Теорема о трёх перпендикулярах

Тема урока: Теорема о трёх перпендикулярах.

Цели урока:

Образовательная: изучить и доказать теорему о трех перпендикулярах; Развивающая: развивать пространственное воображение, познавательный интерес, умения обобщать, абстрагировать и конкретизировать свойства изучаемых объектов и отношений, учить делать выводы;

Воспитательная: воспитывать ответственное отношение к учебному труду, эстетический вкус.

Тип урока: урок усвоения новых знаний

Методы обучения: репродуктивный и эвристический.

Оборудование: компьютер, мультимедиа проектор, презентация, набор чертежных инструментов.

Литература:

1. А. С. Атанасян. Геометрия для 10-11 кл./ А. С. Атанасян. - М.: Просвещение, 2010. - 384 с.

2. Н. Ф. Гаврилова. Поурочные разработки по геометрии к учебному комплекту Л.С. Атанасяна и др. для 10 кл. 2010. - 304 с.

3. Ю. М. Колягин. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики. Учеб. Пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов/ Ю. М. Колягин. - М.: Просвещение, 1977. - 480 с.

4. Саранцев Г.И. «Методика обучения математики в средней школе.: учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-в» М.: Просвещение, 2005. - 224 с

План урока

1. Организационный момент (2 мин.).

2. Актуализация знаний (5 мин.).

3. Изучение нового материала (15 мин.).

4. Закрепление изученного материала (20 мин.).

5. Подведение итогов урока и домашнее задание (3 мин.).

Ход урока:

1. Организационный момент (2мин)

Включает в себя приветствие учителем класса, проверку отсутствующих.

(Слайд 1)

Учитель: Сегодня на уроке мы и попытаемся разгадать одну из загадок, о которых говорится в этом отрывке из стихотворения Пифагора. И для этого нам пригодятся те знания, которые вы получили на предыдущих уроках, а именно, о перпендикулярных прямых в пространстве и перпендикулярности прямой и плоскости.

2. Актуализация знаний (5 мин)

Теоретический опрос (фронтальная работа с классом).

Учитель: Угол между прямыми равен 90⁰. Как называются эти прямые? Как они могут располагаться в пространстве?

(Слайд 2)

Ученик: Перпендикулярные. Пересекаться, скрещиваться.

Учитель: Верно ли утверждение: «Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости?»

(Слайд 3)

Ученик: Да

Учитель: Продолжите предложение: «Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то…»

(Слайд 4)

Ученик: то она перпендикулярна к этой плоскости.

Учитель: Что можно сказать о двух (3 - х, 4 - х) прямых, перпендикулярных к одной плоскости?

(Слайд 5)

Ученик: Они параллельны.

Учитель: Две прямые перпендикулярные третьей прямой, …

(Слайд 6)

Ученик: параллельны.

Учитель: Как определяется расстояние от точки до прямой? (вспомнить как называются отрезки АН, АМ, т. Н ). Почему отрезок АН < АМ?

(Слайд 7)

Ученик: АН-перпендикуляр, проведенный к плоскости основания, АМ- наклонная, проведенная из точки А к плоскости основания, точка Н- основание перпендикуляра. АН катет, АМ гипотенуза в прямоугольном треугольнике АМН.

Учитель: А как же определить расстояние от точки до плоскости? (Дать определение отрезка МН, т. М)

Ученик: Это длина перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости основания, т.е. длина АН. МН- проекция наклонной на плоскость, точка М- основание наклонной.

Учитель: В пространстве нужно уметь находить расстояние не только от точки до плоскости, но и между параллельными плоскостями, прямой и параллельной ей плоскостью, скрещивающимися прямыми. Посмотрим, как же это сделать.

(Запись на доске и в тетрадях учащихся) (Слайд 8)

Учитель: Решите задачу.

(Слайд 9)

Учитель: Посчитаем, сколько и какие перпендикуляры участвуют в этой задаче?

Ученик: 3 - НС, МС, РК.

Учитель: Причём все перпендикуляры пересекаются в одной точке и два из них лежат в одной плоскости, а третий ей не принадлежит. Оказывается, что это не случайно и эта закономерность не что иное как теорема, о которой мы с вами будем говорить на уроке и которую мы практически доказали не зная её формулировки. Записываем тему урока.

(Слайд 10)

(Запись на доске и в тетрадях) Теорема о трех перпендикулярах.

3. Изучение нового материала (15 мин)

(Запись на доске и в тетрадях)

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Доказательство.

Учитель: Постройте рисунок, приведенный на доске

(Слайд 11)

Обратимся к данному чертежу. Докажем, что АМ. Для этого рассмотрим плоскость АМН.

(Запись на доске ): Рассмотрим плоскость АМН.

Учитель: Что можно сказать о прямой а?

Ученик: Прямая а перпендикулярна к этой плоскости, т.к. она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым АН и МН, лежащим в плоскости АМН, ( по условию и ,т.к. АН).

(Запись на доске )

а,т.к. аАН и а, АН и МНАМН, АН и МН-скрещивающиеся.

Учитель: А отсюда следует, что прямая а перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости АМН, в частности АМ. Теорема доказана.

(Запись на доске)

Следовательно, АМ.

(Запись на доске и в тетрадях)

Рассмотрим плоскость АМН.

а,т.к. аАН и а, АН и МНАМН, АН и МН-скрещивающиеся.

Следовательно, АМ.

Учитель: Справедлива обратная теорема? (Слайд 12)

Ученик: Да, справедлива.

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной, перпендикулярна и к ее проекции.

Учитель: Эту теорему докажите самостоятельно, по аналогии дома.

4. Закрепление изученного материала (20 мин)

Задача 1. Через центр вписанной в треугольник окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Доказать, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон треугольника. (Слайд 13)

Учитель: Зарисуйте чертеж, изображенный на слайде.

(Запись на доске и в тетрадях учащихся):

Дано: в треугольник вписана окружность, А,В,С- точки касания сторон треугольника с окружностью, О- центр окружности, S- точка на перпендикуляре

Решение.

Ученик:

1)А,В,С- точки касания сторон треугольника с окружностью, О- центр окружности, S- точка на перпендикуляре.

2) Так как радиус ОА перпендикулярен стороне треугольника, то по теореме о трех перпендикулярах: SА- перпендикуляр к этой стороне.

3)По теореме Пифагора:

где r-радиус вписанной окружности

4)

5)

Т.е. расстояния от S до сторон треугольника равны .

(Слайд 14)

Задача 2. Прямая а перпендикулярна плоскости АВС. MD = 13. АС = 15, ВС = 20. АСВС, МDАВ. Найти MC.

Учитель: Зарисуйте чертеж, изображенный на слайде.

(Запись на доске и в тетрадях учащихся):

(Слайд 14)

Ученик: Рассмотрим треугольник АВС. Угол С- прямой, АВ - гипотенуза, тогда по теореме Пифагора = , АВ= 25.

(Запись на доске )

1)по теореме Пифагора = , АВ= 25.

Ученик: По теореме о трех перпендикулярах CD перпендикулярно AB.

(Запись на доске ):

2)по теореме о трех перпендикулярах CDАВ. Следовательно,

AB:AC = AC:AD. Отсюда AD = 9.

Ученик: Из треугольника ADC найдем катет DC.

(Запись на доске ):

3), DC=12.

Ученик: Из треугольника MDC по теореме Пифагора найдем МС.

(Запись на доске)

4), MC=5.

(запись на доске и в тетрадях)

1)по теореме Пифагора = , АВ= 25.

2)по теореме о трех перпендикулярах CDАВ. Следовательно,

AB:AC = AC:AD. Отсюда AD = 9.

3), DC=12.

4), MC=5.

4. Подведение итогов урока и домашнее задание (3 мин)

Учитель: Итак, что нового мы узнали на уроке?

Ученик: Сегодня на уроке мы изучили и доказали теорему о трех перпендикулярах, научились решать задачи на применение данной теоремы, сформулировали обратную теорему.

Учитель: Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах.

Ученик: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Учитель: Сформулируйте обратную теорему.

Ученик: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к её проекции.

Учитель: Запишите домашнее задание: п. 19,20 № 145.

Решение домашнего задания №145.

Дано:

Док-ть: CBD - прямоугольный.

Найти: BD.

Док-во: Если то , т. е. прямая СВ перпендикулярна к проекции АС прямой DC, следовательно, по теореме о трех перпендикулярах ВС перпендикулярна самой наклонной DC, т. е. , т. е. - прямоугольный.

Решение: ВD - гипотенуза

Ответ:

13