Школьная олимпиада 8 класс

Всероссийская олимпиада школьников по математике (школьный этап)

2015-2016 учебный год

8 класс

Задание 1

Какой цифрой оканчивается сумма ?

Ответ: Нулём.

Решение: .

Задание 2

Три математика ехали в разных вагонах одного поезда. Когда поезд подъезжал к станции, математики насчитали на перроне 7, 12 и 15 скамеек. Когда поезд отъезжал, каждый из них насчитал еще несколько скамеек, причем один из них насчитал в три раза больше, чем другой. А сколько насчитал третий?

Ответ: 7 скамеек.

Решение: Очевидно, что тот, кто до остановки проехал большую часть перрона, насчитал большее число скамеечек. Пусть первый насчитал 15 скамеек, второй 12, третий 7. Так как первый насчитал на 3 скамейки больше, чем второй, то, когда поезд будет отъезжать, второй увидит эти 3 скамейки, т.е. насчитает на 3 скамейки больше, чем первый. Аналогично третий насчитает на 8 скамеек больше, чем первый, и на 5 скамеек больше, чем второй. Раз кто-то насчитал в 3 раза больше, чем другой, то разница между насчитанными ими скамейками - четное

число (3x-x=2x). В нашем случае разность насчитанных скамеек четна только между первым и третьим и она равна 8. Значит, первый насчитал 8:2=4 скамейки, тогда второй 4+3=7 скамеек.

Замечание: Можно было обойтись и без четности. Пусть первый насчитал x скамеек. Тогда второй x+3, а третий x+8. А дальше составить всевозможные пары и решить получившиеся три уравнения (один насчитал в три раза больше, чем другой в паре): 3x=x+3, 3x=x+8, 3(x+5)=x+8. Только одно из них имеет целое решение.

Задание 3

Найдите 3 числа, обладающие следующими свойствами: они целые, положительные и сумма обратных величин этих чисел равна 1.

Ответ: (2; 4; 4), (2; 3; 6), (3; 3; 3)

Задание 4

Фирма изготавливает лимонный напиток, разбавляя лимонный сок водой. Сначала фирма производила напиток, содержащий 15% лимонного сока. Через некоторое время генеральный директор отдал указание снизить содержание лимонного сока до 10%. На сколько процентов увеличится количество производимого лимонного напитка при тех же объёмах поставок лимонов?

Ответ: На 50%.

Решение: 1 способ. Содержание лимонного сока в напитке после указания генерального директора снизилось в полтора раза. Значит, из тех же лимонов можно приготовить в полтора раза больше лимонного напитка. Иными словами, количество производимого лимонного напитка увеличится в полтора раза или на 50%.

2 способ. Пусть х - количество производимого напитка до указания генерального директора. Тогда количество лимонного сока в этом напитке - 0,15·х. Пусть теперь у - количество производимого напитка после указания генерального директора. Тогда количество лимонного сока в этом напитке - 0,1·у. Так как подразумевается, что количество лимонного сока не изменилось, получаем равенство 0,15·х = 0,1·у. Умножив обе части этого равенства на 10, получим: у = 1,5·х; или: у = х + 0,5·х. Значит, количество производимого напитка увеличилось на 50%.

Задание 5

Один из углов треугольника на 120° больше другого. Докажите, что биссектриса треугольника, проведённая из вершины третьего угла, вдвое длиннее, чем высота, проведенная из той же вершины.

Доказательство:

Пусть ABC - данный треугольник, B = α, A = 120° + α . Тогда C = 60° - 2α . Если CL - биссектриса данного треугольника, то CLA = LCB + LBC = (30° - α) + α = 30°. Пусть CH - высота треугольника АВС, тогда в треугольнике CLH катет CH, лежащий против угла в 30°, в два раза меньше, чем гипотенуза CL.

Примерные критерии оценивания заданий по математике

2015- 2016 учебный год

8 класс

В соответствии с регламентом проведения математических олимпиад школьников каждая задача оценивается из 7 баллов.

Соответствие правильности решения и выставляемых баллов приведено в таблице.

Баллы

Правильность (ошибочность) решения

7

Полное верное решение.

6 -7

Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение.

5 - 6

Решение в целом верное. Однако оно содержит ряд ошибок, либо не рассмотрение отдельных случаев, но может стать правильным после небольших исправлений или дополнений.

4

Верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев, или в задаче типа «оценка + пример» верно получена оценка.

2 - 3

Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи.

1

Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии решения (или при ошибочном решении).

0

Решение неверное, продвижения отсутствуют. Решение отсутствует.

8 класс

Задание 1

Какой цифрой оканчивается сумма ?

Задание 2

Три математика ехали в разных вагонах одного поезда. Когда поезд подъезжал к станции, математики насчитали на перроне 7, 12 и 15 скамеек. Когда поезд отъезжал, каждый из них насчитал еще несколько скамеек, причем один из них насчитал в три раза больше, чем другой. А сколько насчитал третий?

Задание 3

Найдите 3 числа, обладающие следующими свойствами: они целые, положительные и сумма обратных величин этих чисел равна 1.

Задание 4

Фирма изготавливает лимонный напиток, разбавляя лимонный сок водой. Сначала фирма производила напиток, содержащий 15% лимонного сока. Через некоторое время генеральный директор отдал указание снизить содержание лимонного сока до 10%. На сколько процентов увеличится количество производимого лимонного напитка при тех же объёмах поставок лимонов?

Задание 5

Один из углов треугольника на 120° больше другого. Докажите, что биссектриса треугольника, проведённая из вершины третьего угла, вдвое длиннее, чем высота, проведенная из той же вершины.