Элективный курс по математике

Решение иррациональных уравнений.

Учебно-тематический план.

Тема

Количество часов

1. Теория. Определение и решение простейших иррациональных уравнений.

3

2. Метод почленного возведения уравнения в квадрат.

2

3. Метод замены.

2

4. Метод сведения к системе.

2

5. Метод умножения на сопряженное.

1

6. Метод, основанный на использовании свойств функции.

1

7. Проверочная работа.

2

8. Анализ проверочной работы.

1

Итого

14

Пояснительная записка.

Предлагаемый элективный курс по профильной подготовке учащихся 9 классов, посвящен одному из интересных понятий современной математики - решению иррациональных уравнений.

Тема «Иррациональные уравнения» является одним из наиболее трудных разделов курса элементарной математики. На базе основной школы материал, связанный с этим вопросом, изучается недостаточно полно, многие важные моменты не входят в программу и, следовательно, не изучаются.

Цель данного элективного курса - прояснить и дополнить школьный материал, связанный с решением иррациональных уравнений.

В курсе заложена возможность дифференциального обучения как путем использования задач различного уровня сложности, так и на основе различной степени самостоятельности осваивания материала.

Следовательно, программа применима для самых разных групп школьников и, в том числе, не имеющих хорошей подготовки.

На изучение всего курса отводится 14 часов, по окончании предусмотрено зачетное мероприятие на 2 часа в виде проверочной работы.

1. Теория. Определение и решение простейших иррациональных уравнений.

Определение. Уравнение, в котором переменная входит в какое-либо выражение, стоящее под знаком корня, называется иррациональным уравнением с одной переменной.

Приведем примеры таких уравнений

1.

2.

3.

4.

5.

Решая иррациональные уравнения, мы стараемся свести его к уравнению (или системе), не содержащему радикалы. При этом используются свойства корней, возведение обеих частей уравнения в одну степень, метод подстановки и др. И далеко не всегда при этом следим за потерей корней или приобретением посторонних. Да у нас, собственно, и нет теоретической базы для этого. В школьных учебниках по алгебре и началам анализа нет стройной теории равносильности уравнений, неравенств, систем уравнений и систем неравенств.

Существует несколько определений понятия «равносильность» применительно к уравнениям, неравенствам, системам уравнений (неравенств) и им соответствующих теорий равносильности. Мы остановимся на определении равносильности уравнений на множестве.

Определение. Если всякий корень уравнения f₁(x)=g₁(x) (1), принадлежащий множеству М, является корнем уравнения f₂(x)=g₂(x) (2),а любой корень уравнения (2), принадлежащий М, является корнем уравнения (1), то эти уравнения называются равносильными на множестве М.

Если оба уравнения не имеют корней на множестве М, то они тоже считаются равносильными на этом множестве.

Теорема I. Уравнения f₁(x) = g₁(x) (1) и f²ⁿ⁺¹(x) = g²ⁿ⁺¹(x) (2), где nN, равносильны в области уравнения (1).

Пример. Уравнение 2х1 = х2 равносильно уравнению (2х1)³ = (х2)³ на множестве R.

Теорема II. Уравнения f(x) = g(x) (1 равносильно уравнению f²ⁿ(x)= g²ⁿ(x), nN, (2) на множестве решений неравенства f(x)  g(x)  0.

Пример. Уравнения 2х1 = х2 и (2х1)² = (х2)² равносильны на множестве являющемся множеством решения неравенства (2х1)(х2)  0.

Следствие 1. Уравнение равносильно уравнению f(x)=g²ⁿ(x) на множестве решений системы

f(x)  0,

g(x)  0.

Пример. Уравнение равносильно уравнению 2х-1 = (х-2)² на множестве [2; +]. Корнем будет число 5. Для более компактной записи решения мы можем от уравнения перейти к решению системы

, заметив, что условие 2х1  0 выполняется автоматически.

Следствие 2. Уравнение (1), равносильно системе

(2) в своей области определения.

Теорема III. Уравнение (1) f ⁿ(x) = g ⁿ(x), где nN, является следствием уравнения (2) f(x) = g(x).

Пример. Уравнение 2х1 = (х2)² содержит все корни уравнения .

А теперь перейдем к рассмотрению приемов решения иррациональных уравнений.

1. Подготовительные упражнения

Следующие уравнения решите устно

1) 8) .

2) 9) .

3) . 10)

4) 11)

5) 12)

6) . 13)

7) .

2. Анализ области определения уравнения

Довольно часто, решая иррациональные уравнения, мы начинаем с нахождения его области определения. И нередко этого бывает достаточно, чтобы найти множество корней уравнения.

1) Решите уравнение

Решение

О.О.У.:

Итак, в область определения данного уравнения входят только числа 1 и 3. Проверкой убеждаемся, что х = 3 - корень.

2) Решите уравнение

Решение

О.О.У.: . Легко видеть, что при , а Поэтому данное уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет.

3) Решите уравнение .

Решение

О.О.У.:

Данное уравнение не определено ни при одном значении х. Поэтому решений не имеет.

Ответ: решений нет.

4) Решите уравнение

Решение

О.О.У.:

Итак, у(; 1]U[6; +). Сумма неотрицательных чисел равна нулю, если все они равны 0. Значит, данному уравнению удовлетворяет только у = 1.

Ответ: 1.

5) Решите уравнение

Решение

О.О.У.: х²  2х  3  0

Перепишем уравнение в виде . Пользуясь определением арифметического квадратного корня, заключаем, что корнем данного уравнения может быть только такое число из О.О.У., при котором (х3)(1х)  0:

Ответ: 3.

При решении иррациональных уравнений другими приемами мы убедимся, что не всегда нужно будет находить О.О.У., а иногда это будет просто очень сложно сделать. Но во многих случаях нахождение О.О.У. полезно, т.к. сужает круг ненужных проверок. А если О.О.У. - конечное множество чисел, то остается только проверить эти найденные числа подстановкой в исходное уравнение.

3. Простейшие иррациональные уравнения

Простейшими иррациональными уравнениями будем называть уравнения вида (1) и (2) , где nN. Именно к таким уравнениям сводятся многие более сложные иррациональные уравнения.

По следствию 2 из теоремы равносильности II, решая уравнение , достаточно решить систему Заметим, что неравенство f(x) 0 выполняется автоматически, т.к. f(x) = g²ⁿ(x), где g²ⁿ(x)0. Поэтому область определения данного уравнения устанавливать не надо. Это будет лишним.

Уравнение (1) равносильно уравнению (2) f(x) = g²ⁿ⁺¹(x) в области определения уравнения (1) (т. I). Заметим, что области определения уравнений (1) и (2) совпадают. Решим несколько простейших иррациональных уравнений.

1)

Решение

Переходим к системе равносильной данному уравнению в области его определения:

х = 3.

Ответ: 3.

2) .

Решение

Решаем систему

Ответ: 2; 3.

3) Решите уравнение .

Решение

Возводя обе части уравнения в куб, получим уравнение, равносильное данному: 7  х = 1, х = 8.

Ответ: 8.

4) Решите уравнение .

Решение

Составим и решим систему:

Квадратное уравнение действительных корней не имеет.

Ответ: решений нет.

5) Решите уравнение .

Решение

Достаточно решить систему которая сводится к совокупности двух систем:

Ответ: 2; 3.

6) Решите уравнение .

Решение

Уединив радикал, перейдем к уравнению .

А теперь, возведя обе части уравнения в квадрат, составим систему

равносильную данному уравнению в области его определения. Учтем, что х + 4 > 0 при х  3,5:

Перенесем все члены уравнения системы в одну часть и вынесем общий множитель за скобки:

Ответ: ; 0.

2. Метод почленного возведения уравнения в квадрат.

Наиболее распространенным приемом решения иррациональных уравнений, содержащих квадратные корни, является возведение обеих частей уравнения в квадрат. По теореме III полученное уравнение будет следствием данного, т.е. содержит все корни данного. Учащимся рекомендуется потом просто сделать проверку. Но есть такие уравнения, когда проверку сделать довольно сложно. Например, надо решить уравнение . Возводим обе части в квадрат, а потом еще раз в квадрат. Получим уравнение , у которого ; . Вряд ли кому захочется проверять полученные данные х.

Ответ: .

Но бывает и обратная ситуация. Решая уравнение , легче проверить корни уравнения х² + х - 6 = 0, полученного возведением в квадрат обеих частей данного уравния.

Ответ: 2.

Рассмотрим несколько упражнений.

1) Решите уравнение .

Установим О.О.У.: 6  х  4

Перепишем данное уравнение в виде . Мы видим, что обе части второго уравнения неотрицательны при любом х[6; 4]. Поэтому, возведя обе части в квадрат, получим уравнение, равносильное данному в О.О.У. (т.II):

, .

Возведя в квадрат обе части последнего уравнения, надо учесть, что должно выполняться неравенство х 1  0 в области определения данного уравнения:

Следовательно, уравнение 4(4х) = (х1)² равносильно данному на множестве М = [1; 4]. Найдем корни полученного квадратного уравнения: х² +2х  15 = 0,

Ответ: 3.

Проверку делать, конечно, не надо, т.к. мы решали уравнение, соблюдая равносильность при переходе от одного уравнения к другому.

2) Решите уравнение .

Решение

Область определения уравнения устанавливать не будем. Перенесем в правую часть: . Возведем обе части уравнения в квадрат (т.III):

,

.

Еще раз обе части возведем в квадрат:

8х² +9х  1 = 9х² + 6х + 1,

х²  3 + 2 = 0,

Необходима проверка.

Ответ: 1; 2.

3) Решите уравнение.

Решение

О.О.У.:

Возведем обе части уравнения в квадрат (т.II):

.

Учтем, что 19  10х  0: х  1,9.

Тогда, с учетом О.О.У., х. Еще раз возводим в квадрат обе части последнего уравнения (т.II):

99х² 18х = 361  380х + х²,

х² 362х + 361 = 0,

х = 1,

х = 361

Ответ: 1.

4) Решите уравнение

Решение

О.О.У.: х  1.

Возводим обе части уравнения в квадрат (т.II):

Заметим, что 15 - 3х  0 : х  5.

На множестве [1; 5] данное уравнение равносильно уравнению 4(2х² - 2) = (15 - 3х)². Решив уравнение х² - 90х + 233 = 0, найдем его корни: . Множеству [1; 5] принадлежит только х₂.

Ответ:

5) Решите уравнение

Решение

О.О.У.:

Переписав данное уравнение в виде , возведем обе его части в квадрат (т.II): . Если данное уравнение имеет корни, то они должны принадлежать множеству .

Возводим в квадрат обе части последнего уравнения:

3х² - 20х + 33 = 25 - 10х + х²,

х² - 5х

х = 1,

х = 4.

Ответ: 4.

3. Метод замены.

1) Решите уравнение .

Решение

Представим данное уравнение в виде .

Пусть , где t  0, тогда х²+5х+1 = t²; и

Получим уравнение: 2t = 3t² +5

3t² +2t5 = 0:

Остается решить уравнение:

х² + 5х + 1 = 1

х² + 5х = 0

х = 0 или х = 5

Ответ: 0; 5.

2) Решите уравнение

Решение

Пусть х²+х+2 = у, у  0, тогда х²+х+7 = у+5 и 3х²+3х+6+13 = 3у+13.

Имеем: . Возведем обе части уравнения в квадрат: ,

.

Возведем обе части уравнения в квадрат: 4у (у+5) = (у+8)², упростив, получим 3у²+4у64 = 0:

Остается решить уравнение:

х² + х + 2 = 4

х² + х  2 = 0

х = 2

х = 1

Ответ: 2; 1.

3) Решите уравнение

Решение

О.О.У.: х  5.

Представим данное уравнение в виде:

И далее:

Пусть , где у  0.

Получим уравнение у² + 2у - 48 = 0 : у = 6.

Остается решить уравнение : ,

Ответ: .

4) Решите уравнение .

Решение

Пусть , где у  0: 2х - 1 = у², Данное уравнение относительно у примет вид :

у = 2.

, 2х - 1 = 4, х = 2,5.

Ответ: 2,5.

5) Решите уравнение

Решение

Пусть , где у  0. Выразим х через у: у² = х - 1, х = у² + 1. Перейдем к уравнению относительно у:

Раскроем модули.

Получим совокупность трех систем:

2  у  3.

И далее , 4  х - 1  9, 5  х  10.

Ответ: [5; 10].

6) Решите уравнение

Решение

Пусть , где t  0. Перепишем данное уравнение в виде .

И тогда имеем t = 0

Достаточно решить уравнение :

Ответ: 6; 7.

7) Решите уравнение .

Решение

Пусть , где у  0. Тогда х² -3х + 24 = у², х² - 3х = у² - 24. Переходим к системе

у = 8.

Решаем уравнение : х² - 3х + 24 = 64,

х² - 3х - 40 = 0,

Ответ: 5; 8.

4. Метод сведения к системе.

1) Решите уравнение

Решение

Пусть , где u  0; , где v  0. Тогда получим систему уравнений

u - v = 1, u - v = 1, u - v = 1, u = 4,

u² - v² = 7: (u + v)(u - v) = 7, u + v = 7, v = 3.

Достаточно теперь решить уравнение

:х² = 25, х = 5

Ответ: 5; 5.

2) Решите уравнение

Решение

Пусть , . Составим систему

u- v = 1, u - v = 1, u - v = 1,

u³ - v³ = 37: u² + uv + v² = 37, (u - v)² + 3 uv = 37,

Переходим к уравнениям относительно х:

Ответ: 61, 30.

3) Решите уравнение

Решение

Пусть , :

Вводим еще одну замену: Получим систему

И далее: Составляем квадратное уравнение

t² - 2t - 3 = 0:

Решаем теперь совокупность

Ответ: 15; 13

4) Решите уравнение

Решение

Обозначим u = x, , где v 0.

Пусть Тогда переходим к системе

Вторая система действительных корней не имеет. Запишем решение первой системы:

И далее:

Ответ: 1; 4.

5. Метод умножения на сопряженное.

1) Решите уравнение

Решение

О.О.У.: х  1.

Умножим обе части данного уравнения на . Если это выражение в О.О.У. обращается в 0, то полученное уравнение является следствием данного. Чтобы не делать проверку, узнаем, когда выражение станет равно нулю: , х = 0. Легко видеть, что х = 0 не является корнем данного уравнения. Поэтому исходное уравнение в О.О.У. равносильно системе

И далее: х = 2.

Ответ: 2.

2) Решите уравнение

Решение

О.О.У.: R. Умножим обе части уравнения на выражение , которое обращается в 0 при х = 0, не являющемся корнем данного уравнения. Получим систему

равносильную исходному уравнению на множестве R:

Присоединим к этой системе данное уравнение:

Сложим почленно обе части уравнений:

Ответ: 4.

Анализируя процесс решения уравнения, мы видим, что фактически пришлось проверить х = 4 подстановкой в данное уравнение. Дело в том, что при почленном сложении обеих частей уравнений получается уравнение - следствие.

3) (1).

Решение

О.О.У.: R.

Умножим обе части уравнения на выражение , которое не обращается в 0 ни при каком х из О.О.У. Получим: ,

.

Разделим левую и правую части уравнения на выражение 3х.

Видим, что х = 3 - корень данного уравнения. Получим:

(2).

Сложим почленно (1) уравнение со (2), получим:

Ответ: 3; .

6. Метод, основанный на использовании свойств функций.

Есть немало иррациональных уравнений, которые не решаются приемами, разобранными нами ранее. Приходится искать искусственные приемы. А иногда бывает полезным использовать знание области определения функций, входящих в уравнение, а также такие их свойства, как монотонность, ограниченность и т.д.

1) Решите уравнение

Решение

Легко видеть, что х = 0 - корень данного уравнения. В левой части уравнения стоит функция, являющаяся суммой двух возрастающих функций, а потому и сама возрастает на множестве R. Следовательно, каждое свое значение она принимает только один раз. Значит, других решений, кроме х=0, данное уравнение не имеет.

Ответ: 0.

2) Решите уравнение

Решение

О.О.У.:

Функция возрастает в О.О.У.; а - убывает. Поэтому данное уравнение может иметь не более одного корня, значение которого в данном случае легко подбирается: х = 1.

Ответ: 1.

3) Решите уравнение

Решение

О.О.У.: R

Заметим, что В это же время Следовательно, левая и правая части данного уравнения могут быть равны, если они одновременно равны 5. Поэтому единственным решением исходного уравнения является х = 0.

Ответ: 0.

4) Решите уравнение .

Решение

О.О.У.: [1; 3].

Легко видеть, что х = 2 - корень уравнения.

В левой части уравнения стоит функция, которая определена при х > 1 и возрастает на всей области определения.

В правой части уравнения стоит функция, которая определена при х < 3 и убывает на всей области определения. Поэтому данное уравнение может иметь не более одного корня.

Ответ: 2.

Литература:

1. Шахмейстер А.Х.»Иррациональные уравнения и неравенства» Лабиринт

Издательство: МЦНМО, 2008

2. М.Я.Выгодский. Справочник по элементарной математике - Москва: Издательство

«Наука», 1986.

3. Гараев Н.Г., Исханов Э.М. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы.

4.Потапов М., Нестеренко Н. Уравнения, неравенства.

5.Сканави М.И. Сборник конкурсных заданий по математике для поступающих в ВУЗы.

7. Проверочная работа.

Решение проверочной работы.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

64(х  1) = (1  х)².

Учтем, что (х  1)² = (1  х)².

(х  1)(64  х + 1) = 0;

Проверка.

1. х = 1.

2 = 2 - истина.

2 х = 65.

18 = 14 - ложь.

Ответ: 1.

Составим систему, равносильную данному уравнению:

Ответ: 1;

Введем подстановку; , тогда

х² + х  1 = t²; х² - х + 1 = t²; х² - х + 6 = t² + 5.

Исходное уравнение примет вид

t = 1.

Возвращаемся к переменной х

Ответ: 2; 1.

Введем подстановку; .

Исходное уравнение примет вид

Возвращаясь к переменной х, получаем

Взведем в квадрат обе части уравнений системы:

Ответ: 1; .

Введем подстановку: и

Тогда х = а²; х + 2 = b²; b² а² = 2.

Используя исходное уравнение, составим систему

а² + а + b + ab = 3 а(а + b) + (а + b) = 3 (а + b)(а + 1) = 3

b² а² = 2; (b  а)( b + а) = 2; (b  а)( b + а) = 2.

Из первого уравнения найдем . Подставив это значение во второе уравнение, получим

Из второго уравнения найдем . Подставив это значение в первое уравнение, получим

Возвращаясь к переменной х, получаем т.е. - корень данного уравнения.

Ответ:

Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на выражение, сопряженное знаменателю:

Умножим правую и левую часть на .

Получим:

х  2  0

х²  4х + 4 = 2х + х² 6х = 4 .

Так как х  2, то не может быть корнем. Значит, уравнение корней не имеет.

Ответ: .

8. Анализ проверочной работы.

По итогам проведения работы рекомендуем сделать анализ.

Разобрать типичные ошибки. Рассмотреть задания, вызвавшие затруднения у учащихся, сделать выводы.