Метод минимаксов при решении уравнений и неравенств

МЕТОД МИНИМАКСОВ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

Аннотация

Исследуя различные способы решения трансцендентных уравнений и неравенств, автор избирает наиболее универсальный метод, по её мнению, - метод минимаксов, классифицируя задания по их общим подходам к решению: использование экстремальных свойств функций, применение неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим, неравенства Коши-Буняковского; а также выделяет ряд олимпиадных задач, к решению которых можно применить указанный метод. Работа может быть использована в качестве факультативного курса по математике.

Содержание:

1. Введение

2. Основная часть

   1. Экстремальные свойства рассматриваемых функций

   2. Следствие из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим

   3. Неравенство Коши-Буняковского

   4. Олимпиадные задачи

3. Заключение

4. Список литературы

Цель:

Расширение и углубление теоретического материала, изученного на уроках математики, а также развитие умений применять полученные знания к решению нестандартных задач, формированию определенной культуры работы над задачей.

Задачи:

1. Исследовать значимость «метода минимаксов» в решении уравнений и неравенств в школьном курсе математики для довузовской подготовки.

2. Проанализировать различные подходы к решению уравнений и неравенств «методом минимаксов».

3. Подготовиться к Единому Государственному Экзамену.

4. Пропагандировать возможность изучения данной темы в школьном курсе математики.

Тема моей работы «Метод минимаксов при решении уравнений и неравенств». Данный метод - возможность широко и осмысленно применять полученные на уроках алгебры знания. Меня привлекла активная работа мысли, направленная на поиск не просто правильного, а красивого решения, т.е. лаконичного, не стереотипного. А также участие в этом процессе творческого воображения и необходимость преодолевать трудности.

Знакомясь с «методом минимаксов», я прорешала много примеров и выделила 3 группы, классифицируя их по общим подходам к решению.

В задачах первого блока используются экстремальные свойства рассматриваемых функций. Во втором блоке - следствие из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим. Совершенно удивительным для меня было применение векторного неравенства Коши - Буняковского. С помощью «метода минимаксов» можно решить и некоторые задачи, которые встречаются на олимпиадах.

Все уравнения трансцендентные, т.е. содержат показательные, тригонометрические и обратные тригонометрические функции от неизвестного. Они требуют нестандартного решения.

Экстремальные свойства рассматриваемых функций

В практике ЕГЭ по математике часто встречаются уравнения, решение которых основывается на ограниченности показательных, тригонометрическим функций, обратных тригонометрических и других функций. Если при решении уравнения f(x)=g(x) удается показать, что для всех x из некоторого множества M справедливы неравенства f(x)≤A и g(x) ≥A, то на множестве M уравнение равносильно системе уравнений:

1. Решить:

Решение:

ОДЗ

Проверим,

5=5 - верное равенство, значит

Т.к. - выпукла вниз, а - выпукла вверх, то их графики располагаются по разные стороны от общей касательной. Значит, уравнение имеет 1 корень.

Ответ: .

2. Решить:

Решение:

ОДЗ

x

7,5

7

Ответ: решений нет.

3. Решить:

Решение:

- проверка показывает, что это корень уравнения

Ответ:

4. Решить:

Решение:

- проверка показывает, что оба корня удовлетворяют условию

Ответ: .

5. Решить:

Решение:

Функция возрастает, а функция убывает, по свойству монотонности функции уравнение имеет не более одного корня. Методом подбора находим, что - корень уравнения.

Ответ:

6. Решить:

Решение:

Сумма двух неотрицательных чисел равна 0, если каждое из этих чисел равно 0.

Ответ: .

Упражнения:

Следствия из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим

Классическими средними значениями, составленными из двух положительных чисел, принято считать: среднее арифметическое и среднее геометрическое. Существует неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом:

Следствием этого неравенства является:

1. Доказать:

Решение:

Из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим имеем, что . Однако, левая часть не может быть больше 2, следовательно

Второе равенство выполняется лишь при условии, что, подставляя в левую часть (1), получим. Таким образом, исходное уравнение не имеет решения.

Ответ: решений нет.

2. Найти наименьшее возможное значение многочлена:

Решение:

По неравенству имеем:

Значит, .

Из этого следует, что при .

3. Доказать: , если

Доказательство:

Пусть - среднее арифметическое, а - среднее геометрическое.

Тогда , т.е.

Используя еще раз неравенство ., получаем

что требовалось доказать.

Упражнения:

1. Доказать неравенство:

2. Доказать, что для любых положительных чисел и справедливо неравенство:

3. Доказать неравенство, что если - положительные числа, то

, причем знак равенства имеет место, только когда

.

Неравенство Коши - Буняковского и его следствия

Эти неравенства нашли широкое применение даже в векторной алгебре. Векторы могут быть успешно применены не только в геометрии, но и при изучении некоторых вопросов школьного курса алгебры, например, при решении некоторых систем уравнений. При этом решения существенно упрощаются по сравнению с решениями, выполненными традиционными методами. Используется векторное неравенство Коши - Буняковского:

и его следствия: - (1)

- (2)

Заметим, что знак «=» достигается в неравенстве (1), если векторы и коллинеарны; в неравенстве (2), если векторы и сонаправленные.

1. Решить:

Решение:

Воспользуемся неравенством Коши - Буняковского. Имеем

Значит, векторы и коллинеарны, т.е. их координаты пропорциональные числа.

По следствию из теоремы Безу целые корни уравнения есть целые делители свободного члена, т.е. _{Проверка показывает, что x=1 - корень уравнения, тогда}

или

Ответ:

2. Решить:

Решение:

Может показаться, что система имеет бесконечное множество решений, но это неверно. Данная система имеет единственное решение

Рассмотрим векторы:

и

Тогда - (1)

Т.к. и , то - (2)

Учитывая (1) и (2), имеем , , а с учётом того, что (по условию), получаем, что .

Ответ:

Олимпиадные задачи

Довольно часто «метод минимаксов» можно использовать при решении олимпиадных задач. Внешняя простота олимпиадных задач обманчива. Они затрагивают глубокие проблемы из самых разных областей математики. Для решения этих задач необходимо нестандартно мыслить.

1. - положительные числа, произведение которых равно 1. Доказать, что

.

Доказательство:

Используя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим, получаем:

, т.е.

, т.е.

,

,

.

. Аналогично,

.

Что требовалось доказать.

2. Доказать, что для .

Доказательство:

Т.к. .

.

Рассмотрим векторы , . Согласно неравенству Коши-Буняковского .

Т.к. ,

,

Что требовалось доказать.

3. Решить:

Решение:

Т.к. - функция ограниченная,

, то

- (1)

_{Т.к. при любом , то}

, но , тогда т.к. - возрастающая функция с основанием .

x

11

-5

-7

_Ответ:

4. Найти наибольшее значение , при котором уравнение с целыми коэффициентами имеет 3 различных корня, один из которых равен -2.

Решение:

Т.к. коэффициенты целые,

Т.к. - корень уравнение, - нацело (т.е. в остатке будет 0) - по т. Безу.

- остаток

, т.к. многочлен делится на нацело.

Тогда имеет 2 различных корня, а это возможно, если .

Т.к. ,

Ответ: .

5. Найти значения , при которых уравнение не имеет корней.

Решение:

-

Уравнение не имеет корней, если число не принадлежит множеству значений функции . Найдем множество значений функции или

Т.к. , то

При , а при ,

Т.к. - функция непрерывная, то и - тоже непрерывная функция, значит, , тогда , а .

Ответ: при уравнение не имеет корней.

Упражнения:

1. Найти все p, при которых уравнение имеет хотя бы один корень.

2. Найти все p, при которых уравнение имеет хотя бы один корень.

3. Найти все p, при которых уравнение не имеет корней.

4. Доказать, что для любых справедливо неравенство

.

Заключение

Работая над темой «Метод минимаксов при решении уравнений и неравенств», я изучила различные подходы к решению уравнений и неравенств, произвела классификацию встретившихся задач, разделив их на 4 группы. Выяснила, что решение уравнений и неравенств с применением «метода минимаксов» очень актуально, так как аналогичные задания часто встречаются в Едином Национальном тестировании по математике (часть С), в олимпиадах по математике.

Данную работы можно использовать в качестве элективного курса по математике, так как в ней разобраны основные направления «метода минимаксов».

0

Литература

1. Сборник задач по математики (в помощь поступающим в вузы), В.Н.Матвеев и Н.М.Матвеев, 1965

2. Материалы ЕГЭ по математики, 2002-2009 гг

3. Полный сборник задач для поступающих в вузы, М.И.Сканави, 1999

4. Сборник олимпиадных задач по математики, Н.В.Горбачев, 2006

5. ru.wikipedia.org/wiki/КБШ

6. ega-math.narod.ru/Bellman.htm

7. works.tarefer.ru/50/100059/index.html

8. bestreferat.ru/referat-89351.html

ЗАТО Александровск

г. Снежногорск

2011