Ұлттық бірыңғай тестілеу тапсырмаларында «Тізбектер» тақырыбына берілген есептер

Ұлттық бірыңғай тестілеу тапсырмаларында «Тізбектер» тақырыбына берілген есептер   1) Арифметикалық прогрессияның төртінші, сегізінші, он екінші және он алтыншы мүшелерінің қосындысы 224-ке тең болса, онда оның алғашқы он тоғыз мүшесінің қосындысы неге тең болдады? Шешуі. -арифметикалық прогрессия  болсын. Шарт бойынша . ,            Жауабы: 1064                                                                                                    2) Арифметикалық прогрессияның бірінші, үшінші және бесінші мүшелерінің қосындысы – 12- ге, ал олардың көбейтіндісі 80-ге тең. Прогрессияның осы мүшелерін тап. Шешуі. Алдымен бірінші өрнекті түрлендіреміз:              (1) Енді екінші өрнекпен жұмыс і стейміз:   осы өрнекке  (1) теңдіктің мәнін қоямыз:       немесе   болғанда            болғанда                                                                                 Жауабы:   немесе    3) Арифметикалық прогрессияның бірінші, екінші және үшінші мүшелерінің қосындысы  2- ге, ал олардың квадраттарының қосындысы -ке тең. Прогрессияның алғашқы түш мүшесін тап. Шешуі. -арифметикалық прогрессияның алғашқы үш мүшесін деп белгілейік. Бірінші шарт бойынша                                                    (1) Арифметикалық прогрессияның қасиеті бойынша           (2) (2) теңдіктегі у-тің мәнін (1) теңдікке апарып қояйық:                      (3) (2) теңдіктің екі жағын квадраттап, есептің екінші шартына қоямыз:          . Осы теңдіккет   (3)-тің мәнін қойып, z айнымалысына тәуелді бір айнымалысы бар квадрат теңдеу аламыз:          немесе . ,      немесе   ,                                                                                 Жауабы:   немесе                                4) Егер 3 саны мен белгісіз санның арасына тағы бір сан қойылса бұл үш сан арифметикалық прогрессия құрайтын болды.Егер ортаңғы санды 6-ға кемітетін болсақ, онда геометриялық прогрессия шығады. Белгісіз санды тап. Шешуі.  - арифметикалық прогрессия болсын, онда  - геометриялық прогрессия болады. Арифметикалық прогрессияның қасиеті бойынша оның кез келген мүшесі өзімен көршілес екі мүшенің арифметикалық ортасына тең:  , осы теңдіктен  у-ті  х  арқылы өрнектеуге болады                (1)   Ал геометриялық прогрессияның әр мүшесі өзімен көршілес екі мүшенің геометриялық ортасына тең:      , бұл теңдікке (1) бойынша у-тің мәнін қойып, ықшамдайтын болсақ х-ке қатысты квадраттық теңдеу шығады: ,   х = 3  немесе   х = 15  болсын,   онда    . Бұл жағдайда   3; 15; 27   тізбегі айырмасы 12-ге тең арифметикалық прогрессия құрайды да,   ал    3; 9; 27  тізбегі еселігі  3-ке тең геометриялық прогрессия құрайтын болады.  болсын, . Онда  3; 3; 3 – тұрақты тізбек.                                                                                                                        Жауабы: 27   5) х-тің қандай мәнінде мына сандар       және  арифметикалық прогрессия құрайды? Шешуі.  Арифметикалық прогрессияның қасиеті бойынша оның кез келген мүшесі өзімен көршілес екі мүшенің арифметикалық ортасына тең:                                                                                                                                                       Жауабы:2,5   6)   - өрнегінің мәнін тап. Шешуі.                                                                                                                            Жауабы:   7) -арифметикалық прогрессияның бірінші, екінші, бесінші мүшелері геометриялық прогрессия құрайды. Егер    болса, геометриялық прогрессияның бесінші мүшесін тап. Шешуі. Шарт бойынша       .  Сонымен қатар, екендігін ескерсек  болады.      - геометриялық прогрессия құрайды. Прогрессия мүшелерін      мүшелерімен ауыстыруға болады.  ,              - еселігі  3-ке, ал бірінші мүшесі -ге тең геометриялық прогрессия шығады.           Ендеше,                                                                Жауабы:   8)  сандары айырымы 4-ке тең арифметикалық прогрессия құрайды. Егер  сандары геометриялық прогрессияның тізбектес мүшелері болса,  сандарын тап. Шешуі. Есеп шарты бойынша  сандары айырымы 4-ке тең арифметикалық прогрессия құрайтын болғандықтан  тізбегі арифметикалық прогрессия болады да, екінші шарт бойынша  тізбегі геометриялық прогрессия болады. Геометриялық прогрессияның қасиеті бойынша оның әрбір мүшесі өзімен көршілес мүшелерінің геометриялық ортасына тең болғандықтан теңдігн құруға болады.  Бұл теңдіктен . Ендеше,                                                                                                                       Жауабы:  2; 6; 10   9) Егер өспелі геометриялық прогрессияны құрайтын үш санның ортаңғысын екі есе арттырса, онда арифметикалық прогрессия шығады. Геометриялық прогрессияның еселігін тап. Шешуі.  - геометриялық прогрессия,  - арифметикалық прогрессия. Арифметикалық прогрессияның қасиеті бойынша оның кез келген мүшесі өзімен көршілес екі мүшенің арифметикалық ортасына тең:                              Есеп шарты бойынша геометриялық прогрессия өспелі болғандықтан                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          Жауабы:   10) Геометриялық прогрессияның алғашқы он сегіз мүшесінің қосындысының алғашқы тоғыз мүшесінің қосындысына қатынасы 7-ге тең.     қатынасының мәнін тап. . Шарт бойынша  болғандықтан  ,                                                                                                                                                     Жауабы: 6