Исследовательская работа «Все о Пифагоре»

Выполнил ученик 8 класса

Дроздов Александр

Руководитель учитель математики

Горбачева Людмила Васильевна

2014 год

Содержание

Введение ______________________________________________ 1

1. Основная часть ____________________________________ 3

   1. О жизни Пифагора ______________________________ 3

   2. Правда о Пифагоре _____________________________ 4

   3. Пифагор и пифагорейцы _________________________ 5

2. Практическая часть. Теорема Пифагора______________7

   1. История теоремы Пифагора _____________________ 7

   2. Доказательства теоремы ________________________ 8

   3. Применение теоремы к решению задач _____________12

   4. Значение теоремы Пифагора _____________________14

   5. Пару слов о Пифагоровых тройках ________________ 14

   6. Применение теоремы Пифагора в других науках ___ 15

Заключение ________________________________________18

Литература ________________________________________19

Приложения

Геометрия владеет

двумя сокровищами:

одно из них - это Пифагор

Иоганн Кеплер

Введение.

Нет на свете такого человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора. Даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой, сохраняют воспоминания о «пифагоровых штанах» - квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах.

Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: простота - красота - значимость.

При первом знакомстве с теоремой на уроках геометрии меня поразила её лаконичность и простота. А со слов учителя мы узнали, что это не единственное открытие великого ученого. У меня возник вопрос: Кто он, этот Пифагор? Чем он еще знаменит? Где в наше время находит применение теорема Пифагора?

Актуальность моего исследования заключается в том, что данный проект поможет учащимся познакомиться с любопытными геометрическими и историческими фактами, оригинальными подходами к доказательству и применению теоремы Пифагора, с решением задач, имеющих широкий круг применения в курсах смежных дисциплин и практической деятельности человека.

Новизна исследования в том, что в школьном курсе геометрии с помощью теоремы Пифагора решаются только математические задачи. К сожалению, вопрос о практическом применении теоремы Пифагора не рассматривается.

В настоящее время все чаще и чаще звучит мнение о том, что развитие многих областей науки и техники зависит от развития различных направлений математики. Важным условием повышения эффективности производства является широкое внедрение математических методов в технику и народное хозяйство, которые позволят решить задачи, выдвигаемые практикой.

Гипотеза. Если я изучу жизнь и деятельность великого ученого-философа Пифагора, его научную деятельность, то смогу понять актуальность великой теоремы и её значимость.

Цель моей работы: рассмотрение различных способов доказательства теоремы Пифагора, а так же её применение в различных областях науки и деятельности человека.

Задачи исследования:

1.Проследить историю жизни великого учёного и философа.

2.Рассмотреть способы доказательства знаменитой теоремы.

3.Показать применение теоремы при решении разного вида геометрических задач.

4.Рассмотреть использование теоремы в практике.

5.Создать буклет о жизни и результатах деятельности великого учёного.

Объект исследования: теорема Пифагора, её практическое применение и

различные пути доказательств, «пифагоровы тройки».

Предмет исследования: математика.

Теоретическая значимость исследования состоит в том, что в нём на основе системного подхода представлена роль, которую играет открытие «пифагоровых троек» в науке; практическое применение открытия Пифагора в жизнедеятельности человека.

Прикладная ценность исследования заключается в анализе литературных

источников и применение данной работы на уроках геометрии в 8 классе, на занятиях математического кружка.

1. Основная часть

1.1 О жизни Пифагора

ПИФАГОР САМОССКИЙ

(ок. 580 - ок. 500 г. до н.э.)

О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г. до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским.

Родился Пифагор в семье резчика по камню, который сыскал скорее славу, чем богатство. Ещё в детстве он проявлял незаурядные способности, и когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове.

Пифагор перебрался в город Милеет и стал учеником Фалеса, которому в то время шёл восьмой десяток. Мудрый учёный посоветовал юноше отправиться в Египет, где сам, когда-то изучал науки.

Перед Пифагором открылась неизвестная страна. Его поразило то, что в родной Греции боги были в образе людей, а египетские боги - в образе полулюдей-полуживотных. Знания были сосредоточены в храмах, доступ в которые был ограничен. Пифагору потребовались годы, чтобы глубоко изучить египетскую культуру прежде, чем, ему было разрешено познакомиться с многовековыми достижениями египетской науки.

Когда Пифагор постиг науку египетских жрецов, то засобирался домой, чтобы там создать свою школу. Жрецы, не желавшие распространения своих знаний за пределы храмов, не хотели его отпускать. С большим трудом ему удалось преодолеть эту преграду.

Однако по дороге домой, Пифагор попал в плен и оказался в Вавилоне. Вавилоняне ценили умных людей, поэтому он нашёл своё место среди вавилонских мудрецов. Наука Вавилона была более развитой, нежели египетская. Наиболее поразительными были успехи алгебры. Вавилоняне изобрели и применяли при счёте позиционную систему счисления, умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений.

Пифагор прожил в Вавилоне около десяти лет и в сорокалетнем возрасте вернулся на родину. Но на острове Самос он оставался недолго. В знак протеста против тирана Поликрата, который тогда правил островом, поселился в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Кротоне.

Там Пифагор организовал тайный союз молодёжи из представителей аристократии. В этот союз принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Пифагорейцы, как их позднее стали называть, занимались математикой, философией, естественными науками. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось учителю.

Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии, в том числе:

• теорема о сумме внутренних углов треугольника;

• построение правильных многоугольников и деление плоскости на некоторые из них;

• геометрические способы решения квадратных уравнений;

• деление чисел на чётные и нечётные, простые и составные; введение фигурных, совершенных и дружественных чисел;

• доказательство того, что не является рациональным числом;

• создание математической теории музыки и учения об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и многое другое.

Известно также, что кроме духовного и нравственного развития учеников Пифагора заботило их физическое развитие. Он не только сам участвовал в Олимпийских играх и два раза побеждал в кулачных боях, но и воспитал плеяду великих олимпийцев.

Около сорока лет учёный посвятил созданной им школе и, по одной из версий, в возрасте восьмидесяти лет Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания.

После его смерти ученики окружили имя своего учителя множеством легенд.

1.2 Правда о Пифагоре

Самое большее, что известно сейчас народонаселению об этом уважаемом древнем греке, укладывается в одну фразу: "Пифагоровы штаны на все стороны равны". Авторов этой дразнилки явно отделяют от Пифагора века, иначе бы они дразниться не посмели. Потому что Пифагор - вовсе не квадрат гипотенузы, равный сумме квадратов катетов. Это знаменитый философ.

Пифагор жил в шестом веке до нашей эры, имел красивую внешность, носил длинную бороду, а на голове золотую диадему. Пифагор - это не имя, а прозвище, которое философ получил за то, что всегда говорил верно и убедительно, как греческий оракул. (Пифагор - "убеждающий речью".) Своими речами приобрёл 2000 учеников, которые вместе со своими семьями образовали школу-государство, где действовали законы и правила Пифагора.

Он первый дал название своему роду деятельности. Слово "философ", как и слово "космос" достались нам от Пифагора. В его философии много космического. Он утверждал, что для понимания Бога, человека и природы надо изучать алгебру с геометрией, музыку и астрономию. Кстати, именно пифагорейская система знаний, и называется по-гречески "математикой". Что касается пресловутого треугольника с его гипотенузой и катетами, то это, согласно великому греку, больше, чем геометрическая фигура. Это "ключ" ко всем зашифрованным явлениям нашей жизни. Всё в природе, говорил Пифагор, разделено на три части. Поэтому прежде чем решать любую проблему, её надо представить в виде треугольной диаграммы. "Узрите треугольник - и задача на две трети решена".

Пифагор не оставил после себя собрания сочинений, он держал своё учение в тайне и передавал ученикам устно. В результате тайна умерла вместе с ними. Кое-какая информация всё же просочилась в века, но теперь уже трудно сказать, сколько в ней истинного, а сколько ложного. Даже с Пифагоровой теоремой не всё бесспорно. Некоторые историки сомневаются в авторстве Пифагора, утверждая, что её вовсю использовали в хозяйстве самые разные древние народы.

Что уж говорить об отдельных фактах биографии великого математика! Рассказывали, например, что он мог заставить птиц изменить направление полёта. Он разговаривал с медведицей, и та перестала нападать на людей, он беседовал с быком, и тот под влиянием беседы перестал трогать бобы и поселился при храме. Однажды, переходя вброд реку, Пифагор вознёс молитву духу реки, и из воды послышался голос: "Приветствую тебя, Пифагор!" Говорили также, что он повелевал духами: посылал их в воду и, глядя на рябь, делал предсказания.

Влияние его на людей было так велико, что похвала из уст Пифагора переполняла его учеников восторгом. Однажды ему случилось рассердиться на ученика, и тот покончил с собой. Потрясённый философ никогда больше ни с кем не говорил раздражённо.

Он будто бы умудрялся исцелять людей, напевая им стихи из "Илиады" и "Одиссеи" Гомера. Он знал лекарственные свойства огромного количества растений.

В последующие столетия фигура Пифагора была окружена множеством легенд: его считали перевоплощённым богом Аполлоном, полагали, что у него было золотое бедро, и он был способен раздваиваться и запросто в одно и то же время преподавать в двух разных местах. Отцы раннехристианской церкви отвели Пифагору почётное место между Моисеем и Платоном. Хотя и не очень понятно, за что: Пифагор прославился своим учением о космической гармонии и переселении душ, что не очень-то вписывается в христианские догматы. К тому же, учёный муж не чурался и колдовства, даже в XVI в. были нередки ссылки на авторитет Пифагора в вопросах не только науки, но и магии. Как в России все дворники - философы, так и в Древней Греции все философы были математиками. Пифагор в этом отношении не был исключением.

1.3 Пифагор и пифагорейцы

Но Пифагор был не только учёным. "По совместительству" он являлся активным проповедником собственных учений. Причём, проповедником весьма преуспевшим: на греческом острове Кротоне, на юге Италии, где Пифагор, изгнанный с Самоса, проповедовал, он пользовался популярностью. Его последователи, увлечённые идеями учителя, скоренько сообразили религиозный орден. Притом орден настолько многочисленный и мощный, что он сумел фактически прийти к власти в Кротоне. Во времена античности Пифагор более всего был известен и популярен именно как проповедник. А проповедовал он собственное учение, основанное на понятии реинкарнации (переселении душ), то есть, способности души переживать смерть бренного тела, а это значит, что душа бессмертна. Поскольку в новом воплощении душа может переселяться многократно, в том числе и в тела животных, Пифагор и его последователи были категорически против умерщвления животных, употребления в пищу их мяса и даже категорически призывали сограждан не иметь дело с теми, кто забивает животных или разделывает их туши. Пифагор говорил, что поедание мяса затемняет умственные способности. Вообще он не отказывал себе полностью в этом, но когда удалялся в храм Бога для медитации и молитвы, он брал с собой заранее приготовленные пищу и питьё. Пищей его были мак и кунжут, шкурки морского лука, цветки нарцисса, листья мальвы, ячмень и горох, дикий мёд...

Такое, казалось бы, скудное питание не помешало философу прожить долгую жизнь. Учёные считают, что он вычислял, проповедовал и философствовал около ста лет. Но сам он постоянно заявлял, что прожил много жизней...

Он был первым человеком, который назвал себя философом. До него умные люди называли себя гордо и несколько высокомерно - мудрецами, что означало - человек, который знает. Пифагор же назвал себя философом - тем, кто пытается найти, выяснить.

По понятиям Пифагора, кровопролитие приравнивалось, ни много ни мало, к первородному греху, за который, как известно, бессмертная душа изгоняется в бренный мир, где ей суждено блуждать, перепархивая из одного тела в другое. Душе такие бесконечные перевоплощения не по душе, она рвётся на свободу, в небесные сферы, но по невежеству неизменно повторяет греховное деяние.

Если верить Пифагору, освободить душу от бесконечных перевоплощений может очищение. Простейшее очищение заключается в воздержании от излишеств, от пьянства или от употребления в пищу бобов. Так же строго должны соблюдаться и правила поведения: почитание старших, законопослушание. Во взаимоотношениях пифагорейцы во главу угла ставили дружбу, всё имущество друзей должно быть общим. Немногим избранным, как сегодня говорят, наиболее продвинутым, становилась доступной высшая форма очищения - философия, слово это, как мы уже упоминали, а до нас утверждал Цицерон, было впервые употреблено именно Пифагором, называвшим себя не мудрецом, а любителем мудрости. Математика - одна из составных частей религии пифагорейцев, которые учили, что Бог положил число в основу мирового порядка.

Пифагорейцы пытались применять математические открытия Пифагора к умозрительным физическим построениям, что приводило к любопытным результатам. Они полагали, что любая планета, обращаясь вокруг Земли, проходя при этом сквозь чистый верхний воздух, или "эфир", издаёт тон определённой высоты. Высота звука меняется в зависимости от скорости движения планеты, скорость же этого движения зависит от расстояния до Земли. Сливаясь, небесные звуки образуют то, что мы называем "гармонией сфер", или "музыкой сфер", ссылками на музыку сфер литература усыпана, как императорская корона бриллиантами. Ранние пифагорейцы были убеждены, что Земля плоская и находится в центре космоса. Позднее они "поумнели" и стали считать, что Земля имеет сферическую форму и вместе с другими планетами, включая и Солнце, обращается вокруг центра космоса, так называемого "очага".

Недоброжелателям Пифагора, обеспокоенным растущей популярностью его учений, всё же удалось изгнать его в Метапонт, где он и умер, как теперь говорят, от разрыва сердца, скорбя о тщетности своих усилий по просвещению и бесплодности служения человечеству, так ему казалось. Орден же правил в Кротоне ещё почти столетие, пока не был разгромлен.

Несправедливо думать, что пифагорейцы оставили после себя только заблуждения. Они совершили массу открытий в математике и геометрии. Многие их открытия использовал в "Началах" Эвклид. Пифагорейские идеи проникли в Афины, они были приняты Сократом, позже переросли в мощное идейное движение, возглавленное великим Платоном и его учеником Аристотелем.

Но вернёмся к математике. Пифагорейцы были увлечены построением правильных геометрических фигур с помощью циркуля и линейки. Увлечённые этим "строительством" они выстроили фигуры вплоть до правильного пятиугольника и озадачились тем, как с помощью всё тех же циркуля и линейки построить следующую правильную фигуру - семиугольник? Надо сразу же сказать, что это им не удалось.

Но они не только сами озадачились, но и озадачили всё разумное человечество, которое с циркулем и линейкой в руках, наморщив лбы, ринулось строить правильные семиугольники.

Не тут-то было! Эта задачка пифагорейцев оставалась неразрешимой более двух тысячелетий! Решил её только в 1796 г. 19-летний(!) немецкий юноша Карл Фридрих Гаусс (1777 - 1855), прозванный позже королём математиков.

"Построил" семиугольник юный гений случайно, занимаясь совсем другими вычислениями. Гаусс изложил теорию уравнений деления круга Хn - 1 = 0, которая во многом была прообразом блистательной теории другого девятнадцатилетнего гения - Галуа. Помимо общих методов решения этих уравнений, Гаусс установил связь между уравнениями и построением правильных многоугольников. Он нашёл все те значения n, для которых правильный n-угольник можно построить при помощи циркуля и линейки.

Со времени возникновения задачи прошло более двух тысяч лет... Вот сколько терпения и времени требуется иногда на решение!

II. Практическая часть. Теорема Пифагора

2.1 История теоремы Пифагора

Исторический обзор начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: «Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4». В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3² + 4² = 5² было известно уже египтянам еще около 2300г. до н.э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея).

Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т.е. к 2000г. до н.э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях. Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой - на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод: «Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку».

Геометрия у индусов, как и у египтян и вавилонян, была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около XVIII века до н.э.

В первом русском переводе евклидовых «Начал», сделанное Ф.И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так: «В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол».

На самом деле в том, что в энциклопедии про кого-то говорят, что ему «приписывается» какое-то открытие, нет ничего удивительного. Ну не дошли до нас абсолютно точные письменные свидетельства, живых очевидцев, понятно, нет, но большинство так называемых косвенных доказательств указывают на авторство.

О том, что Пифагор Самосский - реальная историческая фигура, историки не спорят. Но где его открытия, а где - открытия его учеников, никто доподлинно не знает. (Кстати, Самосским его называют по месту рождения. Считается (опять - «считается»!), что он родился на острове Самос. Был ведь и другой Пифагор - Регийский, скульптор.)

Пифагор вообще «на одну десятую гений, на девять десятых выдумка». Но какой гений и какая выдумка! Впрочем, обо всем по порядку.

В Вавилоне (туда он попал, якобы взятым в плен персами) в течение семи лет он постигал кабалистические науки халдейских магов, мистическую науку о числах, законы музыки.

При этом успехи были столь значительны, что слава о нем прокатилась не только по всему Вавилону, но достигла и родного острова Самос. Когда Пифагор вернулся на свой остров, его встречали как величайшего ученого.

В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих «Начал». С другой стороны Прокл утверждает, что доказательство в «Началах» принадлежит самому Евклиду. Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Зато легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы.

2.2. Доказательства теоремы

Имя Пифагора носит известная теорема о том, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равен сумме квадратов, построенных на его катетах.

Справедливо и обратное утверждение: если стороны а, Ь, с треугольника отвечают пифагорейскому условию: а² + Ь^г = с², то треугольник будет прямоугольным, с прямым углом, лежащим против стороны с.

О том, что теорема «квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов» восходит к Пифагору, утверждали древнегреческий писатель и историк Плутарх (I в.) и древнегреческий философ-идеалист Прокл (V в.). Рассказывают, что в честь этого открытия Пифагор принес в жертву сто быков.

Хотя надо отметить, что такой поступок противоречит вегетарианству пифагорейцев, которые верили в переселение душ. Пифагор однажды заступился за собаку, которую жестоко били, сказав: «Перестаньте ее бить, в этой собаке живет душа моего друга, я узнал его по голосу».

Не смотря на то, что она применялась для решения различных задач задолго до Пифагора древними египтянами, вавилонянами, китайцами, индусами и другими древними народами, нам она известна как «теорема Пифагора» и под таким названием она изучается в курсе планиметрии средней школы.

На практике при построении прямого угла (а значит, при построении взаимно перпендикулярных прямых) используется треугольник со сторонами 3, 4, 5, что, безусловно, было известно в глубокой древности египтянам и другим народам древнего Востока. Именно такие пропорции археологи находят я размерах тесаных плит пирамиды Хефрена.

Интересным является и тот факт, что так называемая царская комната в знаменитой пирамиде Хеопса имеет размеры, связанные с числами 3, 4, 5. Эти же самые пропорции использовались и при строительстве великолепных храмов в Египте, Вавилоне, Китае, а, вероятно, также и в Мексике.

МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ 2'04

Но прежде сформулируем саму теорему Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Докажем ее так, как по легенде, доказывал ее Пифагор. Договоримся для всех доказательств, где прямоугольный треугольник обозначен буквами АВС: его прямой угол - угол С, катеты ВС = а, СА = Ь, гипотенуза АВ = с (рис. 1.)

рис.1

Первое доказательства Пифагора (основано на понятии равновеликих фигур).

Напомним, что равновеликие фигуры - это плоские фигуры одинаковой площади.

1. Построим квадрат А₁В₁С₁D₁, сторона которого равна сумме катетов а и b данного треугольника АВС (рис. 4, а).

2. Отметим на стороне В₁С₁ точку F, а на стороне А₁В₁ точку Н так, что В₁ F=A₁H=a (соответственно FС₁ = B₁H = Ь).

3. Параллельно стороне А₁В₁ проведем прямую FЕ, а параллельно стороне А₁D₁ проведем прямую НG. Эти прямые разделят квадрат А₁В_]С₍D₁ на четыре части:

квадрат А_{НОЕ (со стороной а),

квадрат ОFС₁ G (со стороной b)

два прямоугольника НВ₁FО и ОGD₁Е (со сторонами а и Ь}.

4. В прямоугольниках проведем диагонали и получим четыре прямоугольных треугольника. Обозначим их для простоты цифрами I, II, III, IV.

Все четыре полученные прямоугольные треугольники имеют равные катеты а и Ь, и, следовательно, все эти треугольники равны.

Затем прямоугольные треугольники I, II, III, IV расположим так, что катет а одного треугольника будет продолжением катета Ь (рис. 4, б) другого. Получится квадрат A₂ B₂C₂ D₂ , сторона которого тоже равна сумме катетов а и Ь.

Таким образом, квадраты А₁В₁С_[D_] и А₂В₂С₂D₂ равны, а значит, равны и их площади.

Полученный четырехугольник О₁О_гО₃О_л - является квадратом, равны все его стороны (они являются гипотенузами с равных треугольников), и все углы - прямые. Докажем это на примере угла при вершине О₁

Угол А_гО₁D₂ - развернутый, а сумма углов А₂О₁O₂ и D₂O₁О₄ равна 90°, как сумма острых углов прямоугольного треугольника. Поэтому угол О₂О₁O₄ - прямой.

Таким образом: SA₁B₁C₁D₁ = SA₁HOE + SOFC₁G +SHB₁FO +SOGD₁E = a² + b²+ 2ab,

a S A₂B₂C₂D₂ =SO₁O₂O₃O₄ +SO₁A₂O₂ +SO₂B₂O₃ +SO₂C₂O₄ +S O₁D₂O₄ = c² + 4 ½ ab = c² + 2ab.

И так как S A₁B₁C₁D₁ = S A₂B₂C₂D_{2 ,} то c² = a² + b² , и теорема доказана.

Доказательство через подобие треугольников.

Второе доказательство, приписываемое Пифагору, основывается на подобии треугольников. Однако нет единого мнения по поводу того, насколько пифагорейцы были знакомы с учением о подобии. Одни историки считают, что учение о подобии было создано в школе Пифагора, другие относят время его создания ко временам Евклида,

вершины прямого угла прямоугольного треугольника АВС опустим на его основание высоту СD (рис. 5). Треугольники АВС, СDВ и АС D подобны по двум

углам ( АСВ = ВDС = CDA, АВС= DBC = DCA).

Рис. 5

Из подобия треугольников АВС и АСD следует, что

AС² = АВ ∙ DА.

Из подобия треугольников АВС и СВD следует, что

СВ² = АВ∙DВ.

Складывая равенства АС²= АВ∙DА и СB² = АВ∙DВ, получаем

АС² + СВ² = АВ∙(DА + DВ). Но DА + DВ = АВ, тогда АС²+ СВ²= АВ²,

то есть с² = а² + Ь². Теорема доказана.

Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора.

С

Дано: АВС- прямоугольный треугольник;

Доказать: АС²+СВ²=АВ²

В

А D

Доказательство:

1. СD - высота

2. = ²

3. = = ²

4. Сложим полученные равенства ADAB+ABBD=AC²+BC²

AB(AD+BD) = AC²+BC²

AB² = AC² + BC² что и требовалось доказать.

В совей работе я рассмотрел только три доказательства теоремы Пифагора. Сегодня известно около 500 способов доказательств теоремы, по другим источникам - 350. В приложении предлагаю еще несколько способов доказательств.

2.3. Применение теоремы к решению задач

Задача 1. Стороны треугольника равны 13см, 14 см и 15 см. Вычислите высоту треугольника к средней по величине стороне.

Дано: АВС- треугольник

АВ=15 см, ВС=13 см, АС=14 см.

Вычислить высоту проведенную к стороне АС

Решение:

1. Проведем высоту ВН к стороне АС. Она разделила треугольник АВС на два треугольника АHB и ВHC.

2. Так как ВН - высота, то ВНАС треугольники АHB и ВHC - прямоугольные.

3. Обозначим СН через х, тогда АН= 14-х

4. Найдем высоту из каждого треугольника: (по теореме Пифагора)

Из треугольника АНВ: НВ²=АВ²-АН² НВ²=15²-(14-х)²

Из треугольника ВНС: НВ²=ВС²-СН² НВ²= 13²-х²

5. Левые части полученных равенств равны, следовательно равны и правые части: 15²-(14-х)²= 13²-х²

6. Решаем полученное уравнение:

225-196+28х-х²=169-х²

28х=140

х=5 - мы нашли СН

7. Подставляем полученное значение х в уравнение НВ²= 13²-х²:

НВ²= 13²-5²=(13-5)(13+5)=8*18=144

НВ=, НВ=12

Ответ: высота проведенная к средней сторону треугольника АВС равна 12 см.

Задача 2. В равнобедренной трапеции основания равны 10 см и 40 см. боковая сторона равна 25 см. Вычислите высоту трапеции.

Решение.

1. Проведем высоты ВЕ и CF. Отрезок EF = 10 см, т.к ВЕСF- прямоугольник

тогда АЕ = FD ==15 (см)

2. Треугольники АЕВ и СFD - равны по второму признаку равенства треугольников. Треугольники АЕВ и СFD - прямоугольные, так как ВЕ и СF - высоты.

3. Из треугольника АЕВ найдем ВЕ:(по теореме Пифагора)

ВЕ= ; ВЕ====20

Ответ: 20 см.

Задача 4. В прямоугольном треугольнике проекции катетов на гипотенузу равны

9 см и 16 см. Вычислите периметр треугольника.

Решение. Используя теорему Пифагора, составим систему уравнений

h²+16²=b²,

h²+9²=a²,

a²+b²=25²

Сложив почленно равенства, получим

2h² + 16² + 9² = 625, 2h² = 288, h = 12.

Тогда

9² + 12² = а², а = 15; 16² + 12² = b², b = 20.

Р_АВС = 25 + 20 + 15 = 60.

Ответ: 60 см.

2.4 Значение теоремы Пифагора.

В заключении практической части моей работы еще раз хочется сказать о важности теоремы. В наши дни теорема Пифагора очень важна и актуальна. И несущественно то, что она была известна за много веков до Пифагора, важно то, что Пифагор выделил её, дополнив собственными исследованиями, повысив значимость в мире математических открытий. Теорема применяется в геометрии на каждом шагу. Из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Всего известно около 500 различных доказательств теоремы Пифагора. Это говорит о неослабевающем интересе к ней со стороны широкой математической общественности. Теорема Пифагора продолжает оставаться живительным источником красоты, совершенства и творчества для новых и новых поколений. Несмотря на то что, суть теоремы проста и изящна, но было бы ошибкой думать, что в плане её содержания не осталось места для каких-то новых исследований. Результатом одного из таких исследований являются Пифагоровы тройки - наборы из трёх натуральных чисел, из которых сумма квадратов двух чисел равна квадрату третьего числа.. Сейчас уже найдены стороны 50-го «пифабедренного» треугольника (первый, египетский со сторонами 3, 4 и 5 всем известен), значения которых очень велики. Теорема Пифагора послужила источником для множества обобщений и плодородных идей. Глубина этой древней истины, по-видимому, далеко не исчерпана.
К сожалению, невозможно привести все или даже самые красивые доказательства теоремы, однако хочется надеяться, что приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе сегодня, да и вчера, проявляемом по отношению к теореме Пифагора.

2.5 Пару слов о Пифагоровых тройках

Этот вопрос мало или вообще не изучается в школьной программе. А между тем он является очень интересным и имеет большое значение в геометрии. Пифагоровы тройки применяются для решения многих математических задач. Представление о них может пригодиться вам в дальнейшем образовании.

Так что же такое Пифагоровы тройки? Так называют натуральные числа, собранные по трое, сумма квадратов двух из которых равна третьему числу в квадрате.

Пифагоровы тройки могут быть:

• примитивными (все три числа - взаимно простые);

• не примитивными (если каждое число тройки умножить на одно и то же число, получится новая тройка, которая не является примитивной).

Еще до нашей эры древних египтян завораживала мания чисел Пифагоровых троек: в задачах они рассматривали прямоугольный треугольник со сторонами 3,4 и 5 единиц. К слову, любой треугольник, стороны которого равны числам из пифагоровой тройки, по умолчанию является прямоугольным.

Примеры Пифагоровых троек: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 35, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) и т.д.

3²+4²=5²

6²+8²=10²

5²+12²=13² и т.д.

2.6 Применение теоремы Пифагора

в других науках

В настоящее время всеобщее признание получило то, что успех развития многих областей науки и техники зависят от развития различных направлений математики. Важным условием повышения эффективности производства является широкое внедрение математических методов в технику и народное хозяйство, что предполагает создание новых, эффективных методов качественного и количественного исследования, которые позволяют решать задачи, выдвигаемые практикой. Рассмотрим несколько элементарных примеров таких задач, в которых при решении применяется теорема Пифагора.

Строительство

Окно

В зданиях готического и романского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле /см. приложение № 1/. Способ построения его очень прост: из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны ширине окна (b) для наружных дуг и половине ширины (b/2), для внутренних дуг. Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Так как она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т.е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. А тогда становится ясным и положение ее центра. В рассмотренном примере радиусы находились без всяких затруднений. В других аналогичных примерах могут потребоваться вычисления; покажем, как применяется в таких задачах теорема Пифагора.

А романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке /см. приложение № 2/. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = b/2 и r = b/4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рисунке пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b/4 + p, один катет равен b/4, а другой b/2-p. По теореме Пифагора имеем: (b/4) + (b/4 - p) или b/16 + b ∙ p/2 + p = b/16 + b/4 - b ∙ p + p, откуда b∙p/2 = b/4 - b ∙ p. Разделив на b и приводя подобные члены, получим: (3/2)∙p = b/4, p = b/6

Крыша

В доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки АС = 8м, и AB=BF. Решение: треугольник ADC - равнобедренный AB=BC = 4м. Если предположить, что FD = 1,5м, тогда:

а) из треугольника DBC:DB = 2,5м

DC = = = 22,25 ≈ 4,7

б) из треугольника ABF:

AF= = ≈ 5,7

Молниеотвод

Молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние до которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.

Решение: По теореме Пифагора h² ≥ a² + b², значит h ≥ (a² + b²)^1/2.

Ответ: h ≥ (a² + b²)^1/2

Мобильная связь

В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди операторов. Чем надежнее связь, тем больше зона покрытия, тем больше потребителей у оператора. При строительстве вышки (антенны) часто приходится решать задачу: какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе (например, радиусе R = 200 км?, если известно, что радиус Земли равен 6380 км.)

Решение:

Пусть АВ = х, ВС = R = 200км, ОС = r = 6380 км.

ОВ = ОА + АВ

ОВ = r + х

Используя теорему Пифагора получим ответ 2,3 км.

Литература

Что касается литературы, то теорема Пифагора вдохновляла писателей со времен античности и продолжает это делать в наше время. Например, немецкого писателя девятнадцатого века Адельберта фон Шамиссо она вдохновила на написание сонета:

Свет истины рассеется не скоро,
Но, воссияв, рассеется навряд
И, как тысячелетия назад,
Не вызовет сомнения и спора.

Мудрейшие, когда коснется взора
Свет истины, богов благодарят;
И сто быков, заколоты, лежат -
Ответный дар счастливца Пифагора.

С тех пор быки отчаянно ревут:
Навеки всполошило бычье племя
Событие, помянутое тут.

Им кажется: вот-вот настанет время,
И сызнова их в жертву принесут
Какой-нибудь великой теореме. (перевод Виктора Топорова)

А в двадцатом веке советский писатель Евгений Велтистов в книге «Приключения Электроника» доказательствам теоремы Пифагора отвел целую главу. И еще полглавы рассказу о двухмерном мире, какой мог бы существовать, если бы теорема Пифагора стала основополагающим законом и даже религией для отдельно взятого мира. Жить в нем было бы гораздо проще, но и гораздо скучнее: например, там никто не понимает значения слов «круглый» и «пушистый».

А еще в книге «Приключения Электроника» автор устами учителя математики Таратара говорит: «Главное в математике - движение мысли, новые идеи». Именно этот творческий полет мысли порождает теорема Пифагора - не зря у нее столько разнообразных доказательств. Она помогает выйти за границы привычного, и на знакомые вещи посмотреть по-новому.

Заключение

Значение теоремы Пифагора состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии и решить множество задач. Из-за этого многие ученые называют эту теорему самой главной в геометрии. Теорема Пифагора замечательна тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение: с² = а² + b².

К сожалению, невозможно привести все доказательства теоремы, однако хочется надеяться, что приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе, проявляемом по отношению к ней.

Эта работа позволила мне могли заглянуть за пределы школьной программы по математике и узнать не только те доказательства теоремы Пифагора, которые приведены в учебниках, но и другие любопытные способы доказать знаменитую теорему. А также увидеть примеры, как теорема Пифагора может применяться в обычной жизни.

Во-первых, эта информация позволит мне претендовать на более высокие баллы на уроках математики - сведения по предмету из дополнительных источников всегда высоко оцениваются.

Во-вторых, мне хотелось помочь всем прочувствовать, насколько математика интересная наука. Убедиться на конкретных примерах, что в ней всегда есть место творчеству.

В-третьих, работа над проектом не закончена. Меня заинтересовали Пифагоровы тройки. Вот в этом направлении я и продолжу свою работу.

Литература

1. Волошин А.В. Пифагор. - М.: Просвещение, 1993.

2. Газета «Математика», № 28, 1995 г.

3. Энциклопедический словарь юного математика. Сост.А.П.Савин. - М. : Педагогика , 1985

4. images.astronet.ru/pubd/2003/03/15/0001187674/file0013.gif

5. peoples.ru/science/mathematics/pifagor

6. th-pif.narod.ru/biograph.htm

21