Завдання математичних олімпіад для 5-11 класів (шкільний етап)

Завдання для учнів 5 класу

1. Син батька професора розмовляє з батьком сина професора, до того ж сам професор у розмові участі не бере. Чи може таке бути?

2. Петрик каже: «Позавчора мені було ще 10 років, а в наступному році мені виповниться 13». Чи може бути таке?

3. Складіть із цифр 1,2,3,4,5,6,7,8,9 магічний квадрат, тобто розмістіть цифри у таблиці розмірами 3*3 так, щоб суми чисел у рядках, стовпцях і двох діагоналях були однакові.

4. Запишіть число 100 дев'ятьма різними цифрами, поєднаними знаками дій.

5. До табору приїхало троє друзів: Мишко, Володя і Дмитрик. Відомо, що кожний з них має одне з прізвищ: Іванов, Семенов, Герасимов. Батько Володі - інженер. Володя навчається у 6 класі. Хлопчик з прізвищем Герасимов навчається у 5 класі. Батько хлопчика з прізвищем Іванов - слюсар. Яке прізвище у кожного з хлопчиків?

Завдання для 6 класу

1. Джин обернув на звірів чотирьох розбійників - Ахмеда, Шарифа, Абу та Омара. Одного - на свиню, другого - на віслюка, третього - на верблюда, четвертого - на козла.

• Ахмед не став ані свинею, ані козлом.

• Шариф не став ані верблюдом, ані свинею.

• Якщо Ахмед не був верблюдом, то Омар не був свинею.

• Абу не обернувся ані на козла, ані на свиню.

• Омар не став ані козлом, ані верблюдом.

На кого обернувся кожен із розбійників?

2. Червона Шапочка показала трьом поросятам п'ять беретиків: три червоних і два білих. Дала зав'язала їм очі й вдягла на кожного по беретику. Потім дівчинка розв'язала очі Ніф-Ніфу й спитала, якого кольору в нього беретик. Ніф-Ніф не зміг відповісти на запитання. Червона Шапочка розв'язала очі Наф-Нафу й спитала в нього те саме. Наф-Наф теж не зміг відповісти. І лише Нуф-Нуф сказав: «А з мене пов'язки можна не знімати, я й так знаю якого кольору мій берет». Якого кольору берет у Нуф-Нуфа?

3. Потяг у якому їдуть три мудреці, прямує до тунелю. Коли у вагоні знову стає світло, кожний із мудреців бачить, що обличчя його супутників у сажі, яка потрапила крізь відчинене вікно. Усі троє починають сміятися один з одного, однак найкмітливіший мудрець незабаром здогадується, що в нього теж брудне обличчя. Як він це зробив?

4. В одній родині було два брати, у кожного з них було по дві сестри й по одному батькові. У кожної сестри було по одній матері. Скільки всього осіб було у родині?

5. Із сірників складено приклад: VI - IV = XI. Потрібно перекласти лише один сірник, щоб розв'язок прикладу став правильним.

Завдання для 7 класу

1. Із кошика з яйцями взяли половину всієї кількості яєць, а потім половину остачі, потім половину нової остачі й, нарешті, половину наступної остачі. Після цього в кошику залишилося 10 яєць. Скільки яєць було в кошику з самого початку?

2. У прикладах наведено дії з одноцифровими числами, позначеними буквами. До того ж однаковими буквами позначено однакові числа, а різними буквами - різні числа. Знайдіть ці числа й запишіть хід міркувань.

а * а = б

в * и = г

е * а = а

3. Відновіть цифри, позначені зірочками:

* 8 *

4 * 2

7 * *

3 * *

* * * * * 0

4. Із сірників складено фігуру, зображену на рисунку. Як перекласти два сірники, щоб вийшло рівно чотири квадрати з довжиною сторони, що дорівнює довжині сірника?

4. Катруся та її друзі стали в коло. З'ясувалося, що обидва сусіди кожної дитини - однієї й тієї ж самої статі. Серед Катрусиних друзів було п'ять хлопчиків. А скільки дівчаток?

Завдання для учнів 8 класу

1. Мишко купив загальний зошит на 96 аркушів і пронумерував його сторінки одна за одною від числа 1 до числа 192. Ілля вирвав з цього зошита 25 аркушів і склав всі 50 чисел, які на них написано. Чи міг він отримати 1990?

2. Доведіть, що квадрат будь-якого простого числа, окрім 2 і 3, при діленні на 12 в остачі має 1.

3. Що більше: 99²⁰ або 9999¹⁰? Поясніть, чому.

4. Доведіть, що для будь-якого kєQ правильною є нерівність (k² + 1) + 1/ k² + 1 ≥ 2

5. У 8 класі 40 учнів. Кожний із них вивчає не менше від однієї іноземної мови: англійську, німецьку, французьку. 34 особи вивчають хоча б одну із двох мов: німецьку, французьку; 6 - тільки німецьку мову. Одночасно дві мови - англійську й німецьку - вивчають на 3 особи більше, ніж французьку й німецьку. Скільки осіб вивчає кожну з мов і скільки одночасно - кожну пару мов?

Завдання для 9 класу

1. Доведіть, що медіана трикутника менша за півсуму сторін, між якими вона розташована, і більша від різниці між цією півсумою й половиною третьої сторони.

2. Що більше: √4 + √7 - √4 - √7 - √2 чи 0?

3. У прямокутному трикутнику АВС на катеті АС як на діаметрі побудовано коло, що перетинає гіпотенузу АВ у точці Е. Через точку Е проведено дотичну до кола, що перетинає катет СВ у точці D. Доведіть, що трикутник ВDЕ рівнобедрений.

4. Доведіть, що при кожному цілому вираз n⁵/120 - n³/24 + n/30 також є цілим числом.

5. Фабрика випустила товар у пачках масою 3 і 5 кілограмів. Доведемо, що з цих пачок можна скласти пачку будь-якої маси, більшої від 7 кілограмів.

Завдання для учнів 10 класу

1. Доведіть, що нерівність cos⁴x + 4sin²x ≥ 2 sin2x cosx

2. Два брати продали череду овець, що належала їм, узявши за кожну вівцю стільки гривень, скільки овець було в череді. Гроші, отримані від продажу поділили так: старший брат узяв 10 гривень, потім другий брат узяв десять гривень, після цього старший брат узяв ще 10 гривень і так далі. При цьому молодшому братові не вистачило 10 гривень, тому він узяв усі дрібні гроші, що залишилися, а крім того, щоб поділ був справедливим, старший брат віддав молодшому свого перо чинного ножа. У скільки гривень було поціновано цей ніж?

3. Доведіть, що коли добуток трьох чисел дорівнює 1, а їх сума більша від суми їх зворотних величин, то тільки одне з цих чисел більше від 1.

4. Доведіть, що n² + 3n + 5 при жодному цілому n не ділиться на 121.

5. Доведіть, що

(n + 1)(n + 2)…(2n - 1)·2n / 1· 3 ·5…(2n - 1) = 2ⁿ

Завдання для учнів 11 класу

1.Сума всіх коефіцієнтів многочлена дорівнює 2, а сума коефіцієнтів при непарних степенях х дорівнює сумі коефіцієнтів при парних степенях х. Знайти остачу від ділення цього многочлена на х² - 1.

2. Добутки косинусів протилежних кутів чотирикутника дорівнюють один одному. Доведіть, що цей чотирикутник є трапецією.

3. На трьох перехресних ребрах куба виберіть три точки так, щоб сума квадратів сторін трикутника з вершинами в цих точках була найменшою.

4. Нехай а,b,c - довжина сторін трикутника. Доведіть, що нерівність a(b -c)² + b(c - a)² + 4abc > a² + b² + c² .

5. Якою є остання цифра числа (…(((7⁷)⁷)⁷)^…7) ? дві останні цифри?