Программа элективного курса по математике 10класс

10

Слабодчук Анна Александровна

Учитель математики

МБОУ «Мишковская СОШ»

Программа элективного курса по математике для учащихся 10, 11 классов

«Математика ставит эксперимент»

(Всего 34 часа)

Элективный курс «Математика ставит эксперимент» рассчитан на 34 часов, для учащихся 10, 11 классов.

В программу данного курса включены следующие разделы «Алгебраические задачи для 7-9 классов», «Задачи по алгебре и началам анализа для 10-11 классов».

Программой предусмотрено повторение теоретических вопросов, проведение коллективных, групповых, самостоятельных и практических работ, деловой игры, а также создание проекта.

На занятиях курса «Математика ставит эксперимент» учащиеся получат возможность познакомиться с математикой не с точки зрения школьного предмета, а как «живого» и очень важного для развития личности и общества средства; коснуться информации о тесной взаимосвязи математики с изменениями, происходящими в мире.

Изучая данный курс, учащиеся получат информацию, которая поможет им сориентироваться в процессе дальнейшего самообразования и выборе профессиональной деятельности. Существует объем математических знаний, который полезно освоить каждому, а в данном курсе содер­жится большое количество задач занимательного характера, имеющих различную степень трудности.

Выполняя мультимедийную составляющую проектов, учащиеся приобретают навыки владения ИКТ.

Цели:

• углубление знаний учащихся и более эффективное их применение при решении нестандартных заданий;

• развитие смекалки, логического мышления и воображения;

• повышение интереса к предмету математики и её применению в жизни общества.

Задачи:

• показать обучающимся математический инструментарий предполагаемой их будущей деятельности;

• создать базу для ориентации учеников в мире современных профессий;

• познакомить на практике учеников со спецификой математических задач, необходимых для выполнения типичных видов деятельности, соответствующих наиболее распространенным профессиям;

• мотивировать детей на интерес к математике;

• воспитывать внимательность, дисциплинированность;

• обеспечить коллективную работу над проектами.

Тематическое планирование.

Дидактические материалы для

элективного курса «Математика ставит эксперимент»

1. Функция.

Задача 1. В начале нагревания вода имела температуру 6ºС. От нагревания температура воды повышалась каждую минуту на 2ºС. Составьте формулу, которая выражает изменение температуры Т воды от времени t её нагревания. Будет ли эта функция линейной? Через сколько минут вода закипит?

О т в е т. Т = 2 t + 6, t = 47 мин.

Задача 2. Годовая зарплата агронома состоит из годового оклада и 0,3% этого оклада за каждый процент перевыполнения плана производства сельскохозяйственной продукции. Составьте формулу вычисления годовой зарплаты агронома с месячным окладом 150000 руб.

У к а з а н и е. у = 150000 ∙ 12 ­­­+ 0,003 ∙ 150000 ∙ 12х = 1800000 + 5,4х, где х - процент перевыполнения плана производства сельскохозяйственной продукции.

Задача 3. На рисунке изображён график изменения температуры охлаждения смолы. Запишите формулу зависимости между температурой и временем.

О т в е т. T ∙ t = 50

Задача 4. Участок прямоугольной формы площадью 400 м² нужно оградить забором. Определите размеры участка. Составьте формулу, по которой вычисляют площадь прямоугольника. Заполните таблицу:

Постройте график, сделайте вывод. Какой из прямоугольников вы бы выбрали для ограждения? Почему?

II. Система уравнений.

Задача 1. Одна часть стального лома содержит 5% никеля, а другая 40%. Сколько нужно взять лома из каждой части, чтобы получить 140 т стали с содержанием никеля 30%?

Р е ш е н и е. Обозначим массу первой части лома через х, а другой - через у. Тогда

Задача 2. Коэффициент трения F ременной передачи в зависимости от скорости V скольжения ремня определяют по формуле f = a + bV. Определите постоянные a и b, если на опыте было найдено, что при скорости скольжения V = 0,1 м/с коэффициент трения f₁ = 0, а при скорости скольжения V = 0,5 м/с - f₂ = 0,5.

О т в е т. а = 0,375, b = 0,25.

Задача 3. Расстояние между двумя пристанями равно 90 км. Это расстояние по течению реки катер проходит за 3 часа, а против течения - за 4,5 часа. Найдите скорость катера и скорость течения реки.

У к а з а н и е.

Где v - собственная скорость катера, u - скорость течения реки.

III. Алгебраические дроби

Задача 1. Тракторист должен вспахать участок поля за t часов при норме а гектаров в час. За какое время тракторист обработает этот же участок, если за час он будет пахать на 0,1 га больше нормы?

О т в е т.

Задача 2. Поезд мимо телеграфного столба проходит за 20 с, а мимо моста длиной 80 м - за 25 с. Какова длина поезда? Какова скорость поезда?

У к а з а н и е. Когда поезд проходит мимо телеграфного столба, то любая точка поезда на 20 с проходит расстояние х метров, которая равна длине поезда, а когда мимо моста, то (х + 80) м за

25 с.

Скорость поезда будет:

Поскольку скорость поезда будем считать постоянной, то

Откуда х = 320 (м),

Задача 3. Среди задач на среднее арифметическое желательно решить задачу, которая помогает учащимся установить разницу между средним арифметическим и средним гармоническим

чисел а и b, c которыми часто имеют дело в курсе физики.

Автомобиль проехал расстояние между двумя пунктами со скоростью 75 км/час, а возвращался со скоростью 50 км/час. Какова средняя скорость его движения?

Р е ш е н и е. Обозначив расстояние между двумя пунктами через S и искомую среднюю скорость через V, составим уравнение которое даёт возможность найти правильный ответ:

Задача 4. Расстояние между двумя станциями длиной S км поезд проходит со скоростью 60 км/час. На сколько необходимо увеличить скорость поезда, чтобы он проходил это расстояние на 2 часа быстрее (максимальная скорость поезда на этом участке не может превышать 100 км/час)? При каких значениях решение возможно?

Р е ш е н и е. Пусть скорость поезда увеличена на х км/час. Тогда по условию задачи имеем:

По условию задачи откуда

Итак, задача имеет решение при условии S ≥ 300.

IV. Неравенства.

Задача 1. Диаметр шкива электродвигателя, который делает 960 оборотов в минуту, равен 150 мм. На сколько миллиметров должен быть меньше диаметр нового шкива, чтобы электродвигатель делал не менее чем 1200 оборотов в минуту?

У к а з а н и е. Если диаметр шкива уменьшится на х мм, то задача сводится к решению неравенства

Задача 2. Машина стоимостью 4000 руб.(цены относительные) поставлена на капитальный ремонт после 10 лет эксплуатации. Стоимость ремонта 1600 руб. Каким должен быть срок гарантии работы машины после ремонта, чтобы была оправдана его стоимость.

У к а з а н и е. Обозначив через х гарантийный срок работы машины, получим неравенство

Задача 3. В грузовом автомобиле с двумя колёсами спереди и четырьмя сзади шины передних колёс стираются через 20000 км пройденного пути, а задних - через 30000 км. Сколько километров можно проехать на тех же шинах, если их своевременно поменять местами?

Р е ш е н и е. Количество резины, которое стирается на одной шине, пока она пригодна, возьмём за единицу. Тогда перед началом эксплуатации автомобиля есть 6 единиц резины. Если шина стоит на переднем колесе, то на 1 км пути стирается единицы, если на заднем - единицы.

Итак на 1 км пути стирается единицы резины, а за х километров пути Поскольку в автомобиле может стереться не более 6 единиц резины, то имеем неравенство

Шины сотрутся одновременно на пути если каждая из них пройдёт 1/3 пути на переднем колесе.

На тех же шинах можно проехать приблизительно 25700 км.

V. Уравнения с модулем вида

Задача 1. По дороге в противоположных направлениях едут два автомобиля со скоростями 70 и 80 км/час. Через какое время расстояние между ними будет равно 15 км, если в данный момент оно составляет S км?

У к а з а н и е. Если расстояние между автомобилями S км, а через t часов 15 км, то по условию задачи |S - 150 t| = 15. Если 150 t ≤ S, то S - 150 t = 15 и ;

если

VI. Квадратные уравнения.

Задача 1. Для сооружения склада вместимостью 240 м³ подготовлен материал для внешних стен общей длиной 32 м и высотой 4 м. Какие размеры должен иметь склад?

У к а з а н и е. Задача сводится к решению уравнения: 4х(16 - х) = 240, где х - один из размеров прямоугольного здания.

Задача 2. Для раствора, который содержит 6 кг соли, долили 100 кг воды, после чего концентрация раствора уменьшилась на 25%. Сколько воды в растворе?

У к а з а н и е. Массу воды, которая содержится в растворе обозначим через х. Решение задачи сводится к нахождению корней уравнения

Задача 3. Зависимость между площадью использованной земли и валовым доходом из расчёта на 100 га сельскохозяйственных угодий лесостепной полосы можно выразить функцией

у ≈ 9 + 9х - 1,5х², где х - площадь сельскохозяйственных угодий (в тыс. га), у - валовой доход на 100 га сельскохозяйственных угодий (в тыс. руб). С какой площади хозяйство будет иметь наибольшую прибыль?

VII. Прогрессии.

Задача 1. Ступенчатый шкив состоит из 10 ступеней. Диаметры их образуют арифметическую прогрессию. Наибольший диаметр 300 мм, наименьший - 210 мм. Найдите другие диаметры.

О т в е т. 220, 230, …, 290.

Задача 2. Найдите силу F, которую необходимо приложить к свободному концу жгутового каната, чтобы удержать груз Р = 4  10³ Н при помощи полиспаста, который состоит из четырёх блоков. Известно, что благодаря трению натяжение каната полиспаста изменяется в геометрической прогрессии, знаменатель которой q = 0,837.

О т в е т. F = 1530 Н.

VIII. Тригонометрические функции

Задача 1. Сжатием заготовки на прокатном стане называют величину Δh = h₁ - h₂, где h₁ и h₂ толщина заготовки до и после прокатывая. Докажите, что Δh = 2d sin²(a/2), где d - диаметр вала и a - угол захвата.

У к а з а н и е. Из прямоугольного треугольника АОВ: ОВ = 0,5 d cos a.

Δh = h₁ - h₂ = 2×ВС = 2×(0,5d - ОВ) = 2×(0,5d - 0,5dcos) = d(1 - cosa) = 2dsin²(a/2).

Задача 2. Скаты двухскатной и скаты ADFE и CDEF четырёхскатной крыши с горизонтальной плоскостью образуют угол a, а скаты ADE и BCF - угол β. Для какой крыши - двух- или четырёхскатной необходимо меньше материала?

У к а з а н и е. Площадь двухскатной крыши а четырёхскатной - Чтобы сравнить эти площади, рассмотрим их разность

Поскольку b > 0, m > 0, 0 < β < 90º и 0 < a < 90 º, то при β < a получим S₂ - S₁ < 0; при a = β,

S₂ - S₁ = 0, а при β > a, S₂ - S₁ > 0.

Итак, если все скаты обеих крыш будут одинаково наклонены к горизонтальной плоскости, то на обе крыши нужно одинаковое количество кровельного материала. Если скаты ADE и BCF четырёхскатной будут иметь больший угол наклона, чем скаты ABEF и DCFE, то кровельного материала нужно будет больше, чем для двухскатного, а при меньшем угле - меньше.

IХ. Предел функции

Задача 1. Температура нагревания металлического стержня на расстоянии от места нагревания (до t =1000°) определяется по формуле где расстояние в дециметрах.

Определите граничные значения температуры стержня, на расстоянии 1 м от места нагревания. Можно ли такой стержень взять в руку?

Задача 2. Какую работу нужно выполнить, чтобы откачать воду из ямы глубиной h м и площадью S м² ?

Р е ш е н и е. Поделим глубину ямы на n равных частей и мысленно проведём горизонтальные плоскости, которые делят объём ямы на n равных частей. Высота каждого слоя будет равна м, а масса 1000 кг = 9800Н.

Будем считать, что каждый из слоёв воды поднимают на высоту, которая равна расстоянию от нижней плоскости до поверхности воды. Тогда высоты поднятия последовательных частей воды будут равны: а приближённые значения работы поднятия этих частей будут определяться так:

… ;

Итак, приближённое значение работы поднятия всей воды составляет:

A₁ = A₁ + A₂ + A₃ + … + A_n =

=

Вся работа, очевидно, равна:

Х. Производная функции и её применение

Задача1. Профиль моста имеет форму параболы с высотой центральной части 10 м и длиной основания 120 м. Какой должен быть наклон насыпи на концах моста?

Задача 2. Расходы на топливо, необходимое для движения океанского танкера, пропорционально кубу его скорости и составляют 200 руб. в час при скорости 10 узлов, а все прочие расходы составляют 1000 руб. в час. Найти наиболее экономичную скорость движения. Вычислить дополнительную прибыль, если расстояние до порта назначения 1000 морских миль.

1 этап: если принять за х узлов наиболее экономичную скорость движения океанского танкера, то функция расхода средств за один рейс будет иметь вид

2 этап (работа с моделью):

При Р' = 0,

Решив уравнение, получим, что скорость 13,6 узлов является наиболее экономичной.

Дополнительная прибыль за один рейс в 1000 морских узлов составит 97000 руб.

Задача 3. Конструируя трансформаторы переменного тока, стремятся к тому, чтобы железный сердечник сечения как можно больше заполнял внутреннюю область цилиндрической катушки. Определите размеры х и у сечения сердечника, если радиус катушки равен R.

Р е ш е н и е. S - площадь сечения сердечника.

ОА = у, АЕ = х, ОЕ = R, АОЕ = .

S = (2y)² - 4(y - x)², x = Rsin, y = Rcos.

S = (2R cos)² - 4(Rcos - Rsin)² =4R²sin2 - 4R²sin²

S = (4R²sin2 - 4R²sin²) = 8R²cos2 - 4R²sin2.

4R²(2cos2 - sin2) = 0,

2cos2 - sin2 = 0,

5 sin(2 - arctg2) = 0.

 =1/2 arctg2,  ≈ 31º43.

Задача 4. По трубе, сечением которой является круг радиусом r, течёт вода. Известно, что скорость течения пропорциональна отношению площади поперечного сечения (сегмента), заполненного водой, к длине дуги поперечного сечения (сегмента), смоченного водой. При каком заполнении трубы водой скорость течения будет наибольшей?

Р е ш е н и е. Пусть  - центральный угол сегмента заполнения трубы водой (в радианах), S - площадь этого сегмента.

Площадь сектора ОАСВ равна а площадь треугольника АОВ - Поэтому

S = 1/2r² - 1/2r²sin = 1/2r²( - sin).

Смоченный периметр равен r.

 >π

tg =.

Уравнение tg =  можно решить графически, записав его в виде

 ≈ 4,5 радиан = 258º.

Производная от v, которая равна при переходе через  ≈ 4,5 изменяет знак с + на - . Следовательно, при  ≈ 258º скорость течения будет наибольшей.

Задача 5. Исследовать производственную функцию, выражающую зависимость выручки от реализации товара. Выручка от реализации товара по цене p составляет:

Список литературы

1. Апанасов П.Т. Методика решения задач с экономическим содержанием. - М.: Высшая школа, 1981.

2. Возняк Г.М. Взаимосвязь теории с практикой в процессе изучения математики. - К.: Радянська школа, 1989.

3. Энциклопедический словарь юного математика/Сост. Савин А.П. - М.: Педагогика, 1985.

Электронные издания

1. Большая Российская энциклопедия. - © «Кирилл и Мефодий», 2002.

2. CD «Коллекция 80000 анимаций» - animashky.ru