Введение

Методические указания и задания для выполнения контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме предмету «Математика», предназначены для реализации Федеральных государственных образовательных стандартов по специальности 38.02.05 «Товароведение и экспертиза качества потребительских товаров».

В образовании современного человека роль математической подготовки ставит следующие цели обучения математике: овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин; интеллектуальное развитие, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых для продуктивной жизни в обществе; формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания действительности; формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, понимания значимости математики для общественного прогресса.

Основной задачей курса математики является достижение студентами такого уровня математической подготовки, который бы позволил им: успешно овладеть другими учебными дисциплинами; приобрести навыки решения типовых задач; самостоятельно выполнять расчеты курсовых и дипломных проектов; продолжить дальнейшее образование.

В соответствии с государственными требованиями после изучения дисциплины студенты должны иметь представление: о роли и месте знаний предмета «Математика» при освоении общепрофессиональных и специальных дисциплин по выбранной специальности; о роли и месте математики в современном мире, общности ее понятий и представлений. Знать основные математические формулы и понятия. Уметь использовать математические методы при решении прикладных задач.

Основной формой проверки знаний и умений по математике является письменная контрольная работа. В данной методической разработке по каждой из основных тем сформулированы требования к уровню знаний, умений и навыков студентов. Для проверки практических умений и навыков разработаны контрольные задания, которые соотнесены со структурой теоретического курса и способствуют его усвоению и глубокому пониманию.

Данная методическая разработка ставит своей целью оказание помощи обучающимся на заочном отделении в организации их самостоятельной работы по овладению системой знаний, умений и навыков в объеме действующей программы. Контрольные задания разработаны в соответствии с рабочей программой дисциплины «Математика», составленной в соответствии с ФГОС СПО по специальности 38.02.05 «Товароведение и экспертиза качества потребительских товаров».

Требования к оформлению контрольной работы

1. Контрольная работа выполняется в учебной тетради в клетку (12 листов). Каждая страница нумеруется по порядку, без пропусков. Первая страница - титульный лист, установленного образца.

2. Номер варианта контрольной работы определяется порядковым номером учащегося в журнале. Работа, выполненная не по своему варианту, не учитывается и возвращается студенту без оценки.

3. Работа должна быть выполнена чернилами одного цвета, аккуратно и разборчиво.

4. Решение задач желательно располагать в порядке номеров, указанных в карточке с вариантом, номера задач следует указывать перед условием.

5. Условия задач должны быть обязательно переписаны полностью и в конце решения ставится ответ.

6. Необходимо правильно употреблять математические символы.

7. В конце тетради должен быть список литературы, которую использовали при выполнении контрольной работы.

8. Не следует откладывать выполнение контрольной работы. Выполнить ее и направить в техникум следует в сроки, предусмотренные графиком учебного процесса.

9. Получив проверенную работу, по которой получен незачет, учащийся должен исправить и объяснить все ошибки.

10. Работа, по которой получен зачет, подписывается преподавателем.

Критерии выставления оценок

«Зачет» - ставиться, если работа выполнена полностью; в логических рассуждениях и обоснованиях решения нет пробелов и ошибок; в решении нет математических ошибок (возможна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала); возможна одна ошибка или один- два недочета, но студент владеет обязательными умениями по данным темам в полном объеме.

«Незачет» - ставиться, если в работе допущены более одной ошибки или более двух- трех недочетов; или допущены существенные ошибки, показавшие, что студент не владеет обязательными умениями по данным темам в полном объеме.

Общие методические указания

Выполнение контрольной работы подводит промежуточный итог знаний студентов по данной дисциплине. Эта самостоятельная работа имеет цель систематизации, закрепления и расширения теоретических знаний по дисциплине «Математика». Выполнение контрольной работы выявляет умение студентов самостоятельно работать с литературой, применять на практике теоретические знания, грамотно и логично излагать свои мысли.

Лучшим способом закрепления учебного материала является решение задач. При решении задач следует придерживаться следующих рекомендаций:

1. Внимательно изучите цель, поставленную в задаче, выясните, какие теоретические положения связаны с данной задачей в целом или с некоторыми элементами.

2. Не следует приступать к решению задачи, не обдумав условия и не найдя плана решения.

3. Попытайтесь соотнести данную задачу к какому-либо типу задач, способ решения которых вам известен.

4. Если не видно сразу хода решения, то последовательно отвечайте на вопросы: что дано; что нужно найти; достаточно ли данных, чтобы найти неизвестное.

5. Попробуйте разделить данную задачу на серию вспомогательных, последовательное решение которых может составить решение данной задачи.

6. Найдя план решения, выполните его, убедитесь в рациональности решения, произведите проверку решения данной задачи.

7. Если решить задачу не удается, найдите в учебной литературе уже решенную задачу, похожую на данную, изучите внимательно ее решение и постарайтесь извлечь из него пользу для решения своей задачи.

8. При решении задач следует обосновывать каждый шаг решения, исходя из теоретических основ курса. Решение должно быть доведено до окончательного ответа.

Раздел 1. Функции, их свойства и графики.

Тема: Числовые функции. Способы их задания. Область определения и область значений функции. Основные свойства функций.

Студент должен:

Знать: понятия и свойства числовых функций; области определения и области значений функций, какими способами задаются функции.

Уметь:вычислять значение функции по заданному значению аргумента при различных способах задания функции; находить область определения функции, определять основные свойства числовых функций, иллюстрировать их на графике; использовать понятие функции для описания и анализа зависимостей величин.

Функция - это одно из важнейших математических понятий. Функция (числовая фунция) - зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у. Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Все значения независимой переменной (переменной x) образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная (переменная y), образуют область значений функции.

Способы задания функции.

1. Аналитический способ.

Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у = f (х), где f (х) - некоторое выражение с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

Для аналитически заданной функции иногда не указывают явно область определения функции. В таком случае подразумевают, что область определения функции у = f (х) совпадает с областью определения выражения f (х), т. е. с множеством тех значений х, при которых выражение f (х) имеет смысл.

2. Табличный способ.

На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов, таблица квадратных корней.

3. Словесный способ.

Этот способ состоит в том, что функциональная зависимость выражается словами.

4. Графический способ.

Часто функция может быть задана с помощью графика.

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции, то есть по оси абсцисс откладываются значения переменной x, а по оси ординат откладываются значения переменной y. Для построения графика функции необходимо знать свойства функции.

Основные свойства функций.

1) Область определения функции и область значений функции.

Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x),при которых функция y=f(x) определена.
Область значений функции - это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.

2) Нули функции.

Нуль функции - такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

3) Промежутки знакопостоянства функции.

Промежутки знакопостоянства функции - такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

4) Монотонность функции.

Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

5) Четность (нечетность) функции.

Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенств f(-x) = - f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

6) Ограниченная и неограниченная функции.

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

7) Периодичность функции.

Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) =

f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими.

Свойства графически заданной функции

Рассмотрим функцию и «прочтем» её график (см. рис. 1).

Рис. 1. График функции

1. - проекция на ось ;

2. - проекция на ось ;

3. - корни (нули функции);

4. ;

5. .

В целом функция не монотонна. Рассмотрим промежутки монотонности.

6. возрастает при , то есть большему значению аргумента соответствует большее значение функции (монотонность «в горку»);

7. убывает при , то есть большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (монотонность «под горку»).

Пример 1.Построить график функции и «прочесть» его, указать .

Решение. График функции на рис. 2

Рис. 2

Ответ: 1) ;

2) ;

3) возрастает при ;

4) убывает при ;

5) .

Пример 2. Дана функция . Найдите область определения и область значений заданной функции.

Решение.

Рассмотрим функцию . Условие существования квадратного корня: . Следовательно,

.

С другой стороны, , откуда следует, что .

Ответ:

Пример 3. Дана функция . Найдите область определения и область значений заданной функции.

Решение.

Поскольку выражение имеет смысл при всех значениях переменной , то .

Т.к. , то .

Ответ: .

Понятие об обратной функции

Функция, которая, принимает каждое свое значение в единственной точке своей области определения, называется обратимой функцией. Например, линейная функция будет являться обратимой функцией. А квадратичная функция или функция синус не будет являться обратимыми функциями. Так как одно и то же значение функция может принимать при различных аргументах.

Положим, что f есть некоторая произвольная обратимая функция. Каждому числу из области её значений y0, соответствует лишь одно число из области определения x0, такое что f(x0) = y0.

Если теперь мы каждому значению х0 поставим в соответствие значение y0, то получим уже новую функцию. Например, для линейной функции f(x) = k x + b функция g(x) = (x - b)/k будет являться обратной.

Если некоторая функция g в каждой точке х области значений обратимой функции f принимает значение у такое, что f(y) = x, то говорят, что функция g - есть обратная функция к f.

Если у нас будет задан график некоторой обратимой функции f, то для того чтобы построить график обратной функции, можно пользоваться следующим утверждением: график функции f и обратной к ней функции g будут симметричны относительно прямой, заданной уравнением y = x.

Если функция g является обратной к функции f, то функция g будет являться обратимой функцией. А функция f будет обратной к функции g. Обычно говорят, что две функции f и g взаимно обратные друг к другу. Выведем следующую теорему: если функция f возрастает (или убывает) на некотором промежутке A, то она обратима. Обратная к а функция g, определенная в области значений функции f, также является возрастающей (или соответственно убывающей) функцией. Данная теорема называется теоремой об обратной функции. На рисунке 3 представлены графики функций f и g взаимно обратных друг к другу.

Рис.3

Вопросы и упражнения для самоконтроля.

1. Какая функция называется числовой?

2. Что является областью определения и областью значений функции?

3. Перечислите способы задания функций. 6.Найдите область определения функции:1) y=3x-2; 2) y=1/x;

4. Каковы основные свойства функций?

5. Дайте определение обратной функции.

3)

Раздел 2. Степенная, показательная и логарифмическая функции

Тема: Степени и корни. Степень с произвольным действительным показателем и ее свойства. Определение логарифма числа. Основное логарифмическое тождество. Десятичные и натуральные логарифмы.

Студент должен:

Знать: понятия степени с натуральным, целым отрицательным, нулевым, рациональным и действительным показателем, а также корня п-ой степени; свойства степеней и корней; определение логарифма числа; свойства логарифмов; основное логарифмическое тождество; формулу перехода к новому основанию и ее следствия; понятия десятичных и натуральных логарифмов.

Уметь: находить значения корня, степени и логарифма на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней и логарифмов; логарифмировать и потенцировать выражения.

Степенью называется выражение вида: , где - основание степени; - показатель степени

Свойства степеней:

1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

a ^m · a ⁿ = a ^{m + n} .

2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются.

3. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.

( abc… ) ⁿ = a ⁿ · b ⁿ · c ⁿ …

4. Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):

( a / b ) ⁿ = a ⁿ / b ⁿ .

5. При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

( a ^m ) ⁿ = a ^{m n} .

Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.

П р и м е р . ( 2 · 3 · 5 / 15 ) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Арифметический квадратный корень - это неотрицательное число, квадрат которого равен , a ≥ 0. При a < 0 - выражение не определено, т.к. нет такого действительного числа, квадрат которого равен отрицательному числу .

Корень из квадрата

Например, . А решения уравнения соответственно и

Корень -й степени из числа - это число, -я степень которого равна .

Свойства корней:

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:

2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:

4. Если увеличить степень корня в n раз и одновременно возвести в n-ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:

5. Если уменьшить степень корня в n раз и одновременно извлечь корень n-ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:

Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютнойвелечине отрицательного показателя:

Теперь формула a ^m : a ⁿ = a ^{m - n} может быть использована не только при m , большем, чем n , но и при m , меньшем, чем n .

Пример: a⁴ : a⁷ = a ^{4 - 7} = a ^-3 .

Если мы хотим, чтобы формула a ^m : a ⁿ = a ^{m - n} была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.

Степень с нулевым показателем. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.

Примеры: 2 ⁰ = 1, ( - 5 ) ⁰ = 1, ( - 3 / 5 ) ⁰ = 1.

Степень с дробным показателем. Для того, чтобы возвести действительное число а в степень m / n , нужно извлечь корень n-ой степени из m-ой степени этого числа а :

Пример. Вычислить:

Логарифмом числа по основанию ( ) называется такое число, что , то есть записи и равносильны. Логарифм имеет смысл, если . Логарифм числа по основанию определяется как показатель степени, в которую надо возвести число , чтобы получить число (Логарифм существует только у положительных чисел).

Свойства логарифмов:

1° - основное логарифмическое тождество.

2°

3°

Логарифм единицы по любому положительному, отличному от 1, основанию равен нулю. Это возможно потому, что из любого действительного числа можно получить 1 только возведя его в нулевую степень.

4° - логарифм произведения.

Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

5° - логарифм частного.

Логарифм частного (дроби) равен разности логарифмов сомножителей.

6° - логарифм степени.

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.

7°

8°

Логарифм корня равен частному от деления логарифма подкоренного числа на показатель корня.

9°

10° - переход к новому основанию.

Пример: Вычислить , если

Решение: Перепишем данное выражение, используя свойство логарифма степени и логарифма произведения:

Ответ:

Примеры: 1) Найти значение log₂(32).

Решение: 32 можно представить как 2⁵. То есть для того, чтобы нам получить число 32, необходимо двойку возвести в пятую степень. Следовательно, log₂(32) = 5.

2) Найти логарифм числа 1/9 по основанию √3.

Решение: Так как (√3)⁴ = 1/9, получаем, что log_√3(1/9) = -4.

3) Найти х такое, что будет верно условие: log₈(x) = 1/3.

Решение: Применим основное логарифмическое тождество: x = 8^(log₈^(x)) = 8^(1/8) = 2.

Среди различных оснований для вычисления логарифмов чаще всего используется число а=10. Логарифмы по такому основанию называются десятичными и имеют специальное обозначение:

- десятичный логарифм (логарифм по основанию 10):

Есть одно основание, которое в расчетах используется не реже, чем число 10. Это знаменитое число e, введенное Эйлером. Это число не является рациональным, лежит между 2 и 3, и его первые десятичные знаки таковы: e=2,718281828… .

- натуральный логарифм (логарифм по основанию e):

Примеры:
Вычисление десятичных логарифмов
1) так как
2) так как
3)
4)

Логарифмирование и потенцирование.

Логарифмирование. Логарифмировать алгебраическое выражение - значит выразить логарифм его через логарифмы отдельных чисел, входящих в это выражение. Это можно сделать, используя теоремы о логарифме произведения, частного, степени и корня.Логарифмирование - это переход от уравнения f(x)=g(x) к уравнению loga f(x)=loga g(x)

Примеры. Прологарифмировать следующие выражения:

а) х = 3 bc ;log х = log 3 + log b + log c .

б)

в)

Потенцирование - это нахождение чисел или выражений по данному логарифму числа (выражения). Потенцировать - значит освобождаться от значков логарифмов в процессе решения логарифмического выражения.

Например, надо решить уравнение log₂ 3x = log₂ 9.

Убираем значки логарифмов - то есть потенцируем:

3х = 9.В результате получаем простое уравнение: х = 9 : 3 = 3.

Примеры. Пропотенцировать следующие выражения:

а) ;

б) ;

Вопросы и упражнения для самоконтроля.

1. Дайте понятие степени и корня?

2. Перечислите основные свойства степени и корня.

3. Сформулируйте определение логарифма числа.

4. Объясните, в чем заключается основное логарифмическое тождество.

5. Напишите формулу перехода к новому основанию.

6. Что значит логарифмирование и потенцирование?

7. Вычислить: 1) 134^(3/4) ; 2) 7; 3)

4)Дано: . Найти .

Тема: Иррациональные уравнения и способы их решения.

Студент должен:

Знать: определение и способы решения иррациональных уравнений.

Уметь:решать иррациональные уравнения разных видов, а также аналогичные неравенства и системы; использовать различные способы при решении иррациональных уравнений.

Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называют иррациональными. Простейшим иррациональным уравнением является уравнение вида:

, (*)

при решении которого важную роль играет четность или нечетность.

Если n- нечетное, то уравнение (*) равносильно уравнению:

Если n - четное, то, так как корень считается арифметическим, необходимо учитывать ОДЗ (область допустимых значений): . Уравнение (*) в этом случае равносильно системе:

Способы решения иррациональных уравнений, как правило, основаны на возможности замены (с помощью некоторых преобразований) иррационального уравнения рациональным уравнением, которое либо эквивалентно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием. Чаще всего обе части уравнения возводят в одну и ту же степень. При этом получается уравнение, являющееся следствием исходного.

При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать следующее:

1) если показатель корня - четное число, то подкоренное выражение должно быть неотрицательно; при этом значение корня также является неотрицательным (определение корня с четным показателем степени);

2) если показатель корня - нечетное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом; в этом случае знак корня совпадает со знаком подкоренного выражения.

Пример 1. Решить уравнение

Решение:

Возведем обе части уравнения в квадрат: x² - 3 = 1;
Перенесем -3 из левой части уравнения в правую и выполним приведение подобных слагаемых: x² = 4.
Полученное неполное квадратное уравнение имеет два корня -2 и 2.

Произведем проверку полученных корней, для этого произведем подстановку значений переменной x в исходное уравнение.
Проверка.
При x₁ = -2 - истинно:
При x₂ = -2 - истинно.
Отсюда следует, что исходное иррациональное уравнение имеет два корня -2 и 2.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение:

Найдем ОДЗ данного уравнения. Из определения квадратного корня следует, что в данном уравнении одновременно должны выполняться два условия:

а) x - 9 0;

x 9;

б) 1 - x 0;

-x -1 ;

x 1.

ОДЗ данного уранения: x .

Ответ: корней нет.

Пример 3 . Решить уравнение + = 7.

Решение:

Возведем обе части уравнения в квадрат и выполним приведение подобных членов, перенес слагаемых из одной части равенства в другую и умножение обеих частей на 0,5. В результате мы получим уравнение = 12 (1), являющееся следствием исходного. Снова возведем обе части уравнения в квадрат. Получим уравнение(х + 5)(20 - х) = 144, являющееся следствием исходного. Полученное уравнение приводится к виду x² - 15x + 44 =0.

Это уравнение (также являющееся следствием исходного) имеет корни x₁ = 4, х₂= 11. Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: х₁ = 4, х₂= 11.

В рассмотренных выше примерах можно было сначала перенести один из радикалов в правую часть уравнения. Тогда в левой части уравнения останется один радикал и после возведения обеих частей уравнения в квадрат в левой части уравнения получится рациональная функция. Такой прием (уединение радикала) довольно часто применяется при решении иррациональных уравнений.

Пример 4. Решить уравнение - = 3.

Решение:

Уединив первый радикал, получаем уравнение
= + 3, равносильное исходному.

Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение

x² + 5x + 2 = x² - 3x + 3 + 6, равносильное уравнению

4x - 5 = 3 (1). Это уравнение является следствием исходного уравнения. Возводя обе части уравнения в квадрат, приходим к уравнению
16x² - 40x + 25 = 9(x² - 3х + 3), или7x² - 13x - 2 = 0.

Это уравнение является следствием уравнения (1) (а значит, и исходного уравнения) и имеет корни. Первый корень x₁ = 2 удовлетворяет исходному уравнению, а второй x₂ = 1/7 - не удовлетворяет.

Ответ: x = 2.

При решении иррациональных уравнений, кроме уединения радикалов используют и другие методы. Рассмотрим пример использования метода замены неизвестного (метод введения вспомогательной переменной).

Пример 5. Решить уравнение 2x² - 6x + + 2 = 0.

Решение.

Введем вспомогательную переменную. Пусть y = , где y 0, тогда получим уравнение 2y² + y - 10 = 0;
y₁ = 2; y₂ = - 5/2. Второй корень не удовлетворяет условию y 0.
Возвращаемся к x:
= 2;
x² - 3x + 6 = 4;
x² -3x + 2 = 0;
x₁ = 1; x₂ = 2. Проверкой устанавливаем, что оба корня являются корнями исходного уравнения.
Ответ: x₁ = 1; x₂ = 2.

Вопросы и упражнения для самоконтроля.

1. Какие уравнения называют иррациональными?

2. Перечислите способы решения иррациональных уравнений.

3. Решите иррациональные уравнения: 1) = x - 8; 2) 3= 9;

3)_;; 5)=

Тема: Показательные и логарифмические уравнения и неравенства, способы их решения.

Студент должен:

Знать: понятие равносильности уравнений, неравенств, систем; способы решения уравнений и систем уравнений; определения и способы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств; приемы решения систем различных уравнений.

Уметь:решать показательные и логарифмические уравнения разных видов, а также аналогичные неравенства и системы.

Решение показательных уравнений

а^x = b - простейшее показательное уравнение. В нем a>0 и а ≠ 1.

Из свойств показательной функции знаем, что ее область значений ограничена положительными вещественными числами. Тогда если b = 0, уравнение не имеет решений.

Теперь положим, что b>0. Если в показательной функции основание a >1, то функция будет возрастающей на всей области определения. Если в показательной функции для основания а выполнено следующее условие 0

Исходя из этого и применяя теорему о корне, получим, что уравнение a^x = b иметь один единственный корень, при b>0 и положительном a не равном единице. Чтобы его найти, необходимо представить b в виде b = a^c.
Тогда очевидно, что с будет являться решением уравнения a^x = a^c.

Рассмотрим следующие примеры:

1) Решить уравнение 5^{(x2 - 2x - 1)} = 25.

Представим 25 как 5², получим:

5^{(x2 - 2x - 1)} = 5².

Или что равносильно:

x² - 2x - 1 = 2.

Решаем полученное квадратное уравнение любым из известных способов. Получаем два корня x = 3 и x = -1.

Ответ: 3;-1.

2) Решить уравнение 4^x - 52^x + 4 = 0.

Сделаем замену: t=2^x и получим следующее квадратное уравнение: t² - 5t + 4 = 0.
Решаем это уравнение любым из известных способов. Получаем корни t1 = 1, t2 = 4

Теперь решаем уравнения 2^x = 1 и 2^x = 4.

Ответ: 0;2.

Решение показательных неравенств

Решение простейших показательных неравенств основывается тоже на свойствах возрастания и убывания функции. Если в показательной функции основание a > 1, то функция будет возрастающей на всей области определения. Если в показательной функции для основания а выполнено следующее условие 0

Пример: решить неравенство (0.5)^{(7 - 3x)} < 4.

Заметим, что 4 = (0,5)^-2. Тогда неравенство примет вид (0,5)^{(7 - 3x)} < (0,5)^(-2). Основание показательной функции 0,5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и записывать только показатели.

Получим: 7 - 3x>-2.

Отсюда: х<3.

Ответ: х(-∞;3)

Если бы в неравенстве основание было больше единицы, то при избавлении от основания, знак неравенства менять было бы не нужно.

Решение логарифмических уравнений

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида:

log_a x = b (1)

Утверждение 1. Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = a^b.

Утверждение 2. Уравнение log_a f(x) = log_a g(x) (a > 0, a ≠ 1) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще)

f(x) = g(x),

f(x) = g(x),

f(x) > 0,

g(x) > 0.

Утверждение 3. Уравнение log_h(x) f(x) = log_h(x) g(x) равносильно одной из систем

при решении логарифмических уравнений полезно использовать равносильные преобразования. В противном случае, проверка полученных решений является составной частью решения. Более того, необходимо учитывать и преобразования, которые могут привести к потере корней.

Приведем основные способы решения логарифмических уравнений:

I. Использование определения логарифма

Пример: Решить уравнение log₂(5 + 3log₂(x - 3)) = 3

Решение :Логарифмом положительного числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 1) называется степень, в которую нужно возвести число a, чтобы получить b. Таким образом,

5 + 3log₂(x - 3) = 2³

или

3log₂(x - 3) = 8 - 5, log₂(x - 3) = 1.

Опять используя определение, получим

x - 3 = 2¹, x = 5.

Проверка полученного корня является неотъемлемой частью решения этого уравнения:

log₂(5 + 3log₂(5 - 3)) = log₂(5 + 3log₂2) = log₂(5 + 3) = log₂8 = 3.

Получим истинное равенство 3 = 3 и, следовательно, x = 5 есть решение исходного уравнения.

II. Использование свойств логарифма

Пример: Решить уравнениеlog₃x + log₃(x + 3) = log₃(x + 24),

Решение:a) ОДЗ уравнения есть множество x (0;+ ∞) которое определяется из системы неравенств (условия существования логарифмов уравнения)

Используя свойство 4° и утверждение 1, получим

III. Метод подстановки

В некоторых случаях логарифмическое уравнение можно свести к алгебрическому уравнению относительно новой переменной. Например, уравнение F(log_ax) = 0, гдеF(x) - алгебраическая рациональная функция, посредством подстановки log_ax = tсводится к алгебраическому уравнению относительно t, R(t) = 0.

Пример. Решить уравнение lg²x - 3lgx + 2 = 0

Решение: ОДЗ уравнения есть множество x Î (0;+¥). Обозначив lgx = t (тогда lg²x = (lg x)² = t²), получим квадратное уравнение

t² - 3t + 2 = 0,

решения которого t₁ = 1 и t₂ = 2. Следовательно,

откуда x₁ = 10 и x₂ = 100. Оба корня входят в ОДЗ.

Различные примеры на решение логарифмических уравнений:

Пример 1. Найдите корень уравнения .

Решение:

Последовательно получаем:

Ответ: −124.

Пример 2.Найдите корень уравнения .

Решение:

Последовательно получаем:

.

Ответ: 2.

Пример 3.Найдите корень уравнения .

Решение:

Логарифмы двух выражений равны, если сами выражения равны и при этом положительны:

Ответ: 6.

Пример 4. Решите уравнение .

Решение:

Заметим, что и используем формулу Имеем:

Ответ: 2.

Пример 5. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Решение:

Из ОДЗ перейдем к уравнению на основание логарифма:

Итак, на ОДЗ уравнение имеет только один корень.

Ответ: 12.

Пример 6. Найдите корень уравнения .

Решение:

Используем формулу :

Приведем другое решение:

Ответ:2.

Пример 7. Найдите корень уравнения .

Решение:

Используя формулу , получаем:

Ответ: 6.

Пример 8.Найдите корень уравнения

Решение:

Пользуясь определением логарифма, имеем:

Ответ:−11.

Решение логарифмических неравенств

Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании называется логарифмическим неравенством.

В процессе решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции.

Утверждение 1. Если a > 1, то неравенство log_a f(x) >log_a g(x) равносильно системе неравенств:

Утверждение 2. Если 0 < a < 1, то неравенство log_a f(x) >log_a g(x) равносильно системе неравенств:

Утверждение 3. Неравенство log_h(x) f(x) >log_h(x) g(x) равносильно совокупности систем неравенств:

Пример 1. Решить неравенство log₃(x² - x) ≥ log₃(x + 8)

Решение: Используя утверждение 1 , получим

Пример 2. Решить неравенство

Решение: Основание логарифма число между нулем и единицей, поэтому, используяутверждение 2, получим:

Неравенства вида F(log_ax) > 0 сводятся подстановкой t = log_ax к алгебраическому неравенству F(t) > 0.

Пример 3. Решить неравенства:

Решение: а) Обозначив , получим квадратное неравенство t² + t - 2 ≥ 0, откуда t ≤ -2 или t ≥ 1. Таким образом,

b) Обозначив t = lgx, получим рациональное неравенство:

.

Используя метод интервалов,получим:

Следовательно,

lgx < -1,

0 < x < ¹/₁₀,

2 x < 3,

100 < x < 1000,

x (0;¹/₁₀)(100;1000)(10⁵;+).

lgx > 5,

x > 10⁵,

В случае логарифмических неравенств, которые не имеют вид неравенств, входящих вутверждения 1-3, определяется ОДЗ и с помощью равносильных преобразований исходные неравенства сводятся к неравенствам, которые решаются с помощьюутверждений 1-3.

Вопросы и упражнения для самоконтроля.

1. Какие уравнения называют показательными, а какие логарифмическими?

2. Перечислите способы решения логарифмических уравнений.

3. Дайте понятие показательным и логарифмическим неравенствам.

4. Решите показательные и логарифмические уравнения: 1) 9^х+3^х+1-4=0; 2) 5^х+2+5^х =130;

3)lg(х²-9)= lg(4х+3); 4) log₄²х - 2log₄х - 3 = 0

5. Решите показательные и логарифмические неравенства:1)

2) log_2x(x² - 5x + 6) < 1;> 1;>5

Раздел 3. Основы тригонометрии.

Тема: Радианное измерение углов. Тригонометрические функции числового аргумента. Основные формулы тригонометрии. Преобразование тригонометрических выражений.

Студент должен:

Знать: градусную и радианную меры угла; определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа; основные формулы тригонометрии; формулы приведения, формулы сложения, формулы двойного и половинного угла; тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение и обратно; определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа.

Уметь:вычислять значения и выполнять преобразования тригонометрических выражений и выражений, содержащих обратные тригонометрические функции.

Градуснаямера. Здесь единицей измерения является градус (обозначение °) - это поворот луча на1 / 360 часть одного полного оборота. Таким образом, полный оборот луча равен 360° .Один градус состоит из 60 минут ( их обозначение ' ); одна минута - соответственно из 60 секунд (обозначаются " ).

Радианная мера. Из планиметрии длина дуги l, радиус r и соответствующий центральный угол связаны соотношением: = l / r .

Эта формула лежит в основе определения радианной меры измерения углов. Так, если l = r , то = 1, и мы говорим, что угол равен 1 радиану, что обозначается: = 1 рад. Таким образом, мы имеем следующее определение радианной меры измерения:

Радиан есть центральный угол, у которого длина дуги и радиус имеют равные величины (AmB = AO).(Рис.1)

Значит, радианная мера измерения угла - это отношение длины дуги, которая проведена произвольным радиусом и заключёна между сторонами этого угла, к радиусу дуги.

Следуя этой формуле, длину окружности C и её радиус r можно выразить следующим образом:2 = C / r .

Так, полный оборот, равный 360° в градусном измерении, соответствует 2 в радианном измерении. Откуда мы получаем значение одного радиана:

Обратно,

Существуют таблицы для перевода градусной меры угла (дуги) в радианную и обратно, однако следующие значения надо помнить: рад,

Тригонометрические функции числового аргумента х - функции y = sinх, y = cos х, y = tgх, y = ctg х.

Расположение тригонометрических функций по координатным четвертям:

Пример 1.Вычислите значение tg α, если ctg α = 0,2.

Решение:

Воспользуемся формулой, связывающей тригонометрические функции y = tg α, y = ctg α , tg α * ctg α = 1. Подставляя заданное в условии значение 0,2, получаем, что tg α * 0,2 = 1, откуда tg α = 5.Ответ: 5

Пример 2. Дано значение синуса некоторого угла

Найти:

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

По условию точка находится в первой четверти, где значит

Ответ:

Пример 3. Задана функция

Найти:

Решение:

Чтобы вычислить воспользуемся формулой, связывающей и Вспомним также, как она получается из основного тригонометрического тождества.

Точка находится во второй четверти, где значит

Во второй четверти значит

Ответ:

Основные формулы тригонометрии:

Основные тригонометрические тождества:

sin² α + cos² α = 1

tg α · ctg α = 1

tgα = sin α ÷ cos α

ctgα = cos α ÷ sin α

1 + tg² α = 1 ÷ cos² α

1 + ctg² α = 1 ÷ sin² α

Формулысложения:

sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α

sin (α - β) = sin α · cos β - sin β · cos α

cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β

cos (α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β

tg (α + β) = (tgα + tgβ) ÷ (1 - tgα · tgβ)

tg (α - β) = (tgα - tgβ) ÷ (1 + tgα · tgβ)

ctg (α + β) = (ctgα · ctgβ + 1) ÷ (ctgβ - ctgα)

ctg (α - β) = (ctgα · ctgβ - 1) ÷ (ctgβ + ctgα)

Формулы двойного угла:

cos 2α = cos² α - sin² α

cos 2α = 2cos² α - 1

cos 2α = 1 - 2sin² α

sin 2α = 2sin α · cos α

tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)

ctg 2α = (ctg² α - 1) ÷ (2ctg α)

Формулы тройного угла:

sin 3α = 3sin α - 4sin³ α

cos 3α = 4cos³ α - 3cos α

tg 3α = (3tg α - tg³ α) ÷ (1 - 3tg² α)

ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)

Формулы половинного аргумента:

Формулы понижения степени:

sin² α = (1 - cos 2α) ÷ 2

sin³α = (3sin α - sin 3α) ÷ 4

cos² α = (1 + cos 2α) ÷ 2

cos³α = (3cos α + cos 3α) ÷ 4

sin²α · cos² α = (1 - cos 4α) ÷ 8

sin³α · cos³ α = (3sin 2α - sin 6α) ÷ 32

Переход от произведения к сумме:

Переход от суммы и разности к произведению:

Формулы приведения:

φ

α

sin φ

- sin α

cos α

cos α

sin α

- sin α

- cos α

- cos α

- sin α

sin α

cos φ

cos α

sin α

- sin α

- cos α

- cos α

- sin α

sin α

cos α

cos α

tg φ

- tg α

ctg α

- ctg α

- tg α

tg α

ctg α

- ctg α

- tg α

tg α

ctg φ

- ctg α

tg α

- tg α

- ctg α

ctg α

tg α

- tg α

- ctg α

ctg α

Преобразование тригонометрических выражений.

Для решения тригонометрических заданий, необходимо уметь преобразовывать тригонометрические выражения, содержащие как различные функции, так и различные аргументы функций.

Пример 4. Упростите выражение:

Решение: .

Обратимся далее к таблице значений тригонометрических функций. Получаем, что

Ответ:

Пример 5. Вычислить sin10º sin30º sin50º sin70º .

Решение: Используем формулу преобразования произведения тригонометрических функций в сумму: sin10º sin50º = 1/2 (cos40º - cos60º ) = 1/2 cos 40º- 1/4. Подставим в первоначальное произведение это выражение и учтем, что sin30º = 1/2, получаем:

Ответ:

Пример 6. Упростите выражение:

Решение: (Применили формулу «тангенс разности»)

Ответ:

Пример 7. Вычислить без таблиц .

Решение: Имеем,

.

Ответ: .

Пример 8. Вычислите .

Решение: Воспользуемся методом введения дополнительного угла, для этого умножим и разделим выражение на .

.Ответ: -2.

Пример 9. Найдите значение выражения .

Решение: По формулам приведения . Подставляя это значение в выражение, преобразуем разность синусов в произведение:

.

Ответ: 3.

Пример 10. Вычислить .

Решение: Сгруппируем слагаемые и воспользуемся формулами преобразование суммы тригонометрических функций в произведение.

.

Умножим и разделим полеченное выражение на и воспользуемся равенством .Тогда получим:

.

Ответ: .

Вопросы и упражнения для самоконтроля.

1. Что значит градусная и радианная мера угла?

2. Дайте определение радиана.

3. Перечислите основные тригонометрические тождества.

4. Вычислить , если

5. Найдите: 1)tg α, если; 2), если .

6.Упростите выражения:

1) ; 2); 3) .

Раздел 4. Прямые и плоскости в пространстве

Тема: Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия. Взаимное расположение прямых в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Взаимное расположение плоскостей.

Студент должен:

Знать: основные понятия стереометрии; аксиомы стереометрии и следствия из них; случаи взаимного расположения двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей в пространстве; понятие угла между прямыми, прямой и плоскостью, плоскостями; признаки параллельности прямой и плоскости, двух плоскостей; признаки перпендикулярности прямой и плоскости, двух плоскостей.

Уметь:распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; описывать и анализировать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве; проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач.

Стереометрия- это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

Плоскость, прямая, точка - основные понятия геометрии.

Рис.1

Точки А и В лежат в плоскости β (плоскость β проходит через эти точки), а точки M, N, P не лежат в этой плоскости. Коротко это записывают так: А ∈ β, B ∈ β, M, N, P.(Рис.1)

Аксиомы стереометрии

Аксиома 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Рис.2

Из аксиомы 1 следует другой способ обозначения плоскости: (АВС)

Аксиома 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую).

Рис. 3

Из аксиомы 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

Рис.4

Аксиома 3.Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все их точки (пересекаются по прямой).

Рис.5

Следствия из аксиом

Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Рис.6

Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и при том только одна.

Рис.7

Взаимное расположение прямых в пространстве.

Две прямые пространства могут:

1) скрещиваться;

2) пересекаться в точке ;

3) быть параллельными ;

4) совпадать (иметь две общие точки )

Пересекающиеся прямые (лежат в одной плоскости).

Параллельные прямые (лежат в одной плоскости).

Скрещивающиеся прямые (не лежат в одной плоскости).

Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны друг другу.

Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не параллельны друг другу. Через них невозможно провести плоскость. Скрещивающиеся прямые лежат в параллельных плоскостях.

Взаимное расположение прямой и плоскости.

Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости:

1) прямая и плоскость пересекаются, т.е. имеют одну общую точку;

2) прямая и плоскость параллельны, т.е. не имеют общих точек;

3)прямая лежит в плоскости, т.е. все точки прямой принадлежат плоскости.

Определение. Прямая параллельна плоскости, если она не имеет с плоскостью общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости:

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости.

Этот признак часто используется в решении задач по стереометрии. Например, в правильной четырехугольной пирамиде SABCD прямая АВ параллельна прямой СD - значит, АВ параллельна всей плоскости SCD.

Взаимное расположение плоскостей в пространстве.

Две плоскости в пространстве либо пересекаются, либо параллельны

Мы не рассматриваем отдельно случай «плоскости совпадают». Раз совпадают - значит, это одна плоскость, а не две.

Пример:

Одна сторона параллелограмма пересекает плоскость. Докажите, что прямая, которая содержит противоположную сторону параллелограмма, тоже пересекает эту плоскость.

Допустим, что у параллелограмма ABCD сторона AB пересекает плоскость α в точке K.

Так как противоположные стороны параллелограмма параллельны, то, согласно теореме (если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость) прямая, которая содержит сторону CD, тоже пересекает плоскость α.

Угол между прямой и плоскостью

Пусть прямая пересекает плоскость, причем не под прямым, а под каким-то другим углом. Такая прямая называется наклонной.

Опустим перпендикуляр из какой-либо точки наклонной на нашу плоскость. Соединим основание перпендикуляра с точкой пересечения наклонной и плоскости. Мы получили проекцию наклонной на плоскость.

Угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость. В качестве угла между прямой и плоскостью мы выбираем острый угол.

Если прямая параллельна плоскости, значит, угол между прямой и плоскостью равен нулю.

Если прямая перпендикулярна плоскости, ее проекцией на плоскость окажется точка. Очевидно, в этом случае угол между прямой и плоскостью равен 90°.

Вопросы и упражнения для самоконтроля.

1. Дайте определение основным аксиомам стереометрии?

2. Каково может быть взаимное расположение прямых в пространстве.

3. Дать определение параллельных прямых в пространстве.

4. Каково может быть взаимное расположение плоскостей в пространстве?

5. Понятие угла между прямой и плоскостью .

6. Решите задачи: 1) Точки А, В, и С не лежат на одной прямой. М АВ, КАС и Х МК. Докажите, что точка Х лежит на плоскости (АВС).

2) Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые АВ и CD не пересекаются.

3) Дано:

ABCDA₁B₁C₁D1 - куб.

K, M, N - середины ребер B₁C₁, D₁D, D₁C₁ соответственно,

P - точка пересечения диагоналей грани AA₁B₁B.

Определите взаимное расположение:

9. прямых: В₁М и ВD, PM и B₁N, AC и MN, B₁M и PN;

10. прямой и плоскости: KN и (ABCD), B₁D и (DD₁C₁C), PM и (BB₁D₁D), MN и (AA₁B₁B);

11. плоскостей: (AA₁B₁B) и (DD₁C₁C), (AB₁C₁D) и (BB₁D₁D), (AA₁D₁D) и (BB₁C₁C)

Задания для выполнения контрольной работы:

Вариант 1

Ι

1. Решите уравнения:

А) .

Б) lg х + lg(х + 3) = 1;

В) log₃(х+3) = log₃(х²+2х-3);

Г) log₄²х - 2log₄х - 3 = 0.

2. Решите неравенства:

А) < 16;

Б) > 1;

В) 3^2х-1 - 3^х-1> 2 .

Г) 9^х-3^х ≤ 6.

ΙΙ

1.Вычислите:

2.Дано: cosα = - ;180⁰< α < 270⁰ .

Найдите: sin; tg 2α .

Вариант 2

Ι

1. Решите уравнения:

А) log_2-х(2х²-5х+2)=2;

Б) lg(5х-4)= lg(1-х);

В) log₅²х + log₅х - 2 = 0.

Г) =

2. Решите неравенства:

А) < 4 ^х-1;

Б) + +≥448 ;

В) < 1;

Г) 9^х-3^х ≤ 6.

ΙΙ

1. Дано: sinα = ; 90⁰< α < 180⁰ .

Найдите: cos;tg2α .

2.Найдите значение выражения

Вариант 3

Ι

1. Решите уравнения:

А) .

Б)log_х(2х²-3х)=1;

В) lg(х²-17) - lg(2х-2)=0;

Г) log₃(х+3) = log₃(х²+2х-3);

2. Решите неравенства:

А) >1;

Б) -≤ 624 ;

В) >16 ;

Г) 4^х - 2^х ≥ 2.

ΙΙ

1. Дано: cosα = ;< α <π .

Найдите: sin2α; tg

2. Запишите выражение в виде степени с дробным показателем.

Вариант 4

Ι

1. Решите уравнения:

А) log_х+2(3х²+х-5)=2;

Б) 2 log₂(-х)=1+ log₂(х+4);

В) log₂(2х-4) = log₂(х²-3х+2);

Г) .

2.Решите неравенства:

А) ≥1;

Б) 3^х - 3^х-3>26;

В) < 27;

Г) 3^х - 3^1-х> .

ΙΙ

1.Дано: sinα = ; π< α <.

Найдите: tg ;sin2α .

2. Вычислите

Вариант 5

Ι

1. Решите уравнения:

А) log_2х(х²+х-2)=1;

Б) ;

В) lg(х²-9)= lg(4х+3);

Г) log₄²х - 2log₄х - 3 = 0.

2.Решите неравенства:

А) >5 ;

Б) -≤ 624 ;

В) > 1;

Г) 3^2х-1 - 3^х-1> 2 .

ΙΙ

1. Вычислите:

cos(α+β) и cos(α-β), если sinα= , cosβ= , <α<π, <α<2π.

2. Вычислите 9 · .

Вариант 6

Ι

1. Решите уравнения:

А) = ;

Б) .

В) ( = 625 ;

Г) 9^х+3^х+1-4=0.

2. Решите неравенства:

А) log₃(х²+2х)<1;

Б) log₆(х²+10х+24) ≤ 1+ log₆(х+6);

В) log_0,5(2х-4)>log_0,5(х+1);

Г) log₁₅(х-3) + log₁₅(х-5)<1.

ΙΙ

1. Вычислите:

sin() и cos() , если tgα= - , <α<π.

2. Вычислите:

Вариант 7

Ι

1. Решите уравнения:

А) = 9;

Б) 5^х+2+5^х =130;

В) = ;

Г) =

2. Решите неравенства:

А) log₂(х²-3х)<2 ;

Б) log₂х+ log₂(х-1)≤1;

В) log_0,2(3х-1)≥ log_0,2(3-х) ;

Г) + >.

ΙΙ

1. Вычислите:

tgα-cosα , если cosα= , <α<2π.

2. Вычислите 9 · .

Вариант 8

Ι

1. Решите уравнения:

А) = 125;

Б) 5^х-5^х-2 =600;

В) = 32 ;

Г) 4^х + 2· 2^х -80=0.

2. Решите неравенства:

А) log₂(8-х)<1;

Б) log_0,5(2х²+3х+1)≤ 2 log_0,5(х-1);

В) log₂(х-3)+ log₂(х-2)≤1;

ΙΙ

1. Вычислите:

tg() + ctg() , если sinα = - 0,6; <α<2π.

2.Найдите значение выражения

Вариант 9

Ι

1. Решите уравнения:

А) = 9;

Б) 5^х+1 - 3·5^х-2 =122 ;

В) = ;

Г)

2.Решите неравенства:

А) lg(х-3)<1;

Б) log_0,2(3х-1)≥ log_0,2(3-х);

В) log₂(х²-3х+2)≤1+ log₂(х-2);

Г) log₁₅(х-3) + log₁₅(х-5)<1.

ΙΙ

1. Дано: cosα = ; 0< α <.

Найдите: cos ;tg

2. Запишите выражение в виде степени с дробным показателем.

Вариант 10

Ι

1. Решите уравнения:

А) = ;

Б) 2^х-1+2^х+2 =36;

В) = 32 ;

Г) .

2.Решите неравенства:

А) log₃(х²+2х)<1;

Б) log₃(х²-1) < 1+ log₃(х+1);

В) log_0,5(3х-5)>log_0,5(х+1);

Г) + >.

ΙΙ

1.Дано: cosα = - ; 180⁰< α <270⁰ .

Найдите: sin ;tg 2α .

2. Вычислите

Вариант 11

Ι

1. Решите уравнения:

А) .

Б) lg(х-1) + lg(х+1)= lg(9х+9) ;

В) log₅(3х-4) = log₅(12-5х);

Г) lg²х - lgх - 2 = 0.

2.Решите неравенства:

А) ≥;

Б) +> 17;

В) < 1;

Г) 3^2х-1 - 3^х-1> 2 .

ΙΙ

1. Дано: sinα = ; 90⁰< α < 180⁰ .

Найдите: cos ;tg 2α .

2. Вычислите:

Вариант12

Ι

1. Решите уравнения:

А) log₃(х²+3х-7)=1;

Б) =

В) lg (3х-10) = lg(7-2х);

Г) log₃²х - log₃х - 6 = 0.

2. Решите неравенства:

А) < 4 ^х-1;

Б) + +≥448 ;

В) > 1;

Г) 5^2х - 6·5^х +5> 0 .

ΙΙ

1. Дано: cosα = ;< α <π .

Найдите: sin2α ;tg

2. Найдите значение выражения

Вариант 13

Ι

1. Решите уравнения:

А) log₃(х²-5х-23)=0;

Б) lg(х+2) + lg(х-2)= lg(5х+10) ;

В) lg (5х-4) = lg(1-х);

Г) .

2. Решите неравенства:

А) >1;

Б) 3^х - 3^х-3>26;

В) < 27;

Г) 3^х - 3^1-х> .

ΙΙ

1. Дано: sinα = ; π< α <.

Найдите: tg ;sin2α .

2. Запишите выражение в виде степени с дробным показателем.

Вариант 14

Ι

1.Решите неравенства:

А) lоg₃(7-4х)<3;

Б) log_0,5(2х-4)>log_0,5(х+1);

В) log₁₅(х-3) + log₁₅(х-5)<1.

Г) =

2.Решите уравнения:

А) = 16;

Б) 3^х+1-4·3^х-2 =69;

В) ( = 625 ;

Г) 9^х+3^х+1-4=0.

.

ΙΙ

1. Вычислите:

cos(α+β) и cos(α-β), если sinα= , cosβ= , <α<π, <α<2π.

2.Найдите значение выражения

Вариант 15

Ι

1.Решите неравенства:

А) lоg_0,2(3х+4) ≥ -2;

Б) lg(х²+ х -20) <lg(4х-2);

В) log_0,2(3х-1)≥ log_0,2(3-х) ;

Г) log₂х + log₂(х-7) ≤ 3.

2.Решите уравнения:

А) = 125;

Б) 5^х+2+5^х =130;

В) = ;

Г).

ΙΙ

1. Вычислите:

sin() и cos() , если tgα= - , <α<π.

2. Найдите значение выражения

Вариант 16

Ι

1.Решите неравенства:

А) lоg₈(х²- 4х+3)<1;

Б) .

В) log₂(х²-3х+2)≤1+ log₂(х-2);

Г) (-4)> (х+2) -1.

2.Решите уравнения:

А) = 243;

Б) 5^х-5^х-2 =600;

В) = 32 ;

Г) 3^2х+1 - 28· 3^х+9=0;

ΙΙ

1. Вычислите:

tg() + ctg() , если sinα = - 0,6; <α<2π.

2.Вычислите:

Вариант 17

Ι

1. Решите уравнения:

А) .

Б) lg х + lg(х + 3) = 1;

В) log₃(х+3) = log₃(х²+2х-3);

Г) log₄²х - 2log₄х - 3 = 0.

2. Решите неравенства:

А) < 16;

Б) +> 17;

В) > 1;

Г) 3^2х-1 - 3^х-1> 2 .

ΙΙ

1. Вычислите:

tgα - cosα , если cosα= , <α<2π.

2. Вычислите

Вариант 18

Ι

1. Решите уравнения:

А) log_2-х(2х²-5х+2)=2;

Б).

В) lg(5х-4)= lg(1-х);

Г) log₅²х + log₅х - 2 = 0.

2. Решите неравенства:

А) < 4 ^х-1;

Б) + +≥448 ;

В) < 1;

Г) 9^х-3^х ≤ 6.

ΙΙ

1. Дано: cosα = ; 0< α <.

Найдите: cos ;tg

2. Запишите выражение в виде степени с дробным показателем.

Вариант 19

Ι

1. Решите уравнения:

А) log_х(2х²-3х)=1;

Б) lg(х²-17) - lg(2х-2)=0;

В) log₃(х+3) = log₃(х²+2х-3);

Г) .

2. Решите неравенства:

А) >1;

Б) -≤ 624 ;

В) >16 ;

Г) 4^х - 2^х ≥ 2.

ΙΙ

1. Дано: cosα = ;< α < π .

Найдите: sin2α ;tg

2. Найдите значение выражения

Вариант 20

Ι

1. Решите уравнения:

А) log_х+2(3х²+х-5)=2;

Б).

В) log₂(2х-4) = log₂(х²-3х+2);

Г) log₃х + log₉х + log₈₁ х = .

2.Решите неравенства:

А) ≥1;

Б) 3^х - 3^х-3>26;

В) < 27;

Г) 3^х - 3^1-х> .

ΙΙ

1. Дано: sinα = ; 0< α <.

Найдите: tg2α ;cos2α .

2. Вычислите

Вариант 21

Ι

1. Решите уравнения:

А) log_2х(х²+х-2)=1;

Б) 2 log₃(-х)=1+ log₃(х+6);

В) lg(х²-9)= lg(4х+3);

Г) log₄²х - 2log₄х - 3 = 0

Д) .

2.Решите неравенства:

А) -≤ 624 ;

Б) > 1;

В) 3^2х-1 - 3^х-1> 2 .

ΙΙ

1. Вычислите:

cos(α+β) и cos(α-β), если sinα= , cosβ= , <α<π, <α<2π.

2. Вычислите:

Вариант 22

Ι

1. Решите уравнения:

А) = ;

Б) 3^х+3-3^х =78;

В) ( = 625 ;

Г) .

2. Решите неравенства:

А) log₃(х²+2х)<1;

Б) log₆(х²+10х+24) ≤ 1+ log₆(х+6);

В) log_0,5(2х-4)>log_0,5(х+1);

Г) log₁₅(х-3) + log₁₅(х-5)<1.

ΙΙ

1. Вычислите:

sin() и cos() , если tgα= - , <α<π.

2. Вычислите

Вариант 23

Ι

1. Решите уравнения:

А) = 9;

Б) 5^х+2+5^х =130;

В) = ;

Г) .

2.Решите неравенства:

А) log₂(х²-3х)<2 ;

Б) log₂х+log₂(х-1)≤1;

В) log_0,2(3х-1)≥log_0,2(3-х) ;

Г) + >.

ΙΙ

1.Вычислите:

tgα - cosα , если cosα= , <α<2π.

2.Найдите значение выражения

Вариант 24

Ι

1.Решите уравнения:

А) = 125;

Б) 5^х-5^х-2 =600;

В) = 32 ;

Г).

2.Решите неравенства:

А) log₂(8-х)<1;

Б) log_0,5(2х²+3х+1)≤ 2 log_0,5(х-1);

В) log₂(х-3)+ log₂(х-2)≤1;

Г) (-4)> (х+2) -1.

ΙΙ

1.Вычислите:

tg () + ctg () , если sinα = - 0,6; <α<2π.

2. Вычислите

Вариант 25

Ι

1. Решите уравнения:

А) = 9;

Б).

В) = ;

Г) 7^2х - 6· 7^х +5=0.

2.Решите неравенства:

А) lg(х-3)<1;

Б) log_0,2(3х-1)≥ log_0,2(3-х);

В) log₂(х²-3х+2)≤1+ log₂(х-2);

Г) log₁₅(х-3) + log₁₅(х-5)<1.

ΙΙ

1.Дано: cosα = ; 0< α <.

Найдите: cos ;tg

2. Вычислите

Вариант 26

Ι

1. Решите уравнения:

А) = ;

Б) 2^х-1+2^х+2 =36;

В) = 32 ;

Г) .

2.Решите неравенства:

А) log₃(х²+2х)<1;

Б) log₃(х²-1) < 1+ log₃(х+1);

В) log_0,5(3х-5)>log_0,5(х+1);

Г) + >

ΙΙ

1.Дано: cosα = - ; 180⁰<α<270⁰ .

Найдите: sin ;tg 2α .

2.Вычислите:

Вариант 27

Ι

3. Решите уравнения:

А) .

Б) lg х + lg(х + 3) = 1;

В) log₃(х+3) = log₃(х²+2х-3);

Г) log₄²х - 2log₄х - 3 = 0.

4. Решите неравенства:

А) < 16;

Б) > 1;

В) 3^2х-1 - 3^х-1> 2 .

Г) 9^х-3^х ≤ 6.

ΙΙ

1. Вычислите:

2. Дано: cosα = - ;180⁰< α < 270⁰ .

Найдите: sin;tg2α .

Вариант 28

Ι

1. Решите уравнения:

А) log_2-х(2х²-5х+2)=2;

Б) lg(5х-4)= lg(1-х);

В) log₅²х + log₅х - 2 = 0.

Г) =

2. Решите неравенства:

А) < 4 ^х-1;

Б) + +≥448 ;

В) < 1;

Г) 9^х-3^х ≤ 6.

ΙΙ

1. Дано: sinα = ; 90⁰< α < 180⁰ .

Найдите: cos;tg2α .

2.Найдите значение выражения

Вариант 29

Ι

1. Решите уравнения:

А) .

Б)log_х(2х²-3х)=1;

В) lg(х²-17) - lg(2х-2)=0;

Г) log₃(х+3) = log₃(х²+2х-3);

2. Решите неравенства:

А) >1;

Б) -≤ 624 ;

В) >16 ;

Г) 4^х - 2^х ≥ 2.

ΙΙ

1. Дано: cosα = ;< α <π .

Найдите: sin2α;tg

2. Запишите выражение в виде степени с дробным показателем.

Вариант 30

Ι

1. Решите уравнения:

А) log_х+2(3х²+х-5)=2;

Б) 2 log₂(-х)=1+ log₂(х+4);

В) log₂(2х-4) = log₂(х²-3х+2);

Г) .

2.Решите неравенства:

А) ≥1;

Б) 3^х - 3^х-3>26;

В) < 27;

Г) 3^х - 3^1-х> .

ΙΙ

1.Дано: sinα = ; π< α <.

Найдите: tg ;sin2α .

2. Вычислите

Список использованной литературы:

Основные источники:

1.Башмаков М.И. Математика /Учебник для начального и среднего профессионального образования/ - М.: Академия, 2013

2.Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика - М.: «Дрофа», 2010

3.Богомолов Н.В., Сборник задач по математике - М.: «Дрофа», 2010

4.Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. Элементы высшей математики - М.: «Академия», 2010

5.Пехлецкий И. Д. Математика - М.: «Академия», 2010

6.Погорелов А.В. Геометрия, 10-11 /Учебник/ - М.: «Просвещение», 2006

Дополнительные источники:

1.Виленкин И.В, Гробер В.М. Высшая математика - Ростов-на-Дону: «Феникс», 2002

2. Зайцев И.Л. Элементы высшей математики - М.: «Наука», 1970

3. Яковлев Г.Н. и др. Алгебра и начала анализа, часть 1 - М.: «Наука», 1981

4. Яковлев Г.Н. и др. Алгебра и начала анализа, часть 2 - М.: «Наука», 1978

79