Разработка урока по алгебре на тему Корень n-ой степени (9 класс)

План-конспект урока по алгебре 9 класс

Дата проведения 22.10.2014

Учебник Алгебра. 9 класс: учеб. для общеобразоват. организаций с прил. на электрон. носителе / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. - М.: Просвещение, 2014.

Тема урока. Корень n-ой степени.

Цель урока: актуализировать знания по теме «Квадратные корни». Формировать понятие

корня n-ой степени; арифметического корня n-ой степени, объяснить его

свойства

Тип урока: усвоение новых знаний.

Структура урока:

I. Организационный момент

II. Мотивация обучения

III. Изучение нового материала

IV. Закрепление новых знаний и умений учащихся

V. Задание на дом

VI. Итог урока

Ход урока

I. Организационный момент

Сообщение темы и цели урока.

II. Мотивация обучения

В связи с практикой решения сложных алгебраических заданий и оперирования степенями возникла необходимость обобщить понятие степени и расширить его введением нулевого показателя, отрицательных и дробных показателей. Для многих задач физики важно определить степени с рациональным и иррациональным показателями. В физике встречаются величины, имеющие следующее свойство: за равные промежутки времени величина изменяется в одно и то же число раз. Примером такой величины может быть масса радиоактивного вещества.

Понятие степени возникло в связи с вычислением площади квадрата и объема куба. Равенство () применил в своих работах самаркандский ученый ал-Каши в XV веке. Отрицательные показатели ввел французский математик Никола Шюке в XV веке.

Введение степени с рациональным показателем является одним из многих примеров обобщения понятия математического действия. Степень с нулевым, отрицательным и дробным показателем определена так, что для нее можно применить действия, имеющие место для степени с натуральным показателем.

Знание свойств степени с рациональным показателем и арифметического корня n-ой степени позволят решать степенные и иррациональные уравнения, неравенства и их системы.

III. Изучение нового материала

Знакомство с новым материалом осуществляется параллельно с актуализацией опорных фактов (определение и свойства арифметического квадратного корня), усвоенных учащимися в 8 классе.

Объяснение проводится в виде беседы. Понятие квадратного корня возникло при решении простейшего квадратного уравнения . При этом квадратным корнем из числа называют такое число, квадрат которого равен . Кроме уравнения необходимо решать уравнения . Поэтому надо ввести понятие корня любой натуральной степени n (аналогичное понятию квадратного корня).

Определение. Корнем n-ой степени из числа называют такое число, n-ая степень

которого равна . Этот корень обозначают символом . Причем n

называют показателем корня, - подкоренным выражением.

Пример 1

а) , т.к. б) ; т.к. ; в) , т.к. .

Принято корень второй степени называть квадратным корнем, корень третьей степени - кубическим корнем.

Уточним понятие корня. Сначала рассмотрим степенную функцию с нечетным показателем n. Из рис. видно, что для любого значения уравнение имеет единственное решение . Обратимся теперь к степенной функции с четным показателем n (рис. б). Тогда уравнение при < 0 решений не имеет, при = 0 имеет единственное решение , при > 0 имеет два противоположных по знаку решения. В этом случае положительное решение обозначают символом .

Нечетное Четное

Пример 2

Рассмотрим уравнение . Очевидно, такое уравнение имеет два решения: , т.к. при подставлении этих чисел в уравнение получаем верное равенство. Учитывая, что , такие решения, можно записать в виде и .

Итак, выражение при имеет смысл при четном и нечетном n, и значение этого выражения является неотрицательным числом. Его называют арифметическим корнем n-й степени из . Арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа называют такое неотрицательное число, n-я степень которого равна .

Корень нечетной степени из отрицательного числа можно выразить через арифметический корень из положительного числа.

Пример 3

Получаем , т. к. и .

Изученные ранее свойства квадратного корня можно обобщить на случай корня n-й степени:

1.

2.

3.

4.

5.

В равенствах 1-5 числа m и n - натуральные, в равенствах 1-4 числа a, b и в равенстве 4 число .

Пример 4

Вычислим, используя приведенные свойства.

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж)

IV. Закрепление новых знаний и умений учащихся

1. Работа с учебником

Учащимся предлагается найти в тексте учебника § 4 п. 9 (стр. 54 - 57) ответы на вопросы на стр. 60.

2. Решение упражнений на доске и в тетрадях учащихся

№ 159 (а, г, ж); № 160 (е); № 162; № 164; № 168 (д); 171 (в); № 173; № 177 (а); № 178 (б); № 179.

V. Задание на дом

Учебник § 4 п. 9, знать определение и свойства арифметического корня n-й степени.

Упражнения № 159 (б, в, з), № 160 (е), № 163, № 165, № 168 (е), № 171 (г).

Дополнительные упражнения № 177 (в). № 178 (а)

VI. Итог урока

Учащимся предлагается вспомнить (или найти в учебнике) определения арифметического квадратного корня, корня n-й степени, указать, чем они отличаются; еще раз обращает внимание учащихся на свойства корня n-й степени и основные тождества.

С учетом работы учащихся на уроке учитель выставляет отметки с кратким комментарием.