Сборник заданий для подготовки учащихся 10 классов к олимпиадам

Сборник заданий

для подготовки учащихся 10 классов к олимпиадам

Вариант 1

1. Квадрат каждого из трех данных чисел равен произведению двух оставшихся чисел. Докажите, что все данные числа равны.

2. В каком году XX века родился человек, если в 1997 году произведение цифр лет, прожитых им, уменьшенное в 4 раза, на 3 меньше суммы цифр года его рождения?

3. Построить график функции:

y = |x² - 1| - |x² - 9|.

4. Периметр треугольника равен 24 см. Можно ли около этого треугольника описать окружности радиусом 5 см?

5. Докажите, что при любом значении x выполняется равенство:

.

6. Трава на лугу растет одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров съели бы ее за 24 дня, а 30 коров - за 60 дней. Сколько коров съели бы всю траву за 96 дней?

Вариант 2

1. Упростить выражение , где 0°  a  90°, считая, что корень означает арифметическое значение квадратного корня.

1. Вычислить a⁴ + b⁴ + c⁴, зная, что a + b + c = 0 и a² + b² + c² = 1.

2. Найти сумму целых решений неравенства:

.

3. Точки P, K, M, N - соответственно середины сторон AB, BC, CD, DA выпуклого четырехугольника ABCD. Отрезки AK и CP пересекаются в точке F, отрезки AM и CN - в точке E. Площадь четырехугольника AFCE равна 666. Найдите площадь четырехугольника ABCD.

4. Найдите площадь фигуры, заданной неравенством:

|x - 5| + |y + 9|  4.

5. Решить систему уравнений:

Вариант 3

1. Вычислить , если tga = 2.

2. Решите систему уравнений:

3. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, в котором AB = AA₁ = 12, AD = 30. Точка М расположена на грани ABB₁A₁ на расстоянии 1 см от середины AB и на равных расстояниях от A и B. Точка N принадлежит грани DCC₁D₁ и расположена симметрично точке М относительно центра параллелепипеда. Найти длину кратчайшего пути по поверхности параллелепипеда между точками М и N.

4. Из точки Е к окружности диаметром КМ проведена касательная ЕМ. Отрезок ЕК пересекается с окружностью в точке D, ED = 2 дм; КМ = 6 дм. Найдите градусную меру дуги окружности, заключенной внутри MEK.

5. Найдите сумму 1 + 11 + 111 + 1111 + ... + 11 ... 1 (всего 2000 слагаемых).

6. Решить графически систему уравнений:

Вариант 4

1. Найти сумму натуральных чисел от 1 до 1000, которые делятся на 7 и не делятся на 13.

2. Решить систему уравнений:

3. Постройте график функции:

.

4. Дан выпуклый пятиугольник, все углы которого тупые. Доказать, что в нем найдутся две такие диагонали, что круги, построенные на них, как на диаметрах, полностью накроют пятиугольник.

5. Сколько одинаковых членов находится в двух арифметических прогрессиях 5; 8; 11... и 3; 7; 11... если в каждой из них по 100 членов?

6. По дороге мимо наблюдателя проехали через равные промежутки времени автобус, мотоцикл и автомобиль. Мимо другого наблюдателя они проехали с такими же промежутками времени, но в другом порядке: автобус, автомобиль и мотоцикл. Найти скорость автобуса, если скорость автомобиля 60 км/ч, а скорость мотоцикла 30 км/ч.

Вариант 5

1. Остаток при делении многочлена P (x) на (x - 1) равен 1, при делении P (x) на (x - 2) равен 2, а при делении P (x) на (x - 3) равен 3. Какой остаток будет при делении P (x) на (x - 1)(x - 2)(x - 3)?

2. Построить график .

3. Войсковая колонна имеет длину 5 км. Связной, выехав из конца колонны, передал пакет в начало колонны и вернулся обратно. Колонна за это время прошла путь в 12 км. Какой путь проехал связной?

4. Решите в целых числах систему уравнений:

5. Найти площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством x² + y²  10|x| + 4| y|.

6. Найдите радиус окружности, описанной около правильного девятиугольника ABCDEFGHK, если известно, что площадь ADG равна .

Вариант 6

1. Вычислить, не пользуясь таблицами и микрокалькулятором, .

1. Решить уравнение:

.

2. Найдите два трехзначных числа, сумма которых кратна 504, а частное кратно 6.

3. Непрерывная четная функция y = f(x) определена на всей числовой прямой. Для всех неотрицательных значений x значение f(x) совпадает со значением функции g(x) = x² - 6x + 5. Найдите произведение корней уравнения f(x) = -3.

4. 30 стульев стоят в ряд. Время от времени к ряду подходит человек и садится на один из свободных стульев, при этом один из его соседей, если таковые есть, встает и уходит. Какое максимальное число стульев может быть занято, если в начале они все были пустыми?

5. Найти наименьшее значение параметра с, при котором система

имеет одно решение.

Вариант 7

1. Найдите значение выражения , если .

1. Постройте график функции y = 4sin x  |cos x|.

2. Сумма третьего и четырнадцатого членов арифметической прогрессии равна наибольшему значению трехчлена -2x² + 4x - 16. Найдите сумму шестнадцати первых членов этой прогрессии.

3. Составьте формулу, с помощью которой выражался бы n-й член последовательности вида 0; 2; 2; 4; 4; 6; 6; ...

4. В сосуде имеется три крана. Через первый и второй краны вода вливается, через третий выливается. Один первый кран может наполнить сосуд за 10 часов, а один второй - за 15 часов. При совместном действии всех трех кранов из полного сосуда выливается вся вода за 30 часов. Сосуд был полон, когда открыли первый и третий краны. Через 1 час после их открытия первый кран был закрыт, но открыт второй, а еще через 1 час закрыли третий кран и вновь открыли первый. Определите, через сколько часов после закрытия третьего крана два первых наполнят сосуд.

5. Разность катетов прямоугольного треугольника равна биссектрисе прямого угла. Вычислите отношение этих катетов.

Вариант 8

1. Найти в градусах угол a, под которым окружность x² + y² = 32 видна из точки А (8; 0).

1. Сто человек ответили на вопрос: «Будет ли новый президент лучше прежнего?» Из них a человек считают, что будет лучше, b - что будет такой же и c - что будет хуже. Других ответов не было. Социологи построили два показателя «оптимизма» опрошенных: . Оказалось, что m = 40. Чему в таком случае равно n?

2. Через точку М на диаметре окружности проводится секущая CD под углом 45º к диаметру. Докажите, что число |CM|² + |DM|² не зависит от положения точки М на диаметре.

3. Решить неравенство:

.

4. Решить уравнение:

.

5. Возраст одного человека в 1990 году был равен произведению цифр года его рождения. В каком году он родился, если известно, что ему меньше 90 лет?

Вариант 9

1. Дан угол в 19º. Построить с помощью циркуля и линейки угол в 1º.

1. Найдите три числа, если куб первого числа на 2 больше их произведения. Куб второго числа на 3 меньше их произведения, а куб третьего числа на 3 больше их произведения.

2. Решить неравенство:

.

3. Четырехугольник АВСD вписан в окружность. Продолжение стороны AB за точку B пересекается с продолжением стороны CD в точке E. Найти угол ADE, если CD = 2EB; AB : EC = 7 : 2, косинус угла AED равен .

4. Доказать тождество:

.

5. При каких значениях параметра а уравнение |x² - 5x + 4| = ax имеет ровно три корня?

Вариант 10

1. Найти значение выражения x³ - 3x при .

2. Найти все решения уравнения

, удовлетворяющие условию ctgx  0.

3. Вычислить .

4. Составить уравнение окружности наименьшего радиуса, внутри которой помещается множество точек, заданной на координатной плоскости условием:

|3x - y - 1| + | 3x - 6|  8.

5. Хорда окружности удалена от центра на расстояние h. В каждый из сегментов, стягиваемых хордой, вписан квадрат так, что две соседние вершины квадрата лежат на дуге, две другие - на хорде. Чему равна разность сторон этих квадратов?

6. В компании из шести человек один правдолюб, то есть всегда говорит правду; двое - дипломаты, то есть могут говорить правду или ложь; а остальные - лжецы, то есть всегда лгут. Чтобы узнать, кто из них есть кто, каждого спросили, кто он есть. Первый сказал, что правдолюб, второй - что он дипломат, третий - что он лжец, четвертый - что он не правдолюб, пятый - что он не дипломат, а шестой - что он не лжец. Кто из них есть кто?