Урок Тригонометрические функции и их графики

ТЕМА УРОКА : « ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ»

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ УРОКА:

1. Обобщить материал по теме: «Тригонометрические функции и их графики», проверить умения в построении графиков функций с помощью преобразований.

2.Развивать логическое мышление, внимание, навыки самостоятельной работы, навыки самооценки.

3. Воспитывать интерес к предмету через содержание учебного материала, умение работать в коллективе, умение не растеряться в проблемных ситуациях, культуре общения.

Оборудование:

доска, мел, трафареты, таблицы графиков тригонометрических функций, мультимедийный проектор, слайды, содержащие графики функций, карточки с заданиями, бланки для выполнения заданий.

Литература:

Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. Ч. 1, 2. Учеб. для 10-11 кл.

Тип урока: обобщение.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент:

2. Сообщение темы и цели урока.

Учитель: «Тема нашего урока « Тригонометрические функции и их графики». Сегодня на уроке мы с вами обобщим занятия и умения в построении графиков тригонометрических функций с помощью преобразований.

Во время урока постепенно мы будем использоваться тот раздаточный материал, который находится у вас на партах».

3.Повторение теоретического материала по теме

1. Учитель обращается к учащимся с вопросом: «Скажите, пожалуйста, что такое функция?»

Определение. «Зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у, называют функцией».

2. Учитель: «Назовите способы задания функции?»

Учащиеся в произвольной последовательности должны перечислить способы задания функций: описательный, табличный, графический, аналитический.

3. Учитель: «Перечислите, какими свойствами может обладать функция».

Учащиеся в произвольной последовательности перечисляют свойства функций, таким образом, называют общую схему исследования функций.

4. Учитель: Какие из тригонометрических функций вы знаете?

Ответы учеников: синус, косинус, тангенс, котангенс.

5. Учитель: Дайте определение этих функций.

Определение: Числовые функции, заданные формулами у=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx, называют соответственно синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом.

6. Учитель: Как называются графики этих функций?

Ответы учеников: синусоида, косинусоида, тангенсоида, котангенсоида.

7. Учитель: вспомним необходимые определения и соответствующие свойства функций на графиках, которые изображены

8. Что называется областью определения функции?

Определение. Область определения функции это множество значений независимой переменной, при которых функция имеет смысл.

9. Учитель: «Перед вами графики тригонометрических функций, для каждого графика назовите область определения соответствующей функции».

Ответы учеников: Область определения функций

синус, косинус D(f)=(-), тангенс все хn, котангенc все хn

10. Учитель: «Дайте определение точек пересечения графика функции с осями координат и укажите их количество на каждом из графиков».

11. Учитель: «Сколько точек пересечения с осями координат имеет синус, косинус, тангенс, котангенс?»

Ответы учеников: Синус с осью ординат имеет одну точку в начале координат, с осью абсцисс все точки с координатами (n;0)

Косинус с осью ординат имеет одну точку - (0;1), с осью абсцисс все точки с координатами (n;0)

Тангенс с осью ординат имеет одну точку в начале координат, с осью абсцисс все точки с координатами (n;0)

Котангенс с осью ординат общих точек не имеет, с осью абсцисс все точки с координатами (n;0)

12. Учитель: «Дайте вспомним, какая функция называется четной, а какая нечетной? Как выглядят их графики? Какие из графиков тригонометрических функций соответствуют четной функции, какие - нечетной?»

Определение. Если область определения функции симметрична относительно нуля и для любого x из области определения выполняется равенство: , то функция четная, а если , то функция нечетная. Если не выполняется ни одно из равенств, то функция ни четная, ни нечетная.

График четной функции симметричен относительно оси ординат (Oy).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки O).

Из 4 тригонометрических функций только косинус четная функция. Синус, тангенс, котангенс - нечетные.

13. Учитель: Какая функция называется монотонно возрастающей (монотонно убывающей)?

Учащиеся:

Определение. Если для любых и таких, что выполнено условие , то функция называется монотонно возрастающей на X. Если , то функция называется монотонно убывающей на X. Если , то функция постоянна на X.

14. Учитель: Какая из тригонометрических функций является монотонно возрастающей (монотонно убывающей) на всей области определения

Учащиеся: Монотонно возрастающей на всей области определения является тангенс. Монотонно убывающей на всей области определения является котангенс.

15. Учитель: Назовите промежутки монотонности синуса, косинуса.

Учащиеся: Синус возрастает на промежутках , , убывает на промежутках , .

Косинус возрастает на промежутках ,, и убывает на промежутках , .

16. Учитель: Назовите экстремумы синуса, косинуса, тангенса, котангенса.

Учащиеся: Точки максимума функции синус- (; 1), наибольшее значение функции равно 1, точки минимума- (-; - 1), наименьшее значение равно -1.

Точки максимума функции косинус- (; 1), наибольшее значение функции равно 1, точки минимума- (; - 1), наименьшее значение равно -1.

Тангенс и котангенс экстремумов не имеют.

17. Учитель: «Свойством периодичности обладают все известные вам тригонометрические функции. Давайте вспомним определение периодической функции и укажем периоды данных функций».

Определение. Если существует такое число , что для любого x из области определения функции числа и принадлежат области определения и , то функция называется периодической, а число t - периодом функции.

Периодом для функций синус и косинус является , тангенс и котангенс имеют период равный .

18. Учитель: «Теперь займемся определением промежутков знакопостоянства функции. Пожалуйста, дайте определение и укажите промежутки знакопостоянства для графиков синуса, косинуса, тангенса и котангенса».

Определение. Множество X, на котором функция не меняет свой знак, называется промежутком знакопостоянства функции.

Синус принимает неотрицательные значения на промежутках , неположительные значения на .

Косинус принимает неотрицательные значения на промежутках, неположительные значения на .

Тангенс принимает положительные значения на промежутках (), отрицательные значения на ().

Котангенс принимает положительные значения на промежутках (), отрицательные значения на ().

19. Учитель: «Исследование поведения функции на границах области определения и множество значений функции это тесно связанные понятия, поэтому мы сейчас с вами вспомним определение множества значений функции и по графикам оценим множество значений каждой из представленных функций».

Определение. Областью значений функции называется множество, в которое входят все значения, которые может принимать функция на своей области определения.

20. Учитель: Назовите множество значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса.

Учащиеся: Множество значений функции синуса и косинуса является промежуток , тангенса и котангенса .

21. Учитель: Ребята, какие преобразования графиков функций вы знаете?

Учащиеся:1) Параллельный перенос графика функции y=f(x)+b, где b - постоянное число, на вектор (0;b) вдоль оси ординат.

2) Растяжение графика вдоль оси Оу с коэффициентом k, которое задается формулами Для построения графика функции у=kf(х) надо растянуть график функции у= f(х) в k раз вдоль оси ординат.

3) Параллельный перенос вдоль оси абсцисс на вектор (а;0) задается формулами График функции у= f(х-а) получается из графика f переносом ( вдоль оси абсцисс) на вектор (а;0).

4) Растяжение вдоль оси Ох с коэффициентом k задается формулами Для построения графика функции у=f() надо подвергнуть график функции f растяжению с коэффициентом k вдоль оси абсцисс.

4. Решение задач на закрепление теоретического материала

22. Учитель: Ребята, постройте графики функций и определите D(f), E(f) и T( Слайд10)

22. Решите графически уравнения. (Слайд 11)

5. Итоги урока.

6. Домашнее задание: Записать 5 тригонометрических функций, в которых будут использоваться все преобразования. Для каждой определить область определения, область значений и основной период.