Рекомендации по решению текстовых задач

Как научить решать текстовые задачи с помощью уравнений.

Большинство текстовых задач решаются с помощью уравнений. Многие ученики сталкиваются с проблемой решения текстовых задач и дело не в том, что они не умеют решать уравнения, а самом процессе составления уравнения к задаче. В процессе работы на уроках над текстовыми задачами и в ходе подготовки к экзаменам ЕГЭ и ГИА пришла к алгоритму помогающему учащимся составлять уравнения и соответственно справляться с задачами.

Итак, с чего начать?

1. Советую учащимся внимательно прочитать текст задачи от начала до самого конца, не отвлекаясь на записи и пометки (если необходимо, то нужно прочитать задачу несколько раз).

2. После прочтения ответить себе на вопрос на что задача: на движение, работу или смеси, а может нестандартная задача.

3. Начертить таблицу соответствующую задаче на движение, на работу или на смеси или записать скелет задачи, выполнить схему.

4. Прочитать вопрос задачи, то что надо найти обозначим за Х (хотя есть исключения!), если требуется найти несколько величин за Х лучше обозначить меньшую.

5.Теперь следует прочитать условие задачи частями (предложениями) и внести известные величины в таблицу.

6. Заполнить таблицу, выражая неизвестные величины через Х и известные величины.

7. Составить вспомогательное неравенство (уравнение) к задаче и схему уравнения.

8. Составить уравнение и решить его.

9.Обратиться к вопросу задачи ещё раз и уже на него дать ответ.

В процессе работы над задачами удобно пользоваться следующими треугольниками-подсказками

S

V t

A

N t

m_ч.в

m_cп %

Приведу примеры решения задач.

Задача 1. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно в A со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из B в A. Ответ дайте в км/ч.

Решение: Прочитав задачу, делаю вывод, что эта задача на движение.

Готовлю таблицу:

V(скорость)

t (время)

S(расстояние)

Читаю вопрос: Найдите скорость велосипедиста на пути из B в A. Тогда

V(скорость)

t (время)

S(расстояние)

х км/ч

Читаю первое предложение: Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 70 км, значит

V(скорость)

t (время)

S(расстояние)

70 км

х км/ч

Читаю второе предложение: На следующий день он отправился обратно в A со скоростью на 3 км/ч больше прежней, т.е. из скорость больше на 3км/ч, значит из она меньше, тогда

V(скорость)

t (время)

S(расстояние)

(х-3) км/ч

70 км

х км/ч

70 км

Выражаю время на каждом участке

V(скорость)

t (время)

S(расстояние)

(х-3) км/ч

70 км

х км/ч

70 км

Прочитав последние предложения задачи: По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Из этого делаю вывод, что t_A-B=t_B-A+3, из этого вспомогательного уравнения составляю уравнение задачи: решая его получаю, что х=10

Ответ:10км/ч

Задача2. Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение: Прочитав задачу, делаю вывод, что эта задача на движение.

Готовлю таблицу:

V(скорость)

t (время)

S(расстояние)

Против теч.

По теч.

Читаю вопрос задачи: Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч., тогда х-скорость течения реки, V_пр=11-х, а

V_{по т}=11+х, значит

V(скорость)

t (время)

S(расстояние)

Против теч.

(11-х)км/ч

По теч.

(11+х)км/ч

Читаю часть первого предложения: Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления, тогда

V(скорость)

t (время)

S(расстояние)

Против теч.

(11-х)км/ч

112 км

По теч.

(11+х)км/ч

112 км

Выразим время, которое шла лодка против течения и по течению реки

V(скорость)

t (время)

S(расстояние)

Против теч.

(11-х)км/ч

112 км

По теч.

(11+х)км/ч

112 км

В первом предложении задачи сказано: затратив на обратный путь на 6 часов меньше, то вспомогательное неравенство имеет вид t_{по т}t_пр=6 ч, тогда

t_прt_{по т}=6 , значит уравнение задачи, решая его найду х= 3

Ответ: 3км/ч

Задача 3. Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

Решение: Прочитав задачу, делаю вывод, что эта задача на работу.

Готовлю таблицу

N(производительность)

t(время)

A(объем работы)

1тр

2тр

1+2 тр

Читаю вопрос задачи: За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба? Тогда

N(производительность)

t(время)

A(объем работы)

1тр

2тр

х мин

1+2 тр

Читаю первое предложение: Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Значит

N(производительность)

t(время)

A(объем работы)

1тр

(х+6) мин

2тр

х мин

1+2 тр

Читаю второе предложение: Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты. Тогда

N(производительность)

t(время)

A(объем работы)

1тр

(х+6) мин

2тр

х мин

1+2 тр

4 мин

Так как размер резервуара не указан, примем А=1, тогда

N(производительность)

t(время)

A(объем работы)

1тр

(х+6) мин

1

2тр

х мин

1

1+2 тр

4 мин

1

Выразим производительность

N(производительность)

t(время)

A(объем работы)

1тр

(х+6) мин

1

2тр

х мин

1

1+2 тр

4 мин

1

Вспомогательное уравнение: N₁+N₂=N₁₊₂, тогда уравнение примет вид: , решая это уравнение найду х=6

Ответ: 6 мин.

Задача 4 Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй - 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Решение: Прочитав задачу, делаю вывод, что задача на сплавы.

Готовлю таблицу

m_сп (масса сплава)

% (процент выраж. дес.др)

m_ч.в (масса чистого вещества)

1сп

2сп

3сп

Читаю вопрос: На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго? Делаю вывод, что первый сплав имеет меньшую массу, чем второй, тогда

m_сп (масса сплава)

% (процент выраж. дес.др)

m_ч.в (масса чистого вещества)

1сп

х кг

2сп

3сп

Читаю первые предложения: Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй - 30% никеля. Тогда

m_сп (масса сплава)

% (процент выраж. дес.др)

m_ч.в (масса чистого вещества)

1сп

х кг

0,1

2сп

0,3

3сп

Читаю далее: Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. Из этого предложения делаю вывод, что тогда второй сплав имеет массу (200-х)кг

m_сп (масса сплава)

% (процент выраж. дес.др)

m_ч.в (масса чистого вещества)

1сп

х кг

0,1

2сп

(200-х)кг

0,3

3сп

200 кг

0,25

Выражаю массу чистого вещества для каждого сплава

m_сп (масса сплава)

% (процент выраж. дес.др)

m_ч.в (масса чистого вещества)

1сп

х кг

0,1

0,1х кг

2сп

(200-х)кг

0,3

0,3(200-х) кг

3сп

200 кг

0,25

0,25 =50 кг

Составлю вспомогательное уравнение: m_ч.в1+ m_ч.в2= m_ч.в3, тогда уравнение примет вид: 0,1х+0,3(200-х)=50, решая это уравнение получаем х=50, т.е. 1сп имеет массу 50кг, а 2сп. 150кг, тогда 1сп меньше 2сп на 100кг.

Ответ: 100 кг

Задача 5 Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Решение: Задача на проценты

Готовлю таблицу

папа

мама

дочь

Изображу доход отца: Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%.

папа

мама

дочь

было

стало

67% 67%, т.е. первоначальный доход отца 67%

Изображу доход дочери: Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%.

папа

мама

дочь

было

стало

67% 67%, т.е. первоначальный доход отца 67%

4%

2% 2% 2%

было

стало

т.е. первоначальный доход дочери 6%

Вычисляем доход мамы:

папа

мама

дочь

было

стало

67% 67%, т.е. первоначальный доход отца 67%

100% - (67%+6%)=

=27%

4%

2% 2% 2%

было

стало

т.е. первоначальный доход дочери 6%

Ответ: 27%

10