дополнение).

9). О доказательстве Лагранжа того, что сумма произведений элементов ряда на соответствующие адъюнкты равна определителю, а сумма произведений ряда на адъюнкты элементов параллельного ряда равна нулю.

10). О введении термина «детерминант» (иначе говоря «определитель») Коши в 1815 г. О нахождении О. Коши всех главных свойств определителя.

11). Карл Густав Якоби, брат знаменитого русского физика Б.С. Якоби и его ряд фундаментальных работ по теории определителей.

12). Труды по теории определителей английского математика А.Кэли и Дж. Сильвестера. Введение им и употребляемого поныне знака определителя.

В сообщении «О разработке теории матриц» обратить внимание на введение английским математиком Дж. Сильвестером понятия матрицы и ее ранга, на труды Бине, Коши и К.Якоби, в которых имеются зачатки теории матриц, рассказать о построении А Кэли теории алгебры матриц.

При рассмотрении вопроса «Применение определителей к решению системы уравнений. («Решение систем уравнений методом Крамера») необходимо выделить теоретическую часть и практическую часть.

Теоретическая часть включает в себя исследование системы уравнений (использовать (*) и (**).

Случай 1. Определитель системы не равен нулю: 0.

Тогда система имеет единственное решение:

(3) х₁ = , х₂ = .

Вывод. Прямые

(1) a₁₁x₁ + a₁₂x₂ = a₁₃

(2) a₂₁x₁ + a₂₂x₂ = a₂₃

пересекаются, формулы (3) дают координаты точки пересечения.

Случай 2. Определитель системы равен нулю: = 0 (т.е. коэффициенты при неизвестных пропорциональны).

Пусть при этом один из определителей x₁0 (т.е. свободные члены не пропорциональны коэффициентам при неизвестных). В этом случае система не имеет решений.

Вывод. Прямые (1) и (2) параллельны, но не совпадают.

Случай 3. , ,

(т.е. и коэффициенты, и свободные члены пропорциональны).

Тогда одно из уравнений (1), (2) есть следствие другого, и система сводится к одному уравнению с двумя неизвестными и имеет бесчисленное множество решений.

Вывод. Прямые (1)и (2) не совпадают.

III

Практическая часть вопроса «Применение определителей к решению систем уравнений» включает в себя решение систем уравнений по каждому из 3-х рассмотренных случаев.

1.

=-31

x = = -31

y = = -62

Система имеет единственное решение

x = = 1; y = = 2

2.

= = 0.

При этом x = =18 0

Коэффициенты пропорциональны, а свободные члены не подчинены той же пропорции. Система не имеет решений.

3.

= = 0

x = = 0

y = = 0

Одно из уравнений есть следствие другого (например, второе получается из первого умножением на 2). Система сводится к одному уравнению и имеет бесчисленное множество решений, содержащихся в формуле

y = - x + (или x = - y + 4).

После закрепления алгоритма решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными весьма желательно предложить учащимся разработать программу для компьютера. (Это может стать домашним практическим заданием для всего класса).

Тема 8. Метод Крамера и метод Гаусса

Занятие № 8

I

Это занятие предлагается посвятить в основном работе учащихся на компьютере: решение систем уравнений методом Крамера и методом Гаусса.

II

На занятии по данной теме учитель кратко напоминает учащимся метод Крамера для решения систем двух уравнений с двумя неизвестными (можно использовать конкретный пример).

Учителю следует сделать следующее пояснение: небольшое изменение коэффициентов системы уравнений может значительно изменить величину искомых корней. Проверить это с помощью компьютера, решив системы

1) 2)

При рассмотрении метода Гаусса можно ограничиться демонстрацией решения конкретной системы из трех или четырех уравнений, можно подробно рассмотреть каждую строку предложенной учащимся программы и главным считать технику подготовки таких программ. В этом случае учителю рекомендуется разработать схему алгоритма.

Учителю необходимо коснуться сути метода Гаусса: метод Гаусса решения системы - это метод последовательного исключения неизвестных.

1-е уравнение системы умножаем на - и прибавляем ко второму.

Затем 1-е уравнение умножаем на - и прибавляем к 3-ему и т.д. В результате система приводится к виду, когда под главной диагональю стоят «0». То, что описано, называется прямым ходом метода Гаусса. Далее из последнего уравнения находится x_n , в предпоследнее подставляется, находится x_n-1 и т.д. Эти действия называются обратным ходом метода Гаусса.

Учителю необходимо отметить и то, что при решении методом Гаусса систем линейных уравнений могут встретиться такие особенности:

1) могут появляться уравнения вида 0 = 0. Их просто вычеркивают из системы уравнений;

2) иногда для получения на диагонали коэффициента 1 приходится менять порядок расположения переменных;

3) может получиться уравнение вида 0 = b, где b0. Это значит, система вообще не имеет решений.

К занятию по данной теме целесообразно выпустить математическую газету, где поместить сообщения о Крамере и Гауссе.

III

Решение систему уравнений методом Крамера и методом Гаусса.

Геометрия

Тема 1. Многогранники

Занятие № 1

I

Данное занятие предлагается посвятить сообщениям учащихся «История многогранников», «Планиметрические понятия и предложения, их стереометрические аналоги», «Геометрия Лобачевского и метод Фузионизма». Затем изучить теорему Эйлера о многогранниках.

II

На занятии предлагается рассмотреть следующие вопросы:

1. «История многогранников».

Этот вопрос целесообразно разбить на 3 части и каждую часть поручить ученику:

а) Призма и пирамида.

В этом сообщении необходимо рассказать:

об определении призмы Евклидом (телесная фигура, заключенная между двумя равными и параллельными плоскостями (основаниями) и с боковыми гранями - параллелограммами);

об определении призмы Тейлором (XVIII в.): это многогранник, у которого все грани, кроме двух, параллельны одной прямой;

об определении пирамиды Евклидом: телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости (основания) сходятся к одной точке (вершине);

об определении пирамиды Героном: это фигура, ограниченная треугольниками, сходящимися в одной точке, и основанием, которой служит многоугольник;

об определении пирамиды Тейлором: многогранник, у которого все грани, кроме одной, сходятся в одной точке;

об определении пирамиды Лежандром в «Элементах геометрии»: телесная фигура, образованная треугольниками, сходящимися в одной точке и заканчивающаяся на различных сторонах плоского основания;

об определении, фигурировавшем в учебниках XIX в.: пирамида - телесный угол, пересеченный плоскостью; о двух путях определения геометрических понятий.

б) Параллелепипед.

Здесь план ответа может быть таким:

1) О теореме, в которой утверждается, что все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке О, в которой они делятся пополам, напоминающей аналогичное предложение из планиметрии: диагонали параллелограмма пересекаются в точке О, являющейся их серединой. Точка О - это центр симметрии.

2) О понятии пространственной оси симметрии в 38-м предложении XI книги «Начал» Евклида.

3) О теореме Клавиуса (XVI в.), в которой впервые встречается понятие центра симметрии. Формулировка теоремы: если параллелепипед рассекается плоскостью, проходящей через центр, то он разбивается пополам и, наоборот, если параллелепипед рассекается пополам, то плоскость проходит через центр.

4) Определение Лежандра: две точки A и B симметричны относительно плоскости , если последняя перпендикулярна к AB в середине этого отрезка.

5) Более полное учение о симметрии в учебниках наглядной геометрии (например, Бореля).

в) История правильных многоугольников.

Рекомендуется следующий план:

1). Учение о 5 правильных многогранника - венец «Начал» Евклида.

(тетраэдр - 4 грани, 4 вершины, 6 ребер; гексаэдр - 6 граней, 8 вершин, 12 ребер; октаэдр - 8 граней, 6 вершин, 12 ребер; додекаэдр - 12 граней, 20 вершин, 30 ребер; икосаэдр - 20 граней, 12 вершин, 30 ребер).

2). Роль пифагорейцев в открытии многогранников.

3). Роль Т. Афинского (IV в. до н.э.) в открытии многогранников.

4). О математической теории многогранников древнегреческого философа - идеалиста Платона.

5). О 13 полуправильных многогранниках Архимеда («архимедовых тел»), каждый из которых ограничен неодноименными правильными многоугольниками и в котором равны многогранные углы и одноименные многоугольники, причем в каждой вершине сходится одно и то же число одинаковых граней в одинаковом порядке.

6). Возрождение в эпоху Ренессанса интереса к правильным многогранникам в кругах архитекторов и художников.

7). О мнимом открытии И. Кеплера, для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения.

8). О доказательстве теоремы о единственности пяти правильных многогранников в 1794 г. А. Лежандром.

9). О топологическом выводе этого предложения. Роль в этом французского математика Люилье.

10). Об открытии существования еще 2- х видов правильных невыпуклых многогранников французским математиком Л.Пуансо.

11). О доказательстве в 1812г. О Коши того, что других правильных звездчатых многогранников не существует.

2. «Планиметрические понятия и предложения, их стереометрические аналоги».

В этом сообщении рекомендуется использовать следующую таблицу.

На плоскости

В пространстве

1. Прямая

2. Треугольник

3. Параллелограмм

4. Прямоугольник

5. Квадрат

6. Круг

7. Из данной точки можно провести только одну прямую, параллельную данной и т.д.

Плоскость, а иногда прямая

Тетраэдр

Параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед

Куб

Шар

Из данной точки можно провести только одну плоскость, параллельную данной.

Примеры

Ax + By + C = 0 - уравнение прямой

x² + y² = r² - уравнение окружности и т.д.

Ax + By + CZ + D = 0 - уравнение плоскости

x² + y² + Z² = r² - уравнение сферы.

3. «Геометрия» Лобачевского и метод фузионизма».

Здесь следует обратить внимание на два основных момента:

1). Учебное руководство «Геометрия» (1823 г.) Н.И. Лобачевского, где впервые со всей четкостью отражена так называемая теперь фузионистская точка зрения, согласно которой планиметрию не следует по евклидовой манере отрывать от стереометрии.

2). Идея фузионизма в учебных руководствах по элементарной геометрии итальянского математика Г. Веронезе.

Перед изучением теоремы Эйлера в качестве комментария следует раскрыть исторический момент: за 100 лет до Эйлера теорема о многогранниках была сформулирована Декартом, но не доказана.

Как известно, целью математического образования является не только усвоение определенного набора фактов, но и развитие мышления. Важнейшей же его стороной является синтез индуктивного и дедуктивного этапов движения мысли.

При обучении математике индуктивный этап своей основной педагогической задачей имеет оказание помощи учащимся в совершении ими самостоятельного перехода с чувственного уровня восприятия действительности на рациональный уровень ее отображения. Рассмотрим этот этап на примере подготовки к изучению формулы Декарта - Эйлера.

Первая стадия - эмпирическая, ее составляют четыре основных шага:

а) Учащиеся изготовляют и приносят на занятие модели треугольной, четырехугольной и пятиугольной пирамид. Ставится цель - открыть закономерности, связывающие основные параметры этой группы объектов.

б) Отыскиваются и фиксируются устно признаки, наиболее общие для всех трех фигур. Очевидно, все пирамиды имеют грани, ребра, вершины.

в) Составляется таблица таких признаков.

Общие признаки пирамид

Вид пирамиды

Грани

Вершины

Ребра

Треугольная

+

+

+

Четырехугольная

+

+

+

пятиугольная

+

+

+

г) Итак, у всех трех различных пирамид имеются одинаковые признаки. Естественна постановка индуктивной задачи, которая, возможно, и приведет к открытию закона: отыскать связь именно между этими признаками. Ставя эту задачу, учитель не высказывает каких - либо гипотез относительно содержания закона, который должен явиться на занятии как результат мысли обучающихся.

Вторая стадия - формирование суждений, ее составляют 3 основные этапа.

а) Отмечается, что, хотя у всех трех пирамид имеются одноименные элементы, число их каждый раз различно. Естественен соответствующий подсчет

б) Подсчет приводит к составлению второй таблицы, являющейся обобщением предыдущей.

Числовые характеристики признаков пирамиды

Вид пирамиды

Число

Граней

Вершин

Ребер

Треугольная

4

4

6

Четырехугольная

5

5

8

пятиугольная

6

6

10

в) Исследуются эти характеристики. Сразу видно, во-первых, что число граней каждой из пирамид оказалось равным числу вершин.

Во-вторых, с переходом от пирамиды к пирамиде это число это число увеличивается на единицу. В-третьих, это можно установить, испытывая различные комбинации арифметических действий с полученными числами,- выполняется что - то аналогичное «правилу треугольника»: сумма двух чисел одной строки больше третьего. В-четвертых, сумма числа граней, как и число вершин, не просто больше числа ребер, а больше на одинаковое во всех случаях число - на два.

Здесь необходимо отметить, что эти суждения получаются не просто наблюдением, но уже с элементами рационального подхода.

Третья стадия - построение индуктивного умозаключения.

Полученные арифметические суждения справедливы лишь для каждой из пирамид в отдельности. Возникает вопрос: нельзя ли пойти дальше - обобщить эти три частных суждения и построить одно справедливое для всех трех пирамид? К такому результату приводит индуктивное умозаключение, которое состоит из нескольких частных суждений и обобщающего их заключения. Построение индуктивного умозаключения также состоит из нескольких шагов.

1) Приведение арифметических суждений к строго изоморфному виду - в рассматриваемом примере в этом нет необходимости, так как все три строчки «устроены» одинаково.

2) Запись наиболее важных для нас частных суждений в удобной и хорошо обозримой форме

4 + 4 = 6 + 2

5 + 5 = 8 + 2

6 + 6 = 10 + 2

3) Обобщение частных арифметических суждений путем построения буквенного суждения и его риторического (словесного) эквивалента.

В данном случае 4 + 4 = 6 + 2

5 + 5 = 8 + 2

6 + 6 = 10 + 2

Г + В = Р + 2

«Сумма числа граней и вершин пирамиды равна числу ее ребер, увеличенному на два».

Необходимо отметить, что учащиеся должны осознать, что полученное суждение не просто замена чисел буквами или словами, это именно обобщение. С педагогической точки зрения важно, что сейчас происходит переход с арифметического уровня мышления на алгебраический. В еще большей степени важно понимание внутренней двойственности, диалектичности заключительного суждения. Будучи достоверным применительно к суждениям, на основе которых оно было образовано, оно в тоже время гипотетично относительно аналогичных суждений о любой n-угольной пирамиде. Т.О. индуктивные заключения нельзя характеризовать как только достоверные или как только гипотетичные.

Четвертая стадия - индуктивное определение областей приложения открытого закона. В качестве примера можно построить индуктивное умозаключение для призм.

Действуя по аналогии, составляется соответствующая таблица.

Числовые характеристики общих признаков призм

Вид пирамиды

Число

Граней

Вершин

Ребер

Треугольная

5

6

9

Четырехугольная

6

8

12

Пятиугольная

7

10

15

Рассуждая, как и в предыдущем случае, получим ту же буквенную и словесную формулировку закона, иначе говоря, открытый на занятии закон применим не только к пирамидам, но и к призмам.

Пятая стадия - отыскание алгоритма построения формулы, выражающей найденный закон для конкретных фигур. По существу такое построение есть возврат от абстрактного алгебраического равенства к конкретному арифметическому. Необходимо отметить один из возможных вариантов такого алгоритма - построение формулы по одному из признаков.

Оказывается, достаточно знать число ребер (вершин) у основания пирамиды или призмы, чтобы найти все интересующие нас параметры. Алгоритм находится индуктивно. Представим числа, записанные в предыдущих таблицах, как функцию числа n углов при основании соответствующих пирамид и сделаем обобщающее заключение.

Выражение формулы Декарта - Эйлера через число углов при основании пирамиды

Вид пирамиды

Формула Декарта - Эйлера

Г

+

В

=

Р

+

2

Треугольная

3+1

+

3+1

=

32

+

2

Четырехугольная

4+1

+

4+1

=

42

+

2

Пятиугольная

5+1

+

5+1

=

52

+

2

n-угольная

n + 1

+

n + 1

=

n 2

+

2

Решение этой задачи для призм.

Выражение формулы Декарта - Эйлера через число углов при основании призмы

Вид пирамиды

Формула Декарта - Эйлера

Г

+

В

=

Р

+

2

Треугольная

3+2

+

32

=

33

+

2

Четырехугольная

4+2

+

42

=

43

+

2

Пятиугольная

5+2

+

52

=

53

+

2

n-угольная

n + 2

+

n 2

=

n 3

+

2

Построены соответствующие формулы, однако теперь выражение одного и того же знака для пирамид и призм оказалось различным. Нетождественность формул подсказывает разумную педагогическую рекомендацию - не надо заучивать формулы, их всегда можно найти, владея индуктивными умозаключениями.

Отысканием алгоритма обращения абстрактного выражения в конкретное завершается индуктивный этап движения математической мысли и открывается возможность перехода к дедуктивному этапу.

Обычно этому этапу, понимаемому как применение на практике следствий из закона, открытого индуктивно, предшествует дедуктивное его обоснование (доказательство). Идея доказательства формулы Декарта-Эйлера:

1). Представим себе, что многогранник изготовлен из тонкой резины. Надо доказать, что Г + В = Р + 2.

2). Вырежем одну грань, число ребер и вершин при этом не изменится. Надо будет доказать, что Г + В = Р + 1.

3). Растянем поверхность многогранника на плоскость, при этом (хотя сами грани и ребра могут существенно изменить свою форму) их число не изменится.

4). Во всех гранях - многоугольниках, не являющихся треугольниками (пусть их будет m), проведем по одной диагонали.

5). Каждая из m граней разобьется на две, т.е. появится m новых граней.

6). Диагоналей - они играют роль ребер - тоже будет m, и, хотя числа Г и Р изменятся, равенство Г + В = Р + 1 не нарушится.

7). Будем продолжать аналогичные действия до тех пор, пока все грани не превратятся в треугольники.

8). Если теперь удалить один треугольник, то исчезнут одно ребро и одна грань, а доказываемое равенство не нарушается.

9) Удалим второй треугольник…, третий…, четвертый…, пока не останется только один треугольник. В нем очевидно, три вершины, три стороны - «ребра» и одна грань, т.е. 1+ 3 = 3 + 1 или в общем виде Г + В = Р + 1.

Важно отметить, что, проведя доказательство или просто утверждая истинность закона, мы обращаемся к дедуктивному этапу. Теперь, используя формулу, можно для любого выпуклого многогранника без обращения к чувственному опыту, без подсчета указать числовые характеристики в каждом конкретном случае.

Полезно обратить внимание учащихся на следующие важные обстоятельства: весьма высокую общность, абстрактность закона, взятого безотносительно к исходным посылкам, и обратное движение мысли на дедуктивном этапе. Если на первом этапе мысль шла от конкретного (трех пирамид) к абстрактному - формула, то на этом этапе мысль идет в противоположном направлении - от формулы закона к конкретным фактам действительности.

Тема 2. Объемы многогранников

Занятие № 2

I

Данное семинарское занятие предлагается посвятить в основном сообщениям учащихся, их анализу и комментариям к ним.

II

На занятии учащиеся выступают с сообщениями:

1. «Из истории вычисления объемов. Объем тел».

В этом сообщении обратить внимание на теорему П. Гервина: любые два равновеликих многоугольника равносоставлены;

рассказать о Давиде Гильберте и его выступлении на II Международном конгрессе математиков, состоявшемся в 1900 г. в Париже, о немецком математике М. Дене и русском геометре В.Ф. Кагане и их доказательстве того, что не любые два равновеликих многогранника можно разложить на одинаковое число соответственно равных между собой частей.

2. «Из истории вычисления объема пирамиды».

План выступления ученика может быть таким:

1) о вычислении объема пирамиды древними вавилонянами;

2) о формуле объема любой пирамиды (и конуса), впервые найденной Демокритом из Абдеры;

3) Евдокс и доказательство им теорем о конусе и пирамиде;

4) о строгом геометрическом доказательстве Архимеда - методе исчерпывания с применением доказательства от противного, которым впервые пользовался Евдокс Книдский для вывода формулы объема пирамиды;

5) основная теорема в учении о пирамидах: трехгранные пирамиды, имеющие равные высоты и равновеликие основания, равновелики (пятое предложение XII книги «Начал» Евклида);

6) о «чертовой лестнице» (основанной на теории пределов), введенной в элементарную геометрию Лежандром;

7) принцип Кавальери: если при пересечении двух тел плоскостями, параллельными одной и той же плоскости, в сечении всегда получаются равновеликие между собой фигуры, то объемы этих тел равны;

8) о применении метода интегрирования:

а) Пусть требуется найти объем V пирамиды UABCDE, зная площадь ее основания(S) и ее высоту U₀ = h.

б) Пусть F (x) - площадь произвольного сечения A₁B₁C₁D₁E₁ , парал-

лельного основанию и находящегося на расстоянии x от вершины.

в) В силу подобия фигур ABCDE и A₁B₁C₁D₁E₁ F (x) связана с переменной x соотношением = , F (x) = x².

г) Объем части тела можно представить в виде F(x) dx .

д) Тогда искомый объем V как предел соответствующей интегральной суммы объемов всех частей тела представится в виде следующего определенного интеграла

,

т.е. объем пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту.

3. «Об одной усеченной пирамиде в Московском папирусе».

В этом сообщении необходимо разобрать 14-ю задачу Московского папируса - самую интересную из известных задач Древнего Египта:

«Определить объем квадратной усеченной пирамиды, если ее высота равна 6, сторона нижнего основания 4, верхнего 2» и познакомиться с формулой, которой соответствуют вычисления древнеегипетской задачи:

(*)V = (a² + ab + b²), где h - высота усеченной пирамиды, a и b - стороны верхнего и нижнего оснований.

III

В качестве самостоятельной работы учащимся можно предложить несколько задач на применение формулы (*).

Тема 3. Тела вращения

Занятие № 3

I

На данном занятии целесообразно использовать следующие методы работы: сообщения учащихся о телах вращения, о поверхностях;

разбор и решение исторических задач.

Форма работы - коллективная, при которой каждый член коллектива принимает активное участие в обучении все других ее членов.

II

На занятии по данной теме во вступительной части учителю необходимо кратко раскрыть историю тел вращения, коснувшись египтян и вавилонян, занимавшихся телами вращения и рассказав о вкладе в изучение тел вращения Архимеда.

На занятии с сообщениями выступают учащиеся. (Каждое сообщение готовит несколько человек).

1. «О телах вращения и центре тяжести».

В сообщении необходимо раскрыть происхождение понятий: тела вращения и центр тяжести фигур, рассказать о развитии учения о телах вращения и вопросах, связанных с определением центра тяжести, а также рассмотреть теоремы Паппа - Гульдина:

1) «Если линия Z лежит в одной плоскости с осью d и по одну сторону от нее, то площадь поверхности, образованной вращением Z вокруг d, равна произведению длины линии l на длину окружности, описанной центром тяжести l».

Пусть l - длина линии Z, и - радиус окружности, описанной при полном обороте ее барицентром, т.е. центром тяжести. Тогда площадь S поверхности вращения выразится формулой

S = 2ul.

2) «Объем V тела, образованного вращением некоторой плоской фигуры F, площадь которой равна S, вокруг оси, лежащей в плоскости F и не пересекающей ее, выражается формулой V = 2 uS, где u - радиус окружности, описанной при полном обороте центром тяжести фигуры F».

Здесь следует разобрать доказательство И. Кавальери, принадлежавшее одному из его друзей - Антонио Рокка.

а) Пусть имеется тело и поверхность ABB^|A^| , образованные вращением кривой линии AB, уравнение которого y = f(x), около оси абсцисс.

б) Пусть абсциссы точек A и B соответственно равны a и b.

в) Разбиваем поверхность на пояса плоскостями, параллельными оси y, и каждый пояс MNN^|M^| заменяем боковой поверхностью усеченного конуса с такими же основаниями.

г) Площадь поверхности усеченного конуса, как известно, равна

(PM + QN) _* = (y + y+ y)S=2yS, где S - элемент дуги AB.

д) При S0 площадь S боковой поверхности этого тела вращения будет:

(1) S = , или

S = (1^/)

е) Для получения V тела вращения достаточно учесть, что площадь сечения (круга) равна , объем пояса равен , а объем всего тела выразится определенным интегралом V = (2)

2. «Цилиндр и цилиндрические поверхности».

В этом сообщении предлагается следующий план выступления:

а) Определение цилиндра, исходя из вращения прямоугольника около одной его стороны в XI книге «Начал» Евклида.

б) Понятие цилиндрической поверхности у Серена из Антинои (Египет), жившего в IV в.

в) Общее понятие цилиндрической поверхности, получаемой движением образующей, пересекающей все точки некоторой направляющей у Б. Какальери (XVII в.).

г) Формула боковой поверхности цилиндра у Архимеда(13 предложение произведения «О шаре и цилиндре»)

д) О выводе формулы для площади боковой поверхности цилиндра, используя (1^/) и (2) из п.1.

3. «Конус и конические поверхности».

а) Введение понятия конической поверхности Аполлонием в его «Конических сечениях»

б) О воспроизведении определения конической поверхности Аполлония в современных школьных учебниках с существенной заменой круга на любую линию, так называемую направляющую.

в) Теорема Архимеда о площади боковой поверхности конуса (14 предложение «О шаре и цилиндре»).

О выводе Архимедом (в 16 предложении) формулы для площади боковой поверхности усеченного конуса

(*) S = = l (r + R).

д) О применении другого вида формулы (*) S = 2l , получаемой введением радиуса =(R+r)/2.

4 «Об одной древнеегипетской криволинейной поверхности».

В этом сообщении рассказать о десятой задаче Московского папируса - древнейшего в истории примера вычисления площади кривой поверхности, познакомить учащихся с различными мнениями ученых по поводу этой задачи.

5 «Шар и сферическая поверхность».

В этом сообщении рекомендуется рассмотреть определение шара, данное в «Началах» Евклида, разобрать «механическое» доказательство Архимеда, при котором масса тела, как бы помещенная вся в одном конце равноплечного рычага, уравновешивается массами, распределенными вдоль другого плеча и разобрать два предложения Архимеда, для доказательства которых был применен вышеуказанный метод:

1) каждый шар в четыре раза больше конуса, основание которого равно большому кругу шара, а высота - радиусу последнего;

2) Цилиндр, основание которого равно большому кругу шара, а высо- та - диаметру последнего, в полтора раза больше шара.

Обратить внимание учащихся на доказательство предложений Архимеда.

1) а) Пусть ABCD будет большой круг шара и два взаимно перпендикулярных диаметра.

б) На BD, как на диаметре, опишем круг в плоскости AC, и на этом круге, как на основании, построим конус с вершиной A.

в) Продолжим боковую поверхность этого конуса до пересечения с плоскостью, проведенной через C параллельно его основанию. Сечение будет кругом с диаметром EF.

г) На этом круге как на основании построим цилиндр, высота и ось которого будет AC, продолжим CA до H так, чтобы AH было равно CA.

д) Будем рассматривать CH как равноплечий рычаг, A - его середина.

е) В плоскости круга ABCD проведем какую-нибудь прямую MN, параллельную BD. Пусть она пересечет окружность в точке O и P, диаметр AC в точке S и прямые AE, AF - в точке Q, R. Соединим A с O.

ж) Проведем через MN перпендикулярную AC плоскость. Эта плоскость пересекает цилиндр по кругу с диаметром MN, шар - по кругу с диаметром OP и конус - по кругу с диаметром QR.

з) Т.к. MS = AC и QS = AS, то следует:

MS SQ = CA AS = AO² = OS² + SQ²

И т.к. HA = AC, то получится:,

Что согласно стоящему выше равно:

Это значит:

.

и). Поэтому круговое сечение цилиндра в занимаемом им положении будет в равновесии с круговым сечением шара вместе с круговым сечением конуса, если оба последних круга будут перенесены с их центрами тяжести в Н.

к). То же самое имеет место для трех соответствующих сечений плоскостью, которая будет перпендикулярна АС и проходит через любую другую прямую, находящуюся в параллелограмме EG и параллельную EF.

л). Если мы таким образом рассмотрим все группы по три круга, по которым плоскости, перпендикулярные АС, пересекают цилиндр, шар и конус и в которых складываются эти три тела, то следует, что цилиндр в занимаемом им положении будет относительно А в равновесии с вместе взятым шаром и конусом, если последние перенесены центрами своей тяжести в Н.

м). Т.к. К - есть центр тяжести цилиндра, то, следовательно,

Но HA = 2AK,следовательно, цилиндр = 2(шар + конус AEF). Но цилиндр = 3 конусам AEF (Евклид, XII, 10), следовательно, конус AEF = 2 шарам. Но т.к. EF = 2BD, то имеем: конус AEF = 8 конусам ABD, следовательно, шар = 4 конусам ABD.

2) а) Через BD проведем VBW, XDY параллельно AC и представим себе цилиндр, имеющий ось AC, а основаниями - круги с диаметрами VX, WY.

б) В таком случае цилиндр VY = 2 цилиндрам, VD = 6 конусам,

ABD = шара согласно доказанному выше.

в) При помощи предложения 1) Архимед получил тот результат, что поверхность шара будет в 4 раза больше его большого круга.

г) Исходя из того обстоятельства, что каждый круг равен треугольнику, основания которого есть периметр, а высота - радиус круга и каждый шар будет равен конусу, основание которого равно поверхности шара, а высота равна радиусу.

Тема 4. Объёмы тел вращения

Занятие № 4

I

На данном занятии целесообразно использовать следующие методы работы:

- вступительная часть учителя «О теореме 2 Паппа - Гульдина»;

- сообщения учащихся «Объем цилиндра и конуса», «Объем шара»;

- разбор вывода формулы объема шара, данного Мордухай - Болтовским на основе принципа Кавальери.

II

На занятии по данной теме учитель кратко напоминает основные моменты доказательства теоремы 2 Паппа - Гульдина (V = 2 uS) - см. занятие № 3.

Затем с сообщениями выступают учащиеся:

1. «Объем цилиндра и конуса». Примерный план выступления:

а) О выводе формулы для объема цилиндра, используя (2) - см. занятие № 3.

б) Роль Евдокса Книдского в строгом доказательстве теорем, служащих для вывода формулы объема конуса и изложенных в пяти предложениях (10-14) XII книги «Начал» Евклида.

в) О выводе формулы для объема конуса, используя 2 -см. занятие № 3.

2. «Объем шара». Примерный план выступления:

а) Профессор Д.Д. Мордухай - Болтовский (1876-1952) - видный советский ученый, историк математики, которому принадлежит самый совершенный русский перевод «Начал» Евклида с обстоятельными комментариями.

б) Разбор вывода формулы объема шара, данного Мордухай - Болтовским на основе принципа Кавальери:

1) Поместим между двумя параллельными плоскостями полусферу ABC и цилиндр A^|B^|C^|D^| с основанием того же радиуса R, что и шар, и с высотой, равной радиусу, с входящим в него конусом C^|D^|O^|, который имеет своим основанием верхнее основание цилиндра, а вершиной - центр нижнего основания.

2) На основании принципа Кавальери можно сделать заключение, что объем шара равен объему тела, получаемого вырезанием конуса из цилиндра.

3) В самом деле, круг ab, полученный в сечении сферы плоскостью abа^|b^| || ABA^|B^|, равновелик с кольцом a^|c^|d^|b^|; получаемым в сечении вышеуказанного тела той же самой плоскостью.

4) На основании теоремы Пифагора в полусфере

рb = r = , где h = ор, и, следовательно, площадь сечения ab равна S = (R² - h²)

5) С другой стороны, площадь круга a^|b^|

S^| = R²

6) А т.к., очевидно, радиус круга

c^|d^| = h, то площадь круга

c^|d^| : S^|| = h².

7) Следовательно, площадь кольца a^|c^|d^|b^|

S^| - S^|| = (R² - h²) = S

8) Замечая далее, что объем цилиндра равен R²R = R³,

а объем конуса R²R = R³, мы получаем для объема полусферы величину R³, а для объема всей сферы V = R³.

9) Для нахождения объема V шара с помощью определенного интеграла можно применить формулу (2) - см. занятие № 3:

V =

10) Поместив начало координат в центр вращающегося около неподвижной прямой, совпадающей с осью x, полукруга радиуса R (см. рис.), заметим, что уравнение вращающейся линии можно представить так:

y² + x² = R²y² = R² - x²

Итак, V =2

Литература

1. Глейзер Г.И. История математики в школе./ Пособие для учите-

лей (в 3-х книгах: IV - VI, VII - VIII, IX - X классы). - М.: Про-

свещение, 1981 - 1983.

2. Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике.-

Минск, 1978.

3. Малыгин К.А. Элементы историзма в преподавании математики

в средней школе. - Учпедгиз, 1958.

4. Рыбников К.А. История математики.- Изд. Московского уни -

верситета, 1994.

5. Эйлер Л. Введение в анализ бесконечных/ Перевод с лат. Т.1,2.-

М.: Государств. изд-во физико-математической литературы,1961.

6. Болгарский Б.В. Очерки по истории математики.- Минск, 1974.

7. Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической нау-

ки. - М.: Просвещение, 1987.

8. Чистяков В.Д. Исторические экскурсы на уроках математики в

средней школе. - Минск: Народная асвета, 1969.

9. Никифоровский В.А. Из истории алгебры XVI-XVII вв. - Моск-

ва: Наука, 1979.

10. Депман И.Л. История арифметики. - М.: Просвещение, 1965.

11. Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. - М.:

Наука, 1967.

41