Учебно-методические рекомендации

для выполнения самостоятельной работы студентов

по учебной дисциплине «Математика»

разработаны для специальности среднего профессионального образования 034702 «Документационное обеспечение управления и архивоведение»

Методические рекомендации учебной дисциплины «Математика» разработана для специальности среднего профессионального образования 034702 «Документационное обеспечение управления и архивоведение» на основе примерной программы учебной дисциплины «Математика» для профессий начального профессионального образования и специальностей среднего профессионального образования одобренной ФГУ ФИРО в 2008 году.

Организация-разработчик: Областное государственное автономное профессиональное образовательное учреждение «Белгородский педагогический колледж».

Разработчик: Киреева О.В., преподаватель математики высшей категории Областное государственное автономное профессиональное образовательное учреждение «Белгородский педагогический колледж».

Содержание

Введение 4

Пояснительная записка 6

Объем и виды самостоятельной работы по ОДБ Математика 9

Тема 1. Развитие понятия о числе 11

Тема 2. Корни, степени и логарифмы 14

Тема 3. Прямые и плоскости в пространстве 26

Тема 4. Элементы комбинаторики 27

Возможны следующие наборы ( указываются номера книг) 29

1 2 1 3 1 4 29

2 3 2 4 3 4 29

Задача 2. В хирургическом отделении работают 40 врачей. Сколькими способами из них можно образовать бригаду в составе: а) хирурга и ассистента; б) хирурга и четырех его ассистентов? 30

Решение: а) 1 способ. = = 40 · 39 = 1560 ; 30

Тема 5. Координаты и векторы 34

Тема 6. Основы тригонометрии 44

Тема 7. Функции, их свойства и графики. Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции 46

Тема 8. Многогранники и их основные свойства 48

Тема 9. Тела и поверхности вращения 50

Тема 10. Начала математического анализа 57

Тема 11. Измерения в геометрии 65

Тема 12. Элементы теории вероятностей и математической статистики 74

Тема 13. Уравнения и неравенства 75

Приложение 1 86

Приложение 2 89

Приложение 3 90

Приложение 4 91

Приложение 5 94

Приложение 6 100

Введение

Требования работодателей к современному специалисту, а также федеральный государственный образовательный стандарт СПО ориентированы прежде всего на умения самостоятельной деятельности и творческий подход к специальности. Профессиональный рост специалиста, его социальная востребованность, как никогда, зависят от умения проявить инициативу, решить нестандартную задачу, от способности к планированию и прогнозированию самостоятельных действий. Стратегическим направлением повышения качества образования в этих условиях является оптимизация системы управления учебной работой обучаемых, в том числе и их самостоятельной работой.

Переход на компетентностную модель образования, введение системы непрерывного образования «через всю жизнь» предполагает значительное увеличение доли самостоятельной познавательной деятельности студентов.

Превращение студента из объекта педагогического воздействия в активно-действующего субъекта образовательного процесса, выстраивающего своё образование совместно с преподавателем, является необходимым условием достижения им соответствующих компетенций. Более того, самостоятельная работа студента направлена не только на достижение учебных целей - обретение соответствующих компетенций, но и на формирование самостоятельной жизненной позиции как личностной характеристики будущего специалиста, повышающей его познавательную, социальную и профессиональную мобильность, формирующую у него активное и ответственное отношение к жизни.

Предметно и содержательно самостоятельная работа регламентирована государственным образовательным стандартом среднего профессионального образования третьего поколения, основной профессиональной образовательной программой по специальности, нормативно - правовыми документами федерального и локального уровней.

Методологическую основу самостоятельной работы студентов составляет компетентностный подход в образовании, на базе которого осуществляется формирование общих и профессиональных компетенций самостоятельного труда специалиста, необходимых как для самообразования, так и для дальнейшего повышения квалификации в системе непрерывного образования, развития профессиональной карьеры.

Внеаудиторная самостоятельная работа - планируемая учебная, учебно-исследовательская работа студентов, выполняемая вне занятий по заданию и при управлении преподавателем, но без его непосредственного участия.

Самостоятельная работа проводится с целью:

- систематизации и закрепления полученных теоретических знаний и практических умений обучающихся;

- углубления и расширения теоретических знаний;

- формирования умений использовать нормативную, правовую, справочную документацию и специальную литературу;

- развития познавательных способностей и активности обучающихся: творческой инициативы, самостоятельности, ответственности, организованности;

- формирования самостоятельности мышления, способностей к саморазвитию, совершенствованию и самоорганизации;

- формирования общих и профессиональных компетенций;

- развитию исследовательских умений.

Пояснительная записка

Программа учебной дисциплины является частью основной профессиональной образовательной программы в соответствии с ФГОС по специальности 034702 «Документационное обеспечение управления и архивоведение».

Учебная дисциплина входит в раздел общеобразовательного цикла по специальности 034702 «Документационное обеспечение управления и архивоведение».

В результате изучения учебной дисциплины обучающийся должен уметь:

- выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения;

- находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах;

- выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

- вычислять значение функции по заданному значению аргумента при различных способах задания функции;

- определять основные свойства числовых функций, иллюстрировать их на графиках;

- строить графики изученных функций, иллюстрировать по графику свойства элементарных функций;

- использовать понятие функции для описания и анализа зависимостей величин;

- находить производные элементарных функций;

- использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков;

- применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения;

- вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла;

- решать рациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения, сводящиеся к линейным и квадратным, а также аналогичные неравенства и системы;

- использовать графический метод решения уравнений и неравенств;

- изображать на координатной плоскости решения уравнений, неравенств и систем с двумя неизвестными;

- составлять и решать уравнения и неравенства, связывающие неизвестные величины в текстовых (в том числе прикладных) задачах;

- решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул;

- вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

- распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями;

- описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении;

- анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве;

- изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач;

- строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды;

- решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

- использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

- проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач.

В результате изучения дисциплины обучающийся должен знать:

- значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;

- значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии;

- универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности;

- вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

Методические рекомендации по выполнению внеаудиторных самостоятельных работ учебной дисциплины «Математика» раскрывают у студентов формирование системы знаний, практических умений и объяснения уровня образованности и уровня подготовки студентов по специальности 034702 «Документационное обеспечение управления и архивоведение». Изучение программного материала должно способствовать формированию у студентов необходимых для профессиональной деятельности знаний и навыков.

Методические рекомендации предназначены для самостоятельной работы студента при освоении учебной дисциплины «Математика» и является составной частью процесса подготовки специалистов, предусмотренной ФГОС среднего профессионального образования

В соответствии с содержанием рабочей программы по дисциплине основными формами организации самостоятельной работы студентов являются:

1. Письменные ответы на вопросы к изученной теме.

2. Внеаудиторная (домашняя) контрольная работа.

3. Подготовка и написание рефератов, докладов.

4. Оформление мультимедийных презентаций, слайдового сопровождения докладов.

5. Изготовление наглядных пособий, макетов.

6. Подготовка графических диктантов, кроссвордов, глоссариев, тестов.

7. Участие в различных дистанционных математических конкурсах, олимпиадах, викторинах.

Рекомендуемое количество часов на освоение программы дисциплины:

максимальной учебной нагрузки обучающегося 177 часов, в том числе:

обязательной аудиторной учебной нагрузки обучающегося 118 часов;

самостоятельной работы обучающегося 59 часов.

Объем и виды самостоятельной работы по ОДБ Математика

Наименование разделов и тем

Содержание

самостоятельной работы обучающихся

Объем часов

1

2

3

Тема 1.

Развитие понятия о числе

Самостоятельная работа 1 «Преобразование дробей»

3

Тема 2.

Корни, степени и логарифмы

Самостоятельная работа 2.1 «Корни»

2

Самостоятельная работа 2.2 «Действия со степенями»

2

Контрольная работа 2.3 «Свойства логарифмов»

2

Тема 3.

Прямые и плоскости в пространстве

Проработка конспектов занятий (по вопросам, составленным преподавателем)

2

Подготовка сообщений об истории математики

2

Тема 4.

Элементы комбинаторики

Тест 4.1 «Элементы комбинаторики»

4

Тема 5.

Координаты и векторы

Самостоятельная работа 5.1 «Координаты и векторы в пространстве»

3

Тема 6. Основы тригонометрии

Проработка конспектов занятий (по вопросам, составленным преподавателем).

3

Подготовка сообщений об истории математики

3

Тема 7.

Функции, их свойства и графики.

Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции

Проработка конспектов занятий (по вопросам, составленным преподавателем)

2

Подготовка, составление и защита кроссворда

2

Тема 8.

Многогранники

Проработка конспектов занятий (по вопросам, составленным преподавателем)

2

Подготовка презентации по теме

3

Тема 9.

Тела и поверхности вращения

Самостоятельная работа 9.1

1

Самостоятельная работа 9.2

1

Тема 10.

Начала математического анализа

Самостоятельная работа 10.1 «Производная»

2

Самостоятельная работа 10.3 «Первообразная»

2

Подготовка презентации об истории математики

3

Тема 11.

Измерения в геометрии

Самостоятельная работа 11 «Объемы тел»

3

Тема 12.

Элементы теории

вероятностей.

Элементы математической статистики

Проработка конспектов занятий (по вопросам, составленным преподавателем)

3

Составление кроссворда по теме «Элементы теории вероятностей. Элементы математической статистики»

3

Тема 13.

Уравнения и неравенства

Самостоятельная работа 13 по теме «Уравнения и неравенства»

6

Составление кроссворда по истории математики

2

Всего:

59

Тема 1. Развитие понятия о числе

1. Преобразование дробей

Практическая работа состоит из двух частей - теоретической и практической. После изучения теоретического материала можно приступать к выполнению практической части. Она состоит из одной или более задач для самостоятельного выполнения. Не забывайте о правильном оформлении решения

Порядок выполнения работы

1. Рассмотрите теоретический материал по теме и примеры решения задач (приведены ниже).

2. Решите самостоятельную работу. Оформите решение письменно в тетради.

Теоретический материал.

Правило перевода периодической десятичной дроби в обыкновенную.

Самостоятельная работа 1. «Преобразование дробей»

1 вариант

2 вариант

Количество баллов за задание

1 задание - 2 балла, 2 задание - 2 балла, 3 задание - 2 балла, 4 задание - 1 балл, 5 задание - 4 балла, 6 задание - 4 балла

Тема 2. Корни, степени и логарифмы

2.1 Корни

Практическая самостоятельная работа состоит из двух частей - теоретической и практической. После изучения теоретического материала можно приступать к выполнению практической части. Она состоит из одной или более задач для самостоятельного выполнения. Не забывайте о правильном оформлении решения

Порядок выполнения работы

1. Рассмотрите теоретический материал по теме и примеры решения задач (приведены ниже).

2. Решите самостоятельную работу. Оформите решение письменно в тетради.

Теоретический материал.

Основные свойства корней

Примеры решения упражнений:

№1. Вычислить:

а) ; б); в) г)

Решение:

а) =-; б) =2;

в) = ; г)

№2. Решите уравнение

а)х⁶=5; б) х³=5;

Решение:

а) х⁶=5;

так как 6- четное число, то уравнение имеет два корня

Ответ: .

б) х³=5;

так как 3-нечетное число, то уравнение имеет один корень.

.

Ответ:

Для арифметического корня n-й степени, как и для квадратного корня, существуют операции внесения множителя под знак корня и вынесение множителя из-под знака корня.

Например:

2.

Из примера видно, что для внесения множителя под знак корня n-й степени его нужно

возвести в n-ю степень. Нужно помнить, что под знак с четным показателем мы имеем право внести только положительный множитель, например:

Аналогично производится вынесение множителя из-под знака корня , например:

а)

б)

в)

Самостоятельная работа 2.1 «Корни»

1 вариант

2 вариант

№1 Вычислить: 2 балла

а) б) ;

в) ; г) .

№2. Решите уравнение: 2 балла

а) х³=64; б)х⁴- 81=0;

в) 16х⁴-1=0; г)12.

№3. Вычислить: 2 балла

а) б);

в) г)

№4. Упростите выражение: 2 балла

а)

б);

в);

г)

д) : е)

№5. Вынесите множитель из-под знака корня. 2 балла

а)

б)

№6. Внесите множитель под знак корня. 2 балла

2a·a > 0

2b·b > 0

Критерии оценки

Количество набранных баллов

оценка

6-8

3

9-10

4

11-12

5

2.2 Степени

Практическая самостоятельная работа состоит из двух частей - теоретической и практической. После изучения теоретического материала можно приступать к выполнению практической части. Она состоит из одной или более задач для самостоятельного выполнения. Не забывайте о правильном оформлении решения

Порядок выполнения работы

1. Рассмотрите теоретический материал по теме и примеры решения задач (приведены ниже).

2. Решите самостоятельную работу. Оформите решение письменно в тетради.

Теоретическая часть

Определение: Степенью числа а>0 с рациональным показателем , где m - целое число, а n - натуральное число, большее 1, называется число .

Следовательно, по определению, .

!!! Обратите внимание: степень с рациональным показателем определена только для положительных чисел а.

!!! Степень числа 0 определена только для положительных показателей, по определению , для любого r>0.

Для степени с рациональным показателем сохраняются все выше сформулированные свойства степеней с целым показателем.

Вот эти свойства:

Для любых положительных чисел а и b и любых рациональных чисел r и s справедливы равенства:

Приведём несколько примеров:

а) Найти значение выражения:

Решение: .

б) Преобразуйте выражения:

1. 2.

Решение: 1.

2.

Самостоятельная работа 2.2 «Действия со степенями»

№

1 вариант

2 вариант

1. вычислите

2 балла

2. упростите

2 балла

3. упростите

2 балла

4. найдите значение выражения

2 балла

5. Упростите выражение

2 балла

6. Упростите, применив формулы сокращенного умножения

2 балла

(m-n)

Критерии оценки

Количество набранных баллов

оценка

6-8

3

9-10

4

11-14

5

2.3 Логарифмы

Практическая самостоятельная работа состоит из двух частей - теоретической и практической. После изучения теоретического материала можно приступать к выполнению практической части. Она состоит из одной или более задач для самостоятельного выполнения. Не забывайте о правильном оформлении решения

Порядок выполнения работы

3. Рассмотрите теоретический материал по теме и примеры решения задач (приведены ниже).

4. Решите самостоятельную работу. Оформите решение письменно в тетради.

Теоретическая часть

Логарифм положительного числа по основанию (обозначается log_ab) - это показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить (числа b, a - положительные, а≠ 1).

Если a ^с = b, то log_аb= с

Основное логарифмическое тождество

Частные случаи логарифма

log_а1 = 0

log_аа = 1

log_aa^x = x

Понятие логарифма числа вводится при решении показательных уравнений, например, решим уравнение , в котором необходимо найти показатель х, представим правую часть уравнения в виде двух в четвертой степени . В этом уравнении удалось левую и правую части представить в виде степени с одинаковым основанием 2. Ответ такого уравнения . Но уравнение таким способом решить не удается. А корень все-таки есть. Этот корень называют логарифмом числа b по основанию а и обозначают log_аb. Например, корнем уравнения является число 4, т.е log₂16=4.

Логарифмом положительного числа b по основанию a, где а>0, а1 называется показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получить число b.

Из определения следует, что записи log_аb=х. и а^х=b равносильны.

Например, log₂8=3, потому что при возведении основания 2 в степень 3 получается 8: 2³=8, действительно 222=2³=8. Значит в результате вычисления логарифма 8 по основанию 2 получается показатель степени двойки, при возведении в которую получаем восемь.

Определение логарифма можно кратко записать так: . Это равенство справедливо при b>0, a>0, а1. Его обычно называют основным логарифмическим тождеством.

Для вычислений значений логарифмов полезно использовать значения степени следующих чисел:

2¹ = 2

2² = 4

2³ = 8

2⁴ = 16

2⁵ = 32

2⁶ = 64

2⁷ = 128

2⁸ = 256

2⁹ = 512

2¹⁰ = 1024

3¹ = 3

3² = 9

3³ = 27

3⁴ = 81

3⁵ = 243

4¹ = 4

4² = 16

4³ = 64

4⁴ = 256

4⁵ = 1024

5¹ = 5

5² = 25

5³ = 125

5⁴ = 625

6¹ = 6

6² = 36

6³ = 216

7¹ = 7

7² = 49

7³ = 343

8¹ = 8

8² = 64

8³ = 512

9¹ = 9

9² = 81

9³ = 729

10¹ = 10

10² = 100

10³ = 1000 и т.д.

Также необходимо помнить правила возведения чисел в степень с отрицательным, дробным и нулевым показателем: а⁰=1; ;

Пример 1. , т.к. 3³=27

Пример 2. , т.к. 3⁰=1

Пример 3. , т.к. 2^-1=

Пример 4. Вычислить

_{Пусть. По определению логарифма 32}^t_{=64. Это простейшее показательное уравнение. 32=2}⁵_{, 64=2}⁶_{, поэтому (2}⁵₎^t₌₂⁶_{; 2}^5t₌₂⁶ _{; 5t=6, t=}

Ответ:

Пример 5. Вычислить

Используя свойства степени и основное логарифмическое тождество, находим

Пример 6.

Для некоторых логарифмов имеются специальные обозначения: десятичный log₁₀х=lgx, натуральный log_ех=lnx.

Пример 7. lg1000=3 , т.к. 10³=3

Пример 8. lg0,01=-2 , т.к. 10^-2==0,01

Примеры для самостоятельного решения:

Ответы:

Преобразование логарифмических выражений

При выполнении преобразований выражений, содержащих логарифмы, при вычислениях и при решении уравнений часто используются различные свойства логарифмов. Рассмотрим основные из них.

Пусть а>0, а1, b>0, с>0, p - любое действительное число. Тогда справедливы формулы

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Формулы (1) и (2) можно применять к выражениям, содержащим логарифмы с одинаковыми основаниями.

Формулы (4) и (5) позволяют переходить от одного основания логарифмов к другому.

Пример 1. Вычислить:

На основе формул (1) и (2) преобразуем

Теперь можно применить формулу (4), т. е. перейти к новому основанию, в данном примере логарифмы чисел 16 и 8 легко вычислить при основании 2, тогда

Пример 2. Вычислить

Применим формулу (3), для этого вспомним определение степени с рациональным показателем (), тогда

Пример 3. Зная, что , найти

Применяем формулу (1)

Пример 4. Прологарифмировать выражение по основанию 5.

Запишем данное выражение в виде

Теперь применим формулы (1), (2) и (3)

Пример5. Найти х по данному его логарифму (а>0,b>0):

В этом примере необходимо правую часть представить в виде одного логарифма по основанию 4:

(2 представили в виде log₄16)

(применили формулы (1), (2) и (3))

Примеры для самостоятельного решения:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. Зная, что , найти

9. Прологарифмировать выражение по основанию 10.

10. Найти х по данному его логарифму (а>0,b>0):

Ответы:

Контрольная работа 2.3 «Свойства логарифмов»

1. Вычислить:

_3.

5.

7.

9.

_2.

_4.

6.

8.

10.

2. Вычислить:

1. 

3.

5.

7.

9.

2. 

4.

6.

8.

10.

3. Вычислить:

   1. 

   3.

   5.

   7.

   9.

   2. 

   4.

   6.

   8.

   10.

   
   

4. Вычислить:

1. 

3.

5.

7.

2.

4.

6.

8.

9.

10.

5. Вычислить:

6. Вычислить:

1.

3.

5.

7.

9.

2.

4.

6.

8.

10.

7. Доказать тождество:

8. Найти значение выражения:

   1. , если

   6. , если

   
   

   2. , если

   
   

   7. , если

   
   

   3. , если

   
   

   7. , если

   4. , если

   
   

   7. , если

   5. , если

   
   

   7. , если

   
   

9. Прологарифмировать выражение:

1.по основанию 2

6. по основанию 4

2. по основанию 3

7. по основанию 2

3. по основанию 5

8. по основанию 8

4. по основанию 3

9. по основанию 9

5. по основанию 6

10. по основанию 10

10. Найти х по данному его логарифму (а>0,m>0,c>0,h>0,n>0,k>0):

1.

6.

2.

7.

3.

8.

4.

9.

5.

10.

Тема 3. Прямые и плоскости в пространстве

Ответьте на следующие вопросы

1. Какой раздел геометрии называется стереометрией?

2. Какие предложения называются аксиомами?

3. Какие предложения называются теоремами?

4. Сформулируйте аксиомы плоскости и следствия из них.

5. Назовите возможные варианты взаимного положения прямых в пространстве.

6. Перечислите возможные варианты взаимного положения прямой и плоскости в пространстве.

7. Приведите возможные варианты взаимного положения двух плоскостей в пространстве.

8. Назовите признак параллельности прямой и плоскости.

9. Как найти угол между скрещивающимися прямыми?

10. Какие плоскости называются параллельными?

11. Сформулируйте признак параллельности плоскостей.

12. Дайте определение прямой, перпендикулярной к плоскости.

13. Как формулируется теорема о двух перпендикулярах?

14. Какая прямая называется наклонной к плоскости?

15. Что называется проекцией наклонной на плоскость?

16. Как формулируется теорема о трех перпендикулярах?

17. Как определяется угол между прямой и плоскостью?

18. Что называется двугранным углом? Его ребром? Гранями?

19. Что называется линейным углом двугранного угла?

20. Какая существует зависимость между двугранными углами и их линейными углами?

21. Какие плоскости называются взаимно перпендикулярными?

22. Сформулируйте признак перпендикулярности плоскостей.

23. Что называется многогранным углом? Его вершиной? Ребрами? Гранями?

Критерии оценки

«5» - ответил на все вопросы правильно;

«4» - ответил на все вопросы, иногда ошибался;

«3» - часто ошибался, ответил правильно только на половину вопросов;

«2» - почти ни на один вопрос не смог ответить правильно.

Литература:

Математика Богомолов Н.В, Самойленко П.И. Учебн. для ссузов. 2010. С. 320-334

Тема 4. Элементы комбинаторики

Практическая работа состоит из двух частей - теоретической и практической. После изучения теоретического материала можно приступать к выполнению практической части. Она состоит из одной или более задач для самостоятельного выполнения. Не забывайте о правильном оформлении решения

Порядок выполнения работы

1. Рассмотрите теоретический материал по теме и примеры решения задач (приведены ниже).

2. Решите самостоятельную работу. Оформите решение письменно в тетради.

Теоретический материал

Размещения.

Определение. Пусть имеется множество, содержащее n элементов. Каждое его упорядоченное подмножество, состоящее из k элементов, называется размещением из n элементов по k элементов.

Рассмотрим задачу .

Задача 1. Сколькими способами можно составить различные двузначные числа из четырех цифр 1,2,3,4 ?

Решение: В этой задаче речь идет о размещениях из четырех элементов по два.

1 способ. Перебор вариантов.

Рассмотрим все такие числа : 12 13 14 23 24 34

21 31 41 32 42 43

Всего таких чисел 12.

Правило суммы.

Если элемент a можно выбрать m способами, а элемент b - n способами, причем любой выбор элемента a отличен от любого выбора элемента b, то выбор "a или b" можно сделать m + n способами.

Правило произведения.

Если из некоторого множества А элемент a_i можно выбрать К_A способами, а элемент b_j из множества В - К_B способами, то совокупность (a_i ; b_j ) можно образовать К_A* К_B способами. Правило верно и для совокупностей, состоящих из большего, чем два числа элементов.

2 способ. С применением правила произведения.

Первая цифра числа выбирается 4 способами из данных цифр, а вторая цифра числа выбирается 3 способами (из оставшихся трех цифр). По правилу произведения 4 * 3=12 (способов).

Формула для вычисления числа размещений.

Первый элемент размещения выбирается n способами, второй элемент ( n -1) способами, …, k-ый элемент (n -(k -1)) способами ,т.е. можно ввести формулу для числа вариантов

= (n -1)·(n - 2) …·(n - (k - 1))

или = , где - число размещений из n по k ,

( n! читается n - факториал); n!=1*2*3*….* n ; 0!= 1 по определению;

1!= 1.

3 способ. Применение формулы для вычисления числа размещений.

= = = 3 · 4 =12 .

Задача 2. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры. Сколько различных вариантов нужно набрать, чтобы дозвониться, если абонент помнит, что цифры различны?

Решение: = = 9 · 10 = 90

Перестановки.

Определение. Пусть дано множество N из n объектов. Всевозможные последовательности из всех n объектов называются перестановками.

Задача 1. Сколькими способами можно рассадить n человек на n мест?

Решение:

1 способ . Перебор вариантов.

1) n = 1. Число возможных вариантов 1.

2) n = 2. Возможные варианты: 12 и 21 , всего их 2.

3. n = 3. Возможные варианты: 123 213 312 132 231 321, всего их 6.

4. n = 4 Возможные варианты: 1234 2134 3124 4123

1324 2314 3214 4213

1432 2431 3421 4321

1243 2341 3142 4132

1342 2143 3241 4231

1423 2431 3412 4312. Всего их 24.

С увеличением числа n этот способ становится очень трудоемким. Можно заметить, что перестановки являются частным случаем размещений из n элементов по n , значит

= n! т.к. == = = n!.

2 способ. Применение формулы перестановок.

= 2!=1·2=2; =3!=1·2·3=6 ; =4!=1·2·3·4=24;

3 способ. Применение правила произведения. (для n = 4)

1. на 1 место человека можно посадить четырьмя способами : 1, 2, 3, 4

2. на 2 место только тремя способами : пример 12 13 14

3. на 3 место только двумя способами : пример 123 124

4. на 4 место только одним способом : пример 1234

всего вариантов: 4·3·2·1=24

Задача 2. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 6 различных предметов ?

Решение: = 6!=1·2·3·4·5·6=720

Задача 3. Сколько различных «слов» можно составить из букв слова математика?

Решение: В слове математика 10 букв, значит перестановок будет =10! Однако буква а повторяется 3 раза , буква т - 2 раза , буква м - 2 раза и их перестановки не дают новых вариантов, значит

= = =151200

Задача 4. Для дежурства по классу в течение недели ( кроме воскресения) выделены 6 учащихся. Сколькими способами можно установить очередность дежурств, если каждый учащийся дежурит один раз?

Решение: P=6!=720.

Задача 5. Сколько шестизначных чисел, кратных пяти , можно составить из цифр 1,2,3,4,5,6, при условии , что цифры в числе не повторяются?

Решение: Последняя цифра должна быть 5, предыдущие цифры могут быть составлены из оставшихся пяти цифр 1,2,3,4,6.

Р=5!=120 .

Сочетания.

Определение. Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Каждое его подмножество, содержащее k элементов , называется сочетанием из n элементов по k элементов.

Задача 1. Сколько наборов из двух книг можно скомпоновать из четырех книг ?

Решение:

1 способ. Перебор вариантов.

Возможны следующие наборы ( указываются номера книг)

1 2 1 3 1 4

2 3 2 4 3 4

всего 6 наборов.

Формула числа сочетаний.

Число сочетаний можно получить через число размещений , если учесть, что при вычислении числа сочетаний не считаются разными варианты, составленные из перестановок элементов внутри каждого размещения, которых имеется k! , т.е.

= ,

Замечание: = - формула, связывающая сочетания с размещениями.

2 способ. Применение формулы для вычисления числа сочетаний.

= = = 6 .

Задача 2. Сколькими способами можно составить из 14 преподавателей экзаменационную комиссию из 7 членов?

Решение: .

Задача 3. Сколькими способами можно выбрать трех дежурных из группы в 20 человек?

Решение: .

Задача 4. В вазе стоят 10 белых и 5 красных роз. Сколькими способами можно выбрать из вазы букет , состоящий из двух красных и одной белой розы?

Решение: (по правилу произведения)

· = =10 · = 100.

Задача 5. В чемпионате страны по футболу (высшая лига) участвуют 18 команд, причем каждые две команды встречаются между собой два раза. Сколько матчей играется в течение сезона?

Решение: в первом круге =153, во втором круге =153.

Всего 153 ·2 =306 встреч.

Задачи на применение формул комбинаторики.

Задача 1. В классе 30 учащихся. Сколькими способами можно выделить для дежурства двух человек, если: а) один из них должен быть старшим; б) старшего быть не должно?

Решение: а) = =29 · 30 =870; б) = =435.

Задача 2. В хирургическом отделении работают 40 врачей. Сколькими способами из них можно образовать бригаду в составе: а) хирурга и ассистента; б) хирурга и четырех его ассистентов?

Решение: а) 1 способ. = = 40 · 39 = 1560 ;

2 способ. 40 · =40 · = 40 · 39 = 1560 ;

б) 40 · = 40 · = = 3290040 .

Тест 4.1 «Элементы комбинаторики»

№

ВОПРОС, ЗАДАНИЕ

А

В

С

1

Из города А в город В ведут пять дорог, а в город С - 7 дорог. Сколько различных маршрутов можно проложить из города В в город С через город А ?

12

7!∙5!

35

2

Из цифр «1», «2», «3» и «4» составляют всевозможные четырехзначные числа. Сколько существует таких чисел ?

6

24

120

3

Найти значение выражения: 14!12!

182

27

2184

4

Найти значение выражения 24!∙5!25!

3,6

5,0

4,8

5

Решить уравнение х!=720

х=12

х=5

х=6

6

Если объект А можно выбрать х способами, а объект В - у способами, то каким количеством способов можно выбрать объект «А и В» ?

х

ху

х+у

7

Каждое расположение n элементов в определенном порядке называется…

Размещением

Перестановкой

Сочетанием

8

Любое множество, состоящее из элементов, взятых в определенном порядке из данных n элементов, называется…

Размещением

Перестановкой

Сочетанием

9

Любое множество, состоящее из элементов, взятых из данных n элементов, называется…

Размещением

Перестановкой

Сочетанием

10

У Марии три подруги : Анна, Настя и Катя. Она решила двух из них пригласить в кино. Укажите все возможные варианты выбора двух подруг.

Мария и Анна; Мария и Настя; Мария и Катя.

Анна и Настя; Анна и Катя; Настя и Катя.

Анна и Катя; Настя и Катя; Катя и Анна.

11

Если объект А можно выбрать х способами, а объект В - у способами, то каким количеством способов можно выбрать объект «А или В» ?

х+у

ху

х или у

12

Имеются двадцать различных книг, из которых семь - учебники. С помощью какого выражения можно найти количество способов расстановки книг на полке так, чтобы все учебники стояли рядом ?

Р20

Р20∙Р7

Р14∙Р7

13

В команде 15 человек. Сколькими способами тренер может выбрать 5 человек для участия в соревнованиях ?

3

273

32760

14

Из группы учеников, в которую входят А, В, С и К, учитель выбирает двоих для участия в конкурсе. Чем будут отличаться пары ?

Только составом

Только порядком

Составом и порядком

15

Из цифр «1», «2» и «3» составили такие комбинации : 12; 13; 23. Как называются такие комбинации ?

Размещения

Сочетания

Перестановки

16

Из цифр «1», «2» и «3» составили такие комбинации : 123; 133; 231; 213; 312; 321. Как называются такие комбинации ?

Размещения

Сочетания

Перестановки

17

Из цифр «1», «2» и «3» составили такие комбинации : 12; 13; 21; 31; 32; 23. Как называются такие комбинации ?

Размещения

Сочетания

Перестановки

18

Во сколько раз 145! больше 144! ?

в 145-144! раз

в 145 раз

в 145:144! раз

19

Во сколько раз n-2! меньше n-1!

в 2 раза

в n-2 раза

в n-1 раз

20

Десять человек обменялись фотографиями. Сколько для этого потребовалось фотографий ?

10!∙9!

100

90

21

Десять человек обменялись рукопожатиями. Сколько сделано рукопожатий ?

45

90

9!

22

Из цифр «1», «2» и «3» составляют всевозможные двузначные числа без повторения этих цифр в записи числа. Всего можно составить 6 таких чисел потому, что…

Число перестановок трех элементов равно шести

Число размещений из трех элементов по два равно шести

Число сочетаний из трех по два равно шести

23

Из цифр «1», «2» и «3» составляют всевозможные двузначные числа без повторения этих цифр в записи числа. Всего можно составить 6 таких чисел потому, что…

Первое число можно выбрать тремя способами, а второе и третье число - по одному способу; тогда 3∙1+1=6

Первое число можно выбрать тремя способами, а второе - двумя способами; тогда 3∙2=6

1+2+3=6

24

Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр «9», «6», «4» и «7» без повторения их в записи числа ?

24

120

252

25

Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр «9», «6», «4» и «0» без повторения их в записи числа ?

120

60

6

26

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр «9», «6», «4» и «7» без повторения их в записи числа ?

24

4

3

27

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр «9», «6», «4» и «0» без повторения их в записи числа ?

4

116

18

28

В классе 10 мальчиков и 11 девочек. Для участия в конкурсе необходимо выбрать трех мальчиков и трех девочек. Сколькими способами это можно сделать ?

4900

3960

252000

29

Сколькими способами можно расставить 7 участников кросса на семи беговых дорожках ?

5040

720

40320

30

Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр «5», «0», «7» и «8» ?

24

4

18

31

Имеется восемь различных книг, из которых три - учебники. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы учебники стояли рядом ?

720

4320

17280

Тема 5. Координаты и векторы

Практическая самостоятельная работа

Практическая работа состоит из двух частей - теоретической и практической. После изучения теоретического материала можно приступать к выполнению практической части. Она состоит из одной или более задач для самостоятельного выполнения. Не забывайте о правильном оформлении решения

Порядок выполнения работы

1. Рассмотрите теоретический материал по теме и примеры решения задач (приведены ниже).

2. Решите самостоятельную работу. Оформите решение письменно в тетради.

Теоретический материал

Декартовы координаты вектора в пространстве

Прямые x, y, z называются координатными осями (или осями координат),

точка их пересечения O - началом координат,

а плоскости xOy, xOz и yOz - координатными плоскостями.

Точка O разбивает каждую координатную ось на две полупрямые, которые называются положительной и отрицательной полуосями.

Координатой точки A по оси x будем называть число, равное по абсолютной величине длине отрезка OAx: положительное, если точка A лежит на положительной полуоси x, и отрицательное, если она лежит на отрицательной полуоси.

Аналогично можно определить координаты y и z точки A. Координаты точки A записываются в скобках рядом с названием этой точки: A (x; y; z).

Единичным вектором или ортом называется вектор, длина которого равна единице и который направлен вдоль какой-либо координатной оси.

Единичный вектор, направленный вдоль оси x, обозначается i.

Единичный вектор, направленный вдоль оси y, обозначается j.

Единичный вектор, направленный вдоль оси z, обозначается k.

Вектора i, j, k называются координатными векторами.

Любой вектор a можно разложить по координатным векторам: a=xi+yj+zk.

Коэффициенты разложения определяются единственным образом и называются координатами вектора a в данной системе координат.

Свойства векторов, заданных координатами

Координаты нулевого вектора равны нулю.

Координаты равных векторов соответственно равны.

Координаты вектора суммы двух векторов равны сумме соответствующих координат этих векторов.

Координаты вектора разности двух векторов равны разностям соответствующих координат этих векторов.

Координаты вектора произведения данного вектора на число равны произведениям соответствующих координат этого вектора на данное число.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости из координаты конца вычитаем координату начала.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Ax + By + Cz + D = 0.

Здесь числа A, B и C - координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости.

Его называют нормалью к плоскости.

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; .2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Ax + By + Cz + D = 0.

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

Для точки M:

A · 1 + B · 0 + C · 1 + D = 0.

То есть A + C + D = 0.

Для точки N:

A · 2 + B · (.2) + C · 0 + D = 0;

2A . 2B + D = 0.

Аналогично для точки K:

4A + B + 2C + D = 0.

Получили систему из трех уравнений

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = -2. Тогда:

Самостоятельная работа 5.1 «Координаты и векторы в пространстве»

1 задание - 2 балла

Вариант 1

Вариант 2

1.Напишите уравнение окружности

а) с центром в точке О (2;3;4) и R=4;

б) с центром в начале координат и R=5.

1.Напишите уравнение окружности

а) с центром в точке О (3;2; -4) и R=9;

б) с центром в начале координат и R=7.

2.Даны точки А (2;5;4) и В (4;7;3). Найдите:

а) координаты точки С, если С - середина АВ;

б) координаты вектора АВ;

в) расстояние между точками А и В.

2.Даны точки А (3;8; -2) и В(5;6; 8). Найдите:

а) координаты точки С, если С- середина АВ;

б) координаты вектора АВ;

в) расстояние между точками А и В.

3.Напишите уравнение прямой, проходящей через точки А (2;5;-6) и В (4;7;8).

3.Напишите уравнение прямой, проходящей через точки А (3;8:1) и В (4;7;6).

4. Записать каноническое уравнение прямой, если известна точка и направляющий вектор данной прямой.

М(3;0;0), р(0;-1;7)

4. Записать каноническое уравнение прямой, если известна точка и направляющий вектор данной прямой.

М(2;-3;4), р(2;-3;-4)

5. Вычислите скалярное произведение

векторов а и b, если , .

5. Вычислите скалярное произведение

векторов n и m, если , .

6.Построить: а)(по правилу треуг), б) (по правилу параллелогр.)

в) , г) (1сп.), д)(2сп.)

6. Построить: а)(по прав. паралл.), б) (по прав. треуг.)

в) , г) (2сп.), д)(1сп.)

7. Известны координаты вершин треугольника АВС: А(2; -1; -3),

В(-3; 5; 2), С(-2; 3; -5). ВМ - медиана треугольника АВС. Найти длину ВМ.

7. Известны координаты вершин треугольника CDE: C(-3; 4; 2),

D(1; -2; 5), E(-1; -6; 4). DK - медиана треугольника. Найдите DK.

8. Даны координаты точек: С(3; -2; 1), D(-1; 2;1), M(2; -3; 3),

N(-1; 1; -2). Найдите косинус угла между векторами и .

8. Даны координаты точек: А(1; -1; -4), В(-3; -1; 0), С(-1; 2; 5),

D(2; -3; 1). Найдите косинус угла между векторами и .

9. Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 2; -3), N (- 2; 0; 1) и K (3; 2; 2).

9. Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (-2; 1; 4), N (3; 1; -3) и K (-5; 3; 1).

Критерии оценки

Количество набранных баллов

оценка

10 - 12

3

14

4

16 - 18

5

Тема 6. Основы тригонометрии

Ответьте на следующие вопросы

1. Какие величины принимаются за единицу при градусном и радианном измерении дуг (углов)?

2. При решении каких задач удобнее применять радианное измерение дуг (углов) по сравнению с градусным?

3. Выведите формулы перехода от градусного измерения к радианному и от радианного к градусному?

4. Чему равна градусная мера дуги в 1 рад?

5. Чему равна радианная мера дуги в 1º?

6. По какой формуле вычисляется длина дуги, измеренная в радианах?

7. По какой формуле вычисляется площадь сектора, центральный угол которого измерен в радианах?

8. Дайте определение единичной окружности. Как записывается уравнение единичной окружности?

9. Какие дуги в единичной окружности называются положительными (отрицательными)?

10. Как в общем виде обозначить множество положительных (отрицательных) дуг и углов?

11. Каким условиям должна удовлетворять единичная числовая окружность?

12. В чем заключается соответствие между точками числовой оси и точками числовой единичной окружности, имеющими общие нулевые точки?

13. Дайте определения тригонометрических функций числового аргумента и укажите области их определения.

14. Какие тригонометрические функции являются ограниченными и какие - неограниченными?

15. Как определяются знаки тригонометрических функций по четвертям?

16. Как найти числовые значения тригонометрических функций для значений аргумента ?

17. Вычислите числовые значения тригонометрических функций для значений аргумента .

18. Какие тригонометрические функции являются четными и какие - нечетными? Почему?

19. Как изменяются основные тригонометрические функции с возрастанием аргумента от 0 до (по четвертям)?

20. Какие тригонометрические выражения называются тождественно равными?

21. Докажите основные тригонометрические тождества. При каких допустимых значениях аргумента тождества справедливы?

22. Выразите тригонометрические функции через синус, косинус, тангенс и котангенс соответственно.

23. Дайте определение периодической функции.

24. Являются ли числа, кратные наименьшему периоду, периодами функции?

25. Какие числа являются периодами функций синуса и косинуса?

26. Какие числа являются периодами функций тангенса и котангенса?

27. Приведите примеры вычисления периодов тригонометрических функций.

28. Какие формулы называются формулами приведения?

29. При каких вычислениях необходимо знание формул приведения?

30. В чем заключается свойство полупериода синуса и косинуса?

31. Сформулируйте правила названий тригонометрических функций при составлении формул приведения.

32. Сформулируйте правила знаков при составлении формул приведения.

33. Выведите формулы сложения для основных тригонометрических функций.

34. При каких значениях аргумента формулы и не имеют смысла?

35. Выведите формулу сложения для косинуса разности двух углов. Как из нее получить остальные формулы сложения?

36. Приведите простейшие примеры применения формул сложения.

37. Выведите формулы тригонометрических функций удвоенного аргумента.

38. При каких значениях аргумента функция не имеет смысла?

39. Приведите примеры вычислений с использованием формул удвоения.

40. Выведите формулы тригонометрических функций половинного аргумента.

41. При каких значениях аргумента формулы и не имеют смысла?

42. Приведите простейшие примеры применения формул для тригонометрических функций половинного угла.

43. Выведите формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

44. Как выполняется понижение степени тригонометрических функций?

45. Выведите формулы для преобразования алгебраической суммы тригонометрических функций в произведение.

46. При каких значениях аргумента формулы для суммы не имеют смысла?

47. Выведите формулы для преобразования выражений и в произведение.

48. Запишите условия равенства одноименных тригонометрических функций.

Критерии оценки

«5» - ответы на все вопросы верные;

«4» - ответы на все вопросы, с небольшими недочетами;

«3» - верные ответы только на половину вопросов;

«2» - почти ни на один вопрос не дано правильного ответа.

Литература:

Математика Богомолов Н.В, Самойленко П.И. Учебн. для ссузов. 2010. С. 126-167

Тема 7. Функции, их свойства и графики. Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции

Ответьте на следующие вопросы

1. Сформулируйте определение функции.

2. Что называется областью определения функции?

3. Что называется областью изменения функции?

4. Какими способами может быть задана функция?

5. Как находится область определения функции?

6. Какие функции называются четными и как они исследуются на четность?

7. Какие функции называются нечетными и как они исследуются не четность?

8. Приведите примеры функций, которые не являются ни четными, ни нечетными.

9. Какие функции называются возрастающими? Приведите примеры.

10. Какие функции называются убывающими? Приведите примеры.

11. Какие функции называются обратными?

12. Как расположены графики прямой и обратной функций?

13. Приведите определения степенной, показательной и логарифмической функций.

14. Приведите определение логарифма числа по данному основанию.

15. Как связаны между собой графики показательной и логарифмической функций?

16. Укажите области определения и области изменения показательной и логарифмической функций.

17. Перечислите основные свойства показательной функции при а>1 и при 0<a<1.

18. Перечислите основные свойства логарифмической функции при а>1 и при 0<a<1.

19. Сформулируйте основное логарифмическое тождество.

20. Перечислите основные свойства логарифмов.

21. Приведите доказательства логарифмических тождеств.

22. Постройте график синуса. С помощью графика опишите поведение функции синуса при изменении аргумента.

23. Таким же образом опишите поведение функций y=cosx, y=tgx, y=ctgx.

24. На каком промежутке изменений аргумента задается функция y=arcsinx?

25. Дайте определение функции y=arcsinx.

26. Укажите область значений функции y=arcsinx.

27. Постройте график функции y=arcsinx.

28. Охарактеризуйте таким же образом функции y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx.

Критерии оценки

«5» - ответы на все вопросы верные;

«4» - ответы на все вопросы, с небольшими недочетами;

«3» - верные ответы только на половину вопросов;

«2» - почти ни на один вопрос не дано правильного ответа.

Литература:

Математика Богомолов Н.В, Самойленко П.И. Учебн. для ссузов. 2010. С. 103-181

Тема 8. Многогранники и их основные свойства

Ответьте на следующие вопросы

1. Что называется многогранником?

2. Что называется гранями, ребрами и вершинами многогранника?

3. Какой многогранник называется призмой?

4. Что называется диагональю, высотой и диагональным сечением призмы?

5. Какая призма называется прямой?

6. Какая призма называется правильной?

Параллелепипед

1. Какая фигура называется параллелепипедом?

2. Какая фигура называется кубом?

3. Какие свойства параллелепипеда следуют из того, что эта фигура является частным случаем призмы?

4. Сформулируйте свойства противолежащих граней параллелепипеда.

5. Сформулируйте свойства диагонали параллелепипеда.

Пирамида

1. Что называется пирамидой? Ее вершиной? Основанием? Высотой?

2. Что называется диагональным сечением пирамиды?

3. Какая пирамида называется правильной?

4. Сформулируйте теорему о свойстве параллельных сечений пирамиды.

5. Что называется усеченной пирамидой?

6. Что называется правильной усеченной пирамидой?

Правильные многогранники

1. Какие многогранники называются правильными?

2. Сколько существует видов правильных многогранников? Охарактеризуйте их.

Критерии оценки

«5» - ответы на все вопросы верные;

«4» - ответы на все вопросы, с небольшими недочетами;

«3» - верные ответы только на половину вопросов;

«2» - почти ни на один вопрос не дано правильного ответа.

Литература:

Математика Богомолов Н.В, Самойленко П.И. Учебн. для ссузов. 2010. С. 334-344

Темы презентаций, рефератов по теме «Многогранники»

1. Правильные многогранники в философской картине мира Платона.

2. Кубок Кеплера.

3. Икосаэдро-додекаэдровая структура Земли.

4. Формула Эйлера.

5. Правильные многогранники и природа.

6. Симметрия в пространстве.

7. Симметрия в природе.

8. Симметрия в искусстве: архитектуре, скульптуре, живописи.

9. Правильные многогранники.

10. Симметрия в быту, технике и физике.

11. Родосский Евдем.

12. Евклид, Пифагор.

13. Лобачевский Николай Иванович.

Тема 9. Тела и поверхности вращения

Практическая самостоятельная работа

Практическая работа состоит из двух частей - теоретической и практической. После изучения теоретического материала можно приступать к выполнению практической части. Она состоит из одной или более задач для самостоятельного выполнения. Не забывайте о правильном оформлении решения

Порядок выполнения работы

1. Рассмотрите теоретический материал по теме и примеры решения задач (приведены ниже).

2. Решите самостоятельную работу. Оформите решение письменно в тетради.

Теоретический материал

Цилиндр - геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её.

Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, - образующими цилиндра.

Основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях. У цилиндра образующие параллельны и равны.

Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность составлена из образующих.

Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований.

Радиусом цилиндра называется радиус его основания.

Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований.

Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований.

Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением.

Плоскость, проходящая через образующую прямого цилиндра и перпендикулярная осевому сечению, проведенному через эту образующую, называется касательной плоскостью цилиндра.

Призмой, вписанной в цилиндр, называется такая призма, основания которой - равные многоугольники, вписанные в основание цилиндра. Ее боковые ребра являются образующими цилиндра.

Призма называется описанной около цилиндра, если ее основания - равные многоугольники, описанные около оснований цилиндра. Плоскости ее граней касаются боковой поверхности цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна длине образующей, умноженной на периметр сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей.

Площадь боковой поверхности прямого цилиндра вычисляется по его развёртке. Развёртка цилиндра представляет собой прямоугольник с высотой h и длиной P, равной периметру основания. Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развёртки и вычисляется по формуле:

В частности, для прямого кругового цилиндра:

Прямым круговым конусом (или просто конусом) называется фигура, полученная при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей его катет.

Фигура, полученная при вращении вокруг той же оси ломаной, составленной из гипотенузы и катета, не принадлежащего оси вращения, называется поверхностью конуса. Фигура, полученная от вращения гипотенузы, называется боковой поверхностью конуса, а фигура (круг), полученная от вращения катета, - основанием конуса. Радиус этого круга называется радиусом основания цилиндра.

Развертка боковой поверхности конуса является круговым сектором, а полная развертка поверхности конуса представляет собой круговой сектор и круг.

За объем конуса принимают предел последовательности правильных пирамид, вписанных в конус, при бесконечном увеличении числа сторон правильного многоугольника - основания пирамиды.

Объем конуса вычисляется по формуле

За площадь боковой поверхности конуса принимается предел последовательности площадей боковых поверхностей правильных пирамид, вписанных в конус, при бесконечном увеличении числа сторон правильного многоугольника, лежащего в основаниях пирамид.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле

где R - радиус основания конуса, L - образующая конуса.

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле

Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки.

Эта точка называется центром шара, а данное расстояние называется радиусом шара.

Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой.

Все точки сферы, полученной при вращении полуокружности l с центром О радиуса R и только они находятся на расстоянии R от точки О. Все радиусы одной сферы равны между собой.

Сечение шара

Теорема

Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Самостоятельная работа 9.1

Найти соответствие

1 задание - 1 балл

Вариант 1

1. Тела вращения

а) полукруг

2 Шар можно получить вращая

б) цилиндр, призма, шар, конус

3. Осевым сечением конуса является

в)треугольник

4.

Как называется данная фигура?

г)шар, конус, цилиндр

5. На рисунке из п.4 SB это

д)конус

6. Перпендикуляр опущенный из вершины на основание это

е)высота

7. Сколько образующих у цилиндра?

ж)образующая

8. Сколько образующих у шара?

з)одна

9. Два основания имеет

и)много

10. V=SоснH - формула вычисления объёма

к)нет

л) цилиндр

м) круг

Вариант 2

1. Тела вращения

а) полукруг

2 Конус можно получить вращая

б) цилиндр, шар, конус

3. Осевым сечением шара является

в)треугольник

4.

Как называется данная фигура?

г)шар, конус, цилиндр, призма

5. На рисунке из п.4 SО это

д)конус

6. Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это

е)высота

7. Сколько высот у конуса?

ж)образующая

8. Сколько образующих у сферы?

з)одна

9. Одно основание имеет

и)много

10. V=SоснH - формула вычисления объёма

к)нет

л) цилиндр

м) круг

Критерии оценки

Количество набранных баллов

оценка

5-6

3

7-8

4

9-10

5

Самостоятельная работа 9.2

1 задание - 1 балл

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. Какое геометрическое тело получится при вращении равностороннего треугольника около прямой, проходящей через одну из вершин этого треугольника, параллельно противолежащей стороне?

Критерии оценки

Количество набранных баллов

оценка

4-5

3

6

4

7

5

Тема 10. Начала математического анализа

Практическая самостоятельная работа

10.1 Производная

Практическая работа состоит из двух частей - теоретической и практической. После изучения теоретического материала можно приступать к выполнению практической части. Она состоит из одной или более задач для самостоятельного выполнения. Не забывайте о правильном оформлении решения

Порядок выполнения работы

1. Рассмотрите теоретический материал по теме и примеры решения задач (приведены ниже).

2. Решите самостоятельную работу. Оформите решение письменно в тетради.

Теоретический материал

Самостоятельная работа 10.1 «Производная»

1 задание - 1 балл

Вариант 1. Найдите производную функции:

1. у = 12х² -

2. у = sin х + 3

3. у = - 4cos х

4. у =

5. 

6. 

7. у = х (х² - 5х + 1)

8. у =

9. у = x cos x

10. у =

11. 

12. 

13. 

Вариант 2. Найдите производную функции:

1. у = 2х³ - 4

2. у = 2sin х + 3х

3. у = - cos х

4. у = 3

5. у = х³ + 4х² -

6. у =

7. у = х (х³ + 4х² - 1)

8. у =

9. у = x sin x

10. у =

11. у = (х² + 4х - 1)⁶

12. у = ctg (2x + )

13. 

Критерии оценки

Количество набранных баллов

оценка

7-9

3

10-11

4

12-13

5

10.2 Первообразная

Практическая работа состоит из двух частей - теоретической и практической. После изучения теоретического материала можно приступать к выполнению практической части. Она состоит из одной или более задач для самостоятельного выполнения. Не забывайте о правильном оформлении решения

Порядок выполнения работы

1. Рассмотрите теоретический материал по теме и примеры решения задач (приведены ниже).

2. Решите самостоятельную работу. Оформите решение письменно в тетради.

Теоретический материал

Первообразная и интеграл.

1. F(x) - первообразная для f(x) на множестве Х если F'(x) = f(x) для всех xX. Если F(x) - первообразная для f(x) на множестве X, то F(x) + c - множество всех первообразных для f(x) на множестве X. Это множестве первообразных называют неопределенным интегралом и обозначают

2. Таблица первообразных и интегралов

   Производная

   Функция

   Первообразная

   Промежуток

   0

   K

   kx + C

   R

   

   

   

   

   

   0

   1

   

   R

   -sinx

   cosx

   

   R

   Cosx

   sinx

   

   R

   
   

   

   

   

   
   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   x<0

   

   

   

   x>0

   

   

   

   R₊

   

   

   

   R

   

   

   

   R

3. Правила вычисления первообразных

- Если F - первообразная для f, a G - первообразная для g, то F+G есть первообразная для f+g.

-Если F - первообразная для f, a k - постоянная, то kF есть первообразная для kf.

Если F(x) -первообразная для f(x), ak, b - постоянные, причем k0, то есть есть первообразная для f(kx+b).

4) - формула Ньютона-Лейбница.

5) Площадь S фигуры, ограниченной прямыми x-a,x=b и графиками непрерывных на промежутке [a;b] функций и таких, что для всех x [a;b] вычисляется по формуле

6) Объемы тел, образованных вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью Ox и двумя прямыми x = a и x = b вокруг осей Ох и Оу, вычисляются соответственно по формулам:

или

Применение интеграла

Величины

Вычисление производной

Вычисление интеграла

s - перемещение,

,

А - ускорение

a(t) =

A - работа,

F - сила,

N - мощность

F(x) = A'(x)

N(t) = A'(t)

m - масса тонкого стержня,

- линейная плотность

(x) = m'(x)

q - электрический заряд,

I -сила тока

I(t) = q(t)

Q - количество теплоты

с - теплоемкость

c(t) = Q'(t)

Пример

Найдите первообразную функции , график которой проходит через точку (3;4)

Решение

Найдём все первообразные для функции

Через точку (3;4) проходит график первообразной . Решив уравнение относительно С, получим: С=10, т.е., через точку с координатами (3; 4) проходит график первообразной

Ответ:

Самостоятельная работа 10.2 «Первообразная»

1 задание - 1 балл

Найти первообразную функций

11) Найти первообразную для функции f(x)= 3x²- 2x + 4, если известно, что график первообразной проходит через точку М(2; 23).

Критерии оценки

Количество набранных баллов

оценка

6-7

3

8-9

4

10-11

5

Тема 11. Измерения в геометрии

Практическая самостоятельная работа

Практическая работа состоит из двух частей - теоретической и практической. После изучения теоретического материала можно приступать к выполнению практической части. Она состоит из одной или более задач для самостоятельного выполнения. Не забывайте о правильном оформлении решения

Порядок выполнения работы

1. Рассмотрите теоретический материал по теме и примеры решения задач (приведены ниже).

2. Решите самостоятельную работу. Оформите решение письменно в тетради.

Теоретический материал

Объемы тел

Примеры решения задач

1. Кирпич размером 25 Х 12 Х 6,5 см имеет массу 3,51 кг.

Найдите его плотность.

Дано:

Параллелепипед

длина a =AB =25 см;

ширина b=BC=12 см;

высота c=CC₁=6,5 см

масса 3,51 кг

Найти: p плотность

Решение.

1. Формула плотности

2. Формула объема параллелепипеда

3. Плотность кирпича вычислим по формуле

2. Требуется установить резервуар для воды емкостью 10 м³ на прямоугольной площадке размером 2,5 Х 1,75 м, служащей для него дном. Найдите высоту резервуара.

Дано:

Параллелепипед

объем V=10м³;

длина a =AB =2,5 м

ширина b=BC=1,75 м;

Найти: высоту c=CC₁

Решение:

1. Формула объема параллелепипеда

2. Из формулы объема выразим высоту с=СС₁

3. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 3,5 см, а диагональ боковой грани 2,5 см. Найдите объем призмы.

Дано:

Четырехугольная призма

AC₁= 3,5см - диагональ призмы;

DC₁ =2,5см - диагональ грани

Найти: V - объем призмы

Решение:

1. Формула объема призмы

S_осн = AD*DC, h=CC₁

2. Т.к. призма правильная все углы по 90⁰,стороны основания равны

3. Рассмотрим треугольник AC₁D. По т. Пифагора найдем AD

4. Рассмотрим треугольник DC₁C. По т. Пифагора найдем C₁C

5. Найдем

6. Найдем объема призмы по формуле

4. Боковые ребра наклонной треугольной призмы равны 15 м, а расстояния между содержащими их параллельными прямыми 26 м, 25 м и 17 м. Найдите объем призмы.

Дано:

Треугольная призма

AВ= 26м;BC=25м; AC=17м

AA₁=h=15м

Найти: V - объем призмы

Решение:

1. Формула объема призмы

2. По формуле Герона найдем площадь основания

3. Найдем периметр треугольника ABC

=34

4. Тогда

=204

5. Найдем объем призмы по формуле

=204*15=3060 м³

5. Основание пирамиды - прямоугольник со сторонами 9 м и 12 м; все боковые ребра равны 12,5 м. Найдите объем пирамиды.

Дано:

Прямоугольная пирамида

AВ= 9м;BC=12м; AS=12,5м

Найти:

V - объем пирамиды

Решение:

1. Формула объема пирамиды

высота пирамиды SO

2. Найдем площадь основания

=9*12=108 м ²

3. Найдем диагональ AC из треуг. ABC

=15 м

4. Найдем SO из треуг. AOS

=10м

Ответ. 360 м³

6. Основание пирамиды- равнобедренный треугольник со сторонами 6 см, 6 см и 8 см. Все боковые ребра равны 9 см. Найдите объем пирамиды.

Дано:

Треугольная пирамида

AВ= 6м;BC=6м; AC=8м; AS=9м

Найти:

V - объем пирамиды

Решение:

1. Формула объема пирамиды

2. По формуле Герона найдем площадь основания

3. Найдем периметр треугольника ABC

=10 м

4. Тогда

5. Найдем АО, радиус окружности

6. Найдем высоту пирамиды SO из треуг. ASO

7. Найдем объем пирамиды по формуле

=48 см³

Самостоятельная работа 11 «Объемы тел»

1 задание - 1 балл

1. Диагональ куба равна 12 см. Найдите объем куба.

2. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 1 дм и дм, а угол между ними 45º. Найдите объем параллелепипеда, если площадь его меньшего диагонального сечения равна .

3. Диагональ куба равна 15 см. Найдите объем куба.

4. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 1 дм и дм, а угол между ними 30º. Найдите объем параллелепипеда, если площадь его большего диагонального сечения равна .

5. Объем цилиндра равен , а площадь осевого сечения .

Найдите радиус основания цилиндра.

6. Объем цилиндра равен , а площадь осевого сечения .

Найдите радиус основания цилиндра.

Критерии оценки

Количество набранных баллов

оценка

3-4

3

5

4

6

5

Тема 12. Элементы теории вероятностей и математической статистики

Ответьте на следующие вопросы

1. Какие соединения называются размещениями?

2. Выпишите формулу для числа размещений из n элементов по m.

3. Какие соединения называются перестановками?

4. Выпишите формулу для числа перестановок из n элементов.

5. Какие соединения называются сочетаниями?

6. Выпишите формулу для числа сочетаний из n элементов по m.

7. Какие случайные события называются достоверными и какие невозможными?

8. Какие события называются несовместными?

9. Какие события называются совместными?

10. Какие события называются противоположными?

11. Дайте классическое определение вероятности.

12. Сформулируйте теорему сложения вероятностей несовместных событий.

13. Сформулируйте теорему сложения вероятностей совместных событий.

14. Чему равна сумма вероятностей двух противоположных событий?

15. Что называется условной вероятностью события?

16. Какие события в совокупности называются независимыми?

17. Сформулируйте теорему умножения вероятностей независимых событий.

18. Сформулируйте теорему умножения вероятностей зависимых событий.

19. В чем заключается задача математической статистики?

20. Что называется выборкой?

21. Дайте определения генеральной совокупности и объема совокупности.

22. Как различаются выборка с возвращением и выборка без возвращения?

23. Охарактеризуйте возможные способы выбора.

24. Дайте определение эмпирической функции распределения.

25. Что называется полигоном частот и гистограммой частот?

Критерии оценки

«5» - ответы на все вопросы верные;

«4» - ответы на все вопросы, с небольшими недочетами;

«3» - верные ответы только на половину вопросов;

«2» - почти ни на один вопрос не дано правильного ответа.

Литература:

Математика Богомолов Н.В, Самойленко П.И. Учебн. для ссузов. 2010. С. 371-391

Тема 13. Уравнения и неравенства

Практическая самостоятельная работа

Практическая работа состоит из двух частей - теоретической и практической. После изучения теоретического материала можно приступать к выполнению практической части. Она состоит из одной или более задач для самостоятельного выполнения. Не забывайте о правильном оформлении решения

Порядок выполнения работы

1. Рассмотрите теоретический материал по теме и примеры решения задач (приведены ниже).

2. Решите самостоятельную работу. Оформите решение письменно в тетради.

Теоретический материал

Примеры решения простейших уравнений и неравенств

Решить неравенство методом интервалов

(2х - 6)(32 - х) > 0

Решение

(2х - 6)(х - 32) > 0

2х - 6 = 0 х - 32 = 0

2х = 6 х = 32

х = 3

Решите неравенство

Простейшее показательное уравнение - это уравнение вида

Простейшее показательное уравнение решается с использованием свойств степени.

Способы решения показательных уравнений.

1. Уравнивание оснований.

2. Вынесение общего множителя за скобки.

3. Введение вспомогательной переменной (замена переменной).

4. Разложение на множители.

5. Графический способ решения.

Показательные неравенства - это неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

Простейшие показательные неравенства - это неравенства вида:

где a > 0, a ¹ 1, b - любое число.

При решении простейших неравенств используют свойства возрастания или убывания показательной функции.

Для решения более сложных показательных неравенств используются те же способы, что и при решении показательных уравнений.

Примеры решения показательных уравнений и неравенств

Решите уравнение:

Решение

Ответ: 3

Решите уравнение

Решение

Ответ: - 2,75

Решите неравенство

Выберите верный ответ

Решение

Ответ. 2)

Алгоритмы решения иррациональных уравнений

Возведение в степень, равную показателю корня.

1. Уединим радикал.

2. Возведем обе части в степень

3. Выполняем равносильные преобразования.

4. Решаем полученное уравнение.

5. Проверка: а) подстановкой или б) нахождением области определения.

Введение новой переменной.

1. Вводим новую переменную.

2. Решаем полученное уравнение.

3. Произведем замену переменной, найдем неизвестное число.

4. Проверка.

Пример. Решить неравенство .

Решение. Правая часть этого неравенства отрицательна, в то время как левая часть неотрицательна при всех значениях x, при которых она определена. Поэтому неравенство решений не имеет.

Ответ. Решений нет.

Пример. Решить неравенство .

Решение. Запишем равносильную ему систему рациональных неравенств

Ответ: .

Пример. Решить неравенство .

Решение. Как и в предыдущем примере, заметим, что правая часть данного неравенства отрицательна, а левая часть исходного неравенства неотрицательна при всех значениях x, при которых она определена. Это означает, что левая часть больше правой части при всех значениях x, удовлетворяющих условию .

Ответ: .

Пример. Решить неравенство .

Решение. Это неравенство равносильно неравенству

.

Ответ: .

Пример. Решите неравенство

Решение. Данное неравенство равносильно системе неравенств

Система равносильна совокупности двух систем , и

Ответ: ()

Логарифмический уравнения и неравенства

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида
log_a x = b. (1)

Утверждение 1. Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = a^b.

Пример. Решить уравнения:

a) log ₂x = 3, b) log ₃x = -1

Решение. Используя утверждение 1, получим

a) x = 23 или x = 8;

b) x = 3^-1 или x = 1/3

Пример: решим уравнение log₅ (х + 2) = log₅ (2х -1).

Это уравнение определено для тех х, при которых выполнены неравенства х + 2 > 0 и 2х -1 > 0.

Для этих х данное уравнение равносильно уравнению х + 2 = 2х -1, решаем данное уравнение: переносим х в левую часть, а числа в правую, при этом меняем знак на противоположный

х -2х = -1 -2,

-х = -3,

х = 3.

Число х =3 удовлетворяет условию х + 2 > 0 и 2х -1 > 0.

Следовательно х = 3 - корень уравнения.

Пример: решим неравенство log_1/3 (5 -2х) > -2.

Число -2 равно log_1/3 9, потому что (1/3) ^-2 =9. Поэтому данное неравенство можно переписать в виде log_1/3 (5 -2х) > log_1/3 9. Логарифмическая функция с основанием 1/3 определена и убывает на R₊, так как 1/3 < 1. Следовательно, второму неравенству удовлетворяют такие числа х, для которых выполнено условие 5-2х > 0

5 -2х < 9, откуда х >-2 и х <2,5

Итак, множество решений данного неравенства есть интервал (-2; 2,5)

Решение простейших тригонометрических уравнений

Частные случаи:

Значения тригонометрических функций при некоторых значениях аргумента

Решение простейших тригонометрических неравенств

Самостоятельная работа 13 по теме «Уравнения и неравенства»

1 задание - 1 балл

1. Решите неравенство:

2. Решите уравнение:

3. Решите неравенство:

4. Решите уравнение:

5. Решите неравенство:

6. Решите уравнение:

7. Решите неравенство:

8. Решите уравнение:

9. Решите неравенство:

10. Решите уравнение:

11. Решите неравенство:

12. Решите уравнение:

13. Решите неравенство:

14. Решите уравнение:

15. Решите неравенство:

16. Решите уравнение:

17. Решите неравенство

18. Решите неравенство

19. Решите уравнение

20. Решите неравенство

21. Решите уравнение

22. Решите неравенство

23. Решите уравнение

24. Решите уравнение

25. Решите неравенство

26. Решите неравенство

27. Решите уравнение

28. Решите уравнение

29. Решите неравенство

30. Решите неравенство

31. Решите уравнения

и . Запишите сумму их корней

32. Решите неравенство

33. Решите уравнение

34. Решите неравенство

35. Решите уравнения

и . Запишите сумму их корней

36. Решите неравенство

37. Решите уравнение

38. Решите неравенство

39. Решите уравнение

. Запишите сумму квадратов его корней

40. Решите уравнение

. Запишите сумму квадратов его корней

Критерии оценки

Количество набранных баллов

оценка

22-30

3

31-36

4

37-40

5

Приложение 1

Требования к рефератам студентов

Структура реферата

1. Реферат должен быть структурирован (по главам, разделам, параграфам). В зависимости от специфики предмета и тематики реферата к нему могут быть оформлены приложения, содержащие документы, иллюстрации, таблицы, схемы и т.д.

2. Реферат имеет следующую структуру:

- титульный лист;

- оглавление с указанием глав, параграфов, страниц;

- введение;

- основная часть (разбитая на главы и параграфы);

- заключение;

- список реферируемой литературы;

- приложения (если есть).

3. Общий объем реферата 10-15 страниц машинописного текста: введение - 1-2 страницы, основная часть - 10-12 страниц, заключение - 1-2 страницы.

4. Тема реферата должна соответствовать критериям:

- грамотность с литературной точки зрения;

- четкость рамок исследуемой проблемы (недопустима как излишняя широта, так и узкая ограниченность);

- сочетание ёмкости и лаконичности формулировок;

- адекватность уровню ученической учебно-исследовательской работы (недопустима как чрезмерная упрощенность, так и излишняя наукообразность, а также использование спорной с научной точки зрения терминологии).

5. Вводная часть должна включать в себя:

- обоснование актуальности темы реферата с позиции научной значимости (малая изученность вопроса, его спорность, дискуссионность и прочее), либо современной востребованности;

- постановку целей и формирование задач, которые требуется решить для выполнения цели;

- краткий обзор и анализ источников базы, изучения литературы и прочих источников информации (при этом ограничение их только учебной и справочной литературой недопустимо).

6. Основная часть реферата структурируется по главам, параграфам, количество и название которых определяются автором и руководителем. Подбор её должен быть направлен на рассмотрение и раскрытие основных положений выбранной темы. Основная часть реферата, помимо почерпнутого из разных источников содержания, должна включать в себя собственное мнение учащегося и сформулированные выводы, опирающиеся на приведенные факты.

Обязательным являются ссылки на авторов, чьи позиции, мнения, информация использованы в реферате. Цитирование и ссылки не должны подменять позиции автора реферата. Излишняя высокопарность, злоупотребления терминологией, объемные отступления от темы, несоразмерная растянутость отдельных глав, разделов, параграфов рассматриваются в качестве недостатков основной части реферата.

7. Заключительная часть реферата состоит из подведения итогов выполненной работы, краткого и четкого изложения выводов, анализа степени выполнения поставленных во введении задач, указывается, что нового лично для себя ученики вынесли из работы над рефератом.

8. Список литературы к реферату оформляется в алфавитной последовательности, в него вносится весь перечень изученных учащимися в процессе написания реферата монографий, статей, учебников, справочников, энциклопедий. В нем указываются: фамилии автора, инициалы, название работы, место и время её публикации.

9. После списка литературы могут быть помещены различные приложения (таблицы, графики, диаграммы, иллюстрации и пр.) Каждое приложение нумеруется и оформляется с нового листа.

Оформление реферата

1. Реферат должен быть представлен в сброшюрованном виде. Оформление реферата производится в соответствии с требованиями, предъявляемыми к его структуре. Каждая часть начинается с новой страницы.

2. Каждая страница нумеруется в середине верхней строки. Счет- нумерация ведется с титульного листа, на котором цифры не проставляются. Страница должна иметь поля слева - не менее 3 см, справа - не менее 1,5 см, снизу и сверху - 2,5 см.

3. Текст должен легко читаться. Рекомендуемые размеры шрифта 12 - 14 (один по всему тексту).

4. Шрифт лучше выбирать прямой. Курсив и жирный шрифт использовать для выделения.

5. Заголовки по всему тексту должны быть выполнены в едином стиле. Заголовки одного уровня набирают одним шрифтом одного размера.

6. Перед знаками препинания (кроме тире) не может быть пробела. После знака препинания пробел обязателен. Следует помнить, что нарушение этого правила считается ошибкой.

7. Нужно различать тире и дефис. Тире набирают двойным минусом, пробел набирают с двух сторон.

8. Дефис набирают клавишей минус, пробелы после дефиса не ставятся.

9. На одном листе не рекомендуется использовать больше 2-х размеров и разновидностей шрифтов.

10. В конце заголовков точка не ставится.

11. Перед заголовком и после рекомендуется вставлять пустую строку.

12. Слово страница сокращается как С.

13. Таблицы, схемы, чертежи, графики, имеющиеся в тексте, а также возможные приложения, нумеруются каждые в отдельности. Они должны иметь название и ссылку на источник данных, а при необходимости и указания на масштабные единицы.

14. В тексте не допускается сокращение названий, наименований (за исключением общепринятых аббревиатур).

15. Титульный лист оформляется следующим образом: в центре - название темы реферата, в правом верхнем углу - название учебного заведения, ниже темы справа - фамилия, имя, отчество учащегося, класс, а также фамилия и инициалы учителя, внизу - город и год написания.

16. Все сноски даются под основным тестом и оформляются на основе Приложения.

Критерии оценки реферата

(Они могут быть, как общие, так и частные).

К общим критериям можно отнести:

- Соответствие реферата теме.

- Глубина и полнота раскрытия темы.

- Адекватность передачи первоисточника.

- Логичность, связность.

- Доказательность.

- Структурная упорядоченность (наличие введения, основной части, заключения, их оптимальное соотношение).

- Оформление (наличие плана, списка литературы, культура, цитирования, сноски и т.д.).

- Языковая правильность.

Частные категории относятся к конкретным структурным частям реферата: введению, основной части, заключению.

1. Критерии оценки введения:

- Наличие обоснования выбора темы, её актуальности.

- Наличие сформулированных целей и задач работы.

- Наличие краткой характеристики первоисточников.

2. Критерии оценки основной части:

- Структурирования материала по разделам, параграфам, абзацам.

- Наличие заголовка к частям текста и их удачность.

- Проблемность и разносторонность в изложении материала.

- Выделение в тексте основных понятий и терминов, их толкование.

- Наличие примеров, иллюстрирующих теоретические положения.

3. Критерии оценки заключения:

- Наличие выводов по результатам анализа.

- Выражение своего мнения по проблеме.

Приложение 2

Методические рекомендации по составлению тестов:

1. Должно быть составлено 12-15 тестовых заданий по вопросам контроля.

2. Из 4 ответов на тестовый вопрос должен быть 1 правильный ответ.

3. Неправильные ответы должны быть правдоподобными и отражать тот же вопрос, что и правильный.

4. Тесты должны быть краткими и информативными.

Критерии оценки по составлению тестов

Критерии качества

5

4

3

2

Количество составленных вопросов

15

12-14

8-11

менее 8

Правильность составления тестов

Составлены правильно

Составлены правильно с незначительными ошибками

Ответы на вопрос в некоторых вопросах двусмысленны, неправдоподобны

Ответы на вопрос в большинстве вопросов двусмысленны, неправдоподобны

Необходимость в помощи преподавателя

Тесты составлены самостоятельно

Тесты составлены самостоятельно

По отдельным вопросам студент обращался за помощью к преподавателю

Не смог обойтись без помощи преподавателя при составлении большинства вопросов

Приложение 3

Критерии составления проектов-кроссвордов и нормы их оценивания

Объём, количество слов (зависит от уровня класса, для которого составляется кроссворд)- 2 балла

Аккуратность оформления - 2 балла

Форма, тип кроссворда - 1 балл

Способ презентации (письменный вариант, печатный вариант, электронная презентация) - 1 балл

Задания (все определения, формулировки должны быть однотипны) - 2балла

Информативная точность и достоверность фактов - 1балл

Орфографическая правильность - 2 балла

Точность перевода (если это кроссворд на перевод) - 2 балла

Источники информации (с указанием сайтов, авторов, издательства и т.д.) - 2 балла

Имя ученика, выполнившего кроссворд - 1балл

Ключи к кроссворду - 2 балла

*(возможны дополнительные критерии в зависимости от формы кроссворда)

Нормы оценивания кроссвордов.

18 - 16 баллов - оценка «отлично»

15,5 - 14 баллов - оценка «хорошо»

13,5 - 10 баллов - оценка «удовлетворительно» (минимальное количество баллов на оценку «3» позволяет решить кроссворд).

Приложение 4

Критерии оценки презентации учащихся

Оценка

3 балла

Работа соответствует требованиям

2 балла

В работе требуется корректировка

1 балл

Следует пересмотреть некоторые вопросы

Баллы

Критерии

1. Название презентации.

Учащиеся дали интересное название презентации. Оно соответствует их исследованию. Указали имена участников и руководителя. Красиво и интересно оформили первый слайд.

Учащие дали интересное название презентации. Оно соответствует их исследованию. Указали имена участников и руководителя.

Учащиеся дали интересное название презентации. Оно соответствует их исследованию.

2. Цель исследования.

Учащиеся четко определили для себя, что должны узнать. Цель исследования внесли в свою презентацию.

Нет четкости в постановке цели. Цель исследования внесли в свою презентацию.

Цель исследования не поставлена.

3. План работы.

Учащиеся составили план работы. Он состоит из нескольких пунктов. В нем каждое новое действие вытекает из предыдущего.

Учащиеся составили план работы. НО незначительно нарушили последовательность действий.

Учащиеся составили план работы. Но последовательность действий не получилась.

4. Подбор текстового материала.

Текст соответствует теме. Он полностью раскрывает поставленный вопрос. Изложение текста доступно и понятно для других. Объем информации оптимален для восприятия.

Текст соответствует теме. Он полностью раскрывает поставленный вопрос. Большой объем текста. Встречаются непонятные слова.

Текст соответствует теме. Но он не полностью раскрывает поставленный вопрос. Слишком большой объем текста. Изложение текста не совсем понятно.

5. Применение в презентации фотографий, видеозаписей, звукового сопровождения.

В презентации использованы сделанные учащимися фотографии, видеозаписи, звуковое сопровождение.

В презентации старались использовать сделанные учащимися фотографии, видеозаписи, звуковое сопровождение.

В презентации использовались фотографии, видеозаписи, звуковое сопровождение только из интернета.

6. Подбор материала к исследованию.

Для проведения исследования правильно подобрали материал, оборудование.

При подборе материалов и оборудования для исследования значительные ошибки.

Затрудняемся в подборке материалов и оборудования для проведения исследования.

7. Качество изготовления исследуемого объекта.

Качественно и аккуратно изготовили объект для исследования.

При изготовлении объекта исследования допустили неаккуратность.

Объект исследования выполнен небрежно.

8. Наличие выводов в работе.

В презентации учащимися сделаны четкие обоснованные выводы, которые соответствуют цели исследования.

Выводы соответствуют цели, но предоставлены бессистемно.

Отсутствие выводов или они не связаны с целью исследования.

9. Использование в работе художественной литературы.

В работе использованы художественные тексты: стихи, отрывки произведений , высказывания великих людей и т.д. Используемые тексты соответствую теме. Они уместны в данном тексте.

В работе использованы художественные тексты: стихи, отрывки произведений , высказывания великих людей и т.д. Используемые тексты соответствую теме.

В работе использованы художественные тексты: стихи, отрывки произведений , высказывания великих людей и т.д. Используемые тексты не соответствуют теме.

10. Используемая литература.

Составлен список литературы. Он соответствует требованиям. Красиво его оформили. Соблюдали авторские права. Литература разных источников: справочники, энциклопедии, художественная литература, периодическая печати; Интернет и т.д.

Составили список Литературы. Он соответствует требованиям. Соблюдены авторские права. Источники литературы однообразны.

Составили список литературы.

11. Оформление работы.

Учащиеся удачно подобрали макет презентации соответствующий ее теме. На слайдах выделили заголовки. Текст изложен ясно. Он четко прочитывается, не сливается с фоном. Фотографии соответствуют тексту. Излишества в иллюстрациях нет. При создании презентации применили анимацию.

Учащиеся удачно подобрали макет презентации соответствующий ее теме. На слайдах выделили заголовки. Текст изложен ясно. Он четко прочитывается, не сливается с фоном. Фотографии соответствуют тексту. Излишества в иллюстрациях нет. При создании презентации применили анимацию.

Учащиеся удачно подобрали макет презентации соответствующий ее теме. На слайдах выделили заголовки. Текст изложен ясно. Он четко прочитывается, не сливается с фоном. Фотографии соответствуют тексту. Есть излишества в иллюстрациях.

12. Участие группы в работе над презентацией.

Активное участие всех членов группы в работе.

Активное участие в работе принимало большее количество членов группы.

Большинство членов группы отнеслись к выполнению работы пассивно.

Итог:

Отличная работа - 36 баллов

Хорошая работа - 24-35 балла

Удовлетворительная работа - 12-23 балла

Презентация нуждается в доработке - менее 12 баллов

Приложение 5

Тематика рефератов, презентаций об истории математики

1. Возникновение арифметики и геометрии

2. Математика в Древнем Египте

3. Вавилонская математика

4. Математика в древнем Китае

5. Математика в Древней Греции

6. История математики в Индии

7. Математика исламского средневековья

8. Математика Средневековья, IV-XV века

9. Математика в XVI веке

10. Математика в XVII веке

11. Математика в XVIII веке

12. Математика в XIX веке

13. Треугольник Паскаля.

14. Бином Ньютона.

15. Математическая статистика.

16. Знаменитые задачи древности (удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга) и их значение в развитии математики.

17. Открытие логарифмов и проблемы совершенствования вычислительных средств в XVII-XIX вв.

18. Рождение математического анализа в трудах И. Ньютона.

19. Рождение математического анализа в трудах Г. Лейбница.

20. Л.Эйлер и развитие математического анализа в XVIII в.

21. Ионийская школа и Фалес Милетский.

22. Система счета народа Майя.

23. Дедукция Платона и логика Аристотеля.

24. Математика в русских рукописях ХV-ХVII вв.

25. Омар Хайям - математик и поэт.

26. Софья Васильевна Ковалевская - первая в России женщина-математик.

27. Возникновение и развитие тригонометрии.

28. Леонардо да Винчи и его математические труды.

29. Алгебраическая символика. История возникновения.

30. Число и его история.

Литература для написания реферата

А) ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА:

1. Асланов Р.М., Матросова Л.Н., Матросов В.Л. Предшественники современной математики: Историко-математические очерки: В 5 т. Т.1. Ч.1, 2 - М.: Изд-во «Прометей» МПГУ, 2009. - 432 с.

2. Асланов Р.М., Матросова Л.Н., Матросов В.Л. Предшественники современной математики: Историко-математические очерки: В 5 т. Т.2. - М.: Изд-во «Прометей» МПГУ, 2007. - 448 с.

3. Асланов Р.М., Матросова Л.Н., Матросов В.Л. Предшественники современной математики: Историко-математические очерки: В 5 т. Т.3. - М.: Изд-во «Прометей» МПГУ, 2011. - 528 с.

4. Асланов Р.М., Матросова Л.Н., Матросов В.Л. Предшественники современной математики: Историко-математические очерки: В 5 т. Т.4. Ч.1, 2 - М.: Изд-во «Прометей» МПГУ, 2012. - 528 с.

5. Асланов Р.М., Косенко И.И. Женщины-математики. Историко-математические очерки: В 3 т. Т.1./под общ. ред. Матросова В.Л. - М.: МПГУ, 2006. - 362 с.

6. Мерлина Н.И. Фольклорные и краеведческие математические задачи народов России / Н.И. Мерлина, А.В. Мерлин, С.А. Карташова и др. / под общ. ред. Н.И. Мерлигной. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2012. - 290 с.

Б) ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА:

1. Болгарский Б.В. Очерки по истории математики. Изд. "Высшая школа", Минск, 1974.

2. Ван дер Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. М.: Физматгиз, 1959.

3. Гнеденко Б.В. Очерки по истории математики в России. М.-Л., Гостехиздат, 1946.

4. Депман И.Я. История арифметики. М.: Просвещение, 1965.

5. История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 1-3 (Под ред. Юшкевича А.П. М.: Наука, 1970-1972.

6. Колмогоров А.Н. Математика. БСЭ, 2-е изд. М.: Изд-во БСЭ, 1954. Т. 25, с. 464-483.

7. Математика XIX века. (Под ред. А.Н. Колмогорова и А.П. Юшкевича). М.: Наука, 1978-Т.1, 1981-Т.2.

8. Марков С.Н. Курс истории математики. Изд-во Иркутского унив. 1995.

9. Розенфельд Б.А. История неевклидовой геометрии. М.: Наука, 1976.

10. Рыбников К.А. История математики. Изд. МГУ, 1974.

11. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. М.: Наука, 1978.

12. Хрестоматия по истории математики. М.: Просвещение, 1976-1977, кн. 1,2.

13. Цейтен Г.Г. История математики в древности и в средние века. М.-Л., 1932.

14. Цейтен Г.Г. История математики в XVI-XVII веках. М.-Л., 1933.

15. Шереметьевский В.П. Очерки по истории математики. М. 1940.

16. Архимед. Сочинения. М.: Физматгиз, 1962.

17. Андронов И.К. Полвека развития школьного математического образования в СССР. М.: Просвещение, 1967.

18. Башмакова И.Г. Диофант и диофантовы уравнения. М.: Наука, 1972.

19. Белый Ю.А. Иоганн Кеплер. М.: Наука, 1971.

20. Белый Ю.А. Иоганн Мюллер (Региомонтан) М.: Наука, 1985.

21. Березкина Э.И. Математика древнего Китая. М.: Наука, 1980.

22. Бородин А.И., Бугай А.С. Выдающиеся математики: Биографический словарь - справочник. Киев, 1987.

23. Булгаков П.Г. Жизнь и труды Бернулли. Ташкент, 1972.

24. Веселовский И.Н., Белый Ю.А. Н. Коперник. М.: Наука, 1974.

25. Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике. М.: Просвещение, 1978.

26. Володарский А.И. Ариабхата. М.: Наука, 1977.

27. Волошинов А.В. Пифагор. М.: Просвещение, 1993.

28. Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи. М.: Наука, 1978.

29. Выготский М.Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. М.: Наука, 1967.

30. Гиндикин С.Г. Рассказы о физиках и математиках. М.: Наука, 1981.

31. Гиршвальд. История развития логарифмов. Харьков, изд. ХГУ, 1952.

32. Глейзер Г.И. История математики в школе (IV-VI кл.) М.: Просвещение, 1981.

33. Глейзер Г.И. История математики в школе (VII-VIII кл.) М.: Просвещение, 1982.

34. Глейзер Г.И. История математики в школе (IX-X кл.) М.: Просвещение, 1983.

35. Гутер Р.С., Полунов Ю.Л. Джироламо Кардано. М.: Знание, 1980.

36. Гутер Р.С., Полунов Ю.Л. Джон Непер. М.: Наука, 1980.

37. Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты: Очерки по истории математики. М.: Мир, 1986.

38. Дальма А. Эварист Галуа революционер и математик. М.: Наука, 1984.

39. Данилова Е.Ф. Владимир Модестович Брадис: К 100-летию со дня рождения. - Тверь, 1990.

40. Денисов А.П. Леонтий Филиппович Магницкий. М.: Просвещение, 1967.

41. Добровольский В.А. Даламбер. М.: Знание, 1968.

42. Ефимовский Е. След колесницы. Л.: Детская литература, 1988.

43. Житомирский С.В. Архимед. М.: Просвещение, 1981.

44. Зубов В.П. Леонардо да Винчи. М.-Л., 1962.

45. История отечественной математики в 4-х томах. Киев: Наукова думка, 1966-1970.

46. Каган В.Ф. Очерки по геометрии. Изд. МГУ, 1963.

47. Каган В.Ф. Великий ученый Н.И. Лобачевский и его место в мировой науке. Изд. АН СССР, 1943.

48. Ковалевская С.В. Воспоминания и автобиографические очерки. М.: Изд. АН, 1945.

49. Колосов А.А. Книга для внеклассного чтения по математике в старших классах. М.: Учпедгиз, 1963.

50. Кочина П.Я. С.В. Ковалевская. М.: Наука, 1981.

51. Ксенгарня Наша. Шеренга великих математиков. Варшава, 1970.

52. Кымпан Ф. История числа .. М.: Наука, 1971.

53. Лаптев Б.Л. Николай Иванович Лобачевский. Изд. Каз. унив. 1976.

54. Лобачевский Николай Иванович. Научно-педагогическое наследие. М.: Наука, 1976.

55. Матвиевская Г.П. Рене Декарт. М.: Просвещение, 1987.

56. Молодший В.Г. Основы учения о числе в XVIII веке. М.: Учпедгиз, 1953.

57. Мишкевич Г.Н. Доктор занимательных наук. Изд. Знание, 1986.

58. Некрасов С.М. Российская академия. Изд. Современник, 1984.

59. Нейгебауер О. Точные науки в древности. М.: Наука, 1968.

60. Никифоровский В.А. Великие математики Бернулли. М.: Наука, 1984.

61. Никифоровский В.А., Фрейман Л.С. Рождение новой математики. М.: Наука, 1976.

62. Никифоровский В.А. Из истории алгебры XVI-XVII веков. М.: Наука, 1979.

63. Ньютон И. Математические работы. Гостехиздат, 1937.

64. Ожигова Е.Н. Математика в Петербургской Академии наук. Л., 1980.

65. Олехнин С.Н., Нестеренко Ю.В., Потапов М.К. Старинные занимательные задачи. М.: Наука. 1985.

66. Оре О. Замечательный математик Нильс Хенрик Абель. М.: Физматгиз, 1961.

67. Погребысский И.Б. Готфрид Вильгельм Лейбниц. М.: Наука, 1971.

68. Постников М.М. Теорема Ферма. М.: 1978.

69. Прудников В.Е. Русские педагоги-математики XVIII-IXX веков. Учпедгиз, 1956.

70. Прудников В.Е. Пафнутий Львович Чебышев. Л.: Наука, 1976.

71. Пидоу Д. Геометрия и искусство. М.: Мир, 1979.

72. Рид К. Гильберт. М.: Наука, 1977.

73. Розенфельд Б.А., Юшкевич А.П. Омар Хайям. М.: Наука, 1965.

74. Розенфельд Б.А., Юшкевич А.П. Теория параллельных прямых на средневековом Востоке IX-XIV в.в. М.: Наука, 1983.

75. Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической науки. М.: Просвещение, 1987.

76. Разгон Л. Живой голос науки. М.: 1981.

77. Симонов Р.А. Кирик Новгородец. М.: 1980.

78. Сираждинов С.Х., Матвиевская Г.П. Абу Райхан Беруни и его математические труды. М.: 1976.

79. Сираждинов С.Х., Матвиевская Г.П. Ал-Хорезми - выдающийся математик и астроном средневековья. М.: Просвещение. 1983.

80. Смилга В.П. В погоне за красотой. М.: Молодая гвардия, 1965.

81. Тихомиров В.М. Рассказы о максимумах и минимумах. М.: Наука, 1986.

82. Туманов. Анри Леон Лебег. М.: Просвещение, 1981.

83. Тюлина. Жозеф Луи Лагранж. М.: Просвещение, 1983.

84. Фрейман Л.С. Творцы высшей математики. М.: Наука, 1968.

85. Чанышев А.Н. Аристотель. Мысль, 1987.

86. Чистяков В.Д. Три знаменитые задачи древности. М.: Учпедгиз, 1963.

87. Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике. Минск, 1978.

88. Фрибус Е.А., Баврин И.И. Старинные задачи. М.: Просвещение, 1994.

89. Фрибус Е.А., Баврин И.И. Занимательные задачи по математике. М.: Гуманитарный издательский центр «Владос», 1999.

90. Чистяков В.Д. Математические вечера в средней школе. М.: Учпедгиз, 1958.

91. Чистяков В.Д. Материалы по истории математики в Китае и Индии. М.: Учпедгиз, 1960.

92. Шмутцер Э., Шутц В. Галилео Галилей. М.: мир. 1987.

93. Юшкевич А.П. математика в Московском университете за первые сто лет.// Историко-математические исследования, 1948, вып.1.

94. Яглом И.М. Герман Вейль. М.: 1967.

95. Яглом И.М. Итальянский купец Фибоначчи и его Кролики // Квант, 1984, №7.

96. Яковлев А.Я. Леонард Эйлер. М.: 1983.

97. Юшкевич А.П. О развитии понятия функции в книге Юшкевича А.П. "Математика в ее истории." М.: наука, 1980.

98. Молодший В.Н. Очерки по философским вопросам математики. М. 1969.

Интернет-ресурсы:

1. Математическое образование: прошлое и настоящее mathedu.ru/hist-math

2. История Московского математического общества: mms.math-net.ru/history.php

3. Галерея: Великие математики: zaitseva-irina.ru/html/f1107282404.html

4. Книги по истории математики: bookland.ru/catalog1089977.htm

5. Из истории учреждения премии за достижения в области математики:

n-t.ru/nl/m85.htm

6. Сайт «Мир математический уравнений»: eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics.htm

(eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/logic.htm; eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/other.htm)

7. Math.ru Библиотека: math.ru/lib/cat/

8. Социальная история отечественной математики ihst.ru/projects/sohist/math.htm

9. Московское математическое общество. История - mms.mathnet.ru/history.php

10. Сайт Андрея Щетникова - nsu.ru/classics/pythagoras/index.htm

11. Сайт «История астрономии» - naturalhistory.narod.ru/Index.htm

Приложение 6

Полезные интернет ресурсы

mathprofi.ru

yourtutor.info

sci.tspu.ru/SITES/posobie/trigon/metod.html

matematika.egepedia.ru

webmath.ru

matburo.ru

free.megacampus.ru/xbookM0001/index.html?go=part-036*page.htm