Исследовательская работа по математике: «Влияние отрицательных чисел на окружающий нас мир»

Министерство образоваия РБ

ГБПОУ СКСС

Исследовательская работа

по математике:

«Влияние

отрицательных чисел

на окружающий нас мир».

Преподаватель: Ефремова С.С

Выполнил:

Содержание.

I. Возникновение отрицательных чисел

1.Отрицательные числа в Древней Азии.

2. Развитие идеи отрицательного количества в работе Энгельса об отрицательных числах

II. Отрицательные числа в других науках

1. Отрицательные числа в физике………………………………………………..

1.1 Обычная расческа и положительные и отрицательные числа………………

1.2 Сположительными и отрицательными числами по температурной шкале

1.3 Положительные и отрицательные числа на дороге…………

2. Отрицательные числа в истории

2.1Как в древности считали года? ……………………………………………….

Заключение……………………………………………………………………… Приложение…………………………………………………………………………

Список литературы………………...…………………………………………...

Тезисы.

Понятие «Отрицательно» имеет разное значение…Отрицательный характер, на улице мороз, листья пожелтели, человек спустился в шахту, скоро к нам придут Дед Мороз и Снегурочка… . Все это оказывается связанно с отрицательными числами.

В своей исследовательской работе рассмотрели использование отрицательных чисел не только в математике, но и в других науках - истории, географии, физике, а также в природе.

После изучения темы «Отрицательные числа» на уроках математики, мы стали обращать внимание на то, что отрицательные числа встречаются и на других уроках. Это и подтолкнуло нас к исследованию темы, целью которой, стало показать, что отрицательные числа встречаются не только в математике.

Подводя итоги нашей исследовательской работы, мы сделали вывод, что большинство опрошенных людей знают отрицательные числа, но есть и такие у которых представление отрицательных чисел неверное.

Работая с источниками, мы выяснили, что отрицательные числа больше всего встречаются в точных науках, в математике и физике.

В физике отрицательные числа возникают в результате измерений, вычислений физических величин. Отрицательное число - показывает величину электрического заряда. В других науках, как географии и истории, отрицательное число можно заменить словами, например, ниже уровня моря, а в истории - 157 лет до н.э.

Чтобы достичь этой цели мы исследовали дополнительную литературу и другие источники.

Известно, что натуральные числа возникли при счете предметов. Потребность человека измерять величины и то обстоятельство, что результат измерения не всегда выражается целым числом, привели к расширению множества натуральных чисел. Были введены нуль и дробные числа.

Процесс исторического развития понятия числа на этом не закончился. Однако не всегда первым толчком к расширению понятия числа были исключительно практические потребности людей. Было и так, что задачи самой математики требовали расширения понятия числа. Именно так обстояло дело с возникновением отрицательных чисел. Решение многих задач, особенно решаемых с помощью уравнений, приводило к вычитанию из меньшего числа большего. Это потребовало введения новых чисел.

1.Отрицательные числа в Древней Азии

Впервые отрицательные числа появились в Древнем Китае уже примерно 2100 лет тому назад. Там умели также складывать и вычитать положительные и отрицательные числа, правила умножения и деления не применялись.

Во II в. до н. э. китайский ученый ЧжанЦань написал книгу «Арифметика в девяти главах». Из содержания книги видно, что это не вполне самостоятельный труд, а переработка других книг, написанных задолго до ЧжанЦаня. В этой книге впервые в науке встречаются отрицательные количества. Они понимаются им не так, как понимаем и применяем их мы. Полного и ясного понимания природы отрицательных величин и правил действия с ними у него нет. Каждое отрицательное число он понимал как долг, а положительное - как имущество. Действия с отрицательными числами он производил не так, как мы, а используя рассуждения о долге. Например, если к одному долгу прибавить другой долг, то в результате получиться долг, а не имущество (т, е. по нашему (- а) + (- а) = - 2а. Знака минус тогда не знали, поэтому, чтобы отличить числа, выражавшие долг, ЧжаньЦань писал их другими чернилами, чем числа, выражавшие имущество (положительные).

Положительные количества в китайской математике называли «чен» и изображали красным цветом, а отрицательные - «фу» и изображали черным. Такой способ изображения использовался в Китае до середины XII столетия, пока Ли Е не предложил более удобное обозначение отрицательных чисел - цифры, которые изображали отрицательные числа, перечеркивали черточкой наискось справа налево. Хотя китайские ученые и объяснили отрицательные количества как долг, а положительные - как имущество, всё же они избегали широкого употребления их, так как числа эти казались непонятными, действия с ними были неясны. Если же задача приводила к отрицательному решению, то старались заменить условие (как греки), чтобы в итоге получалось решение положительное.

В V-VI столетиях отрицательные числа появляются и очень широко распространяются в индийской математике. Для вычислений математики того времени пользовались счетной доской, на которой числа изображались с помощью счетных палочек. Так как знаков + и - в то время еще не было, палочками красного цвета изображали положительные числа, отрицательные же - палочками черного цвета и называли «долг» и «недостача». Положительные числа толковались как «имущество». В отличие от Китая в Индии были уже известны и правила умножения, деления. В Индии отрицательные числа систематически использовали в основном так, как это мы делаем сейчас.Уже в произведении выдающегося индийского математика и астронома Брахмагупты (598 - около 660 гг.) мы читаем: «имущество и имущество есть имущество, сумма двух долгов есть долг; сумма имущества и нуля есть имущество; сумма двух нулей есть нуль… Долг, который отнимают от нуля, становится имуществом, а имущество - долгом. Если нужно отнять имущество от долга, а долг от имущества, то берут их сумму».Вместе с отрицательными числами индийские математики ввели понятие ноль, что позволило им создать десятеричную систему исчисления. Но долгое время ноль не признавали числом, «nullus» по- латыни - никакой, отсутствие числа. И лишь через X веков, в XVII-ом столетии с введением системы координат ноль становится числом. Древнегреческий ученый Диофант вообще не признавал отрицательные числа, и если при решении уравнения получался отрицательные корень, то он отбрасывал его как "недоступный". И Диофант старался так сформулировать задачи и составлять уравнения, чтобы избежать отрицательных корней, но вскоре Диофант Александрийский стал обозначать вычитание знаком .

2.Развитие идеи отрицательного количества в Европе

В Европе признание наступило на тысячу лет позже. К идее отрицательного количества достаточно близко подошел в начале XIII столетия Леонардо Пизанский (Фибоначчи), который тоже ввёл его для решения финансовых задач с долгами и пришел к мысли, что отрицательные количества надо принимать в смысле, противоположном положительным. В те годы были развиты так называемые математические поединки. На состязании в решении задач с придворными математиками Фридриха II Леонардо Пизанскому (Фибоначчи) было предложено решить задачу: требовалось найти капитал нескольких лиц. Фибоначчи получил отрицательное значение. «Этот случай, - сказал Фибоначчи, - невозможен, разве только принять, что один имел не капитал, а долг».

В 1202 году он впервые использовал отрицательные числа для подсчёта своих убытков. Однако, в явном виде отрицательные числа применил впервые в конце XV столетия французский математик Шюке.

Тем не менее до XVII века отрицательные числа были "в загоне" и долгое время их называли «ложными», «мнимыми» или «абсурдными». И даже в XVII веке знаменитый математик Блез Паскаль утверждал, что 0-4=0 ибо нет такого числа, которое может быть меньше ничего, а вплоть до XIX века математики часто отбрасывали в своих вычислениях отрицательные числа, считая их бессмысленными…

В Италии ростовщики, давая деньги в долг, ставили перед именем должника сумму долга и черточку, вроде нашего минуса, а когда должник возвращал деньги, зачеркивали ее, получалось что-то вроде нашего плюса. Можно же плюс считать зачеркнутым минусом!

Современное обозначение положительных и отрицательных чисел со знаками

« + » и « - » применил немецкий математик Видман.

Немецкий математик Михаил Штифель в книге «Полная арифметика» (1544) впервые вводит понятие об отрицательных числах как о числах, меньших нуля (меньших, чем ничто). Это был очень большой шаг вперёд в деле обоснования отрицательных чисел. Он дал возможность рассматривать отрицательные числа не как долг, а совсем по-иному, по-новому. Но Штифель называл отрицательные числа абсурдными; действия с ними, по его словам, «тоже идут абсурдно, навыворот».

В XVII в. великий французский математик Рене Декарт предложил откладывать отрицательные числа на числовой оси влево от нуля. Нам сейчас кажется это все таким простым и понятным, но, чтобы дойти до этой мысли, потребовалось восемнадцать веков работы ученой мысли от китайского ученого ЧжанЦаня до Декарта.

В трудах Декарта отрицательные числа получили, как говорят, реальное истолкование. Декарт и его последователи признавали их наравне с положительными. Но в действиях над отрицательными числами не все было ясно (например, умножение на них), поэтому многие ученые не желали признавать отрицательные числа за числа действительные. Среди ученых разгорелся большой и долгий спор о сущности отрицательных чисел о том признать отрицательные числа числами действительными или нет. Спор этот после Декарта продолжался около 200 лет. За этот период математика как наука получила очень большое развитие, и на каждом шагу в ней встречались отрицательные числа. Математика стала немыслимой, невозможной без отрицательных чисел. Все большему числу ученых становилось ясно, что отрицательные числа - это числа действительные, такие же реальные, на самом деле существующие числа, как числа положительные.

3.Ф. Энгельс об отрицательных числах

Один из основоположников научного коммунизма - Фридрих Энгельс также интересовался вопросом о природе отрицательных чисел. Он говорил, что отрицательные числа возможны только потому, что существуют положительные числа, что они есть противоположность чисел положительных. Величину, понимаемую в каком-нибудь одном смысле, выражают числом со знаком плюс, а ту же величину, понимаемую в противоположном смысле, выражают числом со знаком минус.

Отрицательные числа нужны как противоположность чисел положительных. Если отбросить положительные числа, то отрицательные числа не будут нуждаться в знаке минус. Например, если мы попадаем в такие условия, где температура все время ниже нуля, нам не требуется знак минус для обозначения температуры.

II. Отрицательные числа в других науках

1. Отрицательные числа в физике

Как же возникают положительные, а тем более отрицательные числа в физике?

Физик имеет дело с различными физическими величинами, описывающими разнообразные свойства окружающих нас предметов и явлений. Высота здания, расстояние от школы до дома, масса и температура человеческого тела, скорость автомобиля, объем банки, сила электрического тока, показатель преломления воды, мощность ядерного взрыва, напряжение между электродами, продолжительность урока или перемены, электрический заряд металлического шарика - все это примеры физических величин. Физическую величину можно измерить.

Не следует думать, что любая характеристика предмета или явление природы может быть измерена и, следовательно, является физической величиной. Это совсем не так. Например, мы говорим: «Какие красивые горы вокруг! И какое красивое озеро там, в низу! А какая красивая ель вон на той скале! Но мы не можем измерить красоту гор, озера, или этой одинокой ели!» Значит такая характеристика, как красота, не является физической величиной.

Измерения физических величин проводятся при помощи измерительных приборов, таких как линейка, часы, весы и т.д.

Числа в физике возникают в результате измерения физических величин, а численное значение физической величины, получаемое в результате измерения, зависит:от того, как определена эта физическая величина;от используемых единиц измерения.

Поясним это замечание на следующем примере.

Поднявшись к леднику Голдвин-Остер, совместная советско-американская экспедиция альпинистов разбивают базовый лагерь на высоте 4910 метров над уровнем моря. В центре лагеря устанавливается флагшток высотой 6 метров, и на нем поднимается флаг экспедиции. Спрашивается: На какой высоте полощется флаг? Если бы этот вопрос задали журналисту, пишущему репортаж о восхождении, то он бы отметил так: «Флаг находится на высоте 6 метров». А если бы мы спросили у альпинистов, то получили бы ответ: «Флаг находится на высоте 4916 метров». Ответы получились разными, так как журналист и альпинист по-разному определяют высоту: первый имеет в виду высоту над землей, а второй - высоту над уровнем моря.

1.1 Обычная расческа и положительные и отрицательные числа

Выполним опыт.

Положите на стол несколько маленьких кусочков тонкой бумаги. Возьмите чистую сухую пластмассовую расческу и 2-3 раза проведите ею по своим волосам. Расчесывая волосы, вы должны услышать легкое потрескивание. Затем медленно поднесите расческу к клочкам бумаги. Вы увидите, что они сначала притягиваются к расческе, а потом отталкиваются от нее.

Этой же расческой можно притягивать воду. Такое притяжение легко наблюдать, если поднести расческу к тонкой струйке воды, спокойно вытекающей из крана. Вы увидите, что струйка заметно искривляется.

Теперь сверните из тонкой бумаги (лучше всего папиросной) две трубочки длиной 2-3см. и диаметром 0,5см. Подвесьте их рядом (так, чтобы они слегка касались друг друга) на шелковых нитках. Расчесав волосы, прикоснитесь расческой к бумажным трубочкам - они сразу разойдутся в стороны и останутся в таком положении (то есть нитки будут отклонены). Мы видим, что трубочки отталкиваются друг от друга.

Если у вас есть стеклянная палочка (или трубочка, или пробирка) и кусочек шелковой ткани, то опыты можно продолжить.

Потрите палочку о шелк и поднесите к обрывкам бумаги - они начнут «прыгать» на палочку точно так же, как и на расческу, и затем соскальзывать с нее. Струйка воды тоже отклоняется стеклянной палочкой, а бумажные трубочки, к которым вы палочкой прикоснулись, отталкиваются друг от друга.

А теперь возьмите одну палочку, к которой вы прикасались расческой, и вторую трубочку, - и поднесите друг к другу. Вы увидите, что они притягиваются друг к другу. Итак, в этих опытах проявляются силы притяжения и силы отталкивания. В опытах мы видели, что заряженные предметы (физики говорят - заряженные тела) могут притягиваться друг к другу, а могут и отталкиваться друг от друга. Это объясняется тем, что существует два вида, два сорта электрических зарядов, причем заряды одного и того же вида отталкиваются друг от друга, а заряды разных видов притягиваются.

1.2. С положительными и отрицательными числами по температурной шкале

Посмотрим на шкалу обычного уличного термометра.

Она имеет вид, изображенный на шкале 1. На ней нанесены только положительные числа, и поэтому при указании численного значения температуры приходится дополнительно пояснять 20 градусов тепла (выше нуля). Это для физиков неудобно - ведь слова в формулу не подставишь! Поэтому в физике применяется шкала с отрицательными числами (шкала 2).

1.3 Положительные и отрицательные числа на дороге

Понаблюдаем за движением автомашин по шоссе, стоя на обочине лицом к дороге. Два потока машин несутся навстречу друг другу. Вот, например, легковой автомобиль проносится мимо нас со скоростью 100 км/ч, а грузовик движется со скоростью 70 км/ч. Но этих чисел не достаточно, если мы хотим указать ещё и направление движения. Действительно, мы ведь должны ещё добавить, что легковой автомобиль едет вправо, а грузовик - влево.Таким образом, чтобы охарактеризовать движение автомобиля по шоссе, надо не только указать, как быстро он едет (то есть указать величину его скорости), но и дополнительно пояснить, куда, в каком направлении он едет - вправо или влево. Поэтому говорят, скорость автомобилей, движущихся вправо, считать положительной, а скорость автомобилей, движущихся влево, - отрицательной. То есть знак числа будет указывать направление скорости (направление движения) автомобилей.

Отметим, что «положительное» направление движения можно выбирать произвольно. Например, можно было бы положительным считать скорости автомобилей, движущихся влево. Тогда скорости автомобилей, движущихся вправо, выражались бы отрицательными числами.

1.4. Влияние отрицательных чисел на природу.

А теперь посмотрим, как влияют изменения температуры на явления, происходящие в природе? Почему листья деревьев и кустарников зеленые? В них присутствует вещество-хлорофилл. Однако хлорофилл не единственное красящее вещество в тканях растений. Наряду сними постоянно присутствуют особые пигменты, окрашивающие лист в другие тона. Например лист жёлтого цвета. Здесь присутствует пигмент, окрашивающий лист в желтый цвет. Вещество «Кеантоодиан»- чисто желтый. Корень моркови (цвет - оранжевый). «Кеантоодиан»- оранжевый. Эти пигменты есть во всех зеленых растениях. Осенью встречаются деревья, окрашенные в темно- красные тона, багряные. Но такие расцветки встречаются не у всех деревьев. В багрянец окрашиваются листья деревьев- осины, клёна, рябины, калины. У корня свеклы, корнеплода цвет обусловлен особым веществом, который называется антоцион. Можно поставить такой опыт: прокипятить свеклу + некоторое количество уксусной кислоты. Цвет интенсивно красный. Кроме этих веществ, в клетках накапливаются отрицательные вещества.

II. Вывод. Оказывается, с понижением температуры в природе происходит такое явление - как листопад. О листопаде есть много песен и стихотворений.

Падают, падают листья,

В нашем саду листопад,

Желтые, красные листья

По ветру вьются, летят…

Стихотворение «Листопад» И.А. Бунин, отрывок

Лес, точно терем расписной;

Лиловый, золотой, багряный.

Веселой, пестрою стеной

Стоит над солнечной поляной.

Березы желтою резьбой

Блестят в лазури голубой.

Красивый, желтый, бурый,

Золотистый, желто- зеленый

Лист пятнистый -

На землю падает, ложится.

Заключение

Подводя итоги нашей исследовательской работы, мы сделали вывод, что большинство опрошенных людей знают отрицательные числа, но есть и такие у которых представление отрицательных чисел неверное.

Работая с источниками, мы выяснили, что отрицательные числа больше всего встречаются в точных науках, в математике и физике.

В физике отрицательные числа возникают в результате измерений, вычислений физических величин. Отрицательное число - показывает величину электрического заряда. В других науках, как географии и истории, отрицательное число можно заменить словами, например, ниже уровня моря, а в истории - 157 лет до н.э.

В нашей работе в приложении мы собрали правила действий с отрицательными и положительными числами в стихотворной форме и предложили формулу для запоминания знака при выполнении действий.

Приложение

СТИХОТВОРЕНИЕ

«Сложение отрицательных чисел и чисел с разными знаками»

Правила сложения положительных и отрицательных чисел

Минус с минусом сложить,

Можно минус получить.

Если сложишь минус, плюс,

То получится конфуз?!

Знак числа ты выбирай

Что сильнее, не зевай!

Модули их отними,

Да все числа помири!

- Правила умножения можно истолковать и таким образом:

«Друг моего друга - мой друг»: + ∙ + = + .

«Враг моего врага - мой друг»: ─ ∙ ─ = +.

«Друг моего врага - мой враг»: + ∙ ─ =─.

«Враг моего друга - мой враг»: ─ ∙ + = ─.

Знак умножения есть точка, в ней три знака:

_

+_

+

_ _

+

+

Прикрой из них два, третий даст ответ.

Например.

Как определить знак произведения 2∙(-3)?

Закроем руками знаки «плюс» и «минус». Остаётся знак «минус»

Литература

1. Материалы 13-14 научно- практической конференции в г. Челябинске, 2007и 2009г.

2. Вигасин А.А,.Годер Г.И., «История древнего мира», учебник 5 кл.,2001.

3. Выговская В.В. « Поурочные разработки по Математике:6 класс» - М.:ВАКО, 2008г.

4. Журнал «Математика в школе» №4, 2010г.

5. Гельфман Э.Г. «Положительные и отрицательные числа», учебное пособие по математике для 6-го класса, 2001.

6. Глейзер Г.И. «История математики в школе», Москва, «Просвещение»,1981г

7. Гусев В.А., А.Г.Мордкович «Справочные материалы», «Просвещение», 1986г.

8. Детская научная энциклопедия «Я познаю мир», Москва, «Просвещение», 1995г.

9. Малыгин К.А. « Элементы историзма в преподавании математики в средней школе», Москва, «Просвещение», 1982г

10. Виленкин Н.Я «Математика 6 класс», «Мнемозина»,2009г

11. Фридман Л.М. «Изучаем математику», учебное издание, 1994