Задачи на составление дробно-рациональных уравнений с физическим смыслом. (8-9 класс)

Задачи на составление дробно-рациональных уравнений с физическим смыслом.

Алейникова Т.В.

Все отрасли современной науки тесно связаны между собой. Взаимосвязи наук находят адекватное отражение в учебных предметах, представляющих по существу основы соответствующих наук - в этом проявляется один из аспектов дидактической проблемы межпредметных связей. поэтому и школьные учебные предметы не могут быть изолированы друг от друга.

Межпредметные связи являются дидактическим условием и средством глубокого и всестороннего усвоения основ наук в школе. Установление межпредметных связей в школьном курсе физики и математики способствует более глубокому усвоению знаний, формированию научных понятий и законов, совершенствованию учебно-воспитательного процесса и оптимальной его организации, формированию научного мировоззрения, единства материального мира, взаимосвязи явлений в природе и обществе. Это имеет огромное воспитательное значение. Кроме того, они способствуют повышению научного уровня знаний учащихся, развитию логического мышления и их творческих способностей. Реализация межпредметных связей устраняет дублирование в изучении

материала, экономит время и создает благоприятные условия для формирования общеучебных умений и навыков учащихся.
Под межпредметными связями мы понимаем единство целей, функций,
содержательных элементов, учебных дисциплин, которое, будучи реализовано в учебно-воспитательном процессе, способствует обобщению, систематизации и прочности знаний, формированию обобщенных умений и навыков, в конечном итоге - формированию целостного научного мировоззрения и качеств всесторонне и гармонически развитой личности.

1. Межпредметные связи, выражая диалектический метод познания, способствуют повышению теоретического и практического уровня обучения. Методологическая функция межпредметных связей в учебном познании заключена в обнаружении единства в многообразии процессов и явлений, изучаемых разными учебными предметами. Межпредметные связи выявляют общее, особенное и единичное в изучении объектов.

2. Межпредметные связи приносят в учебное познание методологический аппарат современной науки. Их осуществление способствует приобщению школьников к системному методу мышления. Они расширяют область познания, выделяя связи между элементами знаний из разных учебных дисциплин в качестве объектов усвоения. Межпредметные связи выступают как метод деятельности ученика, развивающий у него способность к синтезу знаний из разных предметов, в единичном видеть общее и с позиций общего оценивать особенное.

3. Межпредметные связи побуждают учителя к самообразованию, творчеству и взаимодействию с другими учителями-предметниками. Это способствует повышению педагогического мастерства и сплочению педагогического коллектива в режиме одних задач обучения.

Межпредметные связи можно рассматривать как необходимый элемент системы предметного обучения, ибо предметы и их отношения не могут быть противопоставлены друг другу. Логические связи отдельных систем знаний внутри учебных предметов находят выражение в содержании обучения. Коллектив Физико-математического лицея много лет работает над развитием идей МПС физики и математики, что обусловлено статусом лицея и спецификой программ по физике и математике. Необходимость углубленного преподавания физики требует, в свою очередь, нестандартного подхода к преподаванию математических дисциплин: многие темы курса изучаются раньше, перенесены по времени в другой класс (производная в 9 классе). Требуется отработка специальных вычислительных навыков таких, как действия с числами в стандартном виде (7 класс), погрешности (7,8,9 класс), определение размерности величины по ее формуле (8 класс).

Практика показала, что насыщение содержания образования по математике физическими задачами, применение математических алгоритмов к физическим величинам, позволяет добиться положительного результата при изучении этих понятий в физике, а также расширить кругозор учащихся в восприятии темы на математике. Таким образом, МПС объединяют два предмета в достижении единой цели - получение знаний и применение их на практике.

В своих работах мы не раз обращались к этому вопросу. (См. работы авторов «Способы поиска решения задач на движение в курсе математики 5-6 классов», «Реализация межпредметных связей при изучении темы «Пропорциональные величины», «Практические работы на уроках математики», «Формирование графической культуры учащихся на уроках математики», «Графический метод в преподавании физики»). Практически, в каждой теме школьного курса математики 5-6 классов и алгебры 7-9 классов возможно привлечение материала из физики. Цель таких уроков не только подготовить математический аппарат для решения физических задач, но и показать учащимся многообразие методов и областей применения математики.

В 8 классе при изучении темы «Дробно-рациональные уравнения» очень удачным оказалось включение физических задач в раздел «Решение задач на составление ДРУ». Конечно, это достаточно сложные задачи для учащихся, так как кроме логической составляющей одной из трудностей являются действия с большими числами или с числами в стандартном виде. Эти уроки мы проводим в заключительной части изучения темы, когда отработан алгоритм решения ДРУ, решены стандартные задачи и задачи повышенного уровня из учебника.

В начале урока необходимо повторить основные физические законы и формулы, а также соотношения между физическими величинами: S = ; ; ; S= a∙b; m = ρ∙V; ρ = ; p = ; F = p∙S; A = F∙S; U = I∙R; I = и напомнить учащимся, как определить вид пропорциональности по формуле (Об.П. или Пр.П.). Этот вопрос подробно изучается в 6 и 7 классах. Далее предлагаем задачи из сборника [1]. Для оформления решения и построения рассуждений используем таблицу, колонки которой заполняем, исходя из условия задачи.

Задача 1. Имеется два слитка из разных сплавов массой по 720 г. Плотность первого на 1 г/см³ меньше плотности второго. Найти объем каждого слитка, если объем одного из них на 10 см³ больше объема другого.

Сначала устанавливаем «главную» формулу, связывающую величины и определяем вид зависимости между ними:

m = ρ∙V, тогда V = , т.к. m = const, то V и ρ - Об.П. величины, то есть:

чем больше плотность ρ , тем меньше объем V.

Тогда: если ρ₁< ρ₂ , то V₁ > V₂

при составлении уравнения за х выбираем меньшее

уравниваем меньшее - это ρ₁ (+1) - это V₂

Что

Масса (г)

Плотность (г/см³)

Объем (м³)

1 слиток

720

х + 10

2 слиток

720

х

Составляем уравнение: = .

Если исследовать таблицу, то она ничем не отличается от обычной алгебраической задачи ([2]- № 610). Сложность - в установлении зависимостей между величинами и в выборе величины, которую надо уравнять.

Задача 2. На столе находится гиря массой в 200 г. Когда ее перевернули, площадь опоры уменьшилась на 1,5∙ 10^{- 3} м³, а давление на стол возросло на

1,2 ∙ 10³ Па. Найти площадь опоры в каждом из случаев (g = 10 м/с²).

Формулы: p = ; F_тяж = mg ; р = , т.к. mg = const, то р и S - Об.П. величины, то есть: чем больше площадь опоры S, тем меньше давление р.

Тогда: S₂ < S₁ р₂ > р₁

меньшее меньшее → уравнять (+ 1,2∙ 10³)

за х

Необходимо единицы измерения всех физических величин перевести в систему СИ: m = 200 г = 0,2 кг.

Что

mg (Н)

Давление (Па)

Площадь (м²)

1 раз

0,2 ∙ 10

х + 1,5∙ 10^{- 3}

2 раз

0,2 ∙ 10

х

Составляем уравнение: = ; 1200 ∙ 0,0015 = 1,8

, т.к. х > 0 ( по условию), то х∙(х + 0,0015) > 0, тогда:

1200х² + 1,8х - 0,003 = 0,

200х² + 0,3х - 0,0005 = 0,

D= 0,09 + 4 ∙0,0005∙ 200 = 0,49.

х₁< 0 - не удовлетворяет условию задачи,

х₂ = 0,001 = 1 ∙ 10 ^-3.

Значит S₁ = 1 ∙ 10 ^-3 (м²) = 0,001(м²), S₂ = 2,5 ∙ 10 ^-3 (м²) = 0,0025 (м²).

Ответ: S₁ = 0,001м², S₂ = 0,0025 м².

При решении этой задачи важно показать учащимся необходимость рациональных вычислений при решении квадратного уравнения с дробными коэффициентами.

Надо отметить, что на уроках физики задачи этого типа также решаются не в общем виде (как обычно у них принято), а именно с численными данными задачи. Поэтому проработка этого материала на алгебре помогает учащимся применять полученные знания на уроках физики.

Решение большинства задач можно провести по алгоритму:

1. Рабочая формула, константы.

2. Вид зависимости между переменными величинами (чем больше, тем больше (или меньше)).

3. Выбор неизвестного (вопрос задачи), выбор уравниваемого компонента (меньшее) и способ уравнивания (+ «на», ● «в») или другой способ составления уравнения.

4. Заполнение таблицы и составление уравнения.

5. Решение уравнения, проверка результата и анализ его реальности по условию.

Задача 3. При перемещении тела вдоль пути АВСD на участках АВ, ВС и СD была совершена работа равная 36 Дж, 40 Дж и 63 Дж соответственно. Из-за различного характера поверхностей этих участков сила F₁ меньше F₂ на 2 Н и на 1 Н больше силы F₃. Найдите силы F₁, F₂ и F₃ , если участки АС и СD имеют равные длины.

1.Формулы: A = F∙S, то S = , АС = СD или АВ + ВС = СD ( условие составления уравнения).

2. F₁ х +2

F₂ - на 2 Н < х

F₃ - на 1 Н < х - 1

3. Таблица:

Что

Работа, А (Дж)

Сила, F (Н)

Перемещение, S (м)

F₁ (АВ)

36

х +2

F₂ (ВС)

40

х

F₃ (СD)

63

х - 1

Составляем уравнение: + = . F₁ = 10 Н, F₂ = 12 Н, F₃ = 9 Н.

Задачи с физическим смыслом очень разнообразны (см. Приложение) и охватывают более широкий круг вопросов по сравнению с алгебраическими задачами, которые предлагает учебник [2] (в основном, это задачи на движение и работу). Решение физических задач на уроках алгебры требует привлечения знаний из смежного предмета, причем из всего курса: это и механика (кинематика, динамика, законы сохранения, гидростатика), и электродинамика (законы постоянного тока), и тепловые явления. Используются понятия: сила, работа, мощность, количество теплоты, потенциальная энергия, архимедова сила, давление в жидкостях и др. Происходит глобальное обобщение изученного физического материала в применении алгебраических алгоритмов. Несомненно, в выигрыше - оба предмета!

Однако, в виду своего разнообразия и непривычности условия, а также в связи с использованием чисел в стандартном виде, эти задачи сложны для решения, но очень интересны для учащихся, потому что более реальны, приближены к жизненным ситуациям. Они требуют глубокого осмысления и качественных вычислений. В любом случае решать их надо и весьма полезно со всех точек зрения.

Следует отметить успех проведенного эксперимента в двух восьмых классах, где с 5 класса применяется методика МПС. На уроках физики, до проработки этого материала на уроках алгебры, такие задачи «не шли». После - большинство учащихся уже не испытывало трудностей при решении. В третьем 8 классе, где эта методика не применялась, приходилось жертвовать обсуждением физического смысла задачи, в связи с неумением учащихся увидеть и решить алгебраическое уравнение. Проблемы с математическим аппаратом отразились на восприятии физического материала. Поэтому межпредметные связи являются важнейшим фактором совершенствования процесса обучения в целом, на всех его уровнях. Межпредметные связи выступают как потребность развивающего обучения современных школьников. Методологическая функция межпредметных связей обеспечивается, когда они используются как метод системного усвоения знаний и как метод совершенствования процесса обучения в предметной системе, его организации в единое целое.

Приложение:

Задачи с физическим смыслом на составление дробно-рациональных уравнений.

1. К выпрямителю с напряжением 22 В подключен реостат. Когда напряжение возросло на 10%, а сопротивление реостата уменьшилось на 90 Ом, сила тока в цепи увеличилась на 1,1 А. Найдите первоначальное сопротивление реостата.

2. На какой глубине в море давление равно 412 кПа, если в озере, глубина которого на 15 м больше, давление равно 550 кПа (плотность морской воды больше плотности пресной воды на 90 кг/м³).

3. Имеется два слитка из разных сплавов, массой по 720 г. Плотность одного из них на 1 г/см³ меньше плотности второго. Найти объем каждого слитка, если объем первого слитка на 10 см³ больше объема второго.

4. На столе находится гиря массой в 200 г. Когда её перевернули, площадь опоры уменьшилась на 1,5 ·10^-3 м², а давление на стол увеличилось на 1,2 ·10³ Па. Найти площадь опоры в каждом случае. (g = 10 м/с²)

5. При перемещении тела вдоль пути АВСД на участках АВ, ВС, и СД была совершена работа 36 Дж, 10 Дж и 63 Дж соответственно. Из-за различного характера поверхностей этих участков сила F₂ < F₁ на 2 Н и на 1 Н больше, чем F₃. Найти силы F₁, F₂ и F₃, если участки АС и СД имеют одинаковую длину.

6. На 2 тела, объемы которых отличаются на 40 см³, помещенных в сосуды с водой и со спиртом, действует архимедова сила 1,6 Н. Найти объем каждого тела, если плотность воды на 200 кг/м³ больше плотности спирта.

7. Электрическая плитка при силе тока 5 А потребляет 1080 кДж энергии. Найти сопротивление плитки, если другая плитка, сопротивление которой на 12 Ом больше, потребляет эту же энергию за время, на 10 мин меньшее. ( При той же силе тока).

8. Какой объем сосновых и дубовых дров надо сжечь в печи, чтобы выделилось количество теплоты 2,6 ·10⁸ Дж, если объем сосновых дров на 0,025 м³ больше, а плотность дуба - на 400 кг/м³ больше. (q_сосны = q_дуба = 1,3 ·10⁶ Дж/кг).

9. Двигатели космического корабля «Восток» произвели работу 1,5 ·10⁷ Дж. Какова мощность двигателей, если уменьшив мощность на 10⁷ Дж, для выполнения той же работы потребуется увеличить время на 2 сек?

10. Тело, поднятое на некоторую высоту, обладает потенциальной энергией 9000 Дж. Если массу тела увеличить на 6 кг и поднять его на высоту, большую на 5 м, то Е_п = 14400 Дж. Найти первоначальную массу тела и высоту, на которую оно было поднято.

Литература:

1. Сборник задач по физике: Для 7-8 кл. общеобраз. учреждений / Лукашик В.И. / М: Просвещение, 1999.

2. Алгебра 9 - учеб. для 9 кл. общеобраз. учрежд./ Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г.-под редакцией С.А. Теляковского. / М.: Просвещение,2003.

3.Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб. пособие для ст-тов пед. ин-тов по физ.-мат. спец./ А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др.; сост. В. И. Мишин. - М.: Просвещение, 1987.