Общеобразовательная школа

І-ІІІ ступеней № 2 города Кировское

Старинные и сказочные задачи по математике

Авторы проекта - учащиеся 8 - А класса.

Руководитель Чумакова Галина Владимировна,

учитель математики.

2011 г.

Учебно-творческий проект

Проект направлен на развитие математического мышления школьников; умений проектировать свою работу, реализовывать задуманное; знакомство со старинными математическими задачами, древними математиками и их способами решения в рамках эпохи, в которой они жили; умение представить своё видение решения старинных задач в соответствии с данной эпохой развития математики и учебными возможностями учащихся.

Актуальность темы

На сегодняшний день старинные задачи необычны для современного ученика и поэтому позволяют проверить сообразительность и умение решать неординарные задания, мотивируют учащегося на изучение математики.

Цели проекта:

- углубление знаний учащихся по изучению методов и способов решения старинных математических задач;

- формирование интереса и любви к математике;

- создание сборника старинных математических задач.

Задачи проекта:

- найти старинные задачи разных стран и систематизировать их;

- исследовать найденные задачи и найти красивые, нетрадиционные и рациональные способы их решения;

- творчески овладеть историческими методами решения старинных задач.

Авторы проекта

Гуров Дмитрий, Кучера Артем, Мусич Анатолий, Тарасова Татьяна, Онуфриенко Яна, Понкратова Дарья, Иванов Владислав- ученики 8 А класса.

Руководитель проекта

Чумакова Галина Владимировна - учитель математики общеобразовательной школы І-ІІІ ступеней № 2 города Кировское

Сроки проведения проекта

Сентябрь 2010 года - декабрь 2011 года

Предметы, интегрируемые в ходе проекта

Математика, история, литература, русский язык.

Описание проекта

Задачи, разобранные и решенные в этом проекте, были взяты из древних рукописей и старинных учебников. Многие из них можно было решить традиционными способами, но мы рассматривали и другие красивые способы решения, предложенные древними учеными и математиками.

Материал предназначен для подготовки к олимпиадам, математическим конкурсам и викторинам.

Введение

Математика - древнейшая наука. А в древних рукописях и старинных учебниках арифметики разных стран встречается много интересных задач. Решение каждой из таких задач требует немалой смекалки, сообразительности и умения рассуждать.

Особый раздел математики - старинные задачи - и стал объектом нашего исследования. Они часто встречаются в олимпиадах, иногда в обычных учебниках математики и считаются особо сложными.

Историческая справка

Задачи Западной Европы

Три пути ведут к знанию:
Путь размышления - самый благородный,
Путь подражания - самый легкий,
И путь опыта - это путь самый горький …

(Конфуций)

В середине первого тысячелетия в Европе феодализм пришел на смену рабовладельческому строю. Возникают и укрепляются монархии. Христианство превращается в государственную религию. Центрами распространения знаний и просвещения сначала были монастыри, а позднее университеты. Общим языком ученых становится латынь.

В эпоху Возрождения (ХV - XVI вв.) в Европе появляется компас, порох, часы, бумага, книгопечатание. Повысилась роль математики. Если в начале средних веков математики в основном занимались астрологией и преследовались как колдуны и чернокнижники, то теперь они становятся в центре внимания.

"Числа управляют миром", - говорили пифагорейцы. Это, конечно, мистика. Но числа дают возможность человеку управлять миром, и в этом нас убеждает весь ход развития.

Италия

Итальянский математик Леонардо Пизанский (1180 - 1240 гг.) имел прозвище Фибоначчи, т.е. "сын Боначчо" (Боначчо - добродушный), родился в г. Пизе (откуда и название Пизанский). Математическое образование получил в Алжире. Путешествуя по Востоку, ознакомился с арабской математикой, достижения которой отразил в своих трудах и тем самым сделал их достоянием Запада. "Liber abaki" - основное сочинение ученого. В предисловии к своему сочинению он писал: "Отец мой родом из Пизы, служил синдиком в таможне в Бужи, в Африке, куда он меня взял с собою для изучения искусства считать. Удивительное искусство считать при помощи только девяти индусских знаков мне так понравилось, что я непременно хотел познакомиться с тем, что известно об этом искусстве в Египте, Греции, Сирии, Сицилии и Провансе. Объехав все эти страны, я убедился, что индусская система счисления самая совершенная и превосходит алгоритм и метод Пифагора. Изучив основательно эту систему и все к ней относящееся, прибавив свои собственные исследования и почерпнутое из "Начал" Евклида, я решил написать это сочинение". "Liber abaki" представляет собой трактат по арифметике и алгебре, в котором дан свод арифметических и алгебраических знаний того времени, и состоит из 15 глав. Решая задачу о капиталах нескольких лиц, предложенную придворным философом, Леонардо Пизанский впервые в Европе высказал идею отрицательного числа в виде долга. Величайшая заслуга Леонардо Пизанского перед наукой заключается в том, что он первый познакомил европейских ученых с алгеброй и индийской системой счисления.

Германия

Великий художник и ученый эпохи Реформации в Германии Альбрехт Дюрер (1471 - 1528 гг.) специально для художников написал трактаты: "Наставление об измерении с помощью циркуля и линейки" и "О человеческой пропорции". Дюрер много занимался геометрическими построениями, заложил основы ортогонального проектирования, дал правила перспективных построений, составлял магические квадраты. К глубокой древности относится возникновение магических квадратов, т.е. квадратных таблиц натуральных чисел (п : п), имеющих одну и ту же сумму чисел по всем строкам, столбцам, диагоналям. Наиболее ранние сведения о магических квадратах содержатся, по-видимому, в древних китайских книгах IV - V веков до н.э. Самым "старым" из дошедших до нас древних магических квадратов является таблица Ло-шу (2200 г. до н.э.). Название "магические" (волшебные, таинственные) квадраты получили от арабов. Люди верили, что магические квадраты обладают чудесными свойствами, и использовали их как талисманы.

Франция

Французский математик Жак Озанам (1640 - 1717 гг.) - автор занимательной книги "Математические и физические развлечения", которая выдержала много изданий, начиная с 1696 года.

Задачи Древней Руси.

Слава нашей стороне!
Слава нашей старине!
Колесо истории мы повернем
И рассказывать начнем,
Чтобы все вы знать могли
О делах родной земли.

Славяне

Предки русского народа - славяне - с незапамятных времен жили на землях Средней и Восточной Европы. Первые письменные упоминания о славянах встречаются в книгах древних римлян, написанных в самом начале нашей эры. Арабские книги говорят о том, что в середине первого тысячелетия славяне вели большую торговлю с греками, арабами и другими народами и храбро воевали с иноземцами, которые пытались их покорить. В Х веке нашей эры у славян появилась письменность. С этого времени начинается "писаная" история Древней Руси. Первые сведения о развитии математики на Руси относятся к IX-XII вв. (древнерусская нумерация, метрология, первые системы дробей и др.). В Древней Руси времен Ярослава Мудрого (978-1054) уже существовали общеобразовательные школы древнерусского права "Русская правда" и в памятниках духовного содержания: "Книга святых тайн Еноха", "Шестоднев", "Толковая палея" и др. Феодальная раздробленность и иноземное нашествие сыграли роковую роль в исторической судьбе, и надолго задержали культурное и научное развитие Киевской и Новгородской Руси. Поэтому вновь математика начинает развиваться на Руси только в XVI в. после освобождения от татарского ига. В первых рукописях создается самобытная русская математическая терминология. Сохранилась рукопись XVI в. "Книга сошному письму", содержащая "статью", посвященную вычислению налога с земельной площади в "сохах". Для расчетов "сошного письма" применялись русские счеты. Арифметические рукописи XVI в. переписывались и в XVII в. и имели традиционное название "Книга рекома по-гречески арифметика, а по-немецки - алгоризма, а по-русски цифирная счетная мудрость".

Славянские цифровые знаки

У славян, как и у всех других народов, первым учителем математики была сама жизнь, практика. По-видимому, все народы вначале обозначали числа зарубками на палочках, которые у русских назывались бирками. Такой способ записей долговых обязательств или налогов применялся малограмотными людьми разных стран. Легко понять происхождение названий чисел: одиннадцать = один-на-десять, двенадцать = два-на-десять и так далее, двадцать = двадесять, тридцать = тридесять и так далее. Способ записи цифр буквами со специальными значками-"титлами" - они тоже взяли от греков. В хозяйственной жизни далекого прошлого люди обходились сравнительно небольшими числами - так называемым малым счетом наших предков. Он доходил до числа 10000, которое в самых старых памятниках называется "тьма", то есть темное число, которое нельзя ясно представить. В дальнейшем граница малого счета была отодвинута до 10⁸, до числа "тьма тем". Старинная рукопись по этому случаю заявляет, что "больше сего числа несть человеческому разуму разумети".

"Учение им же ведати человеку числа всех лет"

Еще в раннюю эпоху Русского государства находились среди народа "числолюбцы", которые интересовались математикой не только потому, что она нужна в практической жизни. Их влекло и чисто исследовательское любопытство. В 1134 году новгородский монах Кирик написал сочинение "…о том, как узнать человеку числа всех лет". Это самый древний дошедший до нас письменный памятник славянской математики. В своей рукописи Кирик подробно вычисляет, сколько лет, месяцев, недель и дней прошло от сотворения мира до года, в котором он, Кирик, писал свой труд. Главная священная книга христиан - Библия - дала церковным историкам основания утверждать, что мир был сотворен Богом ровно за 5508 лет до начала нашего летосчисления. Кирик, по-видимому, где-то ошибся: число месяцев у него получилось больше, чем должно быть, но это, конечно, никому не повредило. Ведь вычисления Кирика никому, кроме него самого, не были нужны; они не могли принести никакой практической пользы людям. Видимо, Кирик был "числолюбцем", ему доставлял удовольствие сам процесс вычисления.

О, Русь - великий звездочет!
Как звезд не свергнуть с высоты,
Так век неслышно протечет,
Не тронув этой красоты.
Как будто древний этот вид
Раз навсегда запечатлен
В душе, которая хранит
Всю красоту былых времен…

Сборник задач

1. Основание Карфагена.

Об основании города Карфагена существует древнее предание. Дидона, дочь тирского царя, потеряв мужа, убитого ее братом, бежала в Африку. Там она купила у нумидийского царя столько земли, "сколько занимает воловья шкура". Когда сделка состоялась, Дидона разрезала воловью шкуру на тонкие ремешки и благодаря такой уловке охватила участок земли, достаточный для сооружения крепости. Так будто бы возникла крепость Карфаген, а впоследствии был построен и город.

Попробуйте приблизительно определить, какую площадь могла, согласно этому преданию, занять крепость, если считать, что размер воловьей шкуры 4 кв. м., а ширина ремешков, на которые Дидона ее разрезала, 1 мм.

Ответ: Если площадь воловьей шкуры 4 кв. м. (или 4 млн. кв. мм.), а ширина ремешков 1 мм., то общая длина вырезанного ремня (Дидона, надо думать, вырезала его спирально) - 4 миллиона миллиметров, или 4000 метров, т.е. 4 км. Таким ремнем можно окружить квадратный участок 1 кв. км. и круглый - в 1,3 кв. км.

2. Стая уток.
Летела стая уток. Одна впереди, две позади; одна позади и две впереди; одна между двумя и три в ряд. Сколько летело уток?

Ответ: Летели одна за другой три утки

3. Любители яичницы.
Сколько яиц можно съесть натощак?

Ответ: Только одно. Все следующие уже будут съедены не на пустой желудок.

4. Влезет или нет?

Это старинная головоломка. Вырежьте в листе плотной бумаги круглую дырку и предложите кому-нибудь просунуть в нее монетку, большую по диаметру. Надрывать бумагу или каким-то образом сгибать и ломать, а также распиливать монету - нельзя.

Ответ: Сложите лист бумаги "кульком", дыра должна находиться в самом низу. Затем возьмите бумагу обеими руками и попросите кого-нибудь бросить монетку в "кулек" - пусть она упадет прямо на дно и выглянет нижним концом из дырки. После этого слегка приподнимите углы "кулька" - этого окажется достаточно, чтобы отверстие увеличилось и монетка через секунду-другую вывалилась в дырку. При этом бумага осталась неповрежденной.

5. Безопасная переправа.

Крестьянину нужно перевезти через реку волка, козу и капусту. Лодка небольшая: в ней может поместиться крестьянин, а с ним или только коза, или только волк, или только капуста. Но если оставить волка с козой, то волк съест козу, а если оставить козу с капустой, то коза съест капусту. Как перевез свой груз крестьянин?

Ответ: Ясно, что начинать приходится с козы. Кресьянин, перевезя козу, возвращается и берет волка, которого перевозит на другой берег, где его и оставляет, но зато берет и везет обратно на первый берег козу. Здесь он оставляет ее и перевозит к волку капусту. Вслед за тем, возвратившись, он перевозит козу, и переправа оканчивается благополучно.

6. Два отца и два сына.

Говорят, что два отца и два сына нашли на дороге, ведущей в Бомбей, три рупии (серебряные монеты) и быстро поделили их между собой, причем каждому досталось по монете. Как им удалось справиться с задачей?

Ответ: Путники смогли разделить находку поровну, потому что их было трое: дед, отец и сын (или по-другому - два отца и два сына).

7.Семья маляров.

У трех маляров был брат Иван, а у Ивана братьев не было. Как это могло случиться?

Ответ: Маляры были сестрами.

8. Головоломка в стихах.

Это русская народная потешка, а в ней интересная загадка.

Прилетели галки,
Сели на палки.
Если на каждой палке
Сядет по одной галке,
То для одной галки
Не хватит палки.
Если же на каждой палке
Сядет по две галки,
То одна из палок
Будет без галок.
Сколько было галок?
Сколько было палок?

Ответ: Четыре галки, три палки.

9. Как выбрать нужного парикмахера?

Будучи проездом в маленьком городке, один купец зашел перекусить в ресторанчик, а потом решил постричься. В городке было всего две парикмахерские, и в каждой - только один мастер, он же хозяин. В одной парикмахер был неопрятно побрит и плохо пострижен, а в другой - чисто выбрит и с отличной стрижкой. Купец решил стричься в первой парикмахерской. Как, по-вашему, он сделал правильный выбор?

Ответ: Купец верно рассудил, что что раз в городе всего два парикмахера, то они наверняка стригут друг друга. Значит, идти стричься надо к тому, у кого плохая стрижка.

10. Сколько было яиц?

Это старинная народная задача. Крестьянка пришла на базар продавать яйца. Первая покупательница купила у нее половину всех яиц и еще пол-яйца. Вторая покупательница приобрела половину оставшихся яиц и еще пол-яйца. Третья купила всего одно яйцо. После этого у крестьянки не осталось ничего. Сколько яиц она принесла на базар?

Ответ: Задачу решают с конца. После того как вторая покупательница приобрела половину оставшихся яиц и еще пол-яйца, у крестьянки осталось только одно яйцо. Значит, полтора яйца составляют вторую половину того, что осталось после первой продажи. Ясно, что полный остаток составляет три яйца. Прибавив пол-яйца, получим половину того, что имелось у крестьянки первоначально. Итак, число яиц, принесенных ею на базар, семь.

11. Задача Льва Толстого.
Задачка для второго класса церковноприходской школы придумана Львом Толстым. Сейчас ее правильно могут решить только 30% старшеклассников и только 20% студентов ВУЗов.

Продавец продает шапку. Стоит 10 р. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только 25 р. Продавец отсылает мальчика с этими 25 р. к соседке разменять. Мальчик прибегает и отдает 10+10+5. Продавец отдает шапку и сдачу в 15 руб. Через какое-то время приходит соседка и говорит, что 25 р. фальшивые, требует отдать ей деньги. Ну что делать. Продавец лезет в кассу и возвращает ей деньги. На сколько обманули продавца?

Ответ: Рассуждаем:
доходы продавца: 25р от мальчика
расходы: шапка (10р) + сдача (15р) + соседка(25р)
итого 25-50=-25, т.е. убыток 25р

Можно рассуждать и по другому:
соседка осталась при своих деньгах (25р отдала на размен, потом 25р забрала у торговца), т.е. ее можно не учитывать.
Покупатель ушел с 15р сдачи и шапкой за 10р, т.е. убыток торговца составил как раз 25р (15р сдачи + 10р шапка)

12. Как поделить?
Как разделить 5 яблок между пятью лицами так, чтобы каждый получил по яблоку и одно яблоко осталось в корзине.

Ответ: Один человек берет яблоко вместе с корзиной.

13. Разделить по справедливости.

Трое крестьян: Иван, Петр и Николай - за выполненную работу получили мешок зерна. На беду под рукой не оказалось мерки и пришлось делить зерно на глазок. Старший среди крестьян - Иван - рассыпал зерно на три кучи, как он считал, поровну:
- Первую кучу возьми ты, Петр, вторая достанется Николаю, а третья мне.
- Я не согласен на это, - возразил Николай, - моя куча зерна ведь самая маленькая.
Поспорили крестьяне. Чуть до ссоры не дошло. Пересыпают зерно из одной кучи в другую, из другой в третью и никак к согласию не придут, обязательно кто-нибудь недоволен.
- Будь мы вдвоем, я да Петр, - вскричал в сердцах Иван, я бы мигом разделил. Рассыпал бы зерно на две равные кучи и предложил бы Петру выбрать любую, а оставшуюся взял бы себе. Оба мы были бы довольны. А тут не знаю, как и быть. Задумались крестьяне, как же разделить зерно, чтоб все были довольны, чтоб каждый был уверен, что получил не меньше трети. И придумали. Придумайте и вы.

Ответ: Иван предложил делить зерно так:
- Я рассыпаю зерно на три кучи, на мой взгляд, поровну и отхожу в сторону. Мне подойдет любая из куч. Пусть затем Петр укажет наименьшую, по его мнению, кучу зерна. Если Николай также посчитает, что зерна в этой куче меньше трети, то отдайте ее мне, а остаток зерна делите между собой известным уже способом. Если же Николай решит, что в указанной куче не меньше трети зерна, пусть возьмет ее себе. Петр возьмет наибольшую, по его мнению, кучу, а оставшаяся достанется мне. Крестьяне последовали предложению Ивана, разделили зерно и, довольные, разошлись.

14. Задача Диофанта.
Найдите три числа, которые при попарном сложении дают в сумме двадцать, тридцать и сорок.

Ответ: Числа 5, 15 и 25.

15. Ревнивые мужья.

В старинном русском сборнике занимательных задач есть следующая: "Три ревнивых мужа, пришедши с женами своими к берегу реки, нашли при оном лодку, в которую по ее малости более двух человек вмещаться не могло. Почему спрашивается, как бы через реку переехать сим шести человекам так, чтобы ни одна жена с чужим мужем не переезжала и ни на котором берегу не оставалась"

Ответ: Обозначим пары через Аа, Бб, Вв (маленькими буквами обозначим женщин). Вот схема перевозок, реализующая нужную переправу за 11 рейсов:

рейс

берег левый

в лодке

берег правый

1

Бб Вв

Аа=>

Аа

2

А Бб Вв

<=А

а

3

А Б В

б в=>

а б в

4

Аа Б В

<=а

б в

5

Аа

Б В=>

Бб Вв

6

Аа Бб

<=Бб

Вв

7

а б

А Б=>

А Б Вв

8

а б в

<=в

А Б В

9

а

б в=>

А Бб Вв

10

а б

<=б

А Б Вв

11

а б=>

Аа Бб Вв

Стрелки указывают направление движения лодки.

16. Кролики Фибоначчи.

Эта задача придумана итальянским ученым Фибоначчи, жившим в 13-м веке. Некто приобрел пару кроликов и поместил их в огороженный со всех сторон загон. Сколько кроликов будет через год, если считать, что каждый месяц пара дает в качестве приплода новую пару кроликов, которые со второго месяца жизни также начинают приносить приплод?

Решение: в первый месяц кроликов окажется уже 2 пары: 1 первоначальная пара, давшая приплод, и 1 родившаяся пара. Во второй месяц кроликов будет 3 пары: 1 первоначальная, снова давшая приплод, 1 растущая и 1 родившаяся. В третьем месяце - 5 пар: 2 пары, давшие приплод, 1 растущая и 2 родившиеся. В четвертом месяце - 8 пар: 3 пары, давшие приплод, 2 растущие пары, 3 родившиеся пары. Продолжая рассмотрение по месяцам, можно установить связь между количествами кроликов в текущий месяц и в два предыдущих. Если обозначить количество пар через N, а через m - порядковый номер месяца, то N_m = N_m-1 + N_m-2 . С помощью этого выражения рассчитывают количество кроликов по месяцам года: 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377.

Ответ: 377 пар.

17. Дед и внуки.

Эта задача из книги "Арифметика" Леонтия Магницкого.
Чтобы порадовать внуков, дед купил для них орехи. Но прежде чем разрешить внукам полакомиться, дед попросил внуков поделить орехи на две части, чтобы меньшая часть, увеличенная в четыре раза, была бы равна большей части, уменьшенной в три раза. Что за части?

Ответ: 1 и 12 орехов. Также правильным ответом будет любая пара целых чисел с соотношением 12 к 1.

18. 100 учеников.

Еще одна задача из книги "Арифметика" Леонтия Магницкого.
Отец решил отдать сына в учебу и спросил учителя: "Скажи, сколько учеников у тебя в классе?" Учитель ответил: "Если придет еще учеников столько же, сколько имею, и полстолько, и четвертая часть, и твой сын, тогда будет у меня сто учеников". Сколько же учеников было в классе?

Ответ: 36 учеников.

19. Лошади Тартальи.

Итальянец Тарталья, который первым обнаружил способ нахождения корней кубического уравнения, придумал задачу о семнадцати лошадях.
В завещании умершего отца семейства говорилось, что имевшихся в хозяйстве семнадцать лошадей следовало поделить между тремя наследниками в отношении одна вторая к одной третьей к одной девятой. Как выполнить завещание?

Сам Тарталья предложил следующее решение. Для раздела имеющихся лошадей необходимо заимствовать еще одну, после чего их общее количество станет 18. Раздел этого количества даст 2, 6 и 9 лошадей, которых в сумме окажется 17. Одна лошадь из 18 оказалась как бы "лишней" - это заимствованная лошадь, которую следует вернуть владельцу после раздела имущества.
Проще решить головоломку иначе: пропорцию 1\2 : 1\3 : 1\9 достаточно домножить на 18 и получится тот же результат.

Ответ: 2, 6 и 9 лошадей.

20. Странный дом.

Сооружено сеё жильё всего из одного камня, либо из досок деревянных двух. Есть у дома сего ограда, цветник, подвал. Живёт в сеём жилище всего один человек, стар или млад. Но не выходит человек этот из подвала, ни чтобы цветником полюбоваться, ни чтобы иное дело сделать. Не двигается и не ест и не пьёт человек сей. Вопрос: почему?

Ответ: "Жилец" - покойник. Камень - надгробие, две доски - крест, цветник - высаженные цветы.

21. Сколько вёрст.

Путник, догнав другого, спросил его: «Далеко ли до деревни, которая впереди?» Другой путник ответил: « Расстояние от деревни, из которой ты идёшь, равно трети всего расстояния меду деревнями. А если пройдёшь ещё две версты, будешь ровно посередине между деревнями. Сколько вёрст осталось идти первому путнику?

Ответ: 2 версты, которые нужно пройти до середины, составляют 1/6 всего расстояния до деревни. 2*6=12( вёрст) всё расстояние 12*1/3=4( версты) прошёл путник

12-4=8 (вёрст) осталось

22. Из учебника «Арифметика» Магницского

Четыре плотника хотят построить дом. 1 плотник может построить дом за год, второй - за 2 года, третий - за три года, четвёртый - за 4 года. За сколько лет они построят дом при совместной работе?

Решение: Число 12 -делители 1, 2, 3, 4. 1) 12:1=12( домов) 1 плотник за 12 лет 2) 12:2=6( дом) 2 плотник за 12 лет 3) 12:3=4( дом) 3 плотник за 12 лет 4) 12:4=3( дом) 4 плотник за 12 лет 5) 12+6+4+3=25( домов) вместе за 12 лет 6) 12:25= 12/25( года) 1 дом вместе.

Ответ: примерно 6 месяцев.

23. Задача МЕТРОДОРА.

О жизни Метродора, составителя данной задачи, ничего не известно, даже нет сведений о времени его рождения и смерти. В историю математики он вошёл как автор интересных задач, составленных в стихах. Задачи Метродора входили в рукописные сборники и имели в своё время большое распространение.

ЗАДАЧА: Здесь погребён Диофант, и камень могильный

При счёте искусном расскажет нам,

Сколь долог был его век.

Велением бога он мальчиком был шестую

часть своей жизни;

В двенадцатой части затем прошла его

светлая юность.

Седьмую часть жизни прибавим - перед нами

очаг Гименея.

Пять лет протекли, и прислал Гименей

ему сына.

Но горе ребёнку! Едва половину он прожил

Тех лет, что отец, как скончался несчастный.

Четыре года страдал Диофант от утраты

такой тяжёлой

И умер, прожив для науки. Скажи мне,

Скольких лет достигнув, смерть восприял

Диофант?

Ответ: Условие задачи приводит к уравнению:

Решая которое, получим х=84. Следовательно, Диофант умер в 84 года.

24. Чешская задача.

По преданию, основательница чешского государства принцесса Либуша обещала отдать свою руку тому из трех женихов, кто сумеет решить задачу: "Если бы я дала первому жениху половину слив из этой корзины и еще одну сливу, второму жениху половину оставшихся слив и еще одну сливу, а оставшиеся сливы поделила пополам и половину их и еще три сливы дала бы третьему жениху, то корзина опустела бы". Сколько слив в корзине?

Решение. Пусть первоначально в корзине было х слив. Первый жених получил слив, второй - = + слив, третий - слив. , , , , х = 30.

Ответ: 30 слив.

25. Встреча.

Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь утка и гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся?

Решение: утка 7 дн. 9раз 63 дня

гусь 9 дн. 7раз 63 дня

1)7+9=16 раз

2) 63:16= 3 15/16 ( дней)

1) 1:7=1/7пути утка 1 д.

2) 1:9=1/9пути гусь 1 д.

3) 1/7+1/9=16/63 вместе

4) 1:16/63=3 15/16 дней

Ответ: через 3 15/16 дней

26.Выигрыш.

Трое выиграли некоторую сумму денег. На долю первого пришлось ¼ этой суммы, на долю второго -1/7, а долю третьего - 17 флоринов. Как велик весь выигрыш?

Решение: примем выигрыш за 1.

1) ¼+1/7=11/28(ч.) выиграли двое

2)1-11/28=17/28(ч.) выиграл третий

3)17/28=11/28

17 флористов есть 11/28 4)17:17*28=28(флор.)

Ответ: 28 флоринов весь выигрыш.

27. Задача Леонардо Пизанского.

Некто купил 30 птиц за 30 монет. Куропатки стоят по 3 монеты, голуби - по 2 и пара воробьев - по монете. Спрашивается, сколько птиц каждого вида.

Ответ: 3 куропатки, 5 голубей, 22 воробья.

28. Задача Альбрехта Дюрера.

Построить магический квадрат 4 : 4 для натуральных чисел от 1 до 16, чтобы два числа в нижних средних клетках указывали на год создания талисмана (1514), а сумма чисел четырех центральных клеток образовывали магическую сумму (34).

Ответ:

29. Задача мудреца.

Одна женщина отправилась в сад собирать яблоки. Чтобы выйти из сада, ей нужно было пройти через четыре двери, у каждой из которых стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину сорванных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину оставшихся. Так же она поступила и с третьим стражником, а когда она поделилась яблоками с четвёртым стражником, у неё осталось 10 яблок. Сколько яблок она собрала в саду?

Решение:

I способ: 1) 1-1/2=1/2(ч) осталась

2) 1/2-1/4=1/4(ч) осталась

3) 1/4-1/8=1/8(ч) осталась

4) 1/8-1/16=1/16(ч) осталась

1/16 составляет 10 яблок

5) 10*16=160(яблок)

II способ: 1)2*2*2*2=16(раз)

2)10*16=160(яблок)

III способ: 1) 10*2=20(яблок)

2) 20*2=40(яблок)

3) 40*2=80(яблок)

4) 80*2=160(яблок)

Ответ: 160 яблок.

30. Задача Озанама.

Трое хотят купить дом за 26000 ливров. Они условились, что первый даст половину, второй - одну треть, а третий - одну четверть. Сколько даст каждый?

Решение.

1). ;

2). : - составляют 12 частей;

3) 24000 - даст первый;

4) 24000 - даст второй;

5) 24000 - даст третий.

Ответ: 12000, 8000 и 6000 ливров.

31. Славянская задача.

Шли 7 старцев. У каждого старца по 7 костылей,
На каждом костыле по 7 сучков,
На каждом сучке по 7 кошелей,
В каждом кошеле по 7 пирогов,
В каждом пироге по 7 воробьев. Сколько всего?

Ответ: 7+7²+7³+7⁴+7⁵+7⁶=7+49+343+2401+16807+117649=137256

32.Задача из "Счетной мудрости"

Идет корабль по морю, на нем мужеска полу и женска 120 человек. Найму дали 120 гривен, мущины дали по 4 алтына, а женщины дали по 3 алтына с человека. Сколько мужеска полу было и женска порознь? (Гривна, гривенник - десять копеек, алтын равнялся трем копейкам).

Решение. (1200-120*9):(12-9)=40 мужчин

120-40=80 женщин

Ответ: 40 мужчин, 80 женщин.

33.Задача Кирика Новгородца.

Сколько месяцев, недель, дней и часов прожил человек, которому в 1136 г. Исполнилось 26 лет?

Ответ:

12*26=312 месяцев

365*26+7=9497 дней

9497:7=1356 недель

24*9497=227928 часов.

34. Задача о пастухе

Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают: «Сколько приводишь ты из своего многочисленного стада?». Пастух отвечает: «Я привожу две трети от трети скота». Сочти, сколько быков в стаде?

Решение: 70 быков составляют 2/3 от1/3

1) 2/3*1/3=2/9 составляют 70 быков.

2) 70 : 2/9= 315(быков) составляют стадо.

Ответ: 315 быков

35. Задача Брахмагупта, Индия, около 600 г.

Слон, слониха и слонёнок пришли напиться к озеру, чтобы напиться воды. Слон может выпить озеро за 3ч, слониха - за 5ч, а слонёнок - за 6ч. За сколько времени они все вместе выпьют озеро?

Решение: Слон - 1 озеро 3ч

10 озёр 30ч

Слониха- 1 озеро 5ч

6 озёр 30 ч.

Слонёнок- 1 озеро 6ч

5 озёр 30 ч.

НОК(3,5,6)=30

1)10+6+5=21(озеро) выпьют слон, слониха и слонёнок за 30часов,

2)30:21=1 3/7(ч) они вместе выпьют озеро.

Ответ:1 3/7 часа.

36. Воз сена

Лошадь съедает воз сено за месяц, коза - за два месяца, овца - за три месяца. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена?

Решение: Лошадь - 1 воз - 1 месяц

6 возов - 6 месяцев

Коза - 1 воз 2 месяца

3 воза - 6 месяцев

Овца - 1 воз 3 месяца

4 воза - 6 месяцев

НОК(1,2,3)=6

1)6+3+4=11(возов) лошадь, коза и овца за 6 мес.

2)6:11=6/11(месяца) они съедят 1 воз.

Ответ: 6/11 месяца.

37. Задача из Акмимского папируса

Некто взял из сокровищницы 1/13. Из того, что осталось, другой взял 1/17. Оставил же в сокровищнице 192. Мы хотим узнать, сколько было в сокровищнице первоначально?

Решение:

1)1-1/13=12/13(ч) сокровищ осталось

2)12/13-1/17=191/221(ч) сокровищ осталось

191/221 составляет 191

3)191:191*221=221

Ответ: 221 было первоначально.

Заключение

В процессе работы были найдены редкие методы решения старинных задач, некоторые уже изученные, мы научилась применять к старинным задачам. Решенные задачи можно использовать для внеклассной работы по математике и на уроке. Они будут интересны не только нам - восьмиклассникам, но и всем, интересующимся математикой.

Значение проекта «Старинные и сказочные задачи» в становлении личности

Тарасова Татьяна

Я очень хочу стать дипломатом. Эта профессия мне очень нравится.

Профессия дипломата уже на протяжении многих лет является одной из самых почетных и актуальных, захватывающих и интересных. Однако за ореолом престижности и загадочности кроется трудная, иногда рутинная, а иногда и творческая, но всегда очень ответственная работа.

Дипломат представляет свою родину в различных странах мира. Для ведения полноценной работы он должен свободно владеть как минимум двумя иностранными языками. И, конечно же, не забывать о родном языке, поскольку важной частью его работы является обработка и оценка различного рода документов.

Главными составляющими успеха в дипломатической карьере являются высокий образовательный, интеллектуальный и культурный потенциал. Профессиональный дипломат должен разбираться в тонкостях международного права, понимать основы экономики, знать философию, психологию, историю, как всемирную, так и отечественную.

Очень важно в этой профессии владение дипломатическим этикетом, правила которого содержат определенные формы обращения, переписки, а так же строгий порядок нанесения визитов, проведения встреч и бесед, дипломатических приемов. К внешнему виду также предъявляются довольно строгие требования.

Дипломату необходимы такие качества, как тонкий ум, тактичность, сообразительность, хладнокровие. Недаром говорят, что искусный дипломат - это тонкий психолог, способный в любой ситуации найти подход к каждому человеку и убедить в собственной правоте таким образом, что последний сочтет, будто самостоятельно сделал вывод, без чьей-либо помощи. Дипломату не помешали бы обаятельность и коммуникабельность Джеймса Бонда, чувство юмора, находчивость д'Артаньяна, остроумие Одиссея.

Дипломат должен обладать крепкой нервной системой, ведь работа вдали от родины требует большого напряжения сил. Особенно тяжело работать в странах третьего мира, где всегда может вспыхнуть вооруженный конфликт, или в непривычных климатических условиях.

Дипломат обязан обладать высокими моральными качествами, ведь честность является залогом уважения и доверия партнеров. И, наконец, настоящий дипломат должен быть абсолютно предан своей стране, понимать ее потребности и нужды - ведь он защитник национальных интересов.

Искусство формировать, налаживать, поддерживать международные отношения - одно из главных качеств профессионального дипломата. Недаром в обиходе говорят: «он тонкий дипломат», это значит, искусен в отношениях с другими людьми.

Министр иностранных дел России Сергей Лавров является профессиональным дипломатом, он прошёл все ступени дипломатической карьеры.

Дипломат не может не знать математику. Он должен уметь не только считать, но и решать старинные и занимательные задачи, ребусы.

Онуфриенко Яна

Я очень хочу стать модельером. Я долго не могла выбрать свой жизненный путь. Но наконец выбрала именно эту профессию.

Кто не хочет выглядеть модно и стильно, хорошо одеваться? Но угнаться за модой бывает непросто: только что «последним писком» был свободный покрой, а вскоре выясняется, что такая одежда уже вчерашний день, и теперь все модницы предпочитают приталенный силуэт. Кто же стоит за всем этим? Кто повелевает модой? Профессиональные модельеры придумывают разнообразные стили одежды, разрабатывают новые фасоны, создают как неповторимые наряды, так и стильную одежду на каждый день. Со стороны жизнь модельера кажется почти сказочной: разработанные тобой коллекции демонстрируют, прогуливаясь по подиуму, красивые девушки- и юноши-модели, а в конце показа появляешься ты, купаясь в лучах славы, получая огромную отдачу от того, что твои творения вызывают восторг зрителей. Знаменитые люди мечтают приобрести сделанные тобой вещи, заказывают у тебя наряды.

Каков же он, дизайнер одежды, диктатор моды? Как стать профессиональным модельером, как добиться успеха?

Мэтр моды Ив Сен Лоран начал рисовать эскизы одежды для кукол в три года, российский модельер Валентин Юдашкин «обшивал» себя и друзей еще во время учебы в школе. А вот известный французский кутюрье Кристиан Диор мог бы так и не стать знаменитым и не подарить миру свои таланты, если бы к 42 годам по настоянию друга не показал свои эскизы специалистам из модельного бизнеса.

С одной стороны модельер сродни портному: он должен уметь хорошо шить, разбираться в тканях, фасонах и выкройках, обладать хорошим глазомером и ловкими руками. С другой - модельер подобно художнику создает шедевры, рисует эскизы моделей одежды, придумывает новые образы, ему должно быть присуще чувство стиля, необходим хорошо развитый художественный вкус. Но, помимо всего этого, чтобы заниматься модой требуется высокий уровень культуры, знания в области истории моды, костюма. А самое главное - модельер должен быть творцом, изобретателем, даже в чем-то первопроходцем. Сочетание несочетаемого - комфорта и авангардизма, высокого и повседневного - вот что отличает почерк настоящего модельера.

Профессия модельера - сверхмодная, сверхпрестижная, но и сверхсложная. Его творчество - каждодневный каторжный труд. Модельер обречен на постоянное движение: создавая нечто новое, он не вправе расслабиться. Он охотник: он мысленно анализирует все, что увидел по дороге на работу или во время прогулки, он постоянно наблюдает за людьми - за их эмоциями, движениями, осанкой, походкой, манерой говорить, сидеть, двигаться. Подчеркнуть неповторимость человека, его внешние данные и внутренний мир - вот в чем талант модельера.

Что оказалось, даже такая профессия как модельер не обходится без математики. Каждый день модельеру приходится сталкиваться с вычислениями. Выкройку создают при помощи линейки. Разрезая ткань на лоскутки, модельер должен рассчитать всё до последнего миллиметра. Также модельер должен уметь решать задачи и разного вида ребусы.

30